教案六正弦定理、余弦定理

●教學(xué)時(shí)間第四課時(shí)●課題§5.9.4正定理、余弦定理四●教學(xué)目標(biāo)(一)知識目標(biāo)1.三角形的有關(guān)性質(zhì)；2.正、余弦定理綜合運(yùn).(二)能力目標(biāo)1.熟練掌握正、余弦定理應(yīng)用；2.進(jìn)一步熟悉三角函數(shù)公式和三形中的有關(guān)性質(zhì)；3.綜合運(yùn)用正、余弦定理、三角數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問.(三)德育目標(biāo)通過正弦理在解三角形問時(shí)溝通了三角函數(shù)與三角形有關(guān)性質(zhì)的功能映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系及一定條件下的相互轉(zhuǎn).●教學(xué)重點(diǎn)正、余弦定理的綜合運(yùn)用.●教學(xué)難點(diǎn)1.正、余弦定理與三角形性質(zhì)的合；2.三角函數(shù)公式變形與正、余弦理的聯(lián).●教學(xué)方法啟發(fā)式1.啟發(fā)學(xué)生在求解三角形問題時(shí)意三角形性質(zhì)三公式變形與正弦余弦定理產(chǎn)生聯(lián)系，從而綜合運(yùn)用正弦、余弦定理達(dá)到求解目的；2.在題設(shè)條件不是三角形基本元時(shí)發(fā)學(xué)生利用正余建立方程通過解方程組達(dá)到解三角形目.●教具準(zhǔn)備投影儀、幻燈片第一張：正、余弦定理內(nèi)(記§5.9.4A)正弦定理：余弦定理：

abcR;AsinC2b2cosA,

2

2

2

ca,2a2abcosA

222

,cosB

2

2

,

2

2

.

第二張：例題1、2(記作§5.9.4B)［例1］在△ABC，三邊長為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三邊長［例2］如圖，在ABC中AB4cｍ＝3c，角平分線＝2cｍ，求此三角形面積.第三張：例題3、記§5.9.4C)［例3］已知三角形的一個(gè)角為60，面積為10c，長為20cｍ，求此三角形的各邊長［例4］在△中，AB＝，＝，為B中，且＝，B長●教學(xué)過程Ⅰ復(fù)回顧師上節(jié)課我們一起研究了余定理的邊角轉(zhuǎn)換功能在證明三角恒等式及判斷三角形形狀時(shí)的應(yīng)用，這一節(jié)們綜合正、余弦定理、三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)來求解三角形問.首先，我們一起回顧正、余弦定理的內(nèi)(給出投影片§5.9.4A).Ⅱ講新課師：下面，我們通過屏幕看例.(出投影片5.9.4B)［例1］分析：由于題設(shè)條件中出了三角形的兩角之間的關(guān)系，故需利用正弦定理建立邊角關(guān)系其sin2α利正弦二倍角展開后出現(xiàn)了cos，繼續(xù)利用余弦定理建立關(guān)于邊長的方程，從而達(dá)到求邊長的目.解：設(shè)三角形的三邊長分別為，＋1，＋，中∈Ｎ，設(shè)最小角為α，xsin2

cos

x2x

①又由余弦定理可得＝ｘ＋）＋（＋）－2ｘ＋＋）cosα②將①代入②整理得：ｘ－ｘ－＝解之得＝，ｘ＝－1(舍所以此三角形三邊長為4，，6.評述：(1)此題所求為邊長，故利用正、余弦定理向邊轉(zhuǎn)化，從而建立關(guān)于邊長的方程；(2)在求解過程中，用到了正弦倍角公式，由此，要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)三角公式的工具性作用，以引起學(xué)生對三角公式的重.［例2析于設(shè)條件中已知兩邊長而聯(lián)想面積公式＝

12

ABsinA

1需求出sin，而△ABC面可以轉(zhuǎn)化為＋，而＝·sin，＝21AB··sin，因此通過＝＋建關(guān)于含有sin，sin的方程，而222AsinA＝cos，＋＝，故sinA可求，從而三角形面積可.22解：在△中，＝＋，11A∴AB·sin＝··AD＋·AB·sin222211∴··3sin＝··2sin222∴6sin＝7sin

2∴12sincos＝7sin2∵sin≠∴＝2又0＜＜π

∴＜＜22∴sin

2

＝

95122

，∴sin＝2sin

7cos＝，22∴＝

12

795··3sin＝（ｍ）.12評述等的建立是求sinA的破口sinA的解則離不開對三角公式的.由此啟發(fā)學(xué)生在重視三角形性質(zhì)運(yùn)用的同時(shí)，要熟練應(yīng)用三角函數(shù)的公.另外，在應(yīng)用同角的平方關(guān)系sinα＋cos

α＝時(shí)，對角所在范圍討論后再進(jìn)行正負(fù)的取.（給出幻燈片§5.9.4C）［例3］分析：此題所給的題設(shè)件除一個(gè)角外，面積、周長都不是構(gòu)成三角形的基本元素但都與三角形的邊長有系，故可以設(shè)出邊長用給條件建立方程這由于邊長為三個(gè)未知數(shù)，所以需尋求三個(gè)方程，其一可利用余弦定理由三邊表示已知60°角的余弦，其二可用面積公式＝

12

absin表示面積，其三是周長條件應(yīng)用.解：設(shè)三角形的三邊長分別為、、，＝60，則依題意得

22由22由260sin60

①ac

②③由①式得：＝［20（＋c400a＋＋ac40（＋）④將②代入④得400＋3－（＋）0再將③代入得a＋＝解得1或c∴＝，7所以，此三角形三邊長分別為5cｍ，7cｍ，ｍ.評述：(1)在程建立的過程中應(yīng)注意由余弦定理可以建立方程要注意含有正弦形式的面積公式的應(yīng).(2)由條件得到的是一個(gè)三元二方程組，要注意要求學(xué)生體會其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及運(yùn)算能.［例4］分析：此題所給題設(shè)條只有邊長，應(yīng)考慮在假設(shè)BC為ｘ后，建立關(guān)于ｘ方程而正弦定理涉及到兩個(gè)角，故不可用此時(shí)應(yīng)注意余弦定理在建立方程時(shí)所發(fā)揮的作.為為BC點(diǎn)，所以、可示方程.

x2

，然用利用互補(bǔ)角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立x解：設(shè)BC邊為，則由D中，可得BD＝DC，2在△ADB中，cosADB

AD

BDAB

x2)22x

在△ADC中，cosADC

DCAC

x)

x

又∠ADB∠ADC＝°∴cos＝（180°－∠ADC）＝－ADC

∴

x)

x242)2x

解得，＝所以，邊為2.評述此題要啟發(fā)學(xué)生注意余弦理建立方程的功能會補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題.另外，對于本節(jié)的例2，可考慮上述性質(zhì)的應(yīng)用來求解sin，路如下：由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)可得

AC3

，設(shè)5ｋ，＝ｋ，則由互補(bǔ)角∠∠的余弦值互為相反數(shù)立方程，求出BC后，再結(jié)合弦定理求出cosA再同角平方關(guān)系求出.師：為鞏固本節(jié)所學(xué)的解題方法，下面我們進(jìn)行課堂練.Ⅲ課練習(xí)1.半徑為1的內(nèi)接三角形的面積為．，求此三角形三邊長的乘積解：設(shè)△三邊為，，c.則＝sinB∴2abc

12

sinB又

2R

，其中R為角形外接圓半徑∴

4R∴abc＝＝××．＝所以三角形三邊長的乘積為1.評述：由于題設(shè)條件有聯(lián)想正弦定理：acRsisisi

，其中R為角形外接圓半徑，與含有正弦的三角形面積公式＝

12

sinB

發(fā)生聯(lián)系，對abc進(jìn)行整體求解.2.在△ABC，已知角＝°，是邊一AD＝，＝，DC3，求AB.解：在△中，cos＝

2DC27222,又0＜＜180，∴sin＝

5314

在△ABC中，

ACABsin∴＝

sinC535sinB142評述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學(xué)生注意正、余弦定理的綜合運(yùn)用3.在△中，已知cos＝

3，sin＝，cos.513解：∵＝

3＜＝°，0＜＜π52∴45°＜＜90°∴sin＝

4551∵sin＝＜＝sin30°＜π13∴°＜°或150＜B＜180°若＞150°，則＞180與題意不.∴°＜°cos＝

1213∴cos（＋）cos·－sin·sin＝又＝180（B）

3125131365∴cos＝cos［180°－A＋cosA＋B＝－

1665

.評述此要求學(xué)生在利用同角正弦平方關(guān)系時(shí)應(yīng)據(jù)已知的三角函數(shù)值具體確定角的范圍以對正負(fù)進(jìn)行舍在定角的范圍時(shí)通常是與已知角接近的特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行比較Ⅳ課小結(jié)師通本節(jié)學(xué)習(xí)我進(jìn)一步悉了三角函數(shù)公式及三角形的有關(guān)性質(zhì)綜合運(yùn)用了正余定理求解三角形的有關(guān)問題求大家注意常見解題方法與解題技巧的總結(jié)斷提高三角形問題的求解能.Ⅴ課作業(yè)(一)書面作業(yè)1.課本Ｐ習(xí)5.95.2.在三角形中三長為連續(xù)自數(shù)且最大角是鈍角那這個(gè)三角形的三邊長分別為.答案：，，3.已知方程（1－ｘ）2＋（＋ｘ的三條邊的長，求證ABC是角三角.(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容課本Ｐ～解三角形應(yīng)用.2.預(yù)習(xí)提綱

）0沒實(shí)數(shù)根，如果、、是ABC

(1)解斜三角形在實(shí)際中有哪些?(2)實(shí)際中的解斜三角形問題如轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問?●板書設(shè)計(jì)§5.9.4正定理、余弦定理四)1.常用三角公式2.角形有關(guān)性質(zhì)3.學(xué)生練習(xí)①sinA＋＝1

①面積公式Ｓ＝

12

absinC②sin2＝2sin③sin（＋）sincos＋cossinB

②角平分線定理③互補(bǔ)角正弦值相等④cos

＝－2sin

④互補(bǔ)角余弦值互為相反數(shù)●備課資料1.正、余弦定理的綜合運(yùn)用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理若將正弦定理代入得sin

＝sin＋sin

C－2sinBsincos.這是只含有三角形三個(gè)角的一種關(guān)系式用這一定理解題簡捷明快下面舉例說明之［例1］在△中已知sin－sinC－sinA＝3AsinC，求B度數(shù)解：由定理得sin＝sinA＋sinC－Ccos，∴－2sinsincos＝∵sinsin≠∴cos＝－

sinsin∴＝150［例2］求10°＋cos40°＋sin10cos40°.解：原式＝sin10°＋sin50°＋sin10sin50°在sinA＝sinB＋sin2sinsincos中令B＝10°，＝50°，則A＝120°sin120°＝sin10°＋50°2sin10sin50°cos120°＝sin10°＋sin50°＋sin10°sin50°＝（

3）＝.［例3］在△中已知2cossin＝sin，判定△的形狀解等兩邊同乘以sinA得sinsin＝sin定得sin＋C－Β＝sinA，∴sinC＝

B∴＝故△ABC是等腰三角形.2.一題多證［例4］在△中知＝bcos，求證：ABC為等腰三角.證法一：欲證△為腰三角.可證明其中有兩角相等，因而在已知條件中化去邊

元素，使只剩含角的三角函數(shù).正弦定理得＝

bAsin∴bcos＝

bAsin

，即2cosC·sin＝sin＝（＋）＝sincos＋cossin.∴sincos－cosBsin0即（－）0∴－