高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之圓錐曲線(題量大,含大量高考真題)

圜雄曲彼年義(/)第一種定義:平面內(nèi)與兩個定點F|、F2的距離之和等于常數(shù)(大于IFtF2I)的點的軌跡叫做

橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距.

橢匐(1)

第二種定義:平面內(nèi)一個動點到一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是小于1的正

一、知識要點：橢圓、雙曲線、拋物劊6的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)常數(shù)，這個動點的軌跡叫橢圓，定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線.

橢圓雙曲線拋物線

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

定義1.到兩定點Fi,F2的距1.到兩定點F1,F2的距

離之和為定值離之差的絕對值為定值(1)餐+==l(a>b>0),焦點：F(C,0),F2(C,0),其中c=Jo?-從.

a"b"

2a(2a>|FiF2|)的點的軌跡2a(0<2a<|F|F2|)的點的

r22------

軌跡(2)=+J=l(a>b>0),焦點：FI(0,-C),F2(0,C),其中c=L?-/.

2.與定點和直線的距離2.與定點和直線的距離與定點和直線的距離相等

3.橢圓的參數(shù)方程：F=(參數(shù)e是橢圓上任意一點的離心率).

之比為定值e的點的軌之比為定值e的點的軌的點的軌跡.

跡.(0<e<l)跡.(e>l)[y=Osind

22

圖形4.橢圓的幾何性質(zhì)：以標(biāo)準(zhǔn)方程1+t=1(4>〃>0)為例:

標(biāo)準(zhǔn)X2V2X2V2a~b~

+方=1(4〉力>0)F-、=l(a>0,b>0)y2=2px

方方程a1b~a2b2①范圍：|x|<a,|y|<b;(2)對稱性：對稱軸x=0,y=0,對稱中心為0(0,0)；③頂點

參數(shù)(x=acosOfx=asec0卜=(t為參數(shù))A(a,0),A,(-a,0),B(0,b),B'(0,-b)；長軸|AA1=2a,短軸|BB1=2b；④離心率:e=-,0<e<l；⑤準(zhǔn)線

方程[y=%sin0(V=/?tan0[y=2pra

程(參數(shù)所離心角)(參數(shù)。為離心角)

x=±—；⑥焦半徑：|PF]|=a+ex,|PF2|=a-ex,其中P(x,y)是橢圓上任意一點.

范圍—a<x<a,-b<y<b|x|>a,ywRx>0

中心原點O(0,0)原點0(0,0)二、基本訓(xùn)練

頂點(a,0),(-a,0),(0,b),(a,0),(—a,0)(0,0)1.設(shè)一動點P到直線x=3的距離與它到點A(1,0)的距離之比為后，則動點P的軌跡

(0-b)方程是.

x軸，y軸；x軸，y軸；

對稱軸X軸2.曲線《+廿=1與曲線一匚+上=1也<9)之間具有的等量關(guān)系是.

長軸長2a,短軸長2b實軸長2a,虛軸長2b.

25925-k9-k

焦點F|(c,0),F(-C,0)H(c,0),F(-C,0)

22嗚,0)3.已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍,長、短軸都坐標(biāo)上，且過點4(3,0),

則橢圓的方程是.

焦距2c(c=JQ?-b2)2c(.c=yla2+b2)

4.底面直徑為12。"的圓柱被與底面成30的平面所截，截口是一個橢圓，

離心率e=l

^=—(0<e<1)e=—(e>1)這個橢圓的長軸長____________，短軸長____________，離心

aa率———；匕」

準(zhǔn)線a2a2x=-2v2M23

x=±—x=±—5.已知橢圓「+上=1(。>6>0)的離心率為士，若將這個橢圓繞著它的

cc2a-b-5

漸近線,h

y=±—x右焦點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)5后，所得新橢圓的?條準(zhǔn)線方程是丫=與，則原來的橢圓方程

a

焦半徑r=a±exr=Ia±ex\是;新橢圓方程是-.

r=x+—

2

通徑2b2lb1

a2p

三、例題分析

例1.如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點吊，尸2在X軸上，長軸A02的長為4，左

1.橢圓的定義:

a+P

準(zhǔn)線/與x軸的交點為M,|MA||：依周=2：1.（I）求橢圓的方程：cos

（H）若直線外x=m（|機|>1），P為片上的動點，使/尸/尸2最大的點P記為Q，求點Q兩個焦點，（1）若NPFRna，ZPF?F\二°,求證:

的坐標(biāo)（用m表示）.

ZFtPF2=20,求證：ARPF］的面積為從-tane.

例2.設(shè)A,B是兩個定點，且|AB|=2,動點M到A點的距離是4,線段"8的垂直平分線

/交MA于點P,求動點尸的軌跡方程?

例3.已知橢圓￡+￡=l（a>b>0）,P為橢圓上除長軸端點外的任一點，耳,尸2為橢圓的

例4.設(shè)橢圓上二+丁=1的兩個焦點是K（-C,0）,F2（C,0）（C>0），且橢圓上存在點P，使得

zn4-1

直線P6與直線PF2垂直.（1）求實數(shù)機的取值范圍；（2）設(shè)/是相應(yīng)于焦點6的準(zhǔn)線，

直線尸尸2與/相交于點Q，若呦"=2-g,求直線尸入的方程.

四、作業(yè)

若動點3)在曲線1+~=心。)上變化’則須的最大值是一

1.

P是橢圓《+反

2.=1上的一點，片和鳥是焦點，若NF|PF2=30°,則△F1PF2的面積等

54

于_______

22

3.已知橢圓力+力O。)的左焦點為FA(-a,0),8(0,b)為橢圓的兩個頂點，若尸

b

到AB的距離等于則橢圓的離心率為

4.從集合｛1,2,3…，11｝中任選兩個元素作為橢圓方程二+4=1中的m和n,則能組成落

m~n~

例5.點A、B分別是橢圓《+亡=1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在在矩形區(qū)域B=｛(x,y)|且|y|<9｝內(nèi)的橢圓個數(shù)為.

設(shè)直線/:2x+y+2=0關(guān)于原點對稱的直線為若/'與橢圓/+f=1的交點為A、B、，

36205.

橢圓上，且位丁F軸上方，PAJ_PF。(1)求點P的坐標(biāo)；4

(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|歷3|,求橢圓上的點到點點P為橢圓上的動點，則使"45的面積嗎的點P的個數(shù)為—

M的距離d的最小值。

6.橢圓C與橢圓巨誓?+更立■=1，關(guān)于直線x+y=O對稱，則橢圓C的方程是

7.麗定點6(3,0),6(9,0)的距離和等于10的點的軌跡方程是.

8.已知橢圓工+二=1的離心率e=L,則a的值等于_______.

。+892

22

9.48是橢圓*?+%■=1(">〃>°)中不平行于對稱軸的一條弦，M是AB的中點，。是橢

圓的中心,求證:心./。”為定值.

II.已知橢圓上+上=1,能否在此橢圓位于y軸左側(cè)的部分上找到一點M,使它到左準(zhǔn)

43

線的距離為它到兩焦點后，尸2距離的等比中項，若能找到，求出該點的坐標(biāo)，若不能找到，

請說明理由.

橢圓(2)

一、知識點梳理

10.已知橢圓的中心名半酬點O,焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交

1.掌握橢圓的兩種定義，會利用定義解題。

橢圓于A、B兩點，次+而與5=(3,-1)共線。(I)求橢圓的離心率；

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種不同的形式，解題時要防止遺漏，要深刻理解橢圓中的幾何量a力,c,e,土之

2*4

(II)設(shè)M為橢圓上任意一點，且麗=2次+〃礪證明矛+//為定值C

間的關(guān)系，

3.掌握橢圓中的“四線"(兩條對稱軸，兩條準(zhǔn)線)，“六點”(兩個焦點，四個頂點)，注意它們之

間的位置關(guān)系及相互距離.

22

4.焦半徑公式：設(shè)尸(%,%)是橢圓5+2=1上一點，則歸司=4+d,|尸周="人，不要

求記憶，但要掌握其推導(dǎo)過程.

5.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟：①定型；②定位；③定量

二、基礎(chǔ)訓(xùn)練

2

1.已知耳,工為橢圓、~+丁=1的左右焦點，弦AB過耳，則AgAB的周長為.

2.（2010全國16）已知產(chǎn)是橢圓。的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段8尸的延長線叫。于點

D,且可:=2而，則橢圓的離心率是.

工2y2

3.（2009天津5）設(shè)橢圓二方+3—=1（機>1）上一點P到其左焦點的距離為3,到右焦點的距離

nrtn-1

為1,則尸到右準(zhǔn)線的距離是.

?>2

4.（2008江蘇12）設(shè)橢圓/+會=1（。>fe>0）的焦距為2c，以點。為圓心，a為半徑作圓M.若

過點尸所作圓的兩條切線互相垂直，則該圓的離心率為.

5.已知橢圓￡+4=1（a>b>0）的右焦點為F,右準(zhǔn)線為/,離心率e=?5過頂點4（0/）作

ab~5

AMA.I,垂足為M,則直線尸M的斜率等于.

x22

6.過橢圓一+v乙=1的右焦點作一條斜率為2的直線交橢圓于4,3兩點，若。為坐標(biāo)原點，則

54

△048的面積是.

x2v2

7.（2008浙江12）已知片，乃是橢圓石+/=1的兩焦點，過耳的直線交橢圓于A,B兩點，若

\F2A\+\F2B\=12,則|AB|=.

x2y2,,

8.（2009北京12）橢圓y+^-=l的焦點耳，鳥，點P在橢圓上.若|PFj=4則

\PF2\=./F產(chǎn)鳥的大小為.2（2010安徽19）已知橢圓C經(jīng)過點4（2,3）,對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點-，鳥在x軸上.離心率

9.已知A4BC的頂點A（-4,0）,C（4,0）,頂點B在橢圓全+卷=1上,e=；.（1）求橢圓C的方程；（2）求/尸海鳥的角的平分線所在的直線/方程

（3）在橢圓C上是否存在關(guān)于直線/對稱的相異兩點？若存在，請找出；否則說明理由.

10.（2010全國12）已知橢圓C:’+￡=l（a>b>0）的離心率為冷，過右焦點尸且斜率為

k（后>0）的直線與C相交于4,B兩點.若而=3而，則上=.

三、例題精析

11.（2010福建17）已知橢圓C的中心在原點。，經(jīng)過點A（2,3）,且點F（2,0）為其右焦點.

（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在平行于04的直線/,使得直線與橢圓C有公共點，且直

線與/的距離為4,若存在，求出/的方程；否則說明理由.

14.（2010浙江21）已知團＞1,直線/:人一〃?丫一里-=0,橢圓C：—y+y2=1?耳，K為左右兩

2nr

焦點.（1）當(dāng)直線/過右焦點用時，求直線/的方程；（2）設(shè)直線/與橢圓C交于A,8,

工的重心分別是G,”，若原點。在以G”為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)機的取值范圍.

四、益智演練

X2V2

13.（2010遼寧20）已知橢圓。：］+￡=】（。＞8＞0）的右焦點為尸，過尸的直線/與橢圓C1.已知方程二一+二一=1衣小焦點在丫軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是______________.

m2-l1-m

相交于兩點，直線/的傾斜角為60°,AF=2FB.2.已知橢圓的中心在原點，長軸在x軸上，離心率為且，且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和

（1）求橢圓的離心率；（2）如果14M=?求橢圓C的方程.2

為12,則橢圓的方程為.

3.一圓的圓心是橢圓有焦點用，且該圓過橢網(wǎng)的中心叫橢圓于P點，而直線P/=;（6為左焦點）是圓

的切線，則橢圓的離心率為.

22

4.P為橢圓擊+玄=1上一點，尸”馬是焦點，且6=。，則AF/鳥的面積是.

5.已知橢圓焦點耳（-4,0）,鳥（4,0），過鳥且垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B,且

\FtB\+\F2B\=lQ,在橢圓上有/1（8,乂）,（7（%,丫2）滿足|序叫招成等差數(shù)列.

（1）求橢圓方程；（2）求弦AC中點的橫坐標(biāo)；

（3）設(shè)AC的垂直平分線方程為y=H+m,求加的取值范圍.

為.

2.若橢圓的長軸是短軸的3倍，且經(jīng)過點4(3,0),則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.

3.如果方程/+外,2=%表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)攵的取值范圍是

4.橢圓/+2)尸=1的離心率是,準(zhǔn)線方程是

5.若焦點在x軸上的橢圓二+工=1的離心率為二則.

2m2

6.橢圓*2+=1的焦點在>軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為.

7.在A4BC中,BC=6,AB+AC=10,則MBC面積的最大值為.

8.已知中心在原點的橢圓經(jīng)過(2,1)點,則該橢圓的半長軸長的取值范圍是.

9.若直線y=h+l和橢圓工+乙=1恒有公共點，則實數(shù)，"€__________________.

25m

V-

10.橢圓：+y2=i的焦點為《、工，點尸為橢圓上一動點，當(dāng)/匕尸工為鈍角時，則點P的橫坐標(biāo)

【典型例題】

22

例1、求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)與橢圓/+q=l有相同焦點且過點(-6,1)

22

(2)與橢圓—+^-=1有相同離心率且過點(2,-百).；

43

練習(xí)：已知三點P(5,2),6(-6,0),乙(6,0),求以工、工為焦點且過點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

橢圓(3)

【考點及要求】理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

掌握橢圓的幾何性質(zhì)，運用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題

【基礎(chǔ)知識】

r2y2

1.橢圓二十”=1的長軸位于軸，長軸長等于；短軸位于軸，短軸長等于：焦

43

點在軸上，焦點坐標(biāo)分別是和；離心率e=；左頂點坐標(biāo)是；下例2、一動圓與已知圓。［：*+3-+)，2=1外切，與圓?！?工一3)2+)，2=81內(nèi)切，試求動圓圓心的

頂點坐標(biāo)是；橢圓上點P(/,九)的橫坐標(biāo)的范圍是,縱坐標(biāo)的范圍是

軌跡方程.

;x0+的取值范圍是.

2.已知《、尸2是橢圓會+3~=1的兩個焦點，過6的直線與橢圓交于A、6兩點，則AA&S的周長

為.

【基本訓(xùn)練】

1.&48C中，若B、C的坐標(biāo)分別為(一3,0)、(3,0),且A/WC的周長等于16,則頂點A的軌跡方程

練習(xí)：已知動圓用過定點A(-3,0),并且在定圓B：(x-3)z+y2=64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心

的軌跡方程.

2.已知rn^m+n成等差數(shù)列，嘰〃，府成等比數(shù)列，則橢圓工+匯=1的離心率為.

tnn

22

3.橢圓1+#=1(。>/?>0)的半焦距為￡：,直線》二21與橢圓的一個交點的橫坐標(biāo)恰為(;，則該橢圓

的離心率為.

例3、工+亡=1上一點戶到右準(zhǔn)線的距離為10,那么尸點到它的左焦點的距離是22

.橢圓±+±=的一個焦點為耳，點在橢圓上，如果線段尸中點”在軸上，那么點的縱

1003641P6yM

坐標(biāo)13

練習(xí)：點尸在橢圓工+匚=1上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標(biāo)是

2592

5.橢圓5+V=]的兩個焦點為K,尼，過K作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P,則PF2

例4：若橢圓+刀2=1與直線x+y=i交于A、B兩點，M為AB的中點，直線0M(。為原點)

等于______________

的斜率為曰2,(1)求2;(2)若。4LOB,求橢圓的方程.22

6.《，尼是橢圓C:1■+?=1的焦點，在C上滿足尸死J_P工的點尸的個數(shù)為個.

2a

7.橢圓「一：+5cos"(。為參數(shù))焦點坐標(biāo)是_____________________.

[y=3sm(p

8.設(shè)橢圓二+與■=1(a>Z>>0)的焦點為巴、F,,長軸兩端點為兒、A,.(1)P為橢圓上一點，且

a，b“

ZF,PF=60,求△片PF?的面積；(2)若橢圓上存在一點Q,使NAQa=120。求橢圓離心率e的取值

變式：直線/過點”(1,1),與橢圓二+二=1相交于A、8兩點，若AB的中點為M,試求直線/的2

范圍.

43

方程.

【課堂檢測】

1.求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側(cè)22

已知橢圓工+工=直線/：橢圓上是否存在一點，它到直線/的距離最??？

頂點的距離為百；(2)經(jīng)過點P(-2V3,1),0(73-2).9.1,4x-5y+40=0,

259

若存在，求出最小距離.

范圍--------，回〈--------國＜--------，|亦-------?

頂點（土〃,0）,（0,一）（0,____）,（±/?,o）

離心率C

e=—e__________

10.已知A(-2,Vi),F是橢圓￡+2=1的右焦點，點M在橢圓上移動，當(dāng)|M4|+2|MF|取最小值時,a

焦點坐標(biāo)

求點M的坐標(biāo).

準(zhǔn)線方程

a,b,c的關(guān)系

題型一，橢圓的定義的應(yīng)用

例1已知橢圓亮+會=1的兩個焦點為尸”尸2,P為橢圓上的一點，且NRPF?=60°,求的

面積。

練習(xí)：

22

(1)(2008?浙江)已知耳，用為橢圓去+5=1的兩個焦點，過五?的直線交橢圓于48兩點

橢圓(4)

若「24+工3=12,則AB=o

一、教學(xué)要求: