導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用-2021年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)含真題及解析

專題09導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)30生活中的最優(yōu)化問(wèn)題

1.（2017全國(guó)卷1理16）如圖，圓形紙片的圓心為。，半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為

O.D,E,尸為圓。上的點(diǎn)，△DBC,△EC4,△次8分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛

線剪開(kāi)后，分別以BC,CA,AB為折痕折起△OBC,△ECA△"B,使得￡>,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)

△A8C的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cn?）的最大值為.

2.（2020江蘇17）某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底。在水平線MN

上，橋AB與MN平行，。0'為鉛垂線（。在A8上）.經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線A。上任一點(diǎn)。到的距離

%（米）與。到。。'的距離。（米）之間滿足關(guān)系式九右側(cè)曲線8。上任一點(diǎn)E到MN的距離

以（米）與尸到。。'的距離b（米）之間滿足關(guān)系式兒=-——k^+hb.己知點(diǎn)B到。。'的距離為40米.

800

（1）求橋AB的長(zhǎng)度；

（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于。。的橋墩CO和且CE為80米，其中C,E在上（不包括

3

端點(diǎn)）.橋墩瓦'每米造價(jià)k（萬(wàn)元），橋墩CD每米造價(jià)（萬(wàn)元）（&>（））,

2

問(wèn)。'E為多少米時(shí)，橋墩CO與所的總造價(jià)最低？

ACO'EB

MDiON

考點(diǎn)31利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題與探索性問(wèn)題

1.(2019天津理8)已知aeR,設(shè)函數(shù)/(x)=/-2""+2"‘尤"1,若關(guān)于》的不等式了(了)之。在R上

x-a\nx,x>1

恒成立，則a的取值范圍為

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[l,e]

2.(2014遼寧)當(dāng)XG[—2,1]時(shí)，不等式?3-/+4》+320恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

_9

A.[—5,—3]B.[—6,—]C.[—6,-2]D.[—4,—3]

8

3.(2020全國(guó)I理21)已知函數(shù)〃x)=e'+ac2-X.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x20時(shí)，f>—x3+1,求q的取值范圍.

4.(2020全國(guó)H文21)已知函數(shù)〃x)=21nx+l.

(1)若/(x)K2x+c,求c,的取值范圍；

(2)設(shè)〃>0,討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.

x-a

5.(2020山東21)已知函數(shù)J'(x)=ae*T-Inx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若/(x)21,求a的取值范圍.

6.(2019全國(guó)I文20)已知函數(shù)/(x)=2sinx—jrcosx-x,f(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：f(x)在區(qū)間(0,7T)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若xe[0,利時(shí)，f(x)>ax,求a的取值范圍.

7.(2017新課標(biāo)I文21)已知函數(shù)/(幻=/(/一。)一/%.

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

⑵若/(x)20,求。的取值范圍.

8.(2017新課標(biāo)H)設(shè)函數(shù)f(x)=(l—X2)".

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x20時(shí)，/(x)Wax+l,求a的取值范圍.

9.(2017全國(guó)卷3理21)已知函數(shù)/(x)=x-l—alnx.

(1)若/(x)>0,求a的值；

(2)設(shè)機(jī)為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)〃，H++(1+!)<機(jī)，求〃?的最小值.

10.(2016年全國(guó)H文21)已知函數(shù)/年)=(x+l)lnx—a(x—l).

(I)當(dāng)。=4時(shí)，求曲線y=/(X)在(1,/⑴)處的切線方程；

(11)若當(dāng)%€(1,+8)時(shí)，f(x)>0,求a的取值范圍.

11.(2015新課標(biāo)U理21)設(shè)函數(shù)/(x)=e'"+f.

(I)證明：/(x)在(-oo,0)單調(diào)遞減，在(0,+oo)單調(diào)遞增；

(11)若對(duì)于任意再，x2e[-l,l],都有|/(西)一/(與)1We-l,求機(jī)的取值范圍.

12.(2013全國(guó)卷1理21)已知函數(shù)/(%)=/+必+。，g(x)=e'(cx+d),若曲線y=/(x)和曲線

y=g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2

(I)求。，b,c,d的值

(H)若％》一2時(shí)，/(x)WZg(x),求〃的取值范圍.

13.(2012全國(guó)課標(biāo)文21)設(shè)函數(shù)4x)=e'-"-2

(I)求式x)的單調(diào)區(qū)間

(II)若a=l,%為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x—k)f\x)+x+1>0,求&的最大值

nInxh

14.(2011全國(guó)課標(biāo)理21)已知函數(shù)/(x)=——+-,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程為

x+1x

x+2y—3—0.t

(I)求a,b的值；

Inv-k

(H)如果當(dāng)工>0,且xwl時(shí)，/。)>以+士，求女的取值范圍.

x-1X

15.(2019全國(guó)in理20)已知函數(shù)/(x)=2d-?2+Z，.

(1)討論/*)的單調(diào)性；

(2)是否存在6,使得/(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為-1且最大值為1?若存在，求出a功的所有值;

若不存在，說(shuō)明理由.

16.(2019浙江22)已知實(shí)數(shù)a70,設(shè)函數(shù)/(x)=alnx+?TT,x>0.

(1)當(dāng)a=—(時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)對(duì)任意XG［4，+8)均有/(X)4正，求。的取值范圍.

考點(diǎn)32利用導(dǎo)數(shù)解、證不等式問(wèn)題

1.(2020全國(guó)II理21)已知函數(shù)/(x)=sin2xsin2xr..

(1)討論在區(qū)間(0,4)的單調(diào)性；

(2)證明：攣;

O

(3)設(shè)〃eN”,證明：sin2xsin22xsin24xsin22nx<

2.(2020全國(guó)III理21)設(shè)〃x)=d+區(qū)+C,X￡R,曲線/(x)在點(diǎn)一J—處的切線與y軸垂直.

(1)求b；

(2)若/(X)有一個(gè)絕對(duì)值不大于I的零點(diǎn)，證明：/(X)的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

3.(2020江蘇19)已知關(guān)于x的函數(shù)y=/(x),y=g(x)與〃(x)=依+。(k,bwR)在區(qū)間。上恒

有f(x)>h(x)>g(x).

(1)若/(%)=%2+2%，g(x)=—d+2x,D=(―oo,+oo),求〃(x)的表達(dá)式；

(2)若/.(尤)=f-x+1,g(x)=Zlnx,h(x)-kx-k,￡)=(0,+8),求％的取值范圍.；

(3)若/(尤)=尤4-2%2,g(x)=4%2—8,h(x)=4(r3-t)x-3t4+2r(0<\t\<V2),

D-[m,n](Z[—V2,\/2],求證：n-m<V?.

4.(2020天津20)已知函數(shù)/(xQV+ZlnMtwR),/'(x)為f。)的導(dǎo)函數(shù).

(I)當(dāng)k=6時(shí)，

(i)求曲線y=/(X)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

9

(ii)求函數(shù)g(x)="x)-/(x)+一的單調(diào)區(qū)間和極值；

X

(II)當(dāng)丘..一3時(shí)，求證：對(duì)任意的％,且看〉X,,有/(，)+/(毛)〉,(，)二/八).

2-x2

5.(2020浙江22)已知l<a?2,函數(shù)/(x)=e*-x-a,其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(I)證明：函數(shù)y=/(x)在(。，+8)上有唯一零點(diǎn)；

(II)記X0為函數(shù)y=〃x)在(0，+8)上的零點(diǎn)，證明：

(i)<a-l<AQ<J2(4-1)；

(ii)與了(e")>(e-1)(?—1)?.

6.(2015新課標(biāo)I理12)設(shè)函數(shù)/(x)=d(2x-l)-辦+Q,其中。<1,若存在唯一的整數(shù)修，使得

/(毛)<0,則。的取值范圍是

r3r33\「33、r3八

A-F，DB.Fq)C,D.[-,1)

7.(2015新課標(biāo)II理12)設(shè)函數(shù)((x)是奇函數(shù)/(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，/(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí)，

xf\x)-/(x)<0,則使得/(x)>0成立的龍的取值范圍是

A.(-oo,—l)(0,1)B.(―1,0)(l,+oo)

C.(f-1)(-1,0)D.(0,1)(1,同

8.(2018全國(guó)卷3理21)已知函數(shù)〃x)=(2+x+or2)[n(l+x)-2x.

(1)若a=0,證明：當(dāng)T<x<0時(shí)，/(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0；

(2)若x=0是外力的極大值點(diǎn)，求a.

丫一IY_1

9.(2018全國(guó)卷3文21)已知函數(shù)/(x)=-------

eJ

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程；

(2)證明：當(dāng)時(shí)，/(x)+e>0.

10.(2018全國(guó)卷1理21)已知函數(shù)/(x)=--x+alnx.

x

(1)討論“X)的單調(diào)性；

(2)若/(%)存在兩個(gè)極值點(diǎn)不泡，證明：—

玉—x2

11.(2018全國(guó)卷1文21)已知函數(shù)/(x)=ae'—lnx-l.

(1)設(shè)x=2是〃x)的極值點(diǎn)，求并求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)時(shí)，/(x)>0.

e

12.(2017新課標(biāo)n理21)已知函數(shù)/(幻=如2-這一xinx,且/(x)N0.

⑴求a；

(2)證明：/(x)存在唯一的極大值點(diǎn)天,且/</(_/)<29.

13.(2017新課標(biāo)HI文21)已知函數(shù)/(x)=lnx+a?+(2a+i)x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

3

(2)當(dāng)a<0時(shí)，證明f(x)W-二一2.

14.(2016年全國(guó)HI卷)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-x+l.

(I)討論的單調(diào)性；

(II)證明當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，1<---<x；

Inx

(IH)設(shè)C>1,證明當(dāng)X￡((),l)時(shí)，l+(c-l)x>c“.

15.(2015全國(guó)1文21)設(shè)函數(shù)/(x)=e2r-alnx.

(I)討論的導(dǎo)函數(shù)r(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

2

(II)證明：當(dāng)。>0時(shí)/(x)22a+Qln_.

bex~x

16.(2013全國(guó)卷1理12)設(shè)函數(shù)/(x)=ae'lnx+——,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴處的切線為

x

y=e(x-l)+2.

(I)求。求；

(II)證明：/(x)>1.

17.(2013全國(guó)卷2理21)已知函數(shù)=—ln(x+〃]).

(I)設(shè)工二0是/(x)的極值點(diǎn)，求相，并討論了(x)的單調(diào)性;

(11)當(dāng)〃2W2時(shí)，證明：/(x)>0.

n]nxh

18.(2011全國(guó)課標(biāo)文21)已知函數(shù)/(x)=——+—，曲線)，=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程為

X+1X

x+2y—3—0.

(I)求a,b的值；

|nr

(II)證明：當(dāng)工>0,且光W1時(shí)，f(x)>——.

x-1

19.(2010全國(guó)課標(biāo)文21)設(shè)函數(shù)/(x)=x(e'—l)—ax2.

(I)若。=；，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若％20時(shí)20”求。的取值范圍

20.(2016年四川)設(shè)函數(shù)/(為=方？一。一Inx,其中aeR.

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(II)確定a的所有可能取值，使得/(x)>L—ei在區(qū)間(l,+oo)內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的

x

底數(shù)).

21.(2015山東)設(shè)函數(shù)/(%)=如(兀+1)+。(爐—)),其中ae/?.

(I)討論函數(shù)/(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由：

(II)若X/x>0,/(x)N0成立，求a的取值范圍.

考點(diǎn)33利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

1.(2020全國(guó)I文20)已知函數(shù)/(x)=e*-a(x+2).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

2.(2020全國(guó)in文20)已知函數(shù)/(x)=d

(1)討論/(x)的單調(diào)性：

(2)若/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍.

3.(2017全國(guó)卷3,理11)已知函數(shù)./1食)=%2一2%+。(61+0-*+|)有唯一零點(diǎn)，貝ija=()

111

A.---B.—C.-D.1

232

4.(2014卷1理11)已知函數(shù)/。)=以3-3/+1,若/(x)存在唯一的零點(diǎn)后,且%>0,則。的取值

范圍為()

A.(2,+8)B.(-8,_2)C.(1,+8)D.(-8,-1)

5.(2019全國(guó)I理20)已知函數(shù)“x)=sinx-ln(l+x),f'(x)?為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明:

TT

(1)r(x)在區(qū)間(—1,5)存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)/(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

X+]

6.(2019全國(guó)n理20)已知函數(shù)/(x)=ln尤-----.

X-1

(1)討論/U)的單調(diào)性，并證明7U)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)設(shè)沏是/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線產(chǎn)Inx在點(diǎn)A(x(),Inxo)處的切線也是曲線y=e]的切線.

7.(2018全國(guó)卷2理21)已知函數(shù),"X)=e"-奴？.

(1)若。=1,證明：當(dāng)工20時(shí)，/W>I；

(2)若f(x)在(0,+s)只有一個(gè)零點(diǎn)，求

8.(2018全國(guó)卷2文21)已知函數(shù)/(xbgx*-。任+x+l).

(1)若。=3,求/(?的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：/(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

9.(2017全國(guó)課標(biāo)1理21)已知函數(shù)f(x)=ae2*+(a-2)e*-x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(幻有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

10.(2016年全國(guó)I理21)已知函數(shù)/(幻=(%-2)/+。(％-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(I)求a的取值范圍：

(ID設(shè)為，毛是/(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：X,+X2<2.

11.(2016年全國(guó)I文21)已知函數(shù)f(x)=(x-2)e2+a(x-l)2.

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(II)若/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

12.(2015新課標(biāo)I理21)已知函數(shù)/.(x)=d+or+L,g(x)=-lnx.

4

(I)當(dāng)。為何值時(shí)，x軸為曲線y=/(x)的切線；

(II)用min{〃?,“}表示根，〃中的最小值，設(shè)函數(shù)〃(x)=min{/(x),g(x)}

(x＞0),討論力(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

13.(2014全國(guó)卷2文21)已知函數(shù)=-3x2+OX+2,曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與％軸

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.

(I)求Q；

(H)證明：當(dāng)左＜1時(shí)，曲線y=/(x)與直線y=米一2只有一個(gè)交點(diǎn).

14.(2019全國(guó)II文21)已知函數(shù)/(x)=(x-l)lnx-x-l.證明:

(1)存在唯一的極值點(diǎn)；

(2)/(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).

15.(2016年山東汜知/(x)=a(x-lnx)+——,aeR.

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(II)當(dāng)a=l時(shí)，證明/(幻＞/。)+萬(wàn)對(duì)于任意的xe[l,2]成立.

解析附后

專題09導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

十年試題分類*探求規(guī)律

考點(diǎn)30生活中的最優(yōu)化問(wèn)題

1.【答案】4至

【解析】如下圖，連接DO交BC于點(diǎn)G,設(shè)Q,E,尸重合于S點(diǎn)，正三角形的邊長(zhǎng)為x(x>0),則

”1百出

OG=一義——x=——x.

326

設(shè)〃(x)=5x，—用■/,x>0,則=20.-5f/,

令〃'(x)=0,B|J4X3-^==0,得x=46，易知”(x)在x=4^處取得最大值.

匕”=2^x48x75-4=4715.

max]2'Y

2.【答案】(1)橋AB的長(zhǎng)度為120米；(2)?！隇?0米時(shí)，橋墩CO與所的總造價(jià)最低.

【解析】(1)過(guò)A,8分別作MN的垂線，垂足為A,B',則

A4Z=BB'=-一—x403+6x40=160.

800

1,

令一/=160,得a=80,.?.AO'=80,AB=AO'+BO'=80+40=120.

40

0<A,<40

(2)設(shè)O'E=x,貝iJCO'=80-x,由<，**得0<x<40.

0<80-x<80

總造價(jià)y=g[160—2(80-X)2]+A:[160-(-^X3+6X)]=白(/—30x2+160x800)

k

y'=—(3x2-60x)=-x(x—20),?.”〉()，.?.令y'=0,得x=0或20,

800800

...當(dāng)o<尤<20時(shí)，y<o,y單調(diào)遞減；

當(dāng)20<x<40時(shí)，y>0,>單調(diào)遞增，.?.當(dāng)x=20時(shí)，y取最小值，造價(jià)最低.

考點(diǎn)31利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題與探索性問(wèn)題

1.【解析】當(dāng)x=l時(shí)，/(1)=1一2。+2a=1>()恒成立；

v-2

當(dāng)尤<1時(shí)，/(x)=x2-2ax+2affiO<=>2a----恒成立,

X1

X2x2(1—x—1)(1—x)—2(1-九)+1

令g(x)=

x-11-x

一(17)+占0,

所以2a...g(x)=0,即Q〉0.

°\/max

當(dāng)x〉1時(shí)，/(%)=x-qlnx屋00a上恒成立,

Inx

\nx-x--

令〃(無(wú))==^,則//(X)XInX-1

Inx(inx)2(inx)2

當(dāng)x>e時(shí)，人(%)遞增，當(dāng)1cx<e時(shí)，”㈤vO,/z(x)遞減，

所以當(dāng)x=e時(shí)，力(力取得最小值〃(e)=e.

所以anh(x\.=e.

綜上，a的取值范圍是[0,e].

2.【答案】C

【解析】當(dāng)xe(O,l]時(shí)，得4三一3(4)3-4(工)2+1，令f=L,則/e[l,+oo),

XXXX

a^-3t3-4t2+t,令g(，)=一3-一4"+r,re[l,+oo),

則/(%)=—9/一8f+l=T>+l)(9-l),顯然在[1,+8)上，g'(/)<0,

g⑺單調(diào)遞減，所以g?)11m=g6=-6,因此a?-6；

同理，當(dāng)xe[—2,0)時(shí)，得aW—2.由以上兩種情況得一6WaW—2.

顯然當(dāng)x=0時(shí)也成立，故實(shí)數(shù)。的取值范圍為[-6,-2].

3.【答案】(1)當(dāng)x€(e,O)時(shí)，,f(x)<OJ(x)單調(diào)遞減，當(dāng)XG(O,+?)時(shí)，/(x)>OJ(x)單調(diào)遞

一7-3

增；⑵-----,+00

4

【思路導(dǎo)引】(1)由題意首先對(duì)函數(shù)：次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；

(2)首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定

實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)°=1時(shí)，f(x)=e'+x2-x,/'(x)=e*+2x-l,

由于尸'(￡)="+2>。，故/'(X)單調(diào)遞增，注意到廣(0)=0,故：

當(dāng)時(shí),尸(x)<0J(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x?(),48)時(shí)，尸(x)>0,〃x)單調(diào)遞增.

(2)由/(x)N/X，+1得，+ax"—x...—x^+\,其中xNO,

①.當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：121,顯然成立，符合題意；

②.當(dāng)x>0時(shí)，分離參數(shù)a得，e2“x.

a…------------------------

廣

記g(x)=一

令/?(x)=e*-gx2一x一1(龍20),貝=/z"(x)=et-l>0,

故〃'(x)單調(diào)遞增，”(x)N"(O)=O,故函數(shù)%(x)單調(diào)遞增，〃(x)2〃(O)=O,

由/2(x)20可得：,一3/7-1..0恒成立，故當(dāng)xe(O,2)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增：

當(dāng)x?2,+o。)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

1-r1-e1「7-02、

因此，上(6]M=g(2)=綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是——,+00.

max4L4,

4.【答案】(1)di；(2)g。)在區(qū)間?；煤?+8)上單調(diào)遞減，沒(méi)有遞增區(qū)間.

【思路導(dǎo)引】(1)不等式/(x)〈2x+c轉(zhuǎn)化為/(x)-2x-cW0,構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最

大值，進(jìn)而進(jìn)行求解即可；

(2)對(duì)函數(shù)g(X)求導(dǎo)，把導(dǎo)函數(shù)g'(x)的分子構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)m(x),再求導(dǎo)得到加(x),根據(jù)加(x)的正

負(fù)，判斷皿X)的單調(diào)性，進(jìn)而確定g1x)的正負(fù)性，最后求出函數(shù)g(x)的單調(diào)性.

【解析】(1)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椋?0,+8),

/(%)K2x+c=/(%)-2x—c<0=>21nx+l-2x-c<0(*),

設(shè)h(x)=2Inx+1-2x-c(x>0),則有h'(x)=--2=型=2,

XX

當(dāng)尤>1時(shí)，〃'(x)<0,/i(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0cx<1時(shí)，〃'(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增，，"當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)版x)

有最大值，即〃(x)n.x=/?(l)=21nl+l—2xl—c=-1—C,要想不等式(*)在(0,+8)上恒成立，只需

%(X)M<0=—l-cW0=cN—l.

(2總(幻=2-+1-(2*-1)=2(1-。%>0且.人因此8,。)=2(』一.但幻聞,

x-ax-ax{x-a)

設(shè)加(x)=2(x-a-xlnx+xlna),則有加'(x)=2(lna-Inx),

當(dāng)x>a時(shí)，lnx>lna,；./n'(x)<0,加(x)單調(diào)遞減，因此有機(jī)(x)<，〃(a)=0,即

g'(x)<0,.?.g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)0cx<a時(shí)，lnx<Ina,.,.癡(x)>0,皿尤)單調(diào)遞增，因此有m(x)<m{d)=0,即g'(*0,g(尤)

單調(diào)遞減，.?.函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,a)和(a,+8)上單調(diào)遞減,沒(méi)有遞增區(qū)間.

2

5.【答案】(1)eT(2)U，K°)

【思路導(dǎo)引】(1)先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，求出與坐標(biāo)軸交

點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；

（2）先二次求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化情況，求出函數(shù)最小值，再根據(jù)基本不等式求最小值的最小值，最

后根據(jù)不等式恒成立列不等式，解得結(jié)果.

【解析】(1)Qf(x)=e'-Inx+1f'(x)=ex--:.k^=e-1.

Q/(l)=e+L..切線方程為y—e-1=(e-D(x—1)，二與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,2),(二,0),

e-1

1-22

因此所求三角形面積為一x2x|——仁——.

2e-le-1

(2)Qf(x)=aex~'-Inx+In?.f'(x)=aex~'a>Q,設(shè)g(x)=/'(x),

x

Qg'(x)=aei+1>0,/.g(x)在(0,+a))上單調(diào)遞增,即f'(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

X{1

當(dāng)a=1時(shí)，x0=1使得)=ae'----=0,

當(dāng)時(shí)，1<1,<1=a(eT'-1)(?-1)<0，

1i-i1A-1

當(dāng)0<a<l時(shí)，一>l,e“>1:./'(一)/'(l)=a(e"-l)(a-l)<0,

因此存在唯一無(wú)o>O，使得了'(x())=ae"T---=0,.,.ae"=—』na+Xo-l=-lnXo,

當(dāng)xe(0,/)時(shí)/'(x)<0,當(dāng)xe(/,+℃)時(shí)f'(x)>0,

x()]

因此/(x)niin=/(x0)=ae~-inxQ+\na=-4-lntz+x0-l+lntz>21ntz-l+2J—xQ21na+l,

Q/(x)=|—Inx+lnaNl對(duì)x>°恒成立，21na+l>1/.In6z>0,cz>1.

6.【解析】(1)設(shè)g(x)=/?，(%)，則g(x)=cosx+xsinx-l,g'(x)=xcosx，

TT(TV\TT

當(dāng)X￡(0Q)時(shí)，>0；當(dāng)工口子兀)時(shí)，g'(x)v0,所以g(x)在((I,])「

遞減.

(兀、

又g(0)=0,g—>0送(冗)=-2,故g(x)在(0,兀)存在唯一零點(diǎn)?

k2；

所以/'（X）在（0,兀）存在唯一零點(diǎn).

(2)由題設(shè)知/(兀)..。兀,/(兀)=0,可得HO.

由(1)知，/'(X)在(0,兀)只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為毛，且當(dāng)xe(0,%)時(shí)，/'(X)>0；當(dāng)㈤時(shí)，f\x)<0,

所以/(%)在(0,毛)單調(diào)遞增，在(x0,兀)單調(diào)遞減.

又/(0)=0,/(兀)=0,所以，當(dāng)xe[O,甫時(shí)，/(x)..O.

又當(dāng)“，0,工￡[0,兀]時(shí)，4爛0,故了(%)..or.

因此，〃的取值范圍是(—8,0].

7?【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-8,+oo),

f\x)=2e2x—aex—a2=(2ex+a)(ex—d),

①若。=0,則/(尤)=a，在單調(diào)遞增.

②若?！?,則由尸(幻=0得元=In。.

當(dāng)x￡(-oo』n〃)時(shí)，f\x)<0；當(dāng)(Ina,+oo)時(shí)，f'{x)>0,

所以/(x)在(-oo』na)單調(diào)遞減，在(Ina,+00)單調(diào)遞增.

③若a<0,則由f'(x)=0得x=皿(一》

當(dāng)％6(-00」!1(一9)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)xe(ln(-殳,+00)時(shí)，f'(x)>0,

故/(x)在(-8,加(-9)單調(diào)遞減，在(ln(-號(hào),+8)單調(diào)遞增.

(2)①若。=0,則/(x)=e21所以f(x)2O.

②若a>0,則由(1)得，當(dāng)x=lna時(shí)，/(幻取得最小值，最小值為

/(Ina)=-a2Ina.從而當(dāng)且僅當(dāng)一片Ina20,即aWl時(shí),f(x)0.

③若a<0,則由(1)得，當(dāng)x=ln(-￡)時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為

/(In(一鄉(xiāng))=/g-In(一玄].

o3

從而當(dāng)且僅當(dāng)a2[--ln(--)]>0,即aN-2e“時(shí)f(x)20.

42

3

綜上，a的取值范圍為[-2e4,l].

8.【解析】(1)f(x)=(l-2x-x2)ex

令/'(幻=0得x=—1—V2,x=—I+A/2.

當(dāng)xe(-oo,—1—0)時(shí)，f'{x)<0：當(dāng)xe(—1—0,一1+血)時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)xe(—1+8,+oo)時(shí),

r(x)<o.

所以/(X)在(-0,—1—0),(—1+3,+8)單調(diào)遞減，在(一1—0,T+0)單調(diào)遞增.

(2)/(x)=(l+x)(l-x)ev.

當(dāng)a21時(shí)，設(shè)函數(shù)7z(x)=(l-x)e*,h'(x)--xex<0,因此/z(x)在［0,+8)單調(diào)遞減，而//(0)=1,故

h(x)W1,所以/(x)—(x+l)/i(x)Wx+1Wax+\.

當(dāng)0<a<l時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)=e*—x—1,g'(x)="—l>0(x>0),所以g(x)在［0,+8)單調(diào)遞增，而

g(0)=0,故e*2x+l.

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)>(1-x)(l+x)2,(l-x)(l+x)2-ar-1=x(l-a-x-x2),

x/5—4a—1

2

取/=---------,則x()e(O,l),(1—JQJXI+JQJ)—ax()—1=0,

故了(%)<也+1.

J?_i

當(dāng)aWO時(shí)，取—,則毛w(O,l),/(玉))〉。一%)(1+/)2=1三~+1.

綜上，a的取值范圍是［1,+8).

9.【解析】1）9（力的定義域?yàn)椋?，+8）.

(11

①若。40,因?yàn)?—=—+?ln2<0.所以不滿足題意;

\2y2

②若a>0,由尸(x)=l-@=U知，當(dāng)x?O,a)時(shí)，/(x)<0；當(dāng)x?a,+oo)時(shí)，/'(x)>0,所

XX

以“X）在（0,a）單調(diào)遞減，在（a,+8）單調(diào)遞增，故戶〃是〃*）在（0,+8）的唯一最小值點(diǎn).

由于7?⑴=0,所以當(dāng)且僅當(dāng)。=1時(shí),/（x）＞0.故a=l.

(2)由(1)知當(dāng)xe(L+x)時(shí)，x-l-lnx>0.

令x=l+*得ln(l+.卜.從而

叫1+；；+㈣1+?廣一+叫"Jj<g+*+…+*=1-％<1

故(1+g)(l+…(1+

而,所以刑的最小值為3.

10?【解析】(1)/(X)的定義域?yàn)?0,+8).當(dāng)4=4時(shí)，

/(x)=(x+l)lnx-4(x-l)，r(x)=lnx+i-3,/(1)=-2,/(I)=0.

X

曲線y=/(x)在(1,7(1))處的切線方程為2x+y—2=().

(II)當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，/(x)>()等價(jià)于InX-"Q-?>O

X+1

/、1a(x-l)

令g(x)=lnx-----------,則nl

x+1

,12aX2+2(1—6f)x+l八

g(X)=—一；~F=----;~不一，g⑴=。，

X(x+l)-x(x+l)"

(i)當(dāng)a42,xe(l,+oo)時(shí)，x2+2(1—?)x+l>x2—2x+l>0,

故g'(x)>0,g(x)在XG(l,+8)上單調(diào)遞增，因此g(x)>0；

(ii)當(dāng)a>2時(shí)，令g'(x)=0得

X]=a_1_J(a_1)--1,X]=a_1+J(a-1)—-1,

由W>1和辦工2=1得％<1，故當(dāng)xe(l32：時(shí)，g'(x)<(,g(x)在xeQ,/)單調(diào)遞減，因此

g(x)<g(l主.

綜上，。的取值范圍是(-8,2].

11.【解析】(I"'(X)=m(ewtv-l)+2x.

若〃?20,則當(dāng)xe(-oo,0)時(shí)，e”“—IWO,/'(x)<0；

當(dāng)xe(0,4w)時(shí)，—/'(x)>0.

若加<0,則當(dāng)XG(-oo,0)時(shí)，*―1>0,/'(x)<0；

當(dāng)xe(0,+00)時(shí)，e"K-1<0>f'(x)>0.

所以，/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增.

(H)由(I)知,對(duì)任意的切,/(x)在單調(diào)遞減,在[0,1]單調(diào)遞增.

.故/*)在x=0處取得最小值.

所以對(duì)于任意玉,^€[-1,1],"(%)—/(/"We—1的充要條件是：

<，即<①

/(—I)—f(0)<e—1e"'+，〃We—1

設(shè)函數(shù)gQ)=——，一e+1,則g'(t)=e'-L

當(dāng)f<0時(shí),g'(t)<0；當(dāng)」>0時(shí)g'(f)>0.

故g(a在(-8,0)單調(diào)遞減，在(o,+8)單調(diào)遞增.

又g(l)=0,g(—l)=eT+2—e<0,故當(dāng)時(shí)，g(f)W0.

當(dāng)時(shí)，g(/n)W0,g(-/w)W(),即①式成立；

當(dāng)，〃>1時(shí)，由g(f)得單調(diào)性，g(〃z)>0,即e"'-〃z>e-l；

當(dāng)〃？<一1時(shí)”g(-rri)>0,即

綜上，加的取值范圍是[一1,1].

12.【解析】(I)由已知得/(0)=2,g(0)=2J'(0)=4,g'(0)=4,

Wf'(x)=2x+b,gXx)=ex(cx+d+c),/.a=4,b=2,c=2,d=2；...4分

(II)由(I)知，f(x)-x2+4x+2,g(x)=2e'(x+l),

設(shè)函數(shù)F(x)=/(x)-/(x)=2履”(x+D-d-4x-2(x>-2),

F(x)=2ke\x+2)-2x-4=2(x+2)(ke'-1),

有題設(shè)可得/(0)20,即

令/"'(幻力得，X]=—In女，x2=—2>

⑴若1“</,則一2<X]W0,.,.當(dāng)XG(—2,X])時(shí),F(x)<0,當(dāng)xe(Xp+o^時(shí)，F(xiàn)(x)>0,即F(x)

在(一2,王)單調(diào)遞減，在(玉,+8)單調(diào)遞增，故F(x)在x=占取最小值F(xl),而

R(石)=2%+2—片—4X|—2=—%(%|+2)20,

...當(dāng)x》一2時(shí)，F(xiàn)(x)20,即/(x)WZg(x)恒成立，

(2)若左=e?,則F'(x)=2e2(x+2)(ex-e2),

二當(dāng)％2—2時(shí),F(x)/0,；.F(x)在(-2,+8)單調(diào)遞增,而尸(一2)=0,

.,.當(dāng)X2—2時(shí),F(x)>0,即/(x)WZg(x)恒成立，

(3)若左〉e2,則F(-2)=-2ke-2+2=-2e~2(k-e2)<0,

.?.當(dāng)x2一2時(shí)，f(x)Wkg(x)不可能恒成立，

綜上所述，上的取值范圍為[1,e2].

x

13.【解析】(I)/(x)的定義域?yàn)?T?,+OO),f'(x)=e-a.

若a?0,則/'(x)>(),所以/(x)的增區(qū)間為(T?,+8),無(wú)減區(qū)間；

若a>0,則當(dāng)xc(ro,lna)時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)xe(lna,+8)時(shí)，/'(x)>0,所以在減區(qū)間為(-8』na),

增區(qū)間為(Ina,+0。).

(II)由于￡Z=11所以(x—k)/'(x)+x+l=(x—攵乂e'—l)+x+l.

故當(dāng)x>0時(shí)，(x-k)f\x)+x+1>0等價(jià)于

k<產(chǎn)+x(x>()),

ex-\V)

.(、x+1,，/、—xex—1e.(e—x—2,\

令g(x)=U+x'則g(x)=F『+l=17匕廠.

由(I)知，函數(shù)&(x)=e、一九一2在(0,+oo)上單調(diào)遞增,而〃⑴<0,〃⑵>0,所以/i(x)在(0,+。。)上存

在唯一的零點(diǎn)，故g'(x)在(0,田)上存在唯一零點(diǎn).設(shè)此零點(diǎn)為a,則ae(l,2).

當(dāng)xe(0,a)時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)xw(a,48)時(shí)，g'(x)>0.所以g(x)在(0,+8)上的最小值為g(a).乂

由g'(a),可得e0=a+2,所以g(a)=a+le(2,3).

由于％<777+x(%>°)等價(jià)于左<g(a)，故整數(shù)k的最大值為2”

a(二一一Inx),

14.【解析】(I)/'(x)=—十不-----

(x+1)JT

?.?直線x+2y—3=0的斜率為一且過(guò)點(diǎn)(1,1),A/(1)=1Ji=

b=1

即vQ1，解得。=1,b=1；

---b=—

122

(II)由(I)^/(x)--+-,

x+1X

.,Jnxk.1c(左—1)(爐—1)

??/vU)x-(--+-)=-~~(21nx+-——-----)

x-\Xl-xrX

、ci(A:-l)(x2-l)、X2X

設(shè)〃(x)=21nx+^——------(x>0),則〃(無(wú))=_^——(A:-71)(+1-)-+--2--

XX

①當(dāng)&W0時(shí)、由〃<1)=+0—匕知，當(dāng)xwl時(shí)，h\x)<0,而入⑴=0,故當(dāng)工￡(0,1)時(shí),

x

h(x)>0,可得一^/i(x)>0；

］一廠

當(dāng)(1,+8)時(shí)，h(x)<0,可得一^—h{x}>0,

1-x

從而當(dāng)x>0,且XX】時(shí)，/(x)-(—+-)>0,即/(幻>巫+公；

x-1xx-\X

②當(dāng)0<%<1時(shí)，由于當(dāng)XG(1,」一)時(shí)，(左一1)(爐+1)+2%>0,故〃'(x)>0,而力⑴=0,故XG

\-k

(1,」一)時(shí)，h(x)>0,可得一二九(x)V0與題設(shè)矛盾；

\-k1-x

③當(dāng)女21時(shí)，此時(shí)〃(x)>0,而獻(xiàn)1)=0,故當(dāng)尤￡(1,+8)時(shí)，h(x)>0,可得」與題設(shè)

1-X

矛盾，

綜上所述，k的取值范圍為(一8,01.

15.【解析】(1)fr(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).

令fXx)=0,得x=0或x=］.

若a>0,則當(dāng)xe(-oo,0)^|,+oc時(shí)，f'(x)>(；當(dāng)時(shí)，f'(x)<(.故/(x)在

(一8,0)(］,+00)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

若4=0,/(X)在(-8,”)單調(diào)遞增；

若<7<0,則當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，f\x)>(；當(dāng)為€與0)時(shí)，f'(x)<(.故/(x)在

-a),g)(0,+8)單調(diào)遞增，在(1,0)單調(diào)遞減.

(2)滿足題設(shè)條件的a,b存在.

⑴當(dāng)?<0時(shí)，由⑴知，/(x)在［0,1］單調(diào)遞增，所以/(幻在區(qū)間［0,1］的最小值為/(0)=為，最大

值為了⑴=2-此時(shí)“，加滿足題設(shè)條件當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)。=一1,2-a+b=\,即〃=0,b=-\.

(ii)當(dāng)血3時(shí)，由(1)知，f(x)在［0,1］單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間［0,1］的最大值為/(0)=匕，最小

值為/(1)=2—4+尻此時(shí)“，6滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2—。+人=—1,b=\,即。=4,b=\.

(iii)當(dāng)0<a<3時(shí)，由⑴知，/(X)在［0,1］的最小值為/(右=-^-+b,最大值為6或2-。+。.

7；-----F。=—1，b—1,則a=3\/2,與0<。<3矛盾.

27

若一|y+。=-1,2-a+b=\,貝i」a=3G或a=—3g或。=0，與0<。<3矛盾.

16.【解析】(