學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大四版第三章1講

第三章

多維隨機變量從本講起，我們開始第三章的學(xué)習(xí).一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的困難，我們重點討論二維隨機變量.它是第二章內(nèi)容的推廣.

到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述.在打靶時,命中點的位置是由一對r.v(兩個坐標(biāo))來確定的.飛機的重心在空中的位置是由三個r.v(三個坐標(biāo)）來確定的等等.

一般地，我們稱n個隨機變量的整體X=(X1,X2,…，Xn)為n維隨機變量或隨機向量.以下重點討論二維隨機變量.請注意與一維情形的對照.1離散型二維隨機變量1）定義：3)二維離散型隨機變量聯(lián)合分布律的性質(zhì)2、聯(lián)合分布函數(shù)1）定義2）二元分布函數(shù)的幾何意義yo(x,y)(X,Y)3）分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：

（1）F(x,y)是變量x,y的不減函數(shù)，即對于任意固定的

y

,當(dāng)x1<x2時，對于任意固定的

x

,當(dāng)y1<y2時，對于任意固定的y

,

且對于任意固定的

x

,（3）

F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),

即F(x,y)關(guān)于

x

右連續(xù)，關(guān)于y

也右連續(xù).1）定義：對于二維隨機變量(X,Y)分布函數(shù)F(x,y)，如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)，使得對于任意的x，y有：則稱(X,Y)是連續(xù)型的二維隨機變量，函數(shù)f(x,y)稱為二維隨機變量(X,Y)的概率密度，或稱為X和Y的聯(lián)合概率密度。3、二維連續(xù)型隨機變量2)概率密度的性質(zhì)：

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設(shè)G

是平面上的一個區(qū)域，點(X,Y)落在

G內(nèi)的概率為：Importantformula

在幾何上z=f(x,y)表示空間的一個曲面，上式即表示P{(X,Y)G}的值等于以G為底，以曲面

z=f(x,y)為頂?shù)闹w體積.

二維隨機變量（X,Y）聯(lián)合分布離散型i,j=1,2,…X和Y的聯(lián)合概率函數(shù)k=1,2,…離散型一維隨機變量Xk=1,2,…X的概率函數(shù)

連續(xù)型一維隨機變量XX的密度函數(shù)

f(x)二維隨機變量（X,Y）連續(xù)型X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)二維隨機變量（X,Y）X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)

X的分布函數(shù)一維隨機變量X例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求(X,Y)的概率函數(shù).解：（X,Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0,Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1,Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2,Y=1)=3/8P(X=3,Y=0)=1/8列表如下二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律.而單個隨機變量X,Y也具有自己的概率分布.那么要問:二者之間有什么關(guān)系呢?

從表中不難求得:P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=3,Y=3)=1/8+1/8=2/8.注意這兩個分布正好是表2的行和與列和.如下表所示我們常將邊緣概率函數(shù)寫在聯(lián)合概率函數(shù)表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.

邊緣分布也稱為邊沿分布或邊際分布．邊緣分布的定義：聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.一般，對離散型r.v(X,Y)，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率函數(shù)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率函數(shù)為X和Y的聯(lián)合概率函數(shù)為對連續(xù)型r.v(X,Y)，X和Y的聯(lián)合概率密度為則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率函數(shù)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率函數(shù)為對任意r.v(X,Y)，X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為例2例3x+y=1x=1y=2例3（續(xù)）例4設(shè)(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）兩個邊緣密度。=5c/24=1,c=24/5解：(1)由確定C例4

設(shè)(X,Y)的概率密度是解:(2)求(1)

c的值;(2)

兩個邊緣密度

.注意積分限注意取值范圍xy01y=x例4

設(shè)(X,Y)的概率密度是解:(2)求(1)

c的值;(2)

兩個邊緣密度

.注意積分限注意取值范圍xy01y=x即練習(xí)：設(shè)隨機變量（X,Y）具有下列概率密度求其中的未知參數(shù)c,并求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度。

在求連續(xù)型r.v的邊緣密度時，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分.當(dāng)聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時候，在計算積分時應(yīng)特別注意積分限.下面我們介紹兩個常見的二維分布.設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點，若質(zhì)點落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關(guān).則質(zhì)點的坐標(biāo)（X,Y）在G上服從均勻分布.例若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度記作（X,Y）～N()則稱（X,Y）服從參數(shù)為

的二維正態(tài)分布.其中均為常數(shù),且二維正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布.留給同學(xué)們自己證明.在這一講中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變量的聯(lián)合分布、邊緣分布.由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.那么要問，在什么情況下，由邊緣分布可以唯一確定聯(lián)合分布呢？請注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系:我們下一講就來回答這個問題.芝諾悖論與第二次數(shù)學(xué)危機十七、十八世紀(jì)關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭論，被稱為第二次數(shù)學(xué)危機。從歷史或邏輯的觀點來看，它的發(fā)生也帶有必然性。這次危機的萌芽出現(xiàn)在大約公元前450年，芝諾注意到由于對無限性的理解問題而產(chǎn)生的矛盾，提出了關(guān)于時空的有限與無限的四個悖論：

“兩分法”：向著一個目的地運動的物體，首先必須經(jīng)過路程的中點，然而要經(jīng)過這點，又必須先經(jīng)過路程的1/4點……，如此類推以至無窮?！Y(jié)論是：無窮是不可窮盡的過程，運動是不可能的。

“阿基里斯(《荷馬史詩》中的善跑的英雄)追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達烏龜?shù)某霭l(fā)點，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個論點同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過的路程一再平分?！帮w矢不動”：意思是箭在運動過程中的任一瞬時間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運動狀態(tài)。

“操場或游行隊伍”：A、B兩件物體以等速向相反方向運動。從靜止的c來看，比如說A、B都在1小時內(nèi)移動了2公里，可是從A看來，則B在1小時內(nèi)就移動了4公里。運動是矛盾的，所以運動是不可能的。芝諾揭示的矛盾是深刻而復(fù)雜的。前兩個悖論詰難了關(guān)于時間和空間無限可分，因而運動是連續(xù)的觀點，后兩個悖論詰難了時間和空間不能無限可分，因而運動是間斷的觀點。它們說明了人們已經(jīng)看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無法解決這些矛盾。經(jīng)過許多人多年的努力，終于在17世紀(jì)晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學(xué)科。由于運算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，微積分成為當(dāng)時解決問題的重要工具。同時，關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問題也越來越嚴(yán)重。關(guān)鍵問題就是無窮小量究競