平方根知識點講解(含例題)

1■算術平方根（1）定義一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a,即X2=a,那么這個正數(shù)x叫做a的（2） 表示方法a的算術平方根記為 ，讀作“根號a”，a叫被開方數(shù).（3） 算術平方根的性質正數(shù)a的算術平方根為y’a；0的算術平方根是0,即€0= ;負數(shù) 算術平方根.算術平方根ja具有雙重非負性：被開方數(shù)a是非負數(shù)，即a>o；算術平方根ya本身是非負數(shù)，即ja>0.2■平方根（1） 平方根的概念一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a,即x2=a，那么這個數(shù)x叫做a的 或二次方根.【注意】在這里，a是x的平方數(shù)，它的值是正數(shù)或零，因為任何數(shù)的平方都不可能是負數(shù)，即a>0.（2） 平方根的性質一個正數(shù)a有 個平方根，其中一個是“\萬”，另一個為“-斯”，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0;負數(shù)沒有平方根.（3） 開平方的概念求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做 .（4） 利用平方根的定義解方程將各式轉化為等號的左邊是含x的一個式子的平方式，右邊是一個非負數(shù)的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m>0），然后利用平方根的定義得到x=±.'；m或ax+b=±、］m，進而得到原方程的解．3■平方根與算術平方根的區(qū)別（1）定義不同；（2）個數(shù)不同，一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，而一個正數(shù)的算術平方根只有一個；（3） 表示方法不同，正數(shù)a的平方根表示為程，正數(shù)a的算術平方根表示\：'匚；（4） 取值范圍不同，正數(shù)的算術平方根一定是正數(shù)，正數(shù)的平方根為一正一負．K知識參考答案：1.（1）算術平方根（2）訂方（3）0,沒有2.（1）平方根（2）兩（3）開平方K—重點算術平方根的概念及表示方法K—難點平方根的概念及其性質K—易錯混淆平方根和算術平方根一、求平方根和算術平方根若求一個算式的算術平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算術平方根，有時也可通過簡單的變形化成一個正數(shù)的平方的形式，從而提高運算的速度和準確率.【例1】9的算術平方根是A.命 B.-3 C.±3 D.3【答案】D【解析】???32=9,???9的算數(shù)平方根是3,故選D.【例2】（-2）2的算術平方根是A.2 B.±2 C.-2 D.【答案】A【解析】???（-2）2=4,4的算術平方根是2,???（-2）2的算術平方根是2,故選A.【名師點睛】求一個式子的算術平方根時，先把這個式子化簡，再按算術平方根的定義求化簡所得數(shù)的算術平方根即可．【例3】25的平方根是A.5 B.-5 C.± D.±5【答案】D【解析】???(±5)2=25,???25的平方根為±5,故選D.【例4】設a-3是一個數(shù)的算術平方根，那么A.a>0 B.a>0 C.a>3 D.a>3【答案】D【解析】???a-3是一個數(shù)的算術平方根，???a-3>0，解得a>3，故選D.【名師點睛】本題考查的是算術平方根的“非負性”，即非負數(shù)a的算術平方根P’a>0【例5】下列說法正確的是-二是2的一個平方根-4的算術平方根是2J的平方根是±20沒有平方根A.①②③ B.①④ C.①③ D.②③④【答案】C【解析】①-是2的一個平方根，正確；②-4沒有算術平方根，錯誤；J⑴的平方根是±2,正確；④0有平方根，是0,錯誤；故選C.【例6】求下列各式的值：(1)*144；(2)-208!；(3)土；(4)J562.196【解析】(1)^頁二丄.(2)-J08T=-0.9.+亙+11<196 14(4)品2=56.二、算術平方根非負性的應用常用的三類非負性的表示形式：絕對值、偶次冪、算術平方根，當幾個非負數(shù)的和為0時，則每一個非負數(shù)均為0，這一結論在解答許多數(shù)學問題中起著關鍵的作用．【例7】當式子J2a+1的值取最小值時，a的取值為1A.0 B.— C.-1 D.12【答案】B【解析】T2a+120,.：當式子*：2a+1的值取最小值時，2a+1=0,1.°.a的取值為-.故選B.TOC\o"1-5"\h\z【例8】若實數(shù)x,y滿足訂x-2+（y一％3）2=0，則xy的值為 .【答案】2扛，則xy=273，故答案為2爲，則xy=273，故答案為2爲【解析】根據(jù)題意得：］ 匚C，解得＜、y-U3=0 〔y【例9】x、y是實數(shù)，寸x+2+p'y—3=0，貝xy= 【答案】-6【解析】由題意可知：x+2=0，y-3=0，.x=-2，y=3,.°.xy=-6，故答案為:-6.三、利用平方根的知識解方程先將方程轉化為一個式子的平方等于一個非負數(shù)的形式，再利用開平方發(fā)求解【例10】求下列各式中的x.121⑴x2=17；⑵x2-跖=0【解析】（1）因為（±￡7）2=17⑵x2-121=049121x2=【例11】求下列各式中x的值：4(x-1)2-16=0；8(2x+1)3-1=0.【解析】(1)4(x-1)2-16=0,4(x-1)2=16，(x-1)2=4，x-1=±2，x=-1或x=3．(2)8(2x+1)2-1=0，8(2x+1)2=1，1(2x+1)2=,82x+1=￡2x=-1匡1x=——211x=——2x=— + —28四、平方根和算術平方根定義和性質的綜合運用若一個數(shù)的平方根是它本身，則這個數(shù)是0；若一個數(shù)的算術平方根是它本身，則這個數(shù)是0或1．【例12】若一個正數(shù)的算術平方根是a,則比這個數(shù)大3的正數(shù)的平方根是A.*：°2+3 B.—a2+3 C.土*a2+3 D.±、；a+3【答案】C【解析】根據(jù)一個正數(shù)的算術平方根是a,則這個正數(shù)為a2,則比這個數(shù)大3的正數(shù)的平方根是±\：'a2+3，故選C.【例13】已知2a-1的平方根是±3,J(-16)2的算術平方根是b求Ja+b.【解析】T2a-1的平方根是±3,.°.2aT=9,.°.a=5,???$(-16)2的算術平方根是b且$(—16)2=16,即16的算術平方根是b,b=4a+b=、：5+4=3.【名師點睛】本題主要考查的是算術平方根和平方根的定義，由平方根和算術平方根的定義得到2a-1=9，b=4是解題的關鍵.【例14】已知