高等數(shù)學(xué)第五章定積分試題及答案

bnibbbbbcbbbbb第章一函定分bnibbbbbcbbbbb

證

因?yàn)?/p>

f()f(x)f()

，、定積分的定義：

a

f)dx

Jf()ia

i

由論f(x)(x)dxf(x)dx，結(jié)成.a性質(zhì)(基估不式設(shè)M別為函數(shù)在區(qū)間[,b]上最大值和最所謂函數(shù)

f()

在[a]

上可積是指極限

f(

lim

f()ii

i

存在

小，則

mb

f()dxM()而極限存在就必唯一且定義還可看出,這極限的存在與對(duì)區(qū)間[ab]

的

性質(zhì)(積中定)如果函數(shù)

f)

在間[,]

上續(xù)，則區(qū)間]劃分和點(diǎn)的法均無(wú)關(guān)。i

上少在點(diǎn)f(f(

()因此定積分分區(qū)間[a]

f()表的是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的存在是由被積函數(shù)fx)和a確定的（如曲邊梯形問(wèn)題積變量用那個(gè)字母來(lái)表示沒(méi)有

定：們稱(chēng)

1b

ba

f關(guān)系，即(x)(t)(aa積的幾何意義fx)且a<b時(shí)定分定義知()dx在a幾何上表示由曲線(xiàn)f(x)與線(xiàn)x=，=，x圍成曲邊梯形的面積.、積件

x2例題函數(shù)y=1、函定：果數(shù)f(x)

在間平均值為多少2在間[]上續(xù)，則函數(shù)

f

，就是定理若

f()

在[a,]

上連續(xù)，則

f()

在[a]

上可積

數(shù)

f()

在[]

上一原數(shù)。這個(gè)結(jié)論與不定積分的存在性完全一致，但定積分時(shí)可積的條件還可放寬為

、頓—布茲式定理

若

f()

在[]

上有界只有有限多間斷點(diǎn)

f()

在[,b]

上

定理若函數(shù)

F(x

是續(xù)數(shù)

f)

在間[b]的一個(gè)原函數(shù)，則可積

定理3單調(diào)且有界

ba

f(xdx

F()(a)

、定積分的性質(zhì)：

一、計(jì)定積分

[(x)(x)]A

f(x)B

(x)dx

一方法積分間加)設(shè)

有a

f(dx()dx(xdxac

特方法常數(shù)積)若

f(

(常數(shù))則a

f(x)()

（）I＝

f（）dxf（）f（cosx）

（f連續(xù)函數(shù)

，f（sinx）＋f）0保號(hào))若在區(qū)間[a,]上f()，(dxa推論1(保性)若在區(qū)間[b]上()()f(x)a推論(絕值質(zhì))(x)(x[ab].aa

ba

(x)

解）x＝－t則2f（cost）I＝，＝dt＝，I＝0f）＋fsint）241

f()[0,]x223Iln(sin)dxxdxln(sin)dx3sinxdxdxf(dxdxdxdxxdtdxdf()[0,]x223Iln(sin)dxxdxln(sin)dx3sinxdxdxf(dxdxdxdxxdtdxdaf)a2ln(sin2xdxln()ln(sin2xI)dx2Iln()IIln422（2I＝

解：令x＝

4

－t

，則

8

x20

2x

5－tant2Ilndt＝ln＝ln2－I，0＋tant＋tant4＝ln2，I＝ln248）設(shè)在R內(nèi)足f(x)f(xsin且x)求f)dx

（5）設(shè)在上連續(xù)，證明結(jié)計(jì)算ln(sinx)解設(shè)xsinI0

f(sinx)dx，用此t)

3

f)

f()dx

3

f(x)

所以I

t)I

f(sin)dt

，

所上成立。設(shè)xfx)dx(t因?yàn)閒(x)(x，以ftftsintf(x)(t(t)sin)dtsint)00設(shè)x，f(x)(t)

根已明式：x)dxln(sinx)dx020設(shè)ln(sin)dxt)d2220

ln(sint20f(tdt200所以(x)(sint)dt設(shè)數(shù)fx為,]連續(xù)的偶函數(shù)。求證：af)ae，并利用結(jié)果計(jì)算211xaf()0f())1x0f()0(t)f(t)設(shè)，1a1t所以dxf(dx成1

所以Iln(sin)dxln(sindx2設(shè)，以證明：xln(cos200所：Ix)ln(cosx)dx22022設(shè)2x，x)dxln(sin)dt201因?yàn)?，，?022（2）當(dāng)已經(jīng)證明Idx，還可以用另一種方法來(lái)證明：14xdx24xdxx1022xdxx24

4xdx22xdx0

I設(shè)2I

x)ln(sinx)ln(sindx4，ln(sin)dxt)4ln(sinln(cosx)

2

x積分區(qū)間為的，令；積分區(qū)間為，令f)dxft)dtf)x//////x積分區(qū)間為的，令；積分區(qū)間為，令f)dxft)dtf)x////////////－sinxdx＋21////后面思路同上，一樣可以得出：Iln思路提：過(guò)變量代換把原積分分解成可抵消或易積分的若干個(gè)積分一般講，積分區(qū)間為對(duì)稱(chēng)的x=-u積分區(qū)間為2244二、分函的積,x02fx)求,x1解：f)2ln20

，

全體數(shù)為函若(x為函0一的個(gè)函為若(x為函證：續(xù)偶數(shù)且有一個(gè)原函數(shù)是奇數(shù)。若數(shù)f原函數(shù)表示為：00有函數(shù)例：1.若，-(-,0)內(nèi)f//(x)<0，

1

則f(x)在(

)內(nèi)

Af(x)>0,f(x)<0Bf(x)>0解：

20

－

＝

－cosx

＝

20

sinx－

Cf(x)<0,f(x)<0Df(x)>0,f(x)>0設(shè)在-可，則cosxdxcosx40442f(x)求fx解：x2(xf24e2三、原數(shù)導(dǎo)的偶。fx)是奇數(shù)f是函，f(x)是偶數(shù)是奇數(shù)f是連的函，則()是偶數(shù)f是連的函，

A當(dāng)f(x)為單調(diào)函數(shù)時(shí)f(x)一定為單調(diào)函數(shù)。B當(dāng)為單調(diào)函數(shù)時(shí)，f一為單調(diào)函數(shù)C當(dāng)f(x)偶函數(shù)時(shí)一為奇函數(shù)D當(dāng)f(x)奇函數(shù)時(shí)f(x)定為偶函數(shù)設(shè)f)是函數(shù)，除，處處連續(xù)，x0其第一類(lèi)間斷點(diǎn)，則（A連續(xù)的奇函數(shù)（B）連續(xù)的偶函數(shù)（C）在=0間的奇函數(shù)（D在=0間的偶函數(shù)設(shè)數(shù)f,+)內(nèi)連續(xù)的單調(diào)增加的奇函數(shù)，f)

是奇函與數(shù)和

F(x)=

t)

則

因?yàn)?/p>

ft)

表示

f()

的一個(gè)續(xù)原數(shù)所

f()

是奇函，

A單調(diào)增加的非奇非偶函數(shù)

B單調(diào)減少的非奇非偶函數(shù)

C單增加的奇函數(shù)

D單減少的奇函數(shù)

f(t)

是偶函，

f()

是偶函，

f(t)

是奇函。

解：

，設(shè)

x設(shè)

f()在

上連續(xù)，則

uf0

3

fux是偶函數(shù)，Tf(t)fux是偶函數(shù)，Tf(t)f(t)dtf(t)f022TT1T

f

是奇函數(shù)，

x

f

奇函數(shù)

也以為期的

A

ft)

B

f(t)dt因?yàn)?/p>

以

C

f(t)

－

f(t)

D

ft)＋

f(t)dt

f

解A

ft)dt

f(t)dt(tdt因?yàn)?/p>

0ffx，因?yàn)閒x

是單調(diào)增加的函數(shù)，

B

f(t)

f(t)

f(tdt

ft)dt所以

F

f(t)

ft)dt

t)

T

f四、原數(shù)導(dǎo)數(shù)周性f)是以T為期可函，f定域也以T為周的數(shù)證明：因?yàn)閒()是期函數(shù)，設(shè)其周期是T則對(duì)一切恒f)導(dǎo)，有：

0設(shè)是以T為期的可微函數(shù)，則在下列函數(shù)中以為期的函數(shù)是：A(t)dtB(t)dtf'(t)]2Dt)f(t)dt00解：22f

f

也一定周函。

已

()

e

t

tdt

，明

(x)

恒于。

f

是連續(xù)期數(shù)則函

f()

必為周函和性數(shù)和。

解：

F

e

t

sintdt

e

t

d

dt

f()

是可積以T為期的數(shù)原數(shù)

ft)

也是以T為期

co

te

in

0

函數(shù)的要件)0(t)t)dt(t)dt

f

(t0

f

設(shè)f)以T為期的連續(xù)函數(shù)證：(t)dt可以表示成一個(gè)以為周的續(xù)數(shù)與Kx之，并求出常數(shù)K。解：(t)dtK，使可。例題1.設(shè)a為任常數(shù)明f解：fa0T設(shè)x，fT0f個(gè)周期區(qū)間上的積分值相等。

若使

Kxf函，只要K結(jié)論T方法2所以，以

若使(t)所可結(jié)，

為期數(shù)則須，即(t)dt以為期的函數(shù)的充要條件是

f()0設(shè)數(shù)f（x）是在（－

）上以T為期的連續(xù)函數(shù)，則下列函數(shù)中

4

ta10a12132cos-xdx4-xdx4dx4xeeeef()xta10a12132cos-xdx4-xdx4dx4xeeeef()xf()dxlsinldxlxdxdx0若()為偶函數(shù)，則有f()dx2f()0

；

解因?yàn)闉楹瘮?shù)，且f-0

12若f(x)為函數(shù)，則有f()=0.例題1.積分(dx解：原式＝dx4x2dxx，分等于半圓面積。cos4-xdx-22x12解：-22-22tanx設(shè)M＝4(x)dx,sinx-14-4＝4x-e-xcosx)dx則-AP>N>MBN>M>PDtanx解：M4(4dx48dx2xdx-x--0Nxln(xxxdx8x--設(shè)1，f，ftanxdxdx-因?yàn)閤tanx所以8xx設(shè)f(x)為函數(shù)，且F(x)=，則

a00設(shè)續(xù)函數(shù)f)dx，(x)dx1解令()＝A，f）＝lnx－A，兩從1到行積分，得(x)xdxi＝xlnx－）－A（－）于是A－（－）A（－11e1＝1，A＝，＝eef(x),fx12x解設(shè)lf()sin，所f(xcos2xxx兩同積：2xsin1cos2x根公：0sinxldxdx2dx212102x2f()coscos2A

12

-

0

-f(x)dx

B

-1-

f(x)dx

設(shè)

f)，(x)在

上續(xù)，

g(x)

為函，

f)f(

=AC5

x00a1xysinarctanedxsinsinxdxx1sintu0t2vddx/xx0d)x00a1xysinarctanedxsinsinxdxx1sintu0t2vddx/xx0d))dxx

f(x)xdx

g(x

定理如函數(shù)f(x)在限的函數(shù)

(x)

f(t)dt0（2計(jì)算xx解）(x)g()dx0fxg(x)dx00xx（）(arctanx)，e)x1x1xe)，earctane

就是f)在一個(gè)函數(shù)。定理：若f()在ft)在定理4注意奇偶函數(shù)或周期函數(shù)f(x)的限積分(t)的奇偶性與周期問(wèn)。設(shè)程et2dt定y是x的函數(shù)，則＝dx解：原式=costdtycosxe當(dāng)x0時(shí)，arctan1，所以2220六、積上限的數(shù)定理1若數(shù)f(x在[b]連續(xù)，則積分上限的函數(shù))dt

y=,中t=t(x)由解：ttdtdx1t，

xcos2dy(0<v<所確定，求。t2dxdtcosvtt在[,]上可微，且()tf()，xb].a積分上限的函數(shù)與分段函數(shù)有點(diǎn)類(lèi)似，是一個(gè)難點(diǎn)，從而也是一個(gè)考試

xv2sinvt設(shè)函數(shù)f(x)在

1xt，后結(jié)果t代。2內(nèi)f(x)>0，且f(x)連續(xù)，又的熱點(diǎn)，它常與極限、求導(dǎo)、最值等知識(shí)結(jié)合出現(xiàn)形成綜合性的題目，應(yīng)與重視，里我們積分上的函求導(dǎo)拓一下。（1若x)可導(dǎo)，則(x)與分上限函數(shù)構(gòu)成了復(fù)合函數(shù)

F(x)

tf(t)dt,x0f(x-x

（求

(0)

（證在

內(nèi)

ft)dt，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知(t))]a（2若F21

解：0設(shè)，

lim0xx0f

f6

a1x02xf()kffxtf2xdtlim32x2x22xlimlimlima1x02xf()kffxtf2xdtlim32x2x22xlimlimlimx2(1xadtxt(2aax

(0)

tff

lim

xfxf

lim0

ff

＝設(shè)

()＝－de＝2f

12

ea

xf當(dāng)時(shí)，F(xiàn)000因?yàn)?x，設(shè)f（x有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且limFx）＝(t)dt，0x0當(dāng)x0時(shí)F/與x是階無(wú)窮小，則k＝

求解已知ggff因?yàn)閒以解：

0

f()

a0，f

f

設(shè)fx）連續(xù)，且

tf

=

12

arctanx

，（），求

f(x

x

ft)

f

f

解令u＝－t則

x

duF2flim0k0x所以設(shè)t2dt，0

2ftt)dtx0時(shí)，

2x＝2xf）du－du已知等式兩邊對(duì)