高中數(shù)學(xué)人教B版1-1學(xué)案:第一單元 疑難規(guī)律方法 第一章 含答案_第1頁(yè)
高中數(shù)學(xué)人教B版1-1學(xué)案:第一單元 疑難規(guī)律方法 第一章 含答案_第2頁(yè)
高中數(shù)學(xué)人教B版1-1學(xué)案:第一單元 疑難規(guī)律方法 第一章 含答案_第3頁(yè)
高中數(shù)學(xué)人教B版1-1學(xué)案:第一單元 疑難規(guī)律方法 第一章 含答案_第4頁(yè)
高中數(shù)學(xué)人教B版1-1學(xué)案:第一單元 疑難規(guī)律方法 第一章 含答案_第5頁(yè)
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精1解邏輯用語(yǔ)問(wèn)題三絕招1.利用集合——理清關(guān)系充分(必要)條件是高中學(xué)段的一個(gè)重要概念,并且是理解上的一個(gè)難點(diǎn).要解決這個(gè)難點(diǎn),將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來(lái),看得見(jiàn)、想得通,才是最好的方法.本文使用集合模型對(duì)充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋?zhuān)瑢?shí)踐證明效果較好.集合模型解釋如下:①A是B的充分條件,即A?B。②A是B的必要條件,即B?A.③A是B的充要條件,即A=B.④A是B的既不充分也不必要條件,即A∩B=?或A、B既有公共元素也有非公共元素.或例1“x2-3x+2≥0"是“x≥1"的________________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析設(shè)命題p:“x2-3x+2≥0”,q:“x≥1”對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B,則A={x|x≤1或x≥2},B={x|x≥1},顯然“A?B,B?A”,因此“x2-3x+2≥0”是“x≥1”的既不充分也不必要條件.答案既不充分也不必要2.抓住量詞——對(duì)癥下藥全稱(chēng)命題與存在性命題是兩類(lèi)特殊的命題,這兩類(lèi)命題的否定又是這部分內(nèi)容中的重要概念,解決有關(guān)此類(lèi)命題的題目時(shí)一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞,理解其相應(yīng)的含義,從而對(duì)癥下藥.例2(1)已知命題p:“任意x∈[1,2],x2-a≥0",與命題q:“存在x∈R,x2+2ax+2+a=0”都是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____________.(2)已知命題p:“存在x∈[1,2],x2-a≥0”與命題q:“存在x∈R,x2+2ax+2+a=0”都是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___________.解析(1)將命題p轉(zhuǎn)化為“當(dāng)x∈[1,2]時(shí),(x2-a)min≥0”,即1-a≥0,即a≤1.命題q:即方程有解,Δ=(2a)2-4×(2+a)≥0,解得a≤-1或a≥2。綜上所述,a≤-1.(2)命題p轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[1,2]時(shí),(x2-a)max≥0,即4-a≥0,即a≤4。命題q同(1).綜上所述,a≤-1或2≤a≤4.答案(1)(-∞,-1](2)(-∞,-1]∪[2,4]點(diǎn)評(píng)認(rèn)真比較兩題就會(huì)發(fā)現(xiàn),兩題形似而神異,所謂失之毫厘,謬之千里,需要我們抓住這類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)—-量詞,有的放矢.3.等價(jià)轉(zhuǎn)化——提高速度在四種命題的關(guān)系、充要條件、簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱(chēng)量詞與存在量詞中,時(shí)時(shí)刻刻滲透著等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,例如互為逆否命題的兩個(gè)命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假,它們就是等價(jià)的;但原命題與逆命題不等價(jià),即原命題為真,其逆命題不一定為真.例3設(shè)p:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x+4y-12>0,,2x-y-8≤0,,x-2y+6≥0,))q:x2+y2≤r2(r〉0),若q是綈p的充分不必要條件,求r的取值范圍.分析“q是綈p的充分不必要條件"等價(jià)于“p是綈q的充分不必要條件”.設(shè)p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B,則可由A??RB出發(fā)解題.解設(shè)p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B,將本題背景放到直角坐標(biāo)系中,則點(diǎn)集A表示平面區(qū)域,點(diǎn)集?RB表示到原點(diǎn)距離大于r的點(diǎn)的集合,即圓x2+y2=r2外的點(diǎn)的集合.∵A??RB表示區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離大于r,∴直線3x+4y-12=0上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離大于等于r,∵原點(diǎn)O到直線3x+4y-12=0的距離d=eq\f(|-12|,\r(32+42))=eq\f(12,5),∴r的取值范圍為0<r≤eq\f(12,5)。點(diǎn)評(píng)若直接解的話(huà),q是綈p的充分不必要條件即為x2+y2≤r2(r〉0)在p:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x+4y-12>0,,2x-y-8≤0,,x-2y+6≥0))所對(duì)應(yīng)的區(qū)域的外部,也是可以解決的.但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“p是綈q的充分不必要條件”,更好地體現(xiàn)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.2判斷條件四策略1.應(yīng)用定義如果p?q,那么稱(chēng)p是q的充分條件,同時(shí)稱(chēng)q是p的必要條件.判斷的關(guān)鍵是分清條件與結(jié)論.例1設(shè)集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的____________條件.解析條件p:x∈M或x∈P;結(jié)論q:x∈P∩M。若x∈M,則x不一定屬于P,即x不一定屬于P∩M,所以pD/?q;若x∈P∩M,則x∈M且x∈P,所以q?p.綜上知,“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分條件.答案必要不充分2.利用傳遞性充分、必要條件在推導(dǎo)的過(guò)程當(dāng)中具有傳遞性,即若p?q,q?r,則p?r。例2如果A是B的必要不充分條件,B是C的充要條件,D是C的充分不必要條件,那么A是D的____________條件.解析依題意,有A?B?C?D且AD?/B?CD?/D,由命題的傳遞性可知D?A,但AD?/D.于是A是D的必要不充分條件.答案必要不充分3.利用集合運(yùn)用集合思想來(lái)判斷充分條件和必要條件是一種行之有效的方法.若p以非空集合A的形式出現(xiàn),q以非空集合B的形式出現(xiàn),則①若A?B,則p是q的充分條件;②若B?A,則p是q的必要條件;③若AB,則p是q的充分不必要條件;④若BA,則p是q的必要不充分條件;⑤若A=B,則p是q的充要條件.例3已知p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要條件,則m的取值范圍是________.解析設(shè)p、q分別對(duì)應(yīng)集合P、Q,則P={x|-2≤x≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m},由題意知,p?q,但qD?/p.故PQ,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-m〈-2,,1+m≥10,,m〉0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-m≤-2,,1+m>10,,m〉0,))解得m≥9。即m的取值范圍是[9,+∞).答案[9,+∞)4.等價(jià)轉(zhuǎn)化由于互為逆否命題的兩個(gè)命題同真同假,所以當(dāng)由p推q較困難時(shí),可利用等價(jià)轉(zhuǎn)化,先判斷由非q推非p,從而得到p?q。例4已知p:x+y≠2,q:x,y不都是1,則p是q的____________條件.解析因?yàn)閜:x+y≠2,q:x≠1或y≠1,所以綈p:x+y=2,綈q:x=1且y=1。因?yàn)榻恜D?/綈q,但綈q?綈p,所以綈q是綈p的充分不必要條件,即p是q的充分不必要條件.答案充分不必要3走出邏輯用語(yǔ)中的誤區(qū)誤區(qū)1所有不等式、集合運(yùn)算式都不是命題例1判斷下列語(yǔ)句是不是命題,若是命題,判斷其真假.(1)x+2>0;(2)x2+2>0;(3)A∩B=A∪B;(4)A?A∪B.錯(cuò)解(1)、(2)、(3)、(4)都不是命題.剖析(1)中含有未知數(shù)x,且x不定,所以x+2的值也不定,故無(wú)法判斷x+2>0是否成立,不能判斷其真假,故(1)不是命題;(2)x雖為未知數(shù),但x2≥0,所以x2+2≥2,故可判斷x2+2〉0成立,故(2)為真命題.(3)若A=B,則A∩B=A∪B=A=B;若AB,則A∩B=AA∪B=B.由于A,B的關(guān)系未知,所以不能判斷其真假,故(3)不是命題.(4)A為A∪B的子集,故A?A∪B成立,故(4)為真命題.正解(2)、(4)是命題,且都為真命題.誤區(qū)2原命題為真,其否命題必為假例2判斷下列命題的否命題的真假:(1)若a=0,則ab=0;(2)若a2>b2,則a>b.錯(cuò)解(1)因?yàn)樵}為真命題,故其否命題是假命題;(2)因?yàn)樵}為假命題,故其否命題為真命題.剖析否命題的真假與原命題的真假?zèng)]有關(guān)系,否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來(lái)判斷,應(yīng)先寫(xiě)出命題的否命題,再判斷.正解(1)否命題:若a≠0,則ab≠0,是假命題;(2)否命題:若a2≤b2,則a≤b,是假命題.誤區(qū)3搞不清誰(shuí)是誰(shuí)的條件例3使不等式x-3〉0成立的一個(gè)充分不必要條件是()A.x〉3 B.x>4C.x〉2 D.x∈{1,2,3}錯(cuò)解由不等式x-3>0成立,得x>3,顯然x>3?x>2,又x>2D?/x〉3,因此選C。剖析若p的一個(gè)充分不必要條件是q,則q?p,pD?/q。本題要求使不等式x-3>0成立的一個(gè)充分不必要條件,又x>4?x-3>0,而x-3〉0D?/x>4,所以使不等式x-3〉0成立的一個(gè)充分不必要條件為x〉4.正解B誤區(qū)4考慮問(wèn)題不周例4如果a,b,c∈R,那么“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件錯(cuò)解判別式Δ=b2-4ac〉0,即方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根;若方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根,則判別式Δ=b2-4ac>0,即b2>4ac.綜上可知“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根”的充要條件,故選C.剖析判別式Δ=b2-4ac只適用于一元二次方程的實(shí)數(shù)根存在情況的判斷.對(duì)于方程ax2+bx+c=0,當(dāng)a=0時(shí),原方程為一次方程bx+c=0(b≠0),一次方程不存在判別式,所以當(dāng)b2〉4ac時(shí)不能推出方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根;若方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根,則它的判別式Δ=b2-4ac〉0,即b2>4ac.由上可知,“b2〉4ac”是“方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根”的必要不充分條件.正解B誤區(qū)5用“且”“或”聯(lián)結(jié)命題時(shí)只聯(lián)結(jié)條件或結(jié)論例5(1)已知p:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11;q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2,試寫(xiě)出“p∨q";(2)p:四條邊相等的四邊形是正方形;q:四個(gè)角相等的四邊形是正方形,試寫(xiě)出“p∧q".錯(cuò)解(1)p∨q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或x=2.(2)p∧q:四條邊相等且四個(gè)角相等的四邊形是正方形.剖析(1)(2)兩題中p,q都是假命題,所以“p∨q”,“p∧q"也都應(yīng)是假命題.而上述解答中寫(xiě)出的兩命題卻都是真命題.錯(cuò)誤原因:(1)只聯(lián)結(jié)了兩個(gè)命題的結(jié)論;(2)只聯(lián)結(jié)了兩個(gè)命題的條件.正解(1)p∨q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2.(2)p∧q:四條邊相等的四邊形是正方形且四個(gè)角相等的四邊形是正方形.誤區(qū)6不能正確否定結(jié)論例6p:方程x2-5x+6=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,試寫(xiě)出“綈p”.錯(cuò)解綈p:方程x2-5x+6=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.剖析命題p的結(jié)論:“有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”,所以“綈p"應(yīng)否定“有”,而不能否定“相等”.正解綈p:方程x2-5x+6=0沒(méi)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.誤區(qū)7對(duì)含有一個(gè)量詞的命題否定不完全例7已知命題p:存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使得xeq\o\al(2,0)-x0-2〈0,寫(xiě)出綈p.錯(cuò)解一綈p:存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使得xeq\o\al(2,0)-x0-2≥0.錯(cuò)解二綈p:對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有x2-x-2〈0。剖析該命題是存在性命題,其否定是全稱(chēng)命題,但錯(cuò)解一中得到的綈p仍是存在性命題,顯然只對(duì)結(jié)論進(jìn)行了否定,而沒(méi)有對(duì)存在量詞進(jìn)行否定;錯(cuò)解二中只對(duì)存在量詞進(jìn)行了否定,而沒(méi)有對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定.正解綈p:對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有x2-x-2≥0。誤區(qū)8忽略了隱含的量詞例8寫(xiě)出下列命題的否定:(1)不相交的兩條直線是平行直線;(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).錯(cuò)解(1)不相交的兩條直線不是平行直線;(2)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).剖析以上錯(cuò)誤解答在于沒(méi)有看出這兩個(gè)命題都是全稱(chēng)命題.對(duì)于一些量詞不明顯或不含有量詞,但其實(shí)質(zhì)只是在文字?jǐn)⑹錾鲜÷粤四承┝吭~的命題,要特別引起注意.正解(1)存在不相交的兩條直線不是平行直線;(2)存在一個(gè)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).4解“邏輯”問(wèn)題需強(qiáng)化的三意識(shí)1.轉(zhuǎn)化意識(shí)由于互為逆否的兩個(gè)命題同真假,因此,當(dāng)原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時(shí),可以轉(zhuǎn)化為逆否命題的真假來(lái)判斷或證明.例1證明:若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1.分析本題直接證明原命題是真命題,顯然不太容易,可考慮轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題是真命題.證明命題“若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1”的逆否命題是“若a-b=1,則a2-b2+2a-4b-3=0”.由a-b=1得a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3=a-b-1=0?!咴}的逆否命題是真命題,∴原命題也是真命題.故若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1.例2已知p:x2-8x-20〉0,q:x2-2x+1-a2〉0,若p是q的充分不必要條件,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為集合運(yùn)算問(wèn)題.解解不等式x2-8x-20〉0,得p:A={x|x〉10或x<-2};解不等式x2-2x+1-a2〉0,得q:B={x|x〉1+a或x<1-a,a〉0}.依題意p?q,但qD?/p,說(shuō)明AB。于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a〉0,1+a≤10,1-a〉-2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a〉0,1+a〈10,1-a≥-2)),解得0〈a≤3.所以正實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,3].2.簡(jiǎn)化意識(shí)判斷命題真假的關(guān)鍵:一是識(shí)別命題的構(gòu)成形式;二是分別將各命題簡(jiǎn)化,對(duì)等價(jià)的簡(jiǎn)化命題進(jìn)行判斷.例3已知命題p:函數(shù)y=log0.5(x2+2x+a)的值域?yàn)镽,命題q:函數(shù)y=-(5-2a)x是R上的減函數(shù).若p或q為真命題,p且q為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________.分析先將命題p,q等價(jià)轉(zhuǎn)化,再根據(jù)題意構(gòu)建關(guān)于a的關(guān)系式,從而得到a的取值范圍.解析函數(shù)y=log0。5(x2+2x+a)的值域?yàn)镽,即y=x2

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