線性控制理論控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性演示文稿

線性控制理論控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性演示文稿1目前一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點優(yōu)選線性控制理論控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性目前二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點3內(nèi)容提要

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本章主要介紹狀態(tài)空間分析法中系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定、外部穩(wěn)定李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定的基本概念和定理李亞普諾夫第一法和李亞普諾夫第二法的應用利用MATLAB判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。目前三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點4知識要點：

內(nèi)部穩(wěn)定、外部穩(wěn)定，李氏意義下的穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定，克拉索夫斯基法判穩(wěn)，變量－梯度法。目前四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點54.1系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念

系統(tǒng)運動穩(wěn)定性可分為基于輸入輸出描述的外部穩(wěn)定性和基于狀態(tài)空間描述的內(nèi)部穩(wěn)定性。1892年俄國數(shù)學家李雅普諾夫（A.M.Lyapunov）就如何判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，提出了李雅普諾夫第一法和第二法。第一法的基本思路是先求解系統(tǒng)的線性化微分方程，然后根據(jù)解的性質(zhì)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。稱為間接法。目前五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點6第二法的基本思路是不需要求解系統(tǒng)的微分方程式（或狀態(tài)方程式）就可以對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析和判斷，稱為直接法。它通過構(gòu)造一個李雅普諾夫函數(shù)，根據(jù)這個函數(shù)的性質(zhì)來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，不但能用來分析線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且也能用來判別非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。目前六頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點7外部穩(wěn)定性：系統(tǒng)在零初始條件下通過其外部狀態(tài)，即系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系所定義的（零狀態(tài)響應）。適用于線性系統(tǒng)。內(nèi)部穩(wěn)定性：系統(tǒng)在零輸入條件下，由內(nèi)部狀態(tài)變化所定義。適用于線性、非線性系統(tǒng)。（零輸入響應）

對于同一線性系統(tǒng)。只有在一定條件下，兩種定義才具有等價性。

李雅普諾夫方法：適用于線性、非線性、時變系統(tǒng)。目前七頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點8

包括零狀態(tài)響應和零輸入響應。零狀態(tài)響應和經(jīng)典理論中穩(wěn)定性問題一樣，考慮外部穩(wěn)定性問題。而零輸入響應的穩(wěn)定性問題，即研究齊次方程由任意非零初態(tài)引起的響應的穩(wěn)定性問題，這是一種內(nèi)部穩(wěn)定性問題。

1892年，俄國人李雅普諾夫發(fā)表了《運動穩(wěn)定性的一般問題》的博士論文，提出了分析穩(wěn)定性的兩種有效方法。第一種方法，通過對線性化系統(tǒng)特征方程的根的分析來判斷穩(wěn)定性，稱為間接法。此時，非線性系統(tǒng)必須先線性近似，而且只適用于平衡狀態(tài)附近。第二種方法，從能量的觀點對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行研究，稱為直接法。顯然，第二種方法對線性、非線性系統(tǒng)都適用。在狀態(tài)空間中，目前八頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點94.1.1外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性1.外部穩(wěn)定性系統(tǒng)的輸入和輸出間的描述就是外部描述，當初始狀態(tài)為零時，單輸入單輸出的線性時變系統(tǒng)，其輸入—輸出描述可表示為（4-1）式中，是系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)，它是在時刻加入函數(shù)后，系統(tǒng)在時刻t的輸出，是系統(tǒng)的輸入信號，是系統(tǒng)的輸出信號。目前九頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點10對于線性定常系統(tǒng)，式（4-1）可以寫成

相應的拉氏變換表達式為就是單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。（4-2）目前十頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點11對多輸入多輸出的線性時變系統(tǒng)，系統(tǒng)的初始條件為零，在時刻每一個輸入端加入一個函數(shù)，對應的每一個輸出端在時刻t都有一個脈沖響應，比如在第j個輸入端加入一個函數(shù)，在第i個輸出端就有一個脈沖響應，，將這些脈沖響應函數(shù)組成一個矩陣，就是多輸入多輸出線性時變系統(tǒng)的脈沖矩陣，即目前十一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點12當初始條件為零，系統(tǒng)在輸入向量的作用下，輸入輸出描述可表示為

其中，—系統(tǒng)的輸出向量。（4-3）目前十二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點13對于線性定常系統(tǒng)，其初始狀態(tài)為零的輸入—輸出描述可表示為（4-4）相應的拉氏變換表達式為其中，—系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)陣；—傳遞函數(shù)矩陣。目前十三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點14定義4-1

一個零初始狀態(tài)的線性系統(tǒng)稱之為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，對于任意有界輸入，其輸出是有界的。

注意，這里必須假定系統(tǒng)的初始條件為零。因為只有在這種假定下，系統(tǒng)的輸入—輸出描述才是惟一的和有意義的。下面，給出一些常用的判據(jù)。，，目前十四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點15定理4-1

對零初始狀態(tài)r維輸入和m維輸出的連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，時刻系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，存在一個有限正常數(shù)k，使對一切，中所有元均滿足關(guān)系式

（4-5）目前十五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點16證明（1）單輸入單輸出情形充分性證明：令輸入為有界函數(shù)，即滿足則由基于脈沖響應的輸出關(guān)系式，可以得到由定義可知系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定。目前十六頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點17必要性證明：采用反證法，已知系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定，設存在某個，使有（4-6）則可構(gòu)造如下一個有界輸入

（4-7）

目前十七頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點18其對應的輸出如下（4-8）即輸出為無界，與已知系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的假設矛盾。因此，反設不成立，證得（4-9）目前十八頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點19（2）多輸入多輸出情形注意此時系統(tǒng)輸出的任一分量，均有（4-10）

且有限個有界函數(shù)之和仍為有界。因此，利用單輸入單輸出情形討論，即可證得結(jié)論。目前十九頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點20定理4-2對零初始狀態(tài)r維輸入和m維輸出連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，令初始時刻，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，存在一個有限正常數(shù)k，使脈沖響應矩陣所有元均滿足關(guān)系式

等價地，傳遞函數(shù)矩陣為真或嚴真有理分式陣時，的每一元素的所有極點均具有負實部。

（4-11）

目前二十頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點21外部穩(wěn)定性有界輸入有界輸出穩(wěn)定性；線性動態(tài)系統(tǒng)；零初始條件。定義：初始條件為零的系統(tǒng)，任何一個有界輸入作用下系統(tǒng)的輸出也是有界的，則系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。BIBO穩(wěn)定：BoundedinputBoundedoutput目前二十一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點22*.單輸入單輸出系統(tǒng)（模的有界性）目前二十二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點23*.多輸入多輸出系統(tǒng)（模的有界性）可用每個分量的模的有界性表征。目前二十三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點242．內(nèi)部穩(wěn)定性

穩(wěn)定性問題是系統(tǒng)自身運動的一種動態(tài)屬性，在研究運動穩(wěn)定性問題時，常限于研究無外部輸入作用時的系統(tǒng)，這類系統(tǒng)通常稱為自治系統(tǒng)。連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中，A(t)—nn時變矩陣；

目前二十四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點25當輸入為零，任給初始狀態(tài)，自治狀態(tài)方程（4-12）

的解為其中，—狀態(tài)由任意非零初始狀態(tài)引起的零輸入響應。目前二十五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點26定義4-2如果由時刻任意非零初始狀態(tài)

引起狀態(tài)的零輸入響應對所有為有界，且滿足漸近屬性，即成立，則稱連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)在時刻為內(nèi)部穩(wěn)定。定理4-3對n維連續(xù)時間線性時變自治系統(tǒng)(4-12)，系統(tǒng)在時刻是內(nèi)部穩(wěn)定即漸近穩(wěn)定的充分必要條件為：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對所有為有界，并滿足漸近屬性，（4-13）

目前二十六頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點27定理4-4對維連續(xù)時間線性定常自治系統(tǒng)

系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定即漸近穩(wěn)定的充分必要條件為，矩陣指數(shù)函數(shù)滿足漸近屬性

即下式成立（4-16）（4-14）

（4-17）目前二十七頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點28內(nèi)部穩(wěn)定實際上是研究系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的穩(wěn)定性，它和后面將要介紹的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析是一致的。目前二十八頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點29例

單入單出系統(tǒng)初始狀態(tài)x0，分析系統(tǒng)的外部與內(nèi)部穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)在輸入u的作用下系統(tǒng)的輸出響應為

y1為零輸入響應，y2為零狀態(tài)響應。1）根據(jù)外部穩(wěn)定性的定義，有x0=0，若系統(tǒng)對任何有界輸入

則該系統(tǒng)具有外部穩(wěn)定性。即零狀態(tài)響應為等幅振蕩或衰減響應。（系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點具有負實部。）零極點對消？能控且能觀？最小實現(xiàn)？目前二十九頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點30系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定，即漸近穩(wěn)定的充分必要條件是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足下式2）根據(jù)內(nèi)部穩(wěn)定性的定義，有u=0，系統(tǒng)由任意非零初態(tài)x0引起的響應xu(t)為對于線性定常系統(tǒng)，滿足上式的條件是系統(tǒng)矩陣A的所有特征值具有負實部?？梢?，對于同一系統(tǒng)，只有在一定條件下，外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性兩種定義才具有等價性。目前三十頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點313．內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關(guān)系系統(tǒng)外部穩(wěn)定性反映了輸出的穩(wěn)定性，內(nèi)部穩(wěn)定則是反映了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的穩(wěn)定，它們之間有什么樣的內(nèi)在關(guān)系，這對工程應用是有實際意義的。本節(jié)限于連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，討論和給出內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的等價條件。目前三十一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點32定理4-5對連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)

其中，—n維狀態(tài)向量；—r維輸入量；

—m維輸出向量。若系統(tǒng)為內(nèi)部穩(wěn)定即漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)必為BIBO穩(wěn)定即外部穩(wěn)定。（4-18）目前三十二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點33定理4-6對連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)式（4-18）,系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定即外部穩(wěn)定不能保證系統(tǒng)必為內(nèi)部穩(wěn)定即漸近穩(wěn)定。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解中指出，傳遞函數(shù)矩陣只能反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中能控能觀測部分。因此，系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定即極點均具有負實部的事實，只能保證系統(tǒng)的能控能觀測部分特征值均具有負實部，不能保證系統(tǒng)的能控不能觀測、不能控能觀測和不能控不能觀測各部分特征值均具有負實部。由此，系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定不能保證系統(tǒng)為內(nèi)部穩(wěn)定。目前三十三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點34由定理4-5知，系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定意味著系統(tǒng)外部穩(wěn)定。而由定理4-6可知，在系統(tǒng)聯(lián)合完全能控和完全能觀測條件下，系統(tǒng)外部穩(wěn)定意味著系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定。系統(tǒng)外部穩(wěn)定和系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定等價的充分必要條件是系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控和完全能觀測。目前三十四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點35外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性之間的關(guān)系

單輸入單輸出系統(tǒng)1.若傳遞函數(shù)無零極點對消不存在公因子相消，傳遞函數(shù)的極點與系統(tǒng)特征值相同。極點→外部穩(wěn)定性；特征值→狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣→狀態(tài)軌跡→內(nèi)部穩(wěn)定性；內(nèi)部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性目前三十五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點362.若系統(tǒng)存在公因子相消-零極點對消

傳遞函數(shù)的極點數(shù)少于系統(tǒng)特征值，由于可能消去的是正實部的極點，則系統(tǒng)具有外部穩(wěn)定性，但不一定具有內(nèi)部穩(wěn)定性。G(s)的極點只是矩陣A的特征值的子集。內(nèi)部穩(wěn)定外部穩(wěn)定外部穩(wěn)定內(nèi)部穩(wěn)定目前三十六頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點37結(jié)論（線性定常系統(tǒng)）：★4.若系統(tǒng)狀態(tài)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)輸出是穩(wěn)定的。1.內(nèi)部穩(wěn)定外部穩(wěn)定2.外部穩(wěn)定內(nèi)部穩(wěn)定3.若系統(tǒng)能控能觀，則內(nèi)部穩(wěn)定外部穩(wěn)定

只用傳遞函數(shù)的極點判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性不一定真正反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此時，系統(tǒng)內(nèi)部可能有一些狀態(tài)越界，導致系統(tǒng)飽和或出現(xiàn)危險。目前三十七頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點38李雅普諾夫穩(wěn)定性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性指的是系統(tǒng)在平衡狀態(tài)下受到擾動時，經(jīng)過“足夠長”的時間以后，系統(tǒng)恢復到平衡狀態(tài)的能力。因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是相對系統(tǒng)的平衡狀態(tài)而言的。自治系統(tǒng)的靜止狀態(tài)就是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。目前三十八頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點39

自治系統(tǒng)的一般形式可用顯含時間變量t

的狀態(tài)方程來描述式中，—n維狀態(tài)向量；—線性或非線性、定?；驎r變的n維向量函數(shù)初始狀態(tài)相應的解式中，—狀態(tài)向量的初始值；—初始時刻。

（4-23）目前三十九頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點401.平衡狀態(tài)設系統(tǒng)狀態(tài)方程為，若對所有，狀態(tài)滿足，則稱該狀態(tài)為平衡狀態(tài)，記為。故有下式成立由（4-24）在狀態(tài)空間中所確定的點，稱為平衡點。由定義式可見，平衡狀態(tài)將包含在這樣一個代數(shù)方程組中。對不同類型的系統(tǒng)平衡點求解如下（4-24）

目前四十頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點41(1)線性定常系統(tǒng)的平衡點

方程(4-23)化成平衡狀態(tài)應滿足代數(shù)方程。解此方程，當A是非奇異時，則系統(tǒng)存在惟一的一個平衡點。當A是奇異時，則系統(tǒng)的平衡點可能不止一個。（a）A為非奇異陣，原點是唯一平衡狀態(tài)（b）A為奇異陣，還有其他平衡狀態(tài)目前四十一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點42例： 注意：在t0時刻的平衡狀態(tài)，指t≥t0時，所有滿足A(t)x=0的狀態(tài)。當系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，若無輸入作用，則系統(tǒng)一直處于該狀態(tài)。

由Ax=0，可知平衡狀態(tài)為x1∈R,x2=0原點必為一個平衡狀態(tài)。目前四十二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點43(2)非線性系統(tǒng)的平衡點方程的解可能有多個，視系統(tǒng)方程而定。如其平衡狀態(tài)應滿足式(4-24)，即得該系統(tǒng)存在三個平衡狀態(tài)：目前四十三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點44例：

由平衡狀態(tài)定義，令f(x1,x2)=0，可求得平衡狀態(tài)目前四十四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點45注：★1、線性系統(tǒng)的任意平衡狀態(tài)均可通過坐標變換將其移到狀態(tài)空間原點，其穩(wěn)定性是一致的。

不失一般性的，我們認為線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)確定為xe=0，也就是說我們只取坐標原點作為平衡點進行研究。

2、對線性定常系統(tǒng)，可以認為是研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性；而對其他系統(tǒng)，只能認為是研究某一平衡態(tài)下的穩(wěn)定性。目前四十五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點46

2.范數(shù)的概念李雅普諾夫穩(wěn)定性定義中采用了范數(shù)的概念。1）范數(shù)n維狀態(tài)空間中，向量x的長度稱為向量x的范數(shù)，用||x

||表示，則目前四十六頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點472）向量的距離長度稱為向量x與xe的距離，寫成當?shù)姆稊?shù)限定在某一范圍之內(nèi)時，則記

上式有其幾何意義，在三維狀態(tài)空間中表示以xe為球心、以為半徑的一個球域，可記為。目前四十七頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點48

3.李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性定義與工程上經(jīng)典的定義不完全一致，在概念上有一些區(qū)別。下面分別介紹這些定義并指出它們之間的聯(lián)系與差異。圖4-1球域目前四十八頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點49

如圖所示三個系統(tǒng)，均處于平衡狀態(tài)，考察其受擾動作用，自平衡狀態(tài)偏離后的系統(tǒng)響應。（a）自由響應有界；（b）自由響應有界，且最終返回原來初態(tài)；（c）自用響應無界。(a)(b)(c)李雅普諾夫把以上三種情況分別定義為穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、不穩(wěn)定。目前四十九頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點501）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義4-3

對于系統(tǒng)，若任意給定實數(shù)，都存在另一實數(shù)，使當時，從任意初態(tài)出發(fā)的解滿足，(t≥t0)則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，其中是與有關(guān)的實數(shù)；若與t0無關(guān)，則稱是一致穩(wěn)定的。（4-26）目前五十頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點51幾何意義上述定義中，范數(shù)劃出了一個球域，它能將解的所有各點都包圍在內(nèi)。由此可以找到另一個對應球域，它的范數(shù)為，其中包含了初始狀態(tài)x0允許取值的范圍。李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性是指從發(fā)出的軌線，在的任何時刻總不會超出。目前五十一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點52對于定常系統(tǒng)，δ與t0無關(guān)，此時穩(wěn)定的平衡狀態(tài)一定是一致穩(wěn)定的。圖4-2李氏穩(wěn)定性示意圖目前五十二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點532）漸近穩(wěn)定性定義4-4對于系統(tǒng)，若任意給定實數(shù)，存在，使當時，從任意初態(tài)出發(fā)的解滿足

且對于實數(shù)和任意給定的實數(shù)，對應地存在實數(shù)，總有則稱平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。（4-27）（4-28）目前五十三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點54幾何意義

定義4-4指出，如果xe滿足李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，并且從球域內(nèi)出發(fā)的任意一個解，當時，不僅不會超出球域之外，而且最終收斂于xe，則為漸近穩(wěn)定。顯然，漸近穩(wěn)定比穩(wěn)定性有更強的性質(zhì)，工程上常常要求漸近穩(wěn)定，而把不是漸近穩(wěn)定的運動與不穩(wěn)定的運動同樣看待。目前五十四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點55定義4-4

另一表述：如果平衡狀態(tài)x0不僅是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，且從球域S(δ)出發(fā)的任意解x，時間趨于無窮大時，不僅不會超出球域S(ε)，而且最終收斂于平衡狀態(tài)xe或其鄰域，即則稱平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。幾何含義注意，漸近穩(wěn)定首先應是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。目前五十五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點56x1x2s(δ)s(ε)x0漸近穩(wěn)定

工程上往往喜歡漸近穩(wěn)定，因為希望干擾除去后，系統(tǒng)又會回到原來的工作狀態(tài)，這個狀態(tài)正是我們設計系統(tǒng)時所期望的，也就是前面所說的平衡狀態(tài)。

無論是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定、漸進穩(wěn)定，都屬于系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近一小范圍內(nèi)的局部性質(zhì)。因為系統(tǒng)只要在包圍xe的小范圍內(nèi)，能找到δ和ε滿足定義中條件即可。至于從s(δ)外的狀態(tài)出發(fā)的運動，卻完全可以超出s(ε)。因此，上面涉及的是小范圍穩(wěn)定或小范圍漸近穩(wěn)定。目前五十六頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點57

而從實用觀點出發(fā)，僅僅判知系統(tǒng)是小范圍漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)不一定能正常工作，一旦實際存在的干擾，使系統(tǒng)的初始狀態(tài)偏離而超出s(δ)的范圍，就會導致x有可能不返回xe。解決辦法是確定漸近穩(wěn)定的最大范圍。然后把實際干擾的大小限制在此范圍內(nèi)。實際上，此范圍的確定非常困難，且限制干擾的大小，也不一定能做到。因此，工程上對大范圍漸近穩(wěn)定更感興趣。目前五十七頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點58圖4-3漸近穩(wěn)定性的幾何解釋和變化軌跡目前五十八頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點593）大范圍漸近穩(wěn)定性定義4-5如果系統(tǒng)在任意初態(tài)下的每一個解，當時，都收斂于，那么系統(tǒng)的平衡狀態(tài)叫做大范圍漸近穩(wěn)定的。實質(zhì)上，大范圍漸近穩(wěn)定是把狀態(tài)解的運動范圍和初始狀態(tài)的取值范圍擴展到了整個狀態(tài)空間。對于狀態(tài)空間中的所有各點，如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都具有漸近穩(wěn)定性，則該平衡狀態(tài)稱為大范圍漸近穩(wěn)定的。目前五十九頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點60由各狀態(tài)點出發(fā)的軌跡都收斂于xe，這類系統(tǒng)的狀態(tài)空間中不存在其它漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，這也是大范圍漸近穩(wěn)定系統(tǒng)的必要條件。對于線性系統(tǒng)，由于其滿足疊加原理，所以系統(tǒng)若是漸近穩(wěn)定的，則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。一般來說，漸近穩(wěn)定是個局部的性質(zhì)。在控制工程中，通?？偸窍Ｍ到y(tǒng)具有大范圍穩(wěn)定的特性。目前六十頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點61大范圍漸近穩(wěn)定

如果系統(tǒng)在任意初始條件下的解x

，當t→∞的過程中，收斂于平衡狀態(tài)xe或其鄰域，則平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的，且其范圍包含整個狀態(tài)空間，則稱xe是大范圍漸近穩(wěn)定，或稱全局漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。

大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是：狀態(tài)空間中系統(tǒng)中只有一個平衡狀態(tài)。（經(jīng)典控制理論當中，只有漸近穩(wěn)定才是穩(wěn)定）例：

可知零狀態(tài)必然是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，而若零狀態(tài)漸近穩(wěn)定，因為它是系統(tǒng)唯一的孤立平衡狀態(tài)，則必然是大范圍漸近穩(wěn)定的?？梢?，線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件無關(guān)。目前六十一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點624）不穩(wěn)定性

定義4-6如果對于某個實數(shù)>0和任一實數(shù)δ>0，當時，總存在一個初始狀態(tài)x0，使則稱平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。幾何意義：對于某個給定的球域，無論球域取得多么小，內(nèi)部總存在著一個初始狀態(tài)x0，使得從這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡最終會超出球域。，(t≥t0)(4-29)目前六十二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點63圖4-4不穩(wěn)定幾何解釋和軌線在二維空間中，不穩(wěn)定的幾何解釋和軌線變化如圖4-4所示。目前六十三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點64對于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的軌跡，雖然越出了，但是并不意味著軌跡一定趨向無窮遠處例如對于非線性系統(tǒng)，軌跡還可能趨于以外的某個穩(wěn)定平衡點。當然，對于線性系統(tǒng)，從不穩(wěn)定平衡狀態(tài)出發(fā)的軌跡，理論上一定趨于無窮遠。目前六十四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點65幾種典型情況就可用能量觀點來說明其穩(wěn)定性：圖4-5(a)平衡點所具有的勢能是最小的，其附近的勢能都比它大，也就是說，平衡點附近的勢能變化率為負，所以該平衡點是穩(wěn)定的，而且是大范圍漸近穩(wěn)定的。圖4-5(b)平衡點所具有的勢能最大，其附近各點的勢能都比它小。目前六十五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點66換句話說，平衡點附近的能量對平衡點的變化率是增加的，為正，所以該平衡點是不穩(wěn)定的。圖4-5(c)各點所具有的能量都相同，這就是通常說的隨遇平衡，在李亞普諾夫意義下，任意點都是大范圍穩(wěn)定。圖4-5(d)是局部漸近穩(wěn)定的，圖4-5(e)為局部不穩(wěn)定。圖4-5平衡狀態(tài)穩(wěn)定性示意圖目前六十六頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點67局部漸近穩(wěn)定局部不穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定局部穩(wěn)定目前六十七頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點681.線性定常系統(tǒng)：任一孤立平衡狀態(tài)，都可通過坐標變換移到狀態(tài)空間的原點，分析原點的穩(wěn)定性具有代表性。2.非線性系統(tǒng)：各個平衡點的穩(wěn)定性不同，應該分別分析各平衡狀態(tài)xe的穩(wěn)定性。3.穩(wěn)定只要求狀態(tài)軌跡在球域s(ε)中，而漸近穩(wěn)定要求x最終收斂于或無限接近于平衡狀態(tài)xe。4.實際中希望xe為大范圍漸近穩(wěn)定。5.對于線性系統(tǒng)：若平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則一定是大范圍漸近穩(wěn)定。6.在經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性概念與Lyapunov意義下的穩(wěn)定性概念是有一定的區(qū)別的，例如，在經(jīng)典控制理論中只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱為穩(wěn)定的系統(tǒng)；在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的，但卻不是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，則叫做不穩(wěn)定系統(tǒng)。

結(jié)論（重要）目前六十八頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點69例解令u=0，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為

xe1=任意值目前六十九頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點70輸入信號為0時，狀態(tài)方程的解為

在t→∞的過程中，由于系統(tǒng)的解x不是收斂于平衡狀態(tài)

xe，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的。實際上，只要每個特征值均具有負實部，則每個狀態(tài)分量的零輸入解將衰減為0，即收斂于0平衡狀態(tài)，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的?！?/p>

實際上，由于是線性系統(tǒng)，分析原點的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性即可。目前七十頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點71例直接用定義判斷系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性和輸入輸出穩(wěn)定性解：令u=0，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)0輸入的狀態(tài)解為系統(tǒng)漸近穩(wěn)定目前七十一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點72系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定，系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)的總輸出=輸入激勵的響應。系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定。A陣特征值λ1=-2，λ2=-3，可知漸近穩(wěn)定，外部穩(wěn)定。實際上可以直接判斷：目前七十二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點73注意：1、對于線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定等價于大范圍漸近穩(wěn)定。但對于非線性系統(tǒng)，一般只考慮吸引區(qū)為有限的給定范圍的漸近穩(wěn)定。2、穩(wěn)定含義之間的區(qū)別經(jīng)典控制理論(線性系統(tǒng)）不穩(wěn)定(Re(s)>0)臨界情況(Re(s)=0)穩(wěn)定(Re(s)<0)Lyapunov意義下不穩(wěn)定穩(wěn)定漸近穩(wěn)定目前七十三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點74在經(jīng)典控制理論中，只有線性系統(tǒng)穩(wěn)定性才有明確的意義，對于非線性系統(tǒng)，只能研究一些局部具體問題。李雅普諾夫給運動穩(wěn)定性下了嚴格的定義，概括了線性及非線性等各類系統(tǒng)的一般情況。4.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

前面介紹的李氏穩(wěn)定理論，主要給出系統(tǒng)穩(wěn)定的幾種定義，本節(jié)討論李雅普諾夫第一法和第二法，以及普遍意義的穩(wěn)定性判別定理。目前七十四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點754.2.1李雅普諾夫第一法

李雅普諾夫第一法又稱間接法。它的基本思路是通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于線性定常系統(tǒng)，只需解出特征方程的根即可作出穩(wěn)定性判斷。對于非線性不很嚴重的系統(tǒng)，則可通過線性化處理，取其一次近似得到線性化方程，然后再根據(jù)其特征根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

目前七十五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點761.線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程解的特性取決于系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，在討論線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，按照經(jīng)典理論的思路，可以不必求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，而直接由系統(tǒng)矩陣A的特性值判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。定理4-7線性定常系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)矩陣A的特征值均具有負實部，即，(i＝1，2，…，n)（4-30）目前七十六頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點77例

判斷系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性和輸入輸出穩(wěn)定性解：直接判斷系統(tǒng)狀態(tài)x1不穩(wěn)定。系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定。目前七十七頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點78例判斷系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性和輸入輸出穩(wěn)定性極點-3具有負實部，是輸入輸出穩(wěn)定的。解：1）外部穩(wěn)定性（輸入輸出穩(wěn)定性）目前七十八頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點792）內(nèi)部穩(wěn)定性分析由

系統(tǒng)非漸近穩(wěn)定，但是輸入輸出穩(wěn)定。因為存在零極點對消，消掉了具有正實部的特征值λ=2。目前七十九頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點802.線性時變系統(tǒng)對于系統(tǒng)，由于矩陣不再是常數(shù)矩陣，故不能應用特征值判據(jù)，需用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中各元素均趨于零，不論取何值，當時，中每項均趨于零，因此系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。若采用范數(shù)的概念來分析穩(wěn)定性問題，則將帶來極大方便，故首先引出矩陣范數(shù)的定義。目前八十頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點81

定義4-7

如果把矩陣A的全體看作是一個向量空間，那么也可把每一個矩陣視為向量空間中的一個向量。這樣，矩陣A的范數(shù)可定義為上式的結(jié)果也是一個標量，表示將矩陣中每個元素取平方和后再開方。（4-31）

目前八十一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點82應用范數(shù)的概念討論系統(tǒng)穩(wěn)定性時，可以這樣敘述：如果趨近于零，及矩陣中各元素均趨近于零，則系統(tǒng)在原點處是漸近穩(wěn)定的。目前八十二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點83

定理4-8

線性時變系統(tǒng)，其狀態(tài)解為，根據(jù)李氏穩(wěn)定性定義，有下列穩(wěn)定性充分條件：若存在某正常數(shù)N(t0)，對于任意t0和t≥t0，有≤N(t)則系統(tǒng)穩(wěn)定；有≤N

（4-32）

（4-33）

目前八十三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點84則系統(tǒng)一致穩(wěn)定；有則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。若存在某常數(shù)N>0，C>0，則對任意t0和t≥t0，有

則稱系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定。（4-34）

（4-35）

≤目前八十四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點85按照李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的諸定義證明前三項結(jié)論是很容易的。對于最后一項，實際上是二、三兩項的組合，因為≤≤N

滿足了一致穩(wěn)定條件；又因為所以有滿足了漸近穩(wěn)定條件。（4-36）

（4-37）

（4-38）

目前八十五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點863.非線性定常系統(tǒng)

實際系統(tǒng)常常是非線性的，為了便于研究，常常用微偏線性化的方法處理，也就是用與它近似的線性系統(tǒng)代替它。但是，運動的穩(wěn)定性有嚴格的定義，不是一個可以用某種近似計算來處理的工程問題。那么，用一個線性系統(tǒng)近似地代替非線性系統(tǒng)，會不會在運動穩(wěn)定性問題上得出錯誤的結(jié)論呢？這是一個需要嚴格論證的問題。目前八十六頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點87

定理4-9

設非線性定常系統(tǒng)的自治狀態(tài)方程為，對狀態(tài)向量有連續(xù)的偏導數(shù)，在平衡狀態(tài)處展成泰勒級數(shù)，則得式中，雅可比矩陣，它定義為（4-39）（4-40）

目前八十七頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點88其中，包含對的二次及二次以上的高階導數(shù)項。取展開式的一次近似式，得線性化方程為(1)若的特征值都具有負實部，則系統(tǒng)是在的足夠小鄰域內(nèi)漸近穩(wěn)定的。線性化過程中被忽略的高于一階的項不會使運動變成不穩(wěn)定。(2)若的特征值中，至少有一個具有正的實部，則不論被忽略的高階導數(shù)項如何，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)總是不穩(wěn)定的。目前八十八頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點89(3)若的特征值中，沒有正的實部但至少有一個實部為零，此時原非線性系統(tǒng)不能用線性化方程來判斷其穩(wěn)定性，平衡狀態(tài)小范圍局部穩(wěn)定性取決于被忽略的高階項，若要研究原系統(tǒng)穩(wěn)定性，必須分析原始非線性方程。目前八十九頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點90例4-1設非線性系統(tǒng)方程為則在的平衡點，其線性化方程的矩陣為目前九十頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點91特征方程為特征根為一對虛根，，對應臨界情況，它不代表原非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性。目前九十一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點92例

分析系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性。

2.線性化3.求線性化后的特征根4.由勞斯判據(jù)可知，系統(tǒng)的特征根全部具有負實部，系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處漸近穩(wěn)定。解：1.求系統(tǒng)的平衡狀態(tài)目前九十二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點93李雅普諾夫第一法的意義和貢獻在于它使線性化研究方法有了堅實可靠的理論基礎，從而使線性化研究方法在工程上成為現(xiàn)實可行的。目前九十三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點94線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析定理

線性定常離散系統(tǒng)的零平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣G陣的所有特征值的模全部位于根平面的單位圓內(nèi)，即目前九十四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點95例試確定系統(tǒng)在原點的穩(wěn)定性

G陣的所有特征值的模都小于1，加上系統(tǒng)只有一個平衡狀態(tài)，因此此離散系統(tǒng)在平衡點處是大范圍漸近穩(wěn)定的。解求離散系統(tǒng)的特征值目前九十五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點964.2.2李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法又稱李雅普諾夫直接法。運用此法可以在不求出狀態(tài)方程解的條件下，直接確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通常，求非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解是很困難的，所以直接法顯出更大的優(yōu)越性，它不但適用于任意階系統(tǒng)，而且是確定非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)穩(wěn)定性的更為一般的方法。目前九十六頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點971.李雅普諾夫第二法中的二次型函數(shù)在李雅普諾夫第二法理論分析中，用到了一類重要的標量函數(shù)，即二次型函數(shù)。1）二次型函數(shù)的定義及其表達式（1）二次型函數(shù)的定義代數(shù)式中常見的一種多項式函數(shù)為其中每項的次數(shù)都是二次的，這樣的多項式稱為二次齊次多項式或二次型。以上是對只含有兩個變量

目前九十七頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點98x和y的二次函數(shù)來說的；如果將變量個數(shù)擴展到n，仍具有相同的含義。定義4-8

設R是n維實空間，是它的一組基，x∈R，且則變量的二次齊次多項式稱為R內(nèi)關(guān)于基的一個二次齊次式或二次型。（4-41）

目前九十八頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點99由于多項式的同類項可以合并，在式（4-41）中，當i≠j時，與為同類項，合并后可再平分系數(shù)分項，整理成對稱系數(shù)，即例如

可見，任一二次型都可以整理成相應交叉項系數(shù)相等的對稱形式。目前九十九頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點100（2）二次型的矩陣表達式將二次型（4-41）式寫成（4-42）目前一百頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點101其中是由各項系數(shù)排成的一個n×n矩陣，稱為二次型（4-42）的矩陣。因為aij=aji，故A=AT為一對稱矩陣。顯然，二次型完全由矩陣確定。因此，二次型和它的矩陣是相互惟一決定的。矩陣的秩稱為二次型的秩。目前一百零一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點102例4-2

可見，任一二次型通過整理，都可以化成式（4-42）的矩陣形式，但它們代表一個標量函數(shù)。目前一百零二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點103（3）二次型的標準型

只含有平方項的二次型稱為二次型的標準型，如它是二次型中最簡單的一種形式。根據(jù)線性代數(shù)理論，二次型具有以下性質(zhì)：①二次型經(jīng)線性非奇異變換后變成另一個二次型，但它們的矩陣都是對稱矩陣，且秩相同。

目前一百零三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點104②任意一個二次型都可以經(jīng)過非奇異線性變換化成標準型，標準型的矩陣是對角陣。③二次型的標準型不是惟一的。④二次型函數(shù)（設是實對稱矩陣），必存在一個正交矩陣，通過變換目前一百零四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點105使之化為（4-43）

其中，—對稱陣的特征值，且均為實數(shù)。目前一百零五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點1062）標量函數(shù)的定號性設是歐氏狀態(tài)空間中非零向量，是向量的標量函數(shù)。(1)如果對所有在域中的非零向量，有，且在處有，則在域內(nèi)稱為正定的，即例如，正定。（4-44）

目前一百零六頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點107(2)如果標量函數(shù)除了在原點以及某些狀態(tài)處等于零外，在域內(nèi)其余狀態(tài)處都是正的，則稱為正半定的，即例如，正半定。(3)如果是正定的，則稱為負定的，即例如，負定。（4-45）

（4-46）

目前一百零七頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點108(4)如果是正半定的，則稱為負半定的，即（4-47）例如，負半定(5)如果在域內(nèi)，即可正也可負，則稱為不定的。例如，不定。目前一百零八頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點1093）二次型標量函數(shù)定號性判別準則對于為實對稱矩陣的二次型函數(shù)的定號性，可以用賽爾維斯特(Sylvester)準則來判定。（1）正定：二次型函數(shù)為正定的充要條件是，陣的所有各階首主子行列式均大于零，即（4-48）

目前一百零九頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點110（2）負定：二次型函數(shù)為負定的充要條件是陣的各階首主子行列式滿足，即（3）正半定：二次型函數(shù)為正半定的充要條件是陣的各階首主子行列式滿足目前一百一十頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點111（4）負半定：二次型函數(shù)為負半定的充要條件是陣各階首主子行列式滿足

（5）實對稱矩陣的定號性，由賽爾維斯特準則知，二次型的定號性由陣的主子式來判別，故定義陣的定號性與一致，則陣定號性的討論目前一百一十一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點112可代表定號性的討論。設二次型函數(shù)，則定義如下：當是正定的，稱是正定的，記為；當是負定的，稱是負定的，記為；當是正半定的，稱是正半定的，記為；當是負半定的，稱是負半定的，記為。目前一百一十二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點113例4-3

已知，試判定是否正定。解

陣的各階主子式為

所以是正定的。目前一百一十三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點1144）李雅普諾夫函數(shù)李氏第二法是從能量觀點出發(fā)得來的，它的基本思想是建立在古典的力學振動系統(tǒng)中一個直觀的物理事實上。如果系統(tǒng)的總能量（含動能和勢能）隨時間增長而連續(xù)地衰減，直到平衡狀態(tài)為止，那么振動系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)有一個漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，那么當它運動到平衡狀態(tài)的鄰域內(nèi)時，系統(tǒng)積蓄的能量隨時間的增長而衰減，直到平衡狀態(tài)處達到最小值。目前一百一十四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點115

若能找到一個完全描述上述過程的所謂能量函數(shù)，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題也就容易解決了?？墒牵捎谙到y(tǒng)的形式是多種多樣的，不能找到一種定義“能量函數(shù)”的統(tǒng)一形式和簡便方法。為了克服這一困難，李雅普諾夫引出了一個虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，這個函數(shù)具有能量的含義，但比能量更為一般，它有如下一些基本特征：

目前一百一十五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點116①能量函數(shù)一定是狀態(tài)變量的函數(shù)。因為狀態(tài)變量可以對系統(tǒng)的動態(tài)行為進行完全描述，因此能量函數(shù)也一定是狀態(tài)變量的函數(shù)。②是正定的③具有連續(xù)的一階偏導數(shù)。根據(jù)以上特征構(gòu)造一個正定的標量函數(shù)，作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，然后根據(jù)的符號特征來判斷平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。對于一個給定的系統(tǒng)，如果能找到一個正定的標量函數(shù)，直接利用及的符號特征判別出平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性，則這標量函數(shù)就稱為李雅普諾夫函數(shù)。目前一百一十六頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點1172.李雅普諾夫第二法

定理4-10

設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，其平衡狀態(tài)為。如果存在一個具有連續(xù)的一階偏導數(shù)的標量函數(shù)，在圍繞狀態(tài)空間原點的一個域內(nèi)，使得對于非零狀態(tài)和所有，滿足條件：①是正定且有界，②是負定且有界，則系統(tǒng)原點的平衡狀態(tài)在域內(nèi)是一致漸近穩(wěn)定的。

目前一百一十七頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點118如果對狀態(tài)空間中所有非零初始狀態(tài)滿足上述條件，且當時，有，則在原點處的平衡狀態(tài)是在大范圍一致漸近穩(wěn)定的。目前一百一十八頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點119定理的幾點解釋：（1）定理的物理意義：一個系統(tǒng)的自由運動過程，是因為其內(nèi)部儲存能量的緣故。例如，位移動能、旋轉(zhuǎn)動能、電能、磁能。李雅普諾夫函數(shù)實際上是參照了物理系統(tǒng)的一般能量函數(shù)形式而構(gòu)成的，它突出了兩個特點：一是物理系統(tǒng)儲存的能量顯然總是正值，即；二是若能量是在不停地消耗，則。當能量最終耗盡，此時系統(tǒng)又回到平衡狀態(tài)。此觀點明顯符合漸儲能元件電容C電感L質(zhì)量M轉(zhuǎn)動慣量J彈簧K能量方程Cu2/2Li2/2Mv2/2Jω2/2Kx2/2物理變量電壓u電流i速度v轉(zhuǎn)速ω長度變化x目前一百一十九頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點120近穩(wěn)定性的定義。（2）定義的幾何意義：設x是n維向量，若存在表征能量的函數(shù)，取一常值，顯然在狀態(tài)所處的維空間中圍成一個封閉的超曲面。當時，，于是這時的也使封閉超曲面擴展到整個狀態(tài)空間，而將的所有狀態(tài)均包含在內(nèi)。討論二維空間的情況，設李氏函數(shù)為二次標準型，則有目前一百二十頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點121若令，取一系列常值，則能量函數(shù)代表了不同能量的等值線，其幾何形狀為以原點為中心、以為半徑的同心圓族。越逼近圓心，半徑越小，代表的能量越小，當時，收斂于原點。當時，有，所以圓族可以擴展到整個狀態(tài)平面。若，表示隨著時間的推移，狀態(tài)軌線與等值線不斷相交，且從每個圓外向圓內(nèi)穿過，最后當時，收斂于原點，如圖4-6。目前一百二十一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點122圖4-6能量等值線族于點型軌線（3）該定理給出了漸近穩(wěn)定的充分條件，即如果能找到滿足定理條件的，則系統(tǒng)一定是一致漸近穩(wěn)定的。但如果找不到這樣的，也并不意味著系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，何況對于復雜的系統(tǒng)。要想找到一個李雅普諾夫函數(shù)可能是十分困難的。退一步說，即使能否定李氏函數(shù)的存在，也不能就此斷定系統(tǒng)目前一百二十二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點123不穩(wěn)定。（4）李雅普諾夫函數(shù)的存在形式并不是惟一的，其中最簡單的形式是二次型函數(shù)但在一般情況下，不一定都是這種簡單形式，只有線性系統(tǒng)才具有二次型的形式。（5）此定理的適用范圍十分廣泛，對于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)時變系統(tǒng)及定常系統(tǒng)都具有同等作用，是一個最基本的穩(wěn)定性判據(jù)定理。目前一百二十三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點124說明：

能量及能量的變化率表明，一旦系統(tǒng)因干擾偏離xe(x1≠0，x2≠0)，若系統(tǒng)具有正能量，將產(chǎn)生自由運動。若沿著狀態(tài)矢量的運動軌跡時，系統(tǒng)能量又具有負的變化速度。這意味著，隨時間增長，能量將不斷耗散，從而趨于能量最小的平衡狀態(tài)xe

，直至能量消耗殆盡，最后回到能量等于0的平衡狀態(tài)xe，因此系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。反之，如果在運動中，系統(tǒng)能量具有正的變化速度，系統(tǒng)將不斷從外界吸收能量，能量越來越大，肯定不穩(wěn)定。目前一百二十四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點125

李雅普諾夫第二法又稱直接法，從能量的觀點來研究物理系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。其基本思想是：系統(tǒng)所具有能量是狀態(tài)矢量x的標量函數(shù)。平衡狀態(tài)具有的能量最小。

對于一般系統(tǒng)，引入一個虛構(gòu)的能量函數(shù)，稱為李雅普諾夫函數(shù)，一般與狀態(tài)變量和時間有關(guān)V（x，t）；若不顯含t

，記為V（x）。

李氏第二法利用系統(tǒng)的能量函數(shù)V（x）和的正負去判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。二者均是x的標量函數(shù)。目前一百二十五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點126判據(jù)一

xe是平衡狀態(tài)，如果存在一個對t具有一階連續(xù)偏導數(shù)的標量函數(shù)V(x,t)且滿足以下條件

設系統(tǒng)狀態(tài)方程為此外，若||x||→∞，有V(x,t)→∞，則系統(tǒng)在xe處大范圍漸近穩(wěn)定。1）V(x,t)>0,正定；2） ,負定；則系統(tǒng)在xe處漸近穩(wěn)定。x1x2xe目前一百二十六頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點127例4-4a為正實數(shù)，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解：若應用李氏第一法：1.求系統(tǒng)的平衡狀態(tài)2.線性化3.求線性化后的特征根4.由于系統(tǒng)的特征根實部為0，系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處穩(wěn)定性無法判斷，只能用李氏第二法。目前一百二十七頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點128解二：用李氏第二法1）求平衡狀態(tài)2)選取V(x)為正定的二次型

由判據(jù)一可知,系統(tǒng)在0平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的；由于||x||→∞，有V(x,t)→∞，系統(tǒng)也是大范圍漸近穩(wěn)定。目前一百二十八頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點129例

給定線性時變系統(tǒng)，判定其原點xe=0是否是大范圍漸近穩(wěn)定。系統(tǒng)在原點處大范圍漸近穩(wěn)定。

t≥0解取正定矩陣則系統(tǒng)李亞普諾夫函數(shù)，及其對時間t的導數(shù)分別為目前一百二十九頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點130例

試確定離散系統(tǒng)在原點的穩(wěn)定性。由于離散系統(tǒng)不存在能量函數(shù)對時間的導數(shù)，而是代之以能量函數(shù)的增量解取正定實對稱矩陣P為則系統(tǒng)能量函數(shù)為系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的目前一百三十頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點131例4-5

設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

解方程為線性方程，寫成矩陣形式為

由于矩陣為非奇異常數(shù)矩陣，所以系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是惟一的，位于原點。現(xiàn)在也選目前一百三十一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點132取標準二次型為李氏函數(shù)，即按定理4-10要求，不能作為該系統(tǒng)的李氏函數(shù)，也就是說，應用這個來判別，由定理4-10得不出系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論。其原因在于要求是負定的，這就提出了一個問題：能否根據(jù)負半定的條件，直接判定系統(tǒng)穩(wěn)定性？李雅普諾夫給出定理4-11的形式。（正定）（負半定）

目前一百三十二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點133定理4-11

設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，假定平衡狀態(tài)，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)，在圍繞狀態(tài)空間原點的一個域內(nèi)，使得對于非零狀態(tài)和所有，滿足條件：①是正定且有界，②是負半定且有界，③對任意和所有，在時不恒等于零，則系統(tǒng)原點的平衡狀態(tài)在域內(nèi)是一致漸近穩(wěn)定的。

目前一百三十三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點134如果對狀態(tài)空間中所有非零初始狀態(tài)滿足上述條件，且當時，有，則在原點處的平衡狀態(tài)是在大范圍一致漸近穩(wěn)定的。定理4-11的證明從略。但強調(diào)說明如下。目前一百三十四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點135定理4-11中為什么附加了條件③就可以滿足漸近穩(wěn)定的要求呢？這是因為是描述能量函數(shù)的衰減變化速率的，系統(tǒng)若要穩(wěn)定，負的變化率就必須保持，直至衰減到0。若條件②只要求是負半定的，則在時，可能會出現(xiàn)，此時對應于有兩種可能的情況：（1）恒等于零，此時，表示能量保持常量不再變化，即意味著狀態(tài)運動軌跡保持在等值線上不會趨向原點。非線性系統(tǒng)中的極限環(huán)便屬于這種目前一百三十五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點136情況（二維相平面）。此時系統(tǒng)一定不是漸近穩(wěn)定的，見圖4-7（a）。圖4-7軌線相切于能量等值線目前一百三十六頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點137（2）不恒等于零，只在某個時刻暫時為零，而其它時刻均為負值。這表示能量的衰減不會終止，故狀態(tài)的運動軌線不會停留在某一定值上，必須要趨向于原點，所以系統(tǒng)一定是漸近穩(wěn)定的，見圖4-7（b）。按照定理4-11條件③討論例4-5中負半定的情況，即。當，即當時，會出現(xiàn)式中，*表示任意非零值。目前一百三十七頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點138由于此時有上式說明，由于的變化率不等于零，即的值不會停留在某一常值上，故中是暫時的［見圖4-7（b）中切點］，不會恒等于零。因此，也不會恒于零。按照定理4-11，系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。目前一百三十八頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點139例

分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為xe=02)選擇能量函數(shù)由判據(jù)二可知，系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。目前一百三十九頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點1403)考察在系統(tǒng)方程的非零狀態(tài)運動軌跡上是否恒為零。假設意味只有零平衡狀態(tài)才滿足。

與假設條件矛盾，故假設情況不會發(fā)生在方程的解運動軌跡上。因此，系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。目前一百四十頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點141

定理4-12

設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，假定平衡狀態(tài)，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)，滿足條件：

(1)是正定且有界，

(2)是負半定且有界，則系統(tǒng)原點的平衡狀態(tài)在域內(nèi)是李雅普諾夫意義下的一致穩(wěn)定。定理4-12的證明從略，但強調(diào)說明如下。

目前一百四十一頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點142由于定理包含了在某一值恒等于零的情況，其含義同定理4-11中的說明“（1）”，此時的，系統(tǒng)的能量不再變化，故系統(tǒng)的運動不會趨于原點，而保留在某個極限環(huán)上，處于穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)。故系統(tǒng)滿足李氏意義下的一致穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定。目前一百四十二頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點143例4-6

設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解顯然，原點為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選二次型正定函數(shù)為李氏函數(shù)，即可見，在任意給定的值上均保持為零。系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，但非漸近穩(wěn)定。

目前一百四十三頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點144

定理4-13

設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，且平衡點，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)。且滿足條件：①是正定的，②是正定的，則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。

目前一百四十四頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點145

定理4-13的證明從略，但強調(diào)說明如下:當存在是正定的，表示系統(tǒng)的能量在不斷增大，故系統(tǒng)的運動狀態(tài)必將發(fā)散至無窮大，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例4-7

設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。目前一百四十五頁\總數(shù)二百一十五頁\編于八點146解顯然，原點為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選二次型標量函數(shù)為可能的李氏函數(shù)，即