我愛學習數學ch101向量

第十第一部量代第二部分空間解析幾在 中數量關系坐標方程（）基本方法坐標法第十三、向量的內四、向量的外積和混合一、向量的概向量:既有大小又有方向的量稱為向量(又稱矢量).表示法:有向M1M2a,或a向量的模:向量的大小,記作M1 ,或a,或a(矢徑

起點為原點的向量M自由向量與起點無關的向量M 單位向量:1的向量

a或a零向量:模為0的向量 記作或0若向量ab大小相等方向相同,則稱ab相等,記作a＝b;若向量ab方向相同或相反ab平行,記a∥b;規(guī)定零向量與任何向量平行a的模相同但方向相反的向量稱為a的負向量,記作－a;兩向量共線.若k(≥3)個向量經平移可移到同一平面上 則稱此個向量共面二、向量的運(a(ab)a(bccbab平行四邊形法則 babaab三角abaa運算規(guī)律交律結合

abb(ab)ca(bc)ab三角形法則可推廣到多個向量相.sa1a2a3a4s向量的減bab(a特別當ba時aaa(a)三角不等ab abab ab

b

ba是一個數a的乘積是一個新向量a 規(guī)定:0a與a同向

0時 a與a反

0時 0aaa總之 aa

可1aa運算律結律

(a) a

1aa分配

(ab

aa

若a

則有單位向a

a

因此aa定理證:

設a為非零向量,則 ba”.設a∥b,?。健?/p>

(為唯一實數baab同向ba取正號,反向時取負號,ba同向,aba abab

再證數的唯一性設又有b＝a,()aa0

0即 已知b＝a,當0時 當0時 a,b同 當0時 a,b反例1.M為ABCD對角線的交點ABa,ADb試用a與bMAMBMCMD解 abAC2MC2 baBD2MD2 MA1(ab MB1(ba MC1(ab MD1(ba 設a,b是不共線的非零向量證明：ab與ab也不共證明

由已知，ab

ab假定ab與ab共則存在

（1）a1 時，a1 則a與b共若1，b因此，無論1或1都與已 三、向引例設一物體在常力F作用下,沿與力夾角為的直線移動,位移為s, 則力F所做的功為FW sF MWF 定義給定向 和

OAa，OBb，B B 為向量a和 (ab

的夾角 (ab0

ab平行或共線，

a//b當當ab 2

ab垂直(正交）記ab 定義給定向量a和b稱|a||b|cos(ab) 向量a和b的內積，記為ab或（aab內積也稱為數量數量積的運算 aa|a abba a(bc)abac (a)b(ab)a(b 0a 推論 若ab均為非零向量， cos(a,b)

a |a||b 當(a,b 2

cosab)0

ab

若ab0， 即有a

|a|

或|b|

(a,b 2 推論 非零向量ab的充要條件

ab例3.證明三角形余弦c2a2b22ab CCBa CAb AB Cab)(a caab)(ac2(

)a bb2aa2

b22

ba

,b

b,c c2a2b22ab 例 若ab為非零向量，且|ab||ab|試證a 證由|ab||ab 可 (ab)(ab)(ab)(ab| 即所以從

a |b 2ab|a |b 2a ab a例 用向量方法證明三角

的三 交于一點C 在ABC設過A點與B點的高交于點O OCOABC，OBAC

OABC OA(OCOB)0，從 OBAC

OAOCOAOB； OBOCOBOA； (12)

OAOCOBOC，

OC(OBOA)亦即OCAB

ABC為相異點AB0．則或OC0或

OCOC0O

重合，即ACB 2從而可知 交于一投 投定 設OAa，OB C為B在直線OA上的垂足 則 稱為向量 在 上的投影向量BB|b|cos(a,b 稱為 在 上的投影(量 也稱為 在 方向上的分量

記為Prja 或(b)注

a,b

Prjab a,b2

BPrjabB ab|a||b|cos(a,b |a|Prja |b|Prjb

Prj a

ao |aPrjb

a bo|b四、向量的外積和混向量的外積（向量積、叉積定

a設a、b是兩個給定的互不a與b的外積是一個向量，記

的非零向量 aO O其大

|ab||a||b|sin(a, 其方向同時垂直于a、b 并且a,b 兩個非零向量 與

abcacaba | b|表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的面積向量積的運算法

ab(ba

(反交換 (a)b(ab)a(b

(與數乘的結合律

abc aba (左分配律 (ab)

acb

右分配律向量的混合定義已知三向量abc,稱數abc為abc的混合ab.ab

abc (ab)

Pr c性 [a,b,c][b,c,a][c,a,b c abcbac 輪換不變性aacba以abc為棱作平行六面體,則底面積A

a

高h

故平行六面體體積VAh a abc

cos (ab) 例 化簡[(ab)(bc)](c 解abbc)]ca (abacbbbc)(ca (ab)c(ac)c(bc)c(ab)a(ac)a(bc)0000 0000(ab)c(bc) 2(ab)