理論力學(xué)課件二五

第十七章拉格朗日方程1

動(dòng)力學(xué)本章在達(dá)朗伯原理和虛位移原理的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日第二類(lèi)方程（簡(jiǎn)稱(chēng)拉格朗日方程）。動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程是研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有力手段，在解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，顯得十分簡(jiǎn)捷、規(guī)范。2§17–1動(dòng)力學(xué)普遍方程§17–2拉格朗日第二類(lèi)方程§17–3拉格朗日第二類(lèi)方程的積分第十七章拉格朗日方程3

動(dòng)力學(xué)設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)

若質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束，將作為主動(dòng)力處理，則：解析式：§17-1動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程。4

動(dòng)力學(xué)

例1三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑動(dòng)，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的質(zhì)量分別為M和m，斜面傾角為。試求三棱柱A的加速度。解：研究?jī)扇庵M成的系統(tǒng)。該系統(tǒng)受理想約束，具有兩個(gè)自由度。

在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)在任一瞬時(shí)受到的主動(dòng)力與慣性力在任意虛位移上所作的虛功之和為零。5

動(dòng)力學(xué)由動(dòng)力學(xué)普遍方程：系統(tǒng)為二自由度，取互不相關(guān)的為獨(dú)立虛位移，且，所以解得：6動(dòng)力學(xué)§17-2拉格朗日第二類(lèi)方程設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，受s個(gè)完整約束且系統(tǒng)所受的約束是理想約束，自由度k=3n-s。下面推導(dǎo)以廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程的形式。質(zhì)點(diǎn)。若取系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo)為，則稱(chēng)為廣義速度。7

動(dòng)力學(xué)代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)普遍方程，得：8

動(dòng)力學(xué)稱(chēng) 為廣義力

廣義慣性力9

動(dòng)力學(xué)廣義慣性力可改變?yōu)橛觅|(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能表示,因此為簡(jiǎn)化計(jì)算,需要用到以下兩個(gè)關(guān)系式：下面來(lái)推導(dǎo)這兩個(gè)關(guān)系式：第一式只須將(b)式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)即可得到。10第二式可比較(a)式先對(duì)ql求偏導(dǎo)數(shù)再對(duì)t求導(dǎo)數(shù)與(b)式對(duì)ql求偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)論得出。動(dòng)力學(xué)拉格朗日第二類(lèi)動(dòng)力學(xué)方程，簡(jiǎn)稱(chēng)拉格朗日方程。11

動(dòng)力學(xué)如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的力是有勢(shì)力，則廣義力可用質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能來(lái)表達(dá)。而拉氏方程為：引入拉格朗日函數(shù)：L=T-U則：保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。12

動(dòng)力學(xué)

應(yīng)用拉氏方程解題的步驟：

1.判定質(zhì)點(diǎn)系的自由度k，選取適宜的廣義坐標(biāo)。必須注意：不能遺漏獨(dú)立的坐標(biāo)，也不能有多余的（不獨(dú)立）坐標(biāo)。

2.計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能T，表示為廣義速度和廣義坐標(biāo)的函數(shù)。

3.計(jì)算廣義力，計(jì)算公式為：或

若主動(dòng)力為有勢(shì)力，須將勢(shì)能U表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。

4.建立拉氏方程并加以整理，得出k個(gè)二階常微分方程。

5.求出上述一組微分方程的積分。13

動(dòng)力學(xué)

[例1]水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)。均質(zhì)桿OA：重P，可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)；均質(zhì)小齒輪：重Q，半徑r，沿半徑為R的固定大齒輪滾動(dòng)。系統(tǒng)初始靜止，系桿OA位于圖示OA0位置。系桿OA受大小不變力偶M作用后，求系桿OA的運(yùn)動(dòng)方程。

所受約束皆為完整、理想、定常的，可取OA桿轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。解：圖示機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度14

動(dòng)力學(xué)15

動(dòng)力學(xué)代入拉氏方程：積分，得：故：代入初始條件，t=0時(shí)，得16

動(dòng)力學(xué)[例2]與剛度為k的彈簧相連的滑塊A，質(zhì)量為m1,可在光滑水平面上滑動(dòng)?；瑝KA上又連一單擺，擺長(zhǎng)l，擺錘質(zhì)量為m2，試列出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：將彈簧力計(jì)入主動(dòng)力，則系統(tǒng)成為具有完整、理想約束的二自由度系統(tǒng)。保守系統(tǒng)。取x,為廣義坐標(biāo)，x軸

原點(diǎn)位于彈簧自然長(zhǎng)度位置，

逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?7

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)動(dòng)能：18

動(dòng)力學(xué)

系統(tǒng)勢(shì)能：（以彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，滑塊A所在平面為重力勢(shì)能零點(diǎn)）拉格朗日函數(shù)：19

動(dòng)力學(xué)代入：并適當(dāng)化簡(jiǎn)得：20動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)息的運(yùn)豪動(dòng)微番分方腐程。上式為肅系統(tǒng)在口平衡位樓置(x=0,=0)附近微特幅運(yùn)動(dòng)興的微分搶方程。若系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅運(yùn)動(dòng)，此時(shí)<<1o,cos1,sin

，略去二階以上無(wú)窮小量，則21動(dòng)力陪學(xué)§17按-3拉格朗佩日第二達(dá)類(lèi)方程故的積分對(duì)于保滾守系統(tǒng)沈，可以迅得到拉穴格朗日穴方程的掘某些統(tǒng)員一形式還的首次杯積分，苦從而使卸得保守傾系統(tǒng)動(dòng)稅力學(xué)問(wèn)賀題的求作解過(guò)程喘進(jìn)一步品簡(jiǎn)化。保守劉系統(tǒng)撲拉格械朗日爪方程為的首憤次積厘分包感括：笨能量未積分得、循茄環(huán)積拆分。一、能跳量積分設(shè)系害統(tǒng)所釘受的魄主動(dòng)壁力是飛有勢(shì)穿力，桐且拉娛格朗廟日函詠數(shù)L=T-U中不顯傲含t，則22動(dòng)力學(xué)廣義磚能量唱積分莊。保守系值統(tǒng)的拉肅格朗日熄函數(shù)不鵝顯含時(shí)個(gè)間t時(shí)，桌保守驅(qū)系統(tǒng)情的廣義能增量守恒?？煞蛞宰C號(hào)明，瀉當(dāng)系裳統(tǒng)約除束為致定常痛時(shí)，定上式誼為=023系統(tǒng)的票廣義能娛量積分禍?zhǔn)骄褪窍认到y(tǒng)的揀機(jī)械能豎守恒方禽程式。動(dòng)力學(xué)二、循姨環(huán)積分如果拉艇格朗日創(chuàng)函數(shù)L中不怕顯含揪某一速?gòu)V義購(gòu)坐標(biāo)qr,則該汪坐標(biāo)符稱(chēng)為況保守誤系統(tǒng)加的循環(huán)坐忙標(biāo)或可慶遺坐標(biāo)。當(dāng)為系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)時(shí)，必有于是拉釋氏方程盆成為24動(dòng)力學(xué)積分得：循環(huán)積女分因L=T-U，而U中不顯含，故上式可寫(xiě)成Pr稱(chēng)為釀廣義族動(dòng)量它，因促此循獲環(huán)積埋分也改可稱(chēng)偵為系伏統(tǒng)的外廣義斤動(dòng)量尖積分嘴。保守結(jié)系統(tǒng)梅對(duì)應(yīng)滴于循博環(huán)坐酸標(biāo)的輝廣義過(guò)動(dòng)量免守恒膛。一個(gè)杰系統(tǒng)騙的能罪量積莫分只浸可能嫂有一服個(gè)；閥而循飯環(huán)積閃分可屬能不尋止一謝個(gè)，享有幾融個(gè)循沈環(huán)坐崇標(biāo)，賺便有舊幾個(gè)館相應(yīng)免的循剖環(huán)積叛分。能量積梢分和循坡環(huán)積分紛都是由念保守系凡統(tǒng)拉格局朗日方摩程積分某一次得刻到的，拾它們都管是比拉斃格朗日鎖方程低恩一階的姥微分方買(mǎi)程。25動(dòng)力栗學(xué)[例3]楔形體癢重P，斜面傾借角，置于訪光滑水騎平面上閘。均質(zhì)麥圓柱體類(lèi)重Q，半徑更為r，在楔形杜體的務(wù)斜面闊上只犬滾不永滑。晌初始切系統(tǒng)歷靜止確，且窮圓柱終體位罩于斜抬面最碌高點(diǎn)毒。試徹求：(1砌)系統(tǒng)的滋運(yùn)動(dòng)微援分方程巨；(2)楔形割體的伙加速刃度；(3婚)系統(tǒng)的豬能量積權(quán)分與循虜環(huán)積分喇。解：研究楔振形體與筑圓柱體鋪組成的戒系統(tǒng)。肚系統(tǒng)受故理想、棟完整、吹定常約咱束，具爸有兩個(gè)充自由度疑。取廣濁義坐標(biāo)嚼為x,s；各坐音標(biāo)原繪點(diǎn)均借在初牙始位先置。26動(dòng)力寄學(xué)系統(tǒng)睜的動(dòng)母能：系統(tǒng)的賠勢(shì)能：取水平磚面為重僚力勢(shì)能出零點(diǎn)。拉格朗柔日函數(shù)飛：27動(dòng)力第學(xué)代入保尤守系統(tǒng)世拉氏方載程，并翻適當(dāng)化級(jí)簡(jiǎn)，得督到系統(tǒng)焰的運(yùn)動(dòng)館微分方充程。（d）解得楔氣形體的撤加速度棒為拉格病朗日味函數(shù)L中不正顯含t，故系統(tǒng)存煩在能量謙積分。28動(dòng)力學(xué)當(dāng)t=0時(shí)，，x=

s=0,代入上式中，得

29動(dòng)力學(xué)由于生拉格勺朗日沫函數(shù)L中不禍顯含盯廣義鄰坐標(biāo)x，故x為系統(tǒng)籍循環(huán)坐冰標(biāo)，故