備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)考前必記知識(shí)必會(huì)結(jié)論易錯(cuò)剖析大全word版

第第頁本資料分享自高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854專注收集同步資源期待你的加入與分享聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，一勞永逸重溫基礎(chǔ)，高考“七分靠實(shí)力，三分靠心態(tài)”——備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)考前[必記知識(shí)][必會(huì)結(jié)論][易錯(cuò)剖析]良好的心態(tài)是穩(wěn)定發(fā)揮乃至超常發(fā)揮的前提．考前這幾天，最明智的做法就是回歸基礎(chǔ)，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力；最有效的心態(tài)調(diào)節(jié)方法就是每天練一組基礎(chǔ)小題——做到保溫訓(xùn)練手不涼，每天溫故一組基礎(chǔ)知識(shí)——做到胸中有糧心不慌．一集合與常用邏輯用語『必記知識(shí)』1．集合(1)集合的運(yùn)算性質(zhì)①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??UA??UB.(2)子集、真子集個(gè)數(shù)計(jì)算公式對(duì)于含有n個(gè)元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為2n，2n－1，2n－1，2n－2.(3)集合運(yùn)算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；若已知的集合是點(diǎn)集，用數(shù)形結(jié)合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解．?dāng)?shù)集自然數(shù)集N正整數(shù)集N*(或N＋)整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R2．含有一個(gè)量詞的命題的否定全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，如下所述：命題命題的否定?x∈M，p(x)?x∈M，?p(x)?x∈M，p(x)?x∈M，?p(x)[提醒]由于全稱量詞命題經(jīng)常省略量詞，因此，在寫這類命題的否定時(shí)，應(yīng)先確定其中的全稱量詞，再改寫量詞和否定結(jié)論．3．全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱量詞命題真所有對(duì)象使命題真否定命題為假假存在一個(gè)對(duì)象使命題假否定命題為真存在量詞命題真存在一個(gè)對(duì)象使命題真否定命題為假假所有對(duì)象使命題假否定命題為真『必會(huì)結(jié)論』1．集合運(yùn)算的重要結(jié)論(1)A∩B?A，A∩B?B；A?(A∪B)；B?(A∪B)，A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A；A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)若A?B，則A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，則A?B.若A?B，則A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，則A?B.(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.(4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．2．一些常見詞語的否定正面詞語否定正面詞語否定正面詞語否定等于(＝)不等于(≠)是不是任意的存在一個(gè)大于(>)不大于(小于或等于，即“≤”)都是不都是(至少有一個(gè)不是)所有的存在一個(gè)小于(<)不小于(大于或等于，即“≥”)至多有一個(gè)至少有兩個(gè)且或全為不全為至少有一個(gè)一個(gè)也沒有或且3.充分條件與必要條件的三種判定方法(1)定義法：正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且qp，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)．(2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系．例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若A＝B，則A是B的充要條件．(3)等價(jià)法：將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)便于判斷真假的命題．『易錯(cuò)剖析』易錯(cuò)點(diǎn)1忽視集合中元素的互異性【突破點(diǎn)】求解集合中元素含有參數(shù)的問題，先根據(jù)其確定性列方程，求出值后，再根據(jù)其互異性檢驗(yàn)．易錯(cuò)點(diǎn)2未弄清集合的代表元素【突破點(diǎn)】集合的特性由元素體現(xiàn)，在解決集合的關(guān)系及運(yùn)算時(shí)，要弄清集合的代表元素是什么．易錯(cuò)點(diǎn)3遺忘空集【突破點(diǎn)】空集是一個(gè)特殊的集合，空集是任何非空集合的真子集，由于思維定式的原因，在解題中常遺忘這個(gè)集合，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤或解題不全面．易錯(cuò)點(diǎn)4忽視不等式解集的端點(diǎn)值【突破點(diǎn)】進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，可以借助數(shù)軸，要注意集合中的“端點(diǎn)元素”在運(yùn)算時(shí)的“取”與“舍”．易錯(cuò)點(diǎn)5對(duì)含有量詞的命題的否定不當(dāng)【突破點(diǎn)】由于有的命題的全稱量詞往往可以省略不寫，從而在進(jìn)行命題否定時(shí)易只否定全稱量詞命題的判斷詞，而不否定被省略的全稱量詞．『易錯(cuò)快攻』易錯(cuò)快攻一遺忘空集[典例1]設(shè)集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2m≤x≤m＋3}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．[聽課筆記]注意空集的特殊性．由于空集是任何集合的子集，因此，本題中B＝?時(shí)也滿足B?A.解含有參數(shù)的集合問題時(shí)，要注意含參數(shù)的所給集合可能是空集的情況．空集是一個(gè)特殊的集合，由于受思維定式影響，同學(xué)們往往在解題中易遺忘這個(gè)集合，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤或解題不全面．易錯(cuò)快攻二對(duì)含有量詞的命題的否定不當(dāng)[典例2]設(shè)命題p：?x<0，x2≥1，則?p為()A．?x≥0，x2<1B．?x<0，x2<1C．?x≥0，x2<1D．?x<0，x2<1[聽課筆記]本題易忽視對(duì)量詞的否定致錯(cuò)．在對(duì)含有全稱量詞或存在量詞的命題進(jìn)行否定時(shí)，要先對(duì)全稱量詞或存在量詞進(jìn)行否定：全稱量詞的否定為存在量詞，存在量詞的否定為全稱量詞，然后對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定．簡記為：改量詞，否結(jié)論．二不等式『必記知識(shí)』1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷Δ的符號(hào))；三解(解對(duì)應(yīng)的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)．解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個(gè)方面來考慮：①二次項(xiàng)系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大?。?．一元二次不等式的恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是a>0，Δ<0.(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是3．分式不等式fxgx>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；fxgx[提醒](1)不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，不討論這個(gè)數(shù)的正負(fù)，從而出錯(cuò)．(2)解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時(shí)，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解，要注意分a>0，a<0進(jìn)行討論．(3)應(yīng)注意求解分式不等式時(shí)正確進(jìn)行同解變形，不能把fxgx≤0直接轉(zhuǎn)化為f(x)·g(x)≤0，而忽視g(x4．利用基本不等式求最值(1)對(duì)于正數(shù)x，y，若積xy是定值p，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2p.(2)對(duì)于正數(shù)x，y，若和x＋y是定值s，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值14s2(3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，則有1x+1y＝(ax＋by)·1x+1y＝a＋b＋byx+ax(4)已知a，b，x，y∈R＋，若ax+by＝1，則有x＋y＝(x＋y)·ax+by＝a＋b＋ayx+bx[提醒]利用基本不等式求最大值、最小值時(shí)應(yīng)注意“一正、二定、三相等”，即：①所求式中的相關(guān)項(xiàng)必須是正數(shù)；②求積xy的最大值時(shí)，要看和x＋y是否為定值，求和x＋y的最小值時(shí)，要看積xy是否為定值，求解時(shí)，常用到“拆項(xiàng)”“湊項(xiàng)”等解題技巧；③當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等時(shí)，才能取等號(hào)．以上三點(diǎn)應(yīng)特別注意，缺一不可．『必會(huì)結(jié)論』解不等式恒成立問題的常用方法(1)若所求問題可以化為一元二次不等式，可以考慮使用判別式法求解，利用二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)和判別式進(jìn)行求解，若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．(2)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于零的問題，一般的轉(zhuǎn)化原理是：在閉區(qū)間D上，f(x)≥0恒成立?f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸上方或x軸上；f(x)≤0?f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸下方或x軸上．(3)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)的問題，即“f(x)≥a”或“f(x)≤a”型不等式恒成立問題，通常利用函數(shù)最值進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其一般的轉(zhuǎn)化原理是：f(x)≥a在閉區(qū)間D上恒成立?f(x)min≥a(x∈D)；f(x)≤a在閉區(qū)間D上恒成立?f(x)max≤a(x∈D)．(4)分離參數(shù)法：將恒成立的不等式F(x，m)≥0(或≤0)(m為參數(shù))中的參數(shù)m單獨(dú)分離出來，不等號(hào)一側(cè)是不含參數(shù)的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，該方法主要適用于參數(shù)與變量能分離和函數(shù)的最值易于求出的題目，其一般轉(zhuǎn)化原理是：當(dāng)m為參數(shù)時(shí)，g(m)≥f(x)(在閉區(qū)間D上恒成立)?g(m)≥f(x)max(x∈D)；g(m)≤f(x)(在閉區(qū)間D上恒成立)?g(m)≤f(x)min(x∈D)．『易錯(cuò)剖析』易錯(cuò)點(diǎn)1不能正確應(yīng)用不等式性質(zhì)【突破點(diǎn)】在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時(shí)一定要注意前提條件，如不等式兩端同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)、式，兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)n次方時(shí)，一定要注意使其能夠這樣做的條件．易錯(cuò)點(diǎn)2忽視基本不等式應(yīng)用的條件【突破點(diǎn)】(1)利用基本不等式a＋b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意a，b為正數(shù)(或a，(2)對(duì)形如y＝ax＋bx(a，b>0)的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意ax，b易錯(cuò)點(diǎn)3解不等式時(shí)轉(zhuǎn)化不等價(jià)【突破點(diǎn)】如求函數(shù)f(x)·gx≥0可轉(zhuǎn)化為f(x)·gx>0或f(x)·易錯(cuò)點(diǎn)4解含參數(shù)的不等式時(shí)分類討論不當(dāng)【突破點(diǎn)】解形如ax2＋bx＋c>0的不等式時(shí)，首先要考慮對(duì)x2的系數(shù)進(jìn)行分類討論．當(dāng)a＝0時(shí)是一次不等式，解的時(shí)候還要對(duì)b，c進(jìn)一步分類討論；當(dāng)a≠0且Δ>0時(shí)，不等式可化為a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．易錯(cuò)點(diǎn)5不等式恒成立問題處理不當(dāng)【突破點(diǎn)】應(yīng)注意恒成立與存在性問題的區(qū)別，如對(duì)任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立問題，但對(duì)存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，則為存在性問題，可化為f(x)min≤g(x)max，應(yīng)特別注意兩函數(shù)中的最大值與最小值的關(guān)系．『易錯(cuò)快攻』易錯(cuò)快攻一忽視基本不等式的應(yīng)用條件[典例1]函數(shù)y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，則1m+A．3B.22C．3+222[聽課筆記]應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)必須遵循“一正、二定、三相等”的順序．本題中求出m2＋n＝1后，若采用兩次基本不等式，有如下錯(cuò)解m2＋n＝1≥2mn2，所以mn又1m+1n≥所以1m+1n此錯(cuò)解中，①式取等號(hào)的條件是m2＝n，②式取等號(hào)的條件是1m＝1n即m＝n，兩式的等號(hào)不可能同時(shí)取得，所以22【方法點(diǎn)津】基本不等式加以引申，可得到如下結(jié)論：當(dāng)a≥b>0時(shí)，a≥a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b≥b，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．其中稱a2+b2易錯(cuò)快攻二解含參數(shù)的不等式時(shí)分類不當(dāng)致誤[典例2]已知函數(shù)f(x)＝ax2－x＋a.(1)若?x>0，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)已知實(shí)數(shù)a∈R，解關(guān)于x的不等式f(x)≥0.[聽課筆記]解含參數(shù)的不等式時(shí)應(yīng)注意的問題：(1)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的符號(hào)影響不等式的解集，不要忽略二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況；(2)解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論，若不能因式分解，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論，分類時(shí)要做到不重不漏；(3)不同參數(shù)范圍的解集不能取并集，應(yīng)分類表述．三函數(shù)、導(dǎo)數(shù)『必記知識(shí)』1．函數(shù)的定義域和值域(1)求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法①若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍．②若已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f(g(x))的定義域?yàn)椴坏仁絘≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)楹瘮?shù)y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．(2)常見函數(shù)的值域①一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的值域?yàn)镽.②二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)?ac?b24a，+∞，當(dāng)③反比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的值域?yàn)閧y∈R|y≠[提醒](1)解決函數(shù)問題時(shí)要注意函數(shù)的定義域，要樹立定義域優(yōu)先原則．(2)解決分段函數(shù)問題時(shí)，要注意與解析式對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍．2．函數(shù)的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))．(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期．[提醒]判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響．3．函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．①單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?fx1?fx2x1?x2(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?fx1?fx2x1?x2②若函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是減函數(shù)；若函數(shù)f(x)和g(x)都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是增函數(shù)；根據(jù)同增異減判斷復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性．[提醒]求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“∪”和“或”連接，可用“與”連接或用“，”隔開．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替．4．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)(1)定點(diǎn)：y＝ax(a>0，且a≠1)恒過(0，1)點(diǎn)；y＝logax(a>0，且a≠1)恒過(1，0)點(diǎn)．(2)單調(diào)性：當(dāng)a>1時(shí)，y＝ax在R上單調(diào)遞增；y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝ax在R上單調(diào)遞減；y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．5．導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)f′(x0)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上．6．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(1)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟①求函數(shù)f(x)的定義域；②求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；③由f′(x)>0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，由f′(x)<0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間．(2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍①若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等號(hào)不恒成立)；②若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，則I是其單調(diào)區(qū)間的子集．[提醒]已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)，則f′(x)≥0(≤0)對(duì)?x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需驗(yàn)證“＝”不能恒成立；已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間為(a，b)，則f′(x)>0(<0)的解集為(a，b)．7．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值(1)求函數(shù)的極值的一般步驟①確定函數(shù)的定義域；②解方程f′(x)＝0；③判斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0兩側(cè)的符號(hào)變化；若左正右負(fù)，則x0為極大值點(diǎn)；若左負(fù)右正，則x0為極小值點(diǎn)；若不變號(hào)，則x0不是極值點(diǎn)．(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟①求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)的極值；②比較函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)的大小，最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．[提醒]f′(x)＝0的解不一定是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．一定要檢驗(yàn)在x＝x0的兩側(cè)f′(x)的符號(hào)是否發(fā)生變化，若變化，則為極值點(diǎn)；若不變化，則不是極值點(diǎn)．『必會(huì)結(jié)論』1．函數(shù)周期性的常見結(jié)論(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|；若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|.(2)若f(x＋a)＝－1fx(a≠0，f(x)≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|；若f(x＋a)＝1fx(a≠0，f(x)≠0)，則函數(shù)f((3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則函數(shù)f(x)的周期為|a－b|.(4)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a與x＝b(a≠b)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的周期為2|b－a|.(5)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|.(6)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的周期為4|a|.2．函數(shù)圖象的對(duì)稱性(1)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱；(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a+b23．三次函數(shù)的相關(guān)結(jié)論給定三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，求導(dǎo)得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，則(1)當(dāng)4(b2－3ac)>0時(shí)，f′(x)＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)4(b2－3ac)≤0時(shí)，f(x)無極值點(diǎn)．(2)若函數(shù)f(x)的圖象存在水平切線，則f′(x)＝0有實(shí)數(shù)解，從而4(b2－3ac)≥0.(3)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則a>0且4(b2－3ac)≤0.『易錯(cuò)剖析』易錯(cuò)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)區(qū)間理解不準(zhǔn)確【突破點(diǎn)】對(duì)于函數(shù)的幾個(gè)不同的單調(diào)遞增(減)區(qū)間，切忌使用并集，只要指明這幾個(gè)區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即可．易錯(cuò)點(diǎn)2判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)忽略定義域【突破點(diǎn)】一個(gè)函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果不具備這個(gè)條件，函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)．易錯(cuò)點(diǎn)3用判別式求函數(shù)值域，忽視判別式存在的前提【突破點(diǎn)】(1)確保二次項(xiàng)前的系數(shù)不等于零．(2)確認(rèn)函數(shù)的定義域沒有其他限制．(3)注意檢驗(yàn)答案區(qū)間端點(diǎn)是否符合要求．易錯(cuò)點(diǎn)4函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)【突破點(diǎn)】只有函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有f(a)f(b)<0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)才有零點(diǎn)，但f(a)f(b)>0時(shí)，不能否定函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)．易錯(cuò)點(diǎn)5不清楚導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系【突破點(diǎn)】(1)f′(x0)＝0只是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要條件，即必須有這個(gè)條件，但只有這個(gè)條件還不夠，還要考慮f′(x)在x0兩側(cè)是否異號(hào)．(2)已知極值點(diǎn)求參數(shù)要進(jìn)行檢驗(yàn)．易錯(cuò)點(diǎn)6混淆“切點(diǎn)”致誤【突破點(diǎn)】注意區(qū)分“過點(diǎn)A的切線方程”與“在點(diǎn)A處的切線方程”的不同．“在”說明這點(diǎn)就是切點(diǎn)，“過”只說明切線過這個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)不一定是切點(diǎn)．易錯(cuò)點(diǎn)7導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系理解不準(zhǔn)確【突破點(diǎn)】(1)f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(遞減)的充分不必要條件．(2)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上為單調(diào)增(減)函數(shù)的充要條件為：對(duì)于任意x∈(a，b)，有f(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)內(nèi)的任何子區(qū)間上都不恒為零．若求單調(diào)區(qū)間，可用充分條件．若由單調(diào)性求參數(shù)，可用充要條件．即f′(x)≥0(或f(x)≤0)，否則容易漏解．『易錯(cuò)快攻』易錯(cuò)快攻一函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)[典例1]設(shè)函數(shù)f(x)＝3x+1x≤0，log4xx>0，若關(guān)于x的方程f2(xA．(－23－2，23－2)B．23?2，32C．32，+∞[聽課筆記](1)F(g(x))＝0的根的個(gè)數(shù)問題的解題關(guān)鍵是正確轉(zhuǎn)化所給條件，其轉(zhuǎn)化思路為：先進(jìn)行整體換元，將F(g(x))＝0轉(zhuǎn)化為方程F(t)＝0(t＝g(x))的根的個(gè)數(shù)問題，然后轉(zhuǎn)化為t＝g(x)的根的個(gè)數(shù)問題，再轉(zhuǎn)化為y＝t與y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．(2)“以形助數(shù)”是研究函數(shù)問題時(shí)常采用的策略，本題在作函數(shù)f(x)的圖象時(shí)，要注意指數(shù)函數(shù)3x>0.(3)由關(guān)于t的一元二次方程的實(shí)根分布情況得到關(guān)于a的不等式組是求解本題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，注意一元二次方程的實(shí)根分布問題一般需要從一元二次方程根的判別式，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)所取值的正負(fù)，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系三方面考慮．易錯(cuò)快攻二混淆“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”“函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間”[典例2]設(shè)函數(shù)f(x)＝3x2+axex(1)若f(x)在x＝0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上為減函數(shù)，求a的取值范圍．[聽課筆記](1)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍問題的常用解法有兩種：一種是子區(qū)間法，即利用集合思想求解；另一種是恒成立法，即若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0在區(qū)間D上恒成立(且不恒等于0)．若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0在區(qū)間D上恒成立(且不恒等于0)．(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的方法是解不等式f′(x)<0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間的方法是解不等式f′(x)＞0.解題時(shí)極易混淆“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”與“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”，一定要弄清題意，勿因“＝”出錯(cuò)．四三角函數(shù)與平面向量『必記知識(shí)』1．誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限[提醒]奇變偶不變，符號(hào)看象限“奇、偶”指的是π2的倍數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)，“變與不變”指的是三角函數(shù)名稱的變化，“變”是指正弦變余弦(或余弦變正弦)．“符號(hào)看象限”的含義是：把角α看作銳角，看n·π2±α(n∈2．三種三角函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象單調(diào)性在?(k∈Z)上單調(diào)遞增；在π(k∈Z)上單調(diào)遞減在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減在?(k∈Z)上單調(diào)遞增對(duì)稱性對(duì)稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對(duì)稱軸；x＝π2＋kπ(k∈Z對(duì)稱中心：π2+kπ，0(k∈對(duì)稱軸：x＝kπ(k∈Z)對(duì)稱中心：kπ2，0(k∈[提醒]求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意A與ω的符號(hào)，當(dāng)ω<0時(shí)，需把ω的符號(hào)化為正值后求解．3．三角函數(shù)圖象的變換由函數(shù)y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法[提醒]圖象變換的實(shí)質(zhì)是點(diǎn)的坐標(biāo)的變換，所以三角函數(shù)圖象的伸縮、平移變換可以利用兩個(gè)函數(shù)圖象上的特征點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)確定變換的方式，一般選取離y軸最近的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，當(dāng)然也可以選取在原點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)，根據(jù)這些點(diǎn)的坐標(biāo)即可確定變換的方式、平移的單位與方向等．4．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ.tan(α±β)＝tanαsin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.5．二倍角、輔助角及半角公式(1)二倍角公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝2tan①1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2.②1－sin2α＝(sinα－cosα)2.(2)輔助角公式y(tǒng)＝asinx＋bcosx＝a2+b2(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝a2+b2sin(x＋φ)，其中角φ的終邊所在象限由a，b的符號(hào)確定，角φ6．正、余弦定理及其變形定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA＝bsinBa2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；(5)a+b+csinA+sincosA＝b2cosB＝c2cosC＝a[提醒]在已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)，要注意檢驗(yàn)解是否滿足“大邊對(duì)大角”，避免增解．7．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝a|a|＝x數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝acosθ＝xa⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)x[提醒](1)要特別注意零向量帶來的問題：0的模是0，方向任意，并不是沒有方向；0與任意非零向量平行．(2)a·b>0是〈a，b〉為銳角的必要不充分條件；a·b<0是〈a，b〉為鈍角的必要不充分條件．『必會(huì)結(jié)論』1．降冪、升冪公式(1)降冪公式①sin2α＝1?cos2α2；②cos2α＝1+cos2α2；③sinαcosα＝(2)升冪公式①1＋cosα＝2cos2α2；②1－cosα＝2sin2α2；③1＋sinα＝sinα2+cosα22．常見的輔助角結(jié)論(1)sinx±cosx＝2sinx±π4(2)cosx±sinx＝2cos(3)sinx±3cosx＝2sinx±π3(4)cosx±3sinx＝2cos(5)3sinx±cosx＝2sinx±π6(6)3cosx±sinx＝2cos『易錯(cuò)剖析』易錯(cuò)點(diǎn)1忽視零向量【突破點(diǎn)】零向量是向量中最特殊的向量，規(guī)定零向量的長度為0，其方向是任意的，零向量與任意向量都共線．易錯(cuò)點(diǎn)2向量投影理解錯(cuò)誤【突破點(diǎn)】把向量投影錯(cuò)以為只是正數(shù)．事實(shí)上，向量a在向量b上的投影|a|cosθ是一個(gè)實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，也可以是零．易錯(cuò)點(diǎn)3不清楚向量夾角范圍【突破點(diǎn)】數(shù)學(xué)試題中往往隱含著一些容易被考生所忽視的因素，能不能在解題時(shí)把這些因素考慮到，是解題成功的關(guān)鍵，如當(dāng)a·b<0時(shí)，a與b的夾角不一定為鈍角，要注意隱含的情況．易錯(cuò)點(diǎn)4忽視正、余弦函數(shù)的有界性【突破點(diǎn)】許多三角函數(shù)問題可以通過換元的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決，在換元時(shí)注意正、余弦函數(shù)的有界性．易錯(cuò)點(diǎn)5忽視三角函數(shù)值對(duì)角的范圍的限制【突破點(diǎn)】在解決三角函數(shù)中的求值問題時(shí)，不僅要看已知條件中角的范圍，更重要的是注意挖掘隱含條件，根據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍．易錯(cuò)點(diǎn)6忽視解三角形中的細(xì)節(jié)問題【突破點(diǎn)】(1)解三角形時(shí)，不要忽視角的取值范圍．(2)由兩個(gè)角的正弦值相等求兩角關(guān)系時(shí)，注意不要忽視兩角互補(bǔ)的情況．(3)利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀時(shí)，切忌出現(xiàn)漏解情況．易錯(cuò)點(diǎn)7三角函數(shù)性質(zhì)理解不透徹【突破點(diǎn)】(1)研究奇偶性時(shí)，忽視定義域的要求．(2)研究對(duì)稱性時(shí)，忽視y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的對(duì)稱軸有無窮條、對(duì)稱中心有無數(shù)個(gè)．(3)研究周期性時(shí)，錯(cuò)將y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期寫成2πω易錯(cuò)點(diǎn)8圖象變換方向或變換量把握不準(zhǔn)確【突破點(diǎn)】圖象變換若先作周期變換，再作相位變換，應(yīng)左(右)平移φω個(gè)單位．另外注意根據(jù)φ『易錯(cuò)快攻』易錯(cuò)快攻一忽視向量的夾角范圍致誤[典例1]已知向量a，b均為非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a，b的夾角為()A．π6B．2π3C．π求解此類問題的關(guān)鍵是：根據(jù)向量的數(shù)量積定義，得到cos〈a，b〉＝a·ba易錯(cuò)快攻二函數(shù)圖象平移的方向把握不準(zhǔn)[典例2]將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移π6個(gè)單位長度后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則φ的一個(gè)可能取值為A．π3B．π6[聽課筆記](1)函數(shù)y＝sinωx，ω>0的圖象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移φω個(gè)單位長度(“左加右減”)，得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ(2)解此類題時(shí)需要特別注意的地方有：①三角函數(shù)圖象變換的口訣為“左加右減，上加下減”；②自變量的系數(shù)在非“1”狀態(tài)下的“提取”技巧．五數(shù)列『必記知識(shí)』1．等差數(shù)列設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an.(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列．(4)Snn＝d2n＋a1?(5)Sn＝na1+an2＝(6)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m(m∈N*)，公差為d，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，am＋1為中間兩項(xiàng))，S偶－S奇＝md，S偶S奇(7)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m－1(m∈N*)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m－1＝(2m－1)am(am為中間項(xiàng))，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，S奇S偶(8)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，則Sm＋n＝－(m＋n)．2．等比數(shù)列(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*)．(3)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…成等比數(shù)列(m∈N*)．(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…成等比數(shù)列(n≥2，且n∈N*)．(5)若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，公比為q，奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則S偶S奇(6){an}，{bn}成等比數(shù)列，則{λan}，1an，{anbn}，anbn成等比數(shù)列(λ≠0，(7)通項(xiàng)公式an＝a1qn－1＝a1q·qn，從函數(shù)的角度來看，它可以看作是一個(gè)常數(shù)與一個(gè)關(guān)于(8)與等差中項(xiàng)不同，只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才能有等比中項(xiàng)；兩個(gè)同號(hào)的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．(9)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為xq，x，xq；四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為xq3，xq[提醒](1)如果數(shù)列{an}成等差數(shù)列，那么數(shù)列{A^〖a_〖n〗〗}(A(2)如果數(shù)列{an}成等比數(shù)列，且an>0，那么數(shù)列{logaan}(a>1且a≠1)必成等差數(shù)列．(3)如果數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)列；數(shù)列{an}是常數(shù)列僅是數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要不充分條件．(4)如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原來兩個(gè)等差數(shù)列的公差的最小公倍數(shù)．(5)如果由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)順次組成一個(gè)新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進(jìn)行討論，且以等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中哪些項(xiàng)是它們的公共項(xiàng)，從而分析構(gòu)成什么樣的新數(shù)列．『必會(huì)結(jié)論』1．判斷數(shù)列單調(diào)性的方法(1)作差比較法：an＋1－an>0?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；an＋1－an<0?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；an＋1－an＝0?數(shù)列{an}是常數(shù)列．(2)作商比較法：①當(dāng)an>0時(shí)，則an+1an>1?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；0<an+1an<1?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；an+1an＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列．②當(dāng)an<0時(shí)，則an+1an>1?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；0<an+1(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷．2．?dāng)?shù)列中項(xiàng)的最值的求法(1)借用構(gòu)造法求解：根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)f(n)＝an(n∈N*)，利用求解函數(shù)最值的方法進(jìn)行求解即可，但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)．(2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解：利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求出n的取值范圍，從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化，進(jìn)而求出數(shù)列中項(xiàng)的最值．(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解：若求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)，則可轉(zhuǎn)化為求解an≥an?1，an≥a3．求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法(1)公式法：①等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：an＝S(3)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝f(4)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．(5)已知an+1an＝f(n)，求an，用累乘法：an＝anan?1·an?1an?2·…·a2a1·a1＝f(n－1)·f((6)構(gòu)造等比數(shù)列法：若已知數(shù)列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠q1?p，設(shè)存在非零常數(shù)λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝qp?1，則數(shù)列an+qp?1就是以a1＋qp?1為首項(xiàng)，p(7)倒數(shù)法：若an＝man?1kan?1+b(mkb≠0，n≥2)，對(duì)an＝man?1kan?1+b取倒數(shù)，得到1an＝km·1+ban?1，即1an＝kbm·1an?1+km4．?dāng)?shù)列求和的常用方法(1)公式法：①等差數(shù)列的求和公式；②等比數(shù)列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N(2)分組求和法：當(dāng)直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中的“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和．(3)倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)的和有共性，則?？紤]選用倒序相加法進(jìn)行求和．(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成的，那么常選用錯(cuò)位相減法將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的等比數(shù)列的和”，從而進(jìn)行求解．(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可分裂成“兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和．常用的裂項(xiàng)形式有①1nn+1＝1②1nn+k＝③1k2<1k2?1＝121k?1?1k+1，④1nn+1n+2『易錯(cuò)剖析』易錯(cuò)點(diǎn)1數(shù)列中的最值錯(cuò)誤【突破點(diǎn)】在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中取最值的要點(diǎn)：根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近而定．易錯(cuò)點(diǎn)2不清楚an與Sn的關(guān)系【突破點(diǎn)】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求an時(shí)，利用an＝Sn—Sn－1，需注意分n＝1和n≥2兩種情況討論．易錯(cuò)點(diǎn)3不清楚裂項(xiàng)和拆項(xiàng)的規(guī)律，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)【突破點(diǎn)】“裂項(xiàng)法”的特點(diǎn)：①分式的每個(gè)分子相同，分母都是兩個(gè)(或三個(gè))代數(shù)式相乘，若不具備就需要轉(zhuǎn)化；②剩余項(xiàng)一般是前后對(duì)稱．常見形式有：an易錯(cuò)點(diǎn)4忽視對(duì)等比數(shù)列中公比的分類討論【突破點(diǎn)】在解決等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和時(shí)，通常只想到Sn＝a11?qn1?q『易錯(cuò)快攻』易錯(cuò)快攻一忽視對(duì)n＝1的檢驗(yàn)致錯(cuò)[典例1]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn＝(n＋1)an－2.(1)求a2，a3和通項(xiàng)an；(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn＝an·2n－1，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.[聽課筆記]數(shù)列{an}中，由Sn與an的等量關(guān)系式求an時(shí)，先利用a1＝S1求出首項(xiàng)a1，然后用n－1替換等量關(guān)系式中的n，得到一個(gè)新的等量關(guān)系式，再利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式，最后對(duì)n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，若符合，則可以把數(shù)列{an}的通項(xiàng)合寫，若不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫．而an－an－1＝d(n≥2)與an＋1－an＝d(n∈N*)等價(jià)，anan?1＝q(n≥2)與an+1an＝q(n易錯(cuò)快攻二忽視公比q的取值[典例2]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，則“A＝－B”是“數(shù)列{an}是等比數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[聽課筆記]

a(1)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式Sn＝n特別注意q＝1時(shí)，Sn＝na1這一特殊情況．(2)計(jì)算過程中，若出現(xiàn)方程qn＝t，要看qn中的n是奇數(shù)還是偶數(shù)，若n是奇數(shù)，則q＝nt；若n是偶數(shù)，則t>0時(shí)，q＝±nt，t六立體幾何『必記知識(shí)』1．空間幾何體的表面積和體積幾何體側(cè)面積表面積體積圓柱S側(cè)＝2πrlS表＝2πr(r＋l)V＝S底h＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlS表＝πr(r＋l)V＝13S底h＝13πr圓臺(tái)S側(cè)＝π(r＋r′)lS表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r2＋r′直棱柱S側(cè)＝Ch(C為底面周長)S表＝S側(cè)＋S上＋S下(棱錐的S上＝0)V＝S底h正棱錐S側(cè)＝12Ch′(C為底面周長，hV＝13S底正棱臺(tái)S側(cè)＝12(C＋C′)h′(C，C′分別為上、下底面周長，hV＝13(S上＋S下＋S上球S＝4πR2V＝43πR2.空間線面位置關(guān)系的證明方法(1)線線平行：a?βa∥αα∩β=b?a∥b，a⊥αα∥βα∩γ=aβ∩γ=b?a∥b，a∥(2)線面平行：a∥bb?αa?α?a∥α，α∥βa?β?a∥(3)面面平行：a?α，b?αa∩b=Oa∥β，b∥β?α∥β，a(4)線線垂直：a⊥αb?α?a(5)線面垂直：a?α，b?αa∩b=Olα∥βa⊥α?a⊥β，a∥ba(6)面面垂直：a?βa⊥α?α⊥β，a∥β[提醒]要注意空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理中的條件．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結(jié)論，就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m?α3．用空間向量證明平行垂直設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分別為μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c3)．則有：(1)線面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)線面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β?μ∥υ?μ＝λυ?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β?μ⊥υ?μ·υ＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.4．用向量求空間角(1)直線l1，l2的夾角θ有cosθ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l(wèi)1，l2分別是直線l1，l2的方向向量)．(2)直線l與平面α的夾角θ有sinθ＝|cos〈l，n〉|(其中l(wèi)是直線l的方向向量，n是平面α的法向量)．(3)平面α，β的夾角θ有cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，則α－l－β二面角的平面角為θ或π－θ(其中n1，n2分別是平面α，β的法向量)．[提醒]在處理實(shí)際問題時(shí)，要注意異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍，要根據(jù)具體圖形確定二面角的平面角是銳角還是鈍角．『必會(huì)結(jié)論』1．平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖2．球的組合體(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對(duì)角線長．(2)球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長．(3)球與正四面體的組合體：棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為612a(正四面體高63a的14)，外接球的半徑為64a(正四面體高6『易錯(cuò)剖析』易錯(cuò)點(diǎn)1隨意推廣平面幾何中的結(jié)論【突破點(diǎn)】平面幾何中有些概念和性質(zhì)，推廣到空間中不一定成立．例如“過直線外一點(diǎn)只能作一條直線與已知直線垂直”“垂直于同一條直線的兩條直線平行”等性質(zhì)在空間中就不成立．易錯(cuò)點(diǎn)2不清楚空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系【突破點(diǎn)】解決這類問題的基本思路有兩個(gè)：一是逐個(gè)尋找反例作出否定的判斷或逐個(gè)進(jìn)行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置(如課桌、教室)作出判斷，要注意定理應(yīng)用準(zhǔn)確、考慮問題全面細(xì)致．易錯(cuò)點(diǎn)3表面積的計(jì)算不準(zhǔn)確【突破點(diǎn)】在求表面積時(shí)還要注意空間物體是不是中空的，表面積與側(cè)面積要認(rèn)真區(qū)分．易錯(cuò)點(diǎn)4對(duì)折疊與展開問題認(rèn)識(shí)不清致誤【突破點(diǎn)】注意折疊或展開過程中平面圖形與空間圖形中的變量與不變量，不僅要注意哪些變了，哪些沒變，還要注意位置關(guān)系的變化．『易錯(cuò)快攻』易錯(cuò)快攻忽視平面圖形翻折前后的顯性關(guān)系[典例]如圖，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝2，現(xiàn)沿CN將△CDN折起使△ADN為正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，過BM的平面與線段DN、DC分別交于E，F(xiàn).(1)求證：EF⊥DA；(2)在棱DN上(不含端點(diǎn))是否存在點(diǎn)E，使得直線DB與平面BMEF所成角的正弦值為34，若存在，請(qǐng)確定E[聽課筆記](1)注意建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要說明相交于一點(diǎn)的三線互相垂直，不要忽視對(duì)三線垂直的證明，同時(shí)要抓住翻折后圖形中不變的量與變化的量及其關(guān)系．(2)求解二面角時(shí)，要注意結(jié)合圖形對(duì)二面角的范圍進(jìn)行判斷，即判斷是銳二面角還是鈍二面角，不要直接給出二面角的大小或余弦值．七解析幾何『必記知識(shí)』1．直線方程的五種形式(1)點(diǎn)斜式：y－y1＝k(x－x1)(直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)．(3)兩點(diǎn)式：y?y1y2?y1＝x?x1x2?x1(直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y(4)截距式：xa+yb＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)．2．直線的兩種位置關(guān)系當(dāng)不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時(shí)：(1)兩直線平行l(wèi)1∥l2?k1＝k2.(2)兩直線垂直l1⊥l2?k1·k2＝－1.[提醒]當(dāng)一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時(shí)，兩直線也垂直，此種情形易忽略．3．三種距離公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)間的距離|AB|＝x2(2)點(diǎn)到直線的距離d＝Ax0+By0+CA2+B2(其中點(diǎn)P(x0(3)兩平行線間的距離d＝C2?C1A2+B2(其中兩平行線方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋[提醒]應(yīng)用兩平行線間距離公式時(shí)，注意兩平行線方程中x，y的系數(shù)應(yīng)對(duì)應(yīng)相等．4．圓的方程的兩種形式(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．5．直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法．(2)圓與圓的位置關(guān)系：相交、內(nèi)切、外切、外離、內(nèi)含，代數(shù)判斷法與幾何判斷法．6．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+yy2a2+x圖形幾何性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸，y軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)軸線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長軸和短軸；長軸長為2a，短軸長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率焦距與長軸長的比值：e∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2[提醒]橢圓的離心率反映了焦點(diǎn)遠(yuǎn)離中心的程度，e的大小決定了橢圓的形狀，反映了橢圓的圓扁程度．因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以ba＝1?e2，因此，當(dāng)e越趨近于1時(shí)，ba越趨近于0，橢圓越扁；當(dāng)e越趨近于0時(shí)，ba越趨近于1，橢圓越接近于圓．所以e越大橢圓越扁；e越小橢圓越圓，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，c＝0時(shí)，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2＋y2＝7．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2?yy2a2?x圖形幾何性質(zhì)范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸，y軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實(shí)軸和虛軸；實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率焦距與實(shí)軸長的比值：e∈(1，＋∞)漸近線y＝±bay＝±aba，b，c的關(guān)系a2＝c2－b2[提醒](1)離心率e的取值范圍為(1，＋∞)．當(dāng)e越接近于1時(shí)，雙曲線開口越小；當(dāng)e越接近于＋∞時(shí)，雙曲線開口越大．(2)滿足||PF1|－|PF2||＝2a的點(diǎn)P的軌跡不一定是雙曲線，當(dāng)2a＝0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2的中垂線；當(dāng)0<2a<|F1F2|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡不存在．8．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形幾何性質(zhì)對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0，0)焦點(diǎn)FpF?F0，F(xiàn)0，?準(zhǔn)線方程x＝－px＝py＝－py＝p范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R離心率e＝1『必會(huì)結(jié)論』1．與圓的切線有關(guān)的結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2；(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則過A，B兩點(diǎn)的直線方程為x0x＋y0y＝r2；(4)過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點(diǎn)P(x0，y0)引圓的切線，切點(diǎn)為T，則|PT|＝x0(5)過圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB所在的直線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(6)若圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則過圓外一點(diǎn)P(x0，y0)的切線長d＝x02．橢圓中焦點(diǎn)三角形的相關(guān)結(jié)論由橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形．解決焦點(diǎn)三角形問題常利用橢圓的定義和正、余弦定理．在橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中，若(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(焦半徑公式)，|PF1|＋|PF2|＝2a.(e為橢圓的離心率)(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.3S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝(4)焦點(diǎn)三角形的周長為2(a＋c)．3．雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1)若雙曲線的方程為x2a2?y2b2＝1(a>0，b(2)若漸近線的方程為y＝±bax(a>0，b>0)，即xa±yb＝0，則雙曲線的方程可設(shè)為x2a2(3)若所求雙曲線與雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)有公共漸近線，其方程可設(shè)為x2a24．雙曲線常用的結(jié)論(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦)，其長為2b2a(4)P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則kPA·kPB＝b2a2，S△PF1F2＝(5)P是雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)右支上不同于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I為△PF5．拋物線焦點(diǎn)弦的相關(guān)結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α為直線AB的傾斜角，則(1)焦半徑|AF|＝x1＋p2＝p1?cosα，|BF|＝x2＋(2)x1x2＝p24，y1y2＝－p(3)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin(4)1FA+1(5)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．(6)S△OAB＝p22sinα(『易錯(cuò)剖析』易錯(cuò)點(diǎn)1遺漏方程表示圓的充要條件【突破點(diǎn)】二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F>0，在此條件下，再根據(jù)其他條件求解．易錯(cuò)點(diǎn)2解決截距問題忽略“0”的情形【突破點(diǎn)】解決直線在兩坐標(biāo)軸上的截距或截距具有某種倍數(shù)關(guān)系的問題時(shí)，需注意兩點(diǎn)：(1)截距不是距離，直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.(2)明確直線方程的截距式不能表示過原點(diǎn)或與坐標(biāo)軸垂直的直線．因此解題時(shí)應(yīng)該從截距是否為0進(jìn)行分類討論．易錯(cuò)點(diǎn)3不清楚直線的傾斜角與斜率關(guān)系【突破點(diǎn)】在解決由直線的斜率求其傾斜角的范圍問題時(shí)，先求出直線的斜率k的取值范圍，再利用三角函數(shù)y＝tanx的單調(diào)性，借助函數(shù)的圖象，確定傾斜角的范圍．易錯(cuò)點(diǎn)4忽視斜率不存在的情況【突破點(diǎn)】(1)在解決兩直線平行的相關(guān)問題時(shí)，若利用l1∥l2?k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情況，就會(huì)導(dǎo)致漏解．(2)對(duì)于解決兩直線垂直的相關(guān)問題時(shí)，若利用l1⊥l2?k1·k2＝－1求解，要注意其前提條件是k1與k2必須同時(shí)存在．易錯(cuò)點(diǎn)5忽略直線與圓錐曲線相交問題中的判別式【突破點(diǎn)】凡是涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，一定不能忘記對(duì)判別式的討論．易錯(cuò)點(diǎn)6忽視雙曲線定義中的條件【突破點(diǎn)】雙曲線的定義中，有兩點(diǎn)是缺一不可的：其一，絕對(duì)值；其二，2a<|F1F2|.如果不滿足第一個(gè)條件，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對(duì)值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支．易錯(cuò)點(diǎn)7忽視圓錐曲線定義中的焦點(diǎn)位置【突破點(diǎn)】橢圓的焦點(diǎn)位置由分母的大小確定，雙曲線則是根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)來確定的．解決此類問題時(shí)，一定要將方程化為曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式．易錯(cuò)點(diǎn)8忽視特殊性誤判直線與圓錐曲線位置關(guān)系【突破點(diǎn)】在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，拋物線和雙曲線都有特殊情況，在解題時(shí)要注意，不要忘記其特殊性．『易錯(cuò)快攻』易錯(cuò)快攻一遺漏直線的斜率不存在的情況[典例1]已知橢圓M：x2a2+y23＝1(a>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(－1，0)，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l(1)求橢圓M的方程；(2)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2，求|S1－S2|的最大值．[聽課筆記](1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可設(shè)直線方程為x＝－1；當(dāng)直線l的斜率存在(顯然k≠0)時(shí)，可設(shè)直線方程為y＝k(x＋1)(k≠0)．求解時(shí)一定要分直線l的斜率不存在與直線l的斜率存在兩種情況作答，缺少任何一種情況，步驟都是不完整的．(2)本題可將直線方程巧設(shè)為x＝my－1，用含m的式子表示出|S1－S2|，并求出其最大值．顯然，此法無需考慮直線的斜率是否存在，是解決此類問題的最佳選擇．易錯(cuò)快攻二忽視雙曲線定義中的限制條件[典例2]點(diǎn)P到曲線E上所有點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)P到曲線E的距離，那么平面內(nèi)到定圓C的距離與到圓C外的定點(diǎn)A的距離相等的點(diǎn)P的軌跡是()A．射線B．橢圓C．雙曲線的一支D．雙曲線[聽課筆記]認(rèn)為到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡一律是雙曲線往往是錯(cuò)誤的，一定要注意雙曲線的定義中的限制條件，尤其是定義中“差的絕對(duì)值”這一條件．【技巧點(diǎn)撥】雙曲線的定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式為||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，注意當(dāng)|PF1|－|PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡為以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的一支；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡為分別以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線(包括端點(diǎn))；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在．八概率與統(tǒng)計(jì)『必記知識(shí)』1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，…，在第n類辦法中有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法(也稱加法原理)．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法(也稱乘法原理)．3．排列數(shù)、組合數(shù)公式及其相關(guān)性質(zhì)(1)排列數(shù)公式Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n?m！m≤n，m，n∈N?，Ann＝n！＝n([提醒](1)在這個(gè)公式中m，n∈N*，且m≤n，并且規(guī)定0！＝1，當(dāng)m＝n時(shí)，Anm2Anm＝n！n?m！(2)組合數(shù)公式Cnm＝AnmAmm＝nn?1n?2…[提醒](1)公式Cnm＝n！m！n?m！(2)組合數(shù)的性質(zhì)Cnm＝Cnn?mm≤n，n，m∈N?(3)排列數(shù)與組合數(shù)的聯(lián)系A(chǔ)n4．二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Cn0an+Cn1an?1b1+…+Cnkan?kbk+…+Cnnbn(n∈N*).這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)Cnk(k＝0，1，2，…，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)．式中的Cnkan－kbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用T5．二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從Cn[提醒]對(duì)于二項(xiàng)式定理應(yīng)用時(shí)要注意(1)區(qū)別“項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”，審題時(shí)要仔細(xì)．項(xiàng)的系數(shù)與a，b有關(guān)，可正可負(fù)，二項(xiàng)式系數(shù)只與n有關(guān)，恒為正．(2)運(yùn)用通項(xiàng)求展開的一些特殊項(xiàng)，通常都是由題意列方程求出k，再求所需的某項(xiàng)；有時(shí)需先求n，計(jì)算時(shí)要注意n和k的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系．(3)賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，±1.(4)在化簡求值時(shí)，注意二項(xiàng)式定理的逆用，要用整體思想看待a，b.6．概率的計(jì)算公式(1)古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的基本事件數(shù)m基本事件總數(shù)n(2)互斥事件的概率計(jì)算公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(3)對(duì)立事件的概率計(jì)算公式P(A)＝1－P(A)；7．統(tǒng)計(jì)中四個(gè)數(shù)據(jù)特征(1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)；(2)中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)；(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即x＝1n(x1＋x2＋…＋xn(4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差：s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2標(biāo)準(zhǔn)差：s＝1n8．二項(xiàng)分布(1)相互獨(dú)立事件的概率運(yùn)算①事件A，B相互獨(dú)立?P(AB)＝P(A)P(B)．②若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則這些事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．③事件A，B相互獨(dú)立，則A和B，A與B，A與(2)條件概率P(B|A)＝PAB①0≤P(B|A)≤1.②若B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪CA＝P(B|A)＋P(C|A③若A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．(3)二項(xiàng)分布(伯努利分布）ξ～B(n，p)如果在每次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是P(ξ＝k)＝Cnkpkqn－k，其中k＝0，1，…，n，q＝1－p，于是得到隨機(jī)變量ξ01…k…nPCn0p0qCn1p1q…Cnkpkqn…Cnnpn我們稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并稱p為成功概率．（4）超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝CMkCN?Mn?kCNn，k＝m，m+1，m+2，…，r，其中r＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N9．正態(tài)分布X～N(μ，σ2)(1)正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a＜b)，隨機(jī)變量X滿足P(a＜X≤b)＝abφμ，σ(x)dx(即直線x＝a，直線x＝b，正態(tài)曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交．②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱．③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值1σ2π.④曲⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移．⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．[提醒]P(X≤a)＝1－P(X＞a)；P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)；P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．『必會(huì)結(jié)論』1．求解排列問題常用的方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素的排列產(chǎn)生的空中先整體，后局部“小集團(tuán)”排列問題中，先整體，后局部除法對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：在二項(xiàng)展開式中與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Cnm＝(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)Cnk，當(dāng)k＜n+12時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)k＞n+1(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即Cn0+Cn1+…＋(4)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即Cn0+Cn2＋…＝Cn1+3．均值與方差的性質(zhì)結(jié)論(1)均值的性質(zhì)結(jié)論①E(k)＝k(k為常數(shù))②E(aX＋b)＝aE(X)＋b③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(2)方差的相關(guān)性質(zhì)結(jié)論①D(k)＝0(k為常數(shù))②D(aX＋b)＝a2D(X)③D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值與方差①若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．②若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．③若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，即X～H(N，n，M)，設(shè)則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)『易錯(cuò)剖析』易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表中的概念理解不清，識(shí)圖不準(zhǔn)確【突破點(diǎn)】求解統(tǒng)計(jì)圖表問題，重要的是認(rèn)真觀察圖表，發(fā)現(xiàn)有用信息和數(shù)據(jù)．對(duì)于頻率分布直方圖，應(yīng)注意圖中的每一個(gè)小矩形的面積是落在該區(qū)間上的頻率，所有小矩形的面積和為1，當(dāng)小矩形等高時(shí)，說明頻率相等，計(jì)算時(shí)不要漏掉其中一個(gè)．易錯(cuò)點(diǎn)2對(duì)等可能事件認(rèn)識(shí)不清致誤【突破點(diǎn)】解與等可能事件相關(guān)的題目時(shí)，由于對(duì)等可能性事件的基本事件構(gòu)成理解不清，往往計(jì)算基本事件或多或少或所劃分事件根本不等可能性，從而導(dǎo)致失誤．易錯(cuò)點(diǎn)3對(duì)抽樣概念把握不準(zhǔn)【突破點(diǎn)】解決隨機(jī)抽樣問題時(shí)，造成失分原因是分層中不明確有幾層，計(jì)算比例時(shí)找不準(zhǔn)比例關(guān)系．在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)熟練掌握各種抽樣方法的步驟，注意系統(tǒng)抽樣中各段入樣的個(gè)體編號(hào)成等差數(shù)列，公差即每段的個(gè)體數(shù)．『易錯(cuò)快攻』易錯(cuò)快攻用頻率分布直方圖解題時(shí)誤把縱軸當(dāng)作頻率[典例]沃爾瑪超市為了了解某分店的銷售情況，在該分店的電腦小票中隨機(jī)抽取200張進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將小票上的消費(fèi)金額(單位：元)分成6組，分別是[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500)，[500，600]，制成如圖所示的頻率分布直方圖(假設(shè)抽到的消費(fèi)金額均在[0，600]內(nèi))．(1)求消費(fèi)金額在[300，600]內(nèi)的小票張數(shù)；(2)為做好2020“雙十二”促銷活動(dòng)，該分店設(shè)計(jì)了兩種不同的促銷方案．方案一：全場(chǎng)商品打八五折．方案二：全場(chǎng)購物滿100元減20元，滿300元減80元，滿500元減120元，以上減免只取最高優(yōu)惠，不重復(fù)減免．利用頻率分布直方圖中的信息，分析哪種方案優(yōu)惠力度更大，并說明理由．此類以頻率分布直方圖為背景的方案決策型問題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩處：一是觀圖算頻率出錯(cuò)，需注意頻率分布直方圖的縱軸表示的是“頻率組距”；二是求平均數(shù)出錯(cuò)，即利用頻率分布直方圖估計(jì)重溫基礎(chǔ)，高考“七分靠實(shí)力，三分靠心態(tài)”（參考答案）一集合與常用邏輯用語[典例1]答案：[1，＋∞)解析：①當(dāng)B≠?時(shí)，則有2m≤m+3，2m≥2，②當(dāng)B＝?時(shí)，2m>m＋3，解得m>3.綜合①②，得m≥1，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，＋∞).[典例2答案：B]解析：因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，所以應(yīng)先將存在量詞改成全稱量詞，然后否定結(jié)論即可，所以命題p：?x<0，x2≥1的否定是?x<0，x2<1，故選B.二不等式[典例1]答案：C解析：易知函數(shù)y＝ax＋1－3過定點(diǎn)A(－1，－2)．因?yàn)辄c(diǎn)A在直線mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，所以－m－2n＝－2，即m2＋n所以1m+1n＝1m+1nm2+n＝32+m[典例2]解析：(1)若?x>0，ax2－x＋a≥0即a≥xx2+1恒成立，則只需滿足a≥x令h(x)＝xx2+1(x>0)，則h(x)＝xx2故實(shí)數(shù)a的取值范圍是12(2)不等式f(x)≥0即ax2－x＋a≥0，①當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)≥0即－x≥0，此時(shí)f(x)≥0的解集為(－∞，0].②當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2－x＋a的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝12a，令ax2－x＋a＝0，則Δ＝1?4(ⅰ)當(dāng)a<－12時(shí)，Δ<0，此時(shí)f(x)≥0的解集為?(ⅱ)當(dāng)a＝－12時(shí)，Δ＝0，此時(shí)f(x)≥0的解集為1(ⅲ)當(dāng)－12<a<0時(shí)，Δ>0，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x0＝1±1?4a22a，此時(shí)f(x(ⅳ)當(dāng)0<a<12時(shí)，Δ>0，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x0＝1±1?4a22a，此時(shí)f(x)≥(ⅴ)當(dāng)a≥12時(shí)，Δ≤0，此時(shí)f(x)≥0的解集為R綜上，當(dāng)a<－12時(shí)，f(x)≥0的解集為?；當(dāng)a＝－12時(shí)，f(x)≥0的解集為{－1}；當(dāng)－12<a<0時(shí)，f(x)≥0的解集為1+1?4a22a，1?1?4a22a；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)≥0的解集為(－∞，0]；當(dāng)0<a<12時(shí)，f(x)≥0的解集為?∞，三函數(shù)、導(dǎo)數(shù)[典例1]解析：由題意可知，當(dāng)x≤0時(shí)，1<f(x)≤2，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)≥0，f(x)在(0，1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．設(shè)t＝f(x)，則關(guān)于t的方程t2－(a＋2)t＋3＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且t∈(1，