高中數(shù)學(xué)人教a版選修2-2(課時(shí)訓(xùn)練)2.2 直接證明與間接證明2.2.2

2.2.2反法習(xí)標(biāo)1．了解反證法是間接證明的一基本方法．2．理解反證法的思考過(guò)程，會(huì)反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題．識(shí)接1．有人說(shuō)反證法就是通過(guò)證明否命題來(lái)證明原命題，這種說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？答這法是錯(cuò)誤的證是否命后證命的是錯(cuò)誤的而原命題正確，不是通過(guò)逆否命題題．命題的否定與原命題是對(duì)立的確，其命題的否定一定不對(duì)．2．反證法主要適用于什么情形答①的結(jié)論與條件之間的系不明顯條件推出結(jié)論的線(xiàn)索不夠清晰從正面證明要多種情形行分類(lèi)討論從面進(jìn)行證明要一種或很少的幾種情形．習(xí)引1．反證法定義假設(shè)原命題不成立正確的理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤了原命題成立，這種證明方法叫做反證．2．反證法常見(jiàn)的矛盾類(lèi)型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下出矛盾可與已知條件矛盾設(shè)，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛等．要點(diǎn)一用反證法證明“至多”至少”型命題例知，1＋x＋y求證：中有一個(gè)于yx1＋x證明假設(shè)，不小于2yx1＋x1＋y即≥2，yx，≥2x.∴2＋x＋y，

22，＝a③22222222，＝a③222222即≤2與已知矛．1＋x＋y∴，中有一個(gè)小于yx規(guī)律方法

對(duì)于含有法于此類(lèi)問(wèn)題，需仔細(xì)體會(huì)少有一個(gè)義，弄清結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)證明遺漏的錯(cuò)誤．跟蹤演練知a，b，d，，證：，b中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．證明假設(shè)a，b，d是非數(shù)，∵a＋b＝c＋d＝1又∵＋bd＋ad，≤1.這與已知＋bd>1盾，∴a，b中至少有一個(gè)是數(shù)．要點(diǎn)二用反證法證明不存在、一性命題例2求于直線(xiàn)，存在這樣的實(shí)數(shù)，使得l與曲線(xiàn)：3x－y＝1交點(diǎn)、B關(guān)直線(xiàn)為數(shù)稱(chēng)證明假設(shè)存在實(shí)數(shù)，A、B關(guān)直線(xiàn)對(duì)，設(shè)，y則有1)1122直線(xiàn)與線(xiàn)直點(diǎn)在線(xiàn)上線(xiàn)AB的中x＋xy＋y121222

在直線(xiàn)上，所以＝－1①y＋y＝kx＋21212y＋yx＋x12122由

＋1y＝3x－1

得(④當(dāng)時(shí)，l與雙僅有一交點(diǎn)，不合題意．由②、③得＋x＋x⑤12122k由④知＋x＝，入⑤整得：12－k，與①矛盾．所以假設(shè)不成立，故不存在實(shí)數(shù)使得A、B關(guān)線(xiàn)稱(chēng)．規(guī)律方法證法一

xxxxxn*n222*22xxxxxn*n222*22層意思后一層意思時(shí)用接法往相困此般情況下都采用間接證法反證設(shè)同法知那一用法有比用同一法更方便．跟蹤演練證方程2＝3有且只有一個(gè)根．證明∵2＝33這明方程2有．面反證明方程2＝3的2唯一的：假設(shè)方程＝3至有兩個(gè)根b≠b1212則b，12兩式相除得2b＝1.12若－b>0，2b－b>1，2b－b矛盾．121212若－b<0，2b－b<1，與2b－b矛盾．121212∴b－b＝0b.1212∴假設(shè)不成立，從而原命題得證要點(diǎn)三用反證法證明否定性命例差數(shù)列a的前項(xiàng)和，a＝1＋2＋32.nn13數(shù)列a的通項(xiàng)a與；nnnSb＝∈N求數(shù)中不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．nnn

設(shè)公差為，由已知得

a2＋1，13a＋3d＝9，1∴d＝2，故a＋2，S＋．nnS明(b＝＝n2.nn假設(shè)數(shù)中三項(xiàng)b、b、q互相等數(shù)則bnpqrqpr即＋2)＋＋，－p2＝0.∵p，q∈N，∴

q＝0，2q－p，∴

p＋r2

2

，∴p，p矛所以數(shù)中不同的三項(xiàng)不可能成為等比數(shù)列．n規(guī)律方法當(dāng)論中含反面比較具體應(yīng)用反證法例如證明異面直線(xiàn)，可以假設(shè)共面設(shè)已知條

x00222x00222件推導(dǎo)出矛盾．反法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法．跟蹤演練知＋

－2證明方程沒(méi)負(fù)根．＋1x－2－2證明假設(shè)x是的<0且ax＝－0<ax<10<－0000x＋10x＋100<1，1解得<x，與x<0矛盾，以假設(shè)不成立，200故方程沒(méi)數(shù)根．1．證明“在ABC至多有一直角或鈍角”，第一步應(yīng)假()A．三角形中至少有一個(gè)直角或角B三角形中至少有兩個(gè)直角或角C三角形中沒(méi)有直角或鈍角D．三角形中三個(gè)角都是直角或角答案B2．用反證法證明“三角形中至有一個(gè)內(nèi)角不小于應(yīng)假個(gè)三角形()A．有一個(gè)內(nèi)角小于60°C有一個(gè)內(nèi)角大于60°答案B3．是)A．a(chǎn)C．a(chǎn)

B一個(gè)內(nèi)角都小于D一內(nèi)角都大于B．a(chǎn)>bD．a(chǎn)＝ba>b答案D4．用反證法證明“在同一平面，若，b，則∥b時(shí)，應(yīng)假()A．a(chǎn)不垂cC．a(chǎn)答案D

B都垂直于cD．a(chǎn)與交5．已知是整，

是偶數(shù)，求證也偶數(shù)．證明證設(shè)a不偶數(shù)即a是．設(shè)＝2na＋4n＋1.

2222

2

是，∴4n＋4n是數(shù)，這與已知a是偶數(shù)矛盾．由上述矛盾可知一定數(shù)1．證法證明的基本步驟設(shè)命題結(jié)論的反面是正確的設(shè))從個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推，推出與已知條件、公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾謬矛盾判定假設(shè)不正確，從而定原命題的結(jié)論是正確的)2．用反證法證題要把握三點(diǎn)：必先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的．反法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，不是反證法．反法的關(guān)鍵是在正確的推理得出矛盾，這個(gè)矛盾可以與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．反證法的關(guān)鍵是在正確的推下得出矛盾．這個(gè)矛盾可以)①與已知條件矛盾與假設(shè)矛③與定義、公理、定理矛盾④事實(shí)矛盾A．①②C①③④

B①③D①②③④答案D2．已知a，b是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)c平直線(xiàn)a那么c與b位置關(guān)系()A．一定是異面直線(xiàn)C不可能是平行直線(xiàn)

B一定是相交直線(xiàn)D可是相交直線(xiàn)答案C解析假設(shè)∥b，由∥a，得a∥b這與a，b異面盾c不是平行直線(xiàn)．故應(yīng)選C.3．有下列敘述：”反是或”③“三角形的外心在三角形外”的反面是“角形的外心在三角形內(nèi)”形有一個(gè)鈍角”的反面是“三角形沒(méi)有鈍角”．中正確的敘述()A．0個(gè)B個(gè)

22222nn22222nn2C．2個(gè)

D．3個(gè)答案B解析①應(yīng)為；②對(duì)③錯(cuò)：應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上；④錯(cuò)：應(yīng)為三角形可以有2個(gè)或上的鈍角．4．用反證法證明命題：可整除那a中少有一個(gè)能被5整除時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng))A．a(chǎn)，b能被5整除C．a(chǎn)，b不都5除

B都被5D．a(chǎn)不能5整答案B解析“至少有一”否定一個(gè)也沒(méi)”a，b能被5整”5證證明命題整一元二次方程有根ac存在偶數(shù)”時(shí)，否定結(jié)論應(yīng)________答案a，b不是偶數(shù)解析a，b存在偶數(shù)即至有一個(gè)偶數(shù)，其否定為a都是偶數(shù)．6．“任何三角形的外角都至少兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)________．答案存在一個(gè)三角形，其外角多有一個(gè)鈍角解析“任何三角”否定存在一個(gè)三角”有”的否定“最多有一個(gè)．7．設(shè)二次函數(shù)，均為數(shù)，且為．求證無(wú)根．證明設(shè)有整數(shù)根，ak＝

①又∵＝a均為數(shù)，∴a＋b為偶當(dāng)k為時(shí)，然與①式矛盾；當(dāng)奇數(shù)時(shí)，設(shè)則ak為，也與①式矛盾，故假設(shè)不成立，所以方程無(wú)整數(shù)根．二、能力提升8．已知x，x≠1x111

x＋3＝，，數(shù)對(duì)任意的正整數(shù)都3x＋1nn滿(mǎn)足>xnn1

”，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)(A．對(duì)任意的正整數(shù)，有x＝xnn1B存在正整數(shù)n使＝xnn1

bcabcaab2222222222222bcabcaab2222222222222C存在正整數(shù)n使≥xnn1D．存在正整數(shù)，x≤xnn1答案D解析“任意”的反語(yǔ)是“在．119．設(shè)，b是正數(shù)，則三數(shù)a，b＋＋baA．都大于2B至少有一個(gè)大于2C至少有一個(gè)不小于2D．至少有一個(gè)不大于2答案C111解析假設(shè)a<2，b<2<2，ba111則a＋＋＋＋<6.1111又ab＋＝ab＋≥2＋2＝6，這設(shè)得到的不等式相矛盾，從而假設(shè)不正確，所這三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于10．下列兩個(gè)方程＋a，x＝0中少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)取值范圍________．答案a≤或a－11解析若兩方程均無(wú)實(shí)根，則－4a－a，－1或132＋8a若個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根≤－2或a≥．a(chǎn)＋b求證，c>0.證明用反證假設(shè)，b不正數(shù)，由abc>0可，這三個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)為負(fù)數(shù)，一個(gè)為正數(shù)，不妨設(shè)，則由a，可得，又，＋b)aba＋ab即ab－a－b∵a

>0，b

>0，

－ab

＝

2

即ab，這與已知ab矛以假設(shè)不成立．因此成

323323112．知a，b求證不都大于.41證明假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)大于，4111即