自考高等數(shù)學(xué)精講

第一章函數(shù)及其圖形1.1預(yù)備知識(shí)

一、基本概念

1.集合

具備某種特定性質(zhì)事物總體。

組成這個(gè)集合事物稱為該集合元素。

2.包含關(guān)系

集合A中任何一個(gè)元素都是集合B中元素，稱為A包含于B，或B包含A。

若XA，則必xB，就說(shuō)A是B子集，記作AB

數(shù)集分類：

N----自然數(shù)集

Z----整數(shù)集

Q----有理數(shù)集

R----實(shí)數(shù)集

數(shù)集間關(guān)系：

NZ,ZQ,QR.

3.相等關(guān)系

若AB，且BA，就稱集合A與B相等。記作（A＝B）

例1則A＝C.

【答疑編號(hào)11010101】4.空集

不含任何元素集合稱為空集（記作）。要求空集為任何集合子集。

例2

【答疑編號(hào)11010102】

5.集合之間運(yùn)算

1)并：由中全部元素組成集合稱為A和B并集，記為AB

例3

【答疑編號(hào)11010103】例4

【答疑編號(hào)11010104】2）交：由既屬于A又屬于B元素組成集合稱為A和B交集，記為AB

例5

【答疑編號(hào)11010105】例6

【答疑編號(hào)11010106】3）差：由A中不屬于B元素組成集合稱為A與B差集，記為A-B

例7

【答疑編號(hào)11010107】

二、絕對(duì)值

1.絕對(duì)值定義：

2.絕對(duì)值性質(zhì)：

（1），當(dāng)且僅當(dāng)a＝0時(shí)，

（2）

（3）

（4）

3.絕對(duì)值幾何意義：

（1）表示數(shù)軸上點(diǎn)x與原點(diǎn)之間距離為a。（2）表示數(shù)軸上兩點(diǎn)x與y之間距離為a。

4.絕對(duì)值不等式：

k>0時(shí)，則有k>0時(shí)，則有例8，求x值。

【答疑編號(hào)11010108】

答案：x=±5

5.絕對(duì)值運(yùn)算性質(zhì)：

例9化去以下各式絕對(duì)值符號(hào)：

（1）

【答疑編號(hào)11010109】（2）

【答疑編號(hào)11010110】（3）

【答疑編號(hào)11010111】（4）

【答疑編號(hào)11010112】例10解以下含有絕對(duì)值符號(hào)不等式：

（1）

【答疑編號(hào)11010113】（2）

【答疑編號(hào)11010114】（3）

【答疑編號(hào)11010115】

三、區(qū)間

是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間全體實(shí)數(shù)，這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間端點(diǎn)。

以上區(qū)間都叫有限區(qū)間

這兩種形式區(qū)間叫無(wú)限區(qū)間

區(qū)間長(zhǎng)度定義：

兩端點(diǎn)間距離(線段長(zhǎng)度)稱為區(qū)間長(zhǎng)度.

四、鄰域

設(shè)a與是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且>0，數(shù)集稱為點(diǎn)a鄰域，記作U(a)。

點(diǎn)a叫做這個(gè)鄰域中心，叫做這個(gè)鄰域半徑。

點(diǎn)a去心鄰域，記作。

區(qū)間與鄰域關(guān)系：例11解不等式并用區(qū)間表示不等式解集：

（1）

【答疑編號(hào)11010116】（2）

【答疑編號(hào)11010117】1.2函數(shù)

一、函數(shù)概念

1.定義

設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定數(shù)集，假如對(duì)于每個(gè)x∈D，變量y按照一定法則總有確定數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱y是x函數(shù)，記作

數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)定義域，當(dāng)初，稱為函數(shù)在點(diǎn)處函數(shù)值。

函數(shù)值全體組成數(shù)集

稱為函數(shù)值域。

2.函數(shù)兩要素：定義域與對(duì)應(yīng)法則。

約定：定義域是自變量所能取使算式有意義一切實(shí)數(shù)值。

例1、

【答疑編號(hào)11010201】

例2、

【答疑編號(hào)11010202】

例3、判斷以下兩個(gè)函數(shù)是否相等

【答疑編號(hào)11010203】例4、求函數(shù)定義域

【答疑編號(hào)11010204】例5、符號(hào)函數(shù)

【答疑編號(hào)11010205】

3.分段函數(shù)

在自變量不一樣改變范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不一樣式子來(lái)表示函數(shù)，稱為分段函數(shù)。

例6、

【答疑編號(hào)11010206】

例7、求下面分段函數(shù)定義域并畫出圖形。

【答疑編號(hào)11010207】例8、將下面函數(shù)化為分段函數(shù)

【答疑編號(hào)11010208】

二、函數(shù)表示法

1.圖象法

2.表格法

3.解析法1.3函數(shù)特征

一、函數(shù)有界性

若有成立，則稱函數(shù)f（x）在X上有界，不然稱無(wú)界。

例9、判斷下面函數(shù)在其定義域是否有界

（1）符號(hào)函數(shù)y＝sgnx

【答疑編號(hào)11010209】（2）y＝x2

【答疑編號(hào)11010210】

2.函數(shù)單調(diào)性：

設(shè)函數(shù)f（x）定義域?yàn)镈，區(qū)間I∈D，

假如對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)及當(dāng)初，

恒有則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增加；

設(shè)函數(shù)f（x）定義域?yàn)镈，區(qū)間I∈D,假如對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)及，當(dāng)初，恒有則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)降低。

例10、求y＝x2單調(diào)性

【答疑編號(hào)11010211】例11、求y＝sinx單調(diào)性

【答疑編號(hào)11010212】3.函數(shù)奇偶性：

設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于，有稱f（x）為偶函數(shù)；

設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于，有f（-x）=-f（x）稱f（x）為奇函數(shù)。

4.函數(shù)周期性：

設(shè)函數(shù)f（x）定義域?yàn)镈，假如存在一個(gè)不為零數(shù)l,使得對(duì)于任一則稱f（x）為周期函數(shù)，l稱為f（x）周期，且恒成立（通常說(shuō)周期函數(shù)周期是指其最小正周期）。

例12、判斷以下函數(shù)是否有界

（1）

【答疑編號(hào)11010213】（2）y＝cosx

【答疑編號(hào)11010214】例13、判斷下面函數(shù)奇偶性

（1）

【答疑編號(hào)11010215】（2）

【答疑編號(hào)11010216】例14、判斷函數(shù)是否是周期函數(shù)，假如是，則求出最小正周期。

【答疑編號(hào)11010217】1.4反函數(shù)

直接函數(shù)與反函數(shù)圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱?！敬鹨删幪?hào)11010301】1.5復(fù)合函數(shù)

1．復(fù)合函數(shù)

定義：設(shè)函數(shù)y=f（u）定義域Df,而函數(shù)值域?yàn)?若,則稱函數(shù)為x復(fù)合函數(shù)。x←自變量，u←中間變量，y←因變量；

注意:

1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都能夠復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)；

比如：

不能符合成2.復(fù)合函數(shù)能夠由兩個(gè)及以上函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合組成。

比如：

這個(gè)函數(shù)是由復(fù)合而成。例1.分解復(fù)合函數(shù)

（1）【答疑編號(hào)11010302】

（2）【答疑編號(hào)11010303】

例2.復(fù)合函數(shù)計(jì)算

（1）【答疑編號(hào)11010304】

（2）【答疑編號(hào)11010305】

（3）【答疑編號(hào)11010306】

（4）【答疑編號(hào)11010307】1.6初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和函數(shù)復(fù)合運(yùn)算所得到函數(shù),稱為初等函數(shù)。

基本初等函數(shù)：常值函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)、反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

（1）常值函數(shù)

假如當(dāng)自變量在函數(shù)定義域中任意改變時(shí)，函數(shù)值f（x）恒等于一個(gè)常數(shù)C，即

f（x）=C，x∈D(f)，則稱這個(gè)函數(shù)為常值函數(shù)。（2）指數(shù)函數(shù)

形如f(x)=αx(-∞＜x＜+∞)函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)。其中底數(shù)α＞0，α≠1性質(zhì)：

①當(dāng)α＞1時(shí)，函數(shù)y=ax單調(diào)增加；

②當(dāng)0＜α＜1時(shí)，函數(shù)y=ax單調(diào)降低；

③指數(shù)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），指數(shù)函數(shù)值大于0；

④對(duì)于a＞0,x,y為實(shí)數(shù)，

我們要求：

運(yùn)算法則：

要求：指數(shù)函數(shù)經(jīng)過(guò)掌握?qǐng)D形，掌握指數(shù)函數(shù)性質(zhì)。（3）三角函數(shù)

有sinx,cosx,tanx,cotx,secx和cscx，它們都是周期函數(shù)。①正弦函數(shù)y=sinx

圖1.32

②余弦函數(shù)y=cosx

圖1.33

③正切函數(shù)y=tanx

圖1.34

④余切函數(shù)y=cotx

圖1.35

要求：周期性、奇偶性、三角公式、特殊角三角函數(shù)值。

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

①倒數(shù)關(guān)系：

②商關(guān)系

③平方關(guān)系

兩角和正弦、余弦、正切公式

兩角差正弦、余弦、正切公式

倍角公式

降冪公式

積化和差公式

例3：利用降冪公式，將以下各式變形

（1）【答疑編號(hào)11010308】

（2）【答疑編號(hào)11010309】

（3）【答疑編號(hào)11010310】

特殊角三角函數(shù)值

例1.已知一個(gè)三角函數(shù)值，求其余三角函數(shù)值。

（1）已知tanx=3求其余三角函數(shù)值【答疑編號(hào)11010401】

（2）已知secx=5，求其余三角函數(shù)值。【答疑編號(hào)11010402】

（4）冪函數(shù)

形如f(x)=xα函數(shù)為冪函數(shù)，其中α為任意常數(shù)。

要求：掌握慣用冪函數(shù)：y=x；y=x2；y=x3；圖形，性質(zhì)。性質(zhì)：

α為正整數(shù)時(shí)，冪函數(shù)定義域是（-∞，+∞）；

α為負(fù)整數(shù)時(shí)，冪函數(shù)定義域是（-∞0）∪（0，+∞）；

對(duì)任意實(shí)數(shù)α，曲線y=xα都經(jīng)過(guò)平面上點(diǎn)（1，1）；

α為偶數(shù)時(shí)，f(x)=xα為偶函數(shù)；

α為奇數(shù)時(shí)，f(x)=xα為奇函數(shù)；

α＞0時(shí)，f(x)=xα在（0，+∞）單調(diào)增加；

α＜0時(shí)，f(x)=xα在（0，+∞）單調(diào)降低。

冪函數(shù)：y=xμ（μ是常數(shù)）

（5）反三角函數(shù)

①反正弦函數(shù)：y=arcsinx，x∈[-1,1]②反余弦函數(shù)：y=arccosxx∈[-1,1]③反正切函數(shù)：y=arctαnxx∈（-∞，+∞）

要求：明白反三角函數(shù)三個(gè)含義及定義域。

例2.計(jì)算

（1）；

【答疑編號(hào)11010403】

答案：

（2）；

【答疑編號(hào)11010404】

答案：

（3）；【答疑編號(hào)11010405】

（4）；【答疑編號(hào)11010406】

（5）【答疑編號(hào)11010407】

例3.已知，求x取值范圍?！敬鹨?/p>