數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法總結(jié)

華北水利水電學(xué)院數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法。（總結(jié)）課程名稱： 高等數(shù)學(xué)（下）專業(yè)班級(jí)： 成員組成聯(lián)系方式： 2012年5月18日摘要：在學(xué)習(xí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的時(shí)候，對(duì)于單一的方法所出的例題，大家都知道用何種方法去解決。但是等到所有的方法學(xué)完之后，再給出題目，大家似乎一頭霧水，不知道用哪一種方法。有些同學(xué)甚至挨個(gè)拭每一種方法，雖然也可行。但是對(duì)于同一個(gè)級(jí)數(shù)，用不同的方法判斷斂散性的難易程度不同，如果選用合適的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果懸選擇了錯(cuò)誤的方法，可能費(fèi)了九牛二虎之力之后，得出的結(jié)果還是錯(cuò)誤的。所以我們有必要總結(jié)一下判斷斂散性的方法，了解它們的特性，才能更好地運(yùn)用它們。關(guān)鍵詞：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，斂散性，判斷，方法。英文題目Abstract:Singleoutexamplestolearnanumberofseries,weallknowwhichwaytogo.Butwaituntilallofthemethodsaftercompletingtheirstudiesaregiventopics,everyoneseemsconfusedanddonotknowwhatkindofway.Somestudentsevenonebyoneswabofeachmethod,althoughitisalsofeasible.Butforoneseries,usingdifferentmethodstodeterminetheconvergenceanddivergenceofthedegreeofdifficulty,iftheappropriatechoiceofthewaytoamultipliereffect,butifthehanginghaschosenthewrongway,mayhavespentninecattletigersafterthepower,theresultiswrong.Soweneedtosumuptodeterminetheconvergenceanddivergence,andtounderstandtheircharacteristics,inordertomakebetteruseofthem.K”Words，numberofseries,convergenceanddivergenceofjudgment.引言：以下介紹書中所提到的判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的定理，并通過一些例題，講解它們各自的適用范圍。并總結(jié)出判斷斂散性的一般思維過程。

以下介紹相關(guān)定義及定理、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義：無窮多常數(shù)項(xiàng)累加求和Za=a+a+a+a+ 常見的幾類重要的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)中所有項(xiàng)均大于等于零。交錯(cuò)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)中的項(xiàng)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)。等比級(jí)數(shù)a+aq+aq2+aq3+ +aqn+=Zaqn調(diào)和級(jí)數(shù)1+阜+..1+阜+..23X-nn=1P--級(jí)數(shù)1+±+?..+1P--級(jí)數(shù)1+±+?..+1p 2p 3p 1—npX-1npn=1在以下的判別中這幾類級(jí)數(shù)將會(huì)有重要的運(yùn)用相關(guān)定理定理一：如果!吧Q/0，則可判斷該級(jí)數(shù)一定不收斂。定理二、等比級(jí)數(shù)判別法:￡定理二、等比級(jí)數(shù)判別法:￡arn-1(a豐0)n=1當(dāng)W<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)H之1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散定理三、￡-1(p>0)定理三、p--級(jí)數(shù)判別法：n=1np⑴當(dāng)。<p<1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散（2）當(dāng)p>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂注：調(diào)和級(jí)數(shù)是特出的p級(jí)數(shù)，這時(shí)p=1。定理四、設(shè)￡u與￡匕是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若當(dāng)u<vn且級(jí)數(shù)￡L收斂時(shí)，級(jí)數(shù)ZU也收斂；

當(dāng)vn<un且級(jí)數(shù)￡vn發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)￡U也發(fā)散;定理五、（極限形式）若￡U為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且lim可一q則⑴當(dāng)q<1時(shí)，級(jí)數(shù)￡U也收斂；（2）當(dāng)q>1時(shí)，或q=+8時(shí)，級(jí)數(shù)￡Un發(fā)散；注：當(dāng)q=1時(shí)，）比式判別法不能對(duì)級(jí)數(shù)的斂散性作出判斷，“￡-￡1因?yàn)樗赡苁鞘諗康?，也可能是發(fā)散的.例如，級(jí)數(shù) n2與n，它lim鴛=1 ￡1 ￡1們的比式極限都是n由u 但n2是收斂的，而n是發(fā)散的.注：對(duì)于定理四和定理五當(dāng)判斷一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，需要構(gòu)造一個(gè)級(jí)數(shù)，這個(gè)構(gòu)造的過程就要求我們對(duì)一些常用的有特殊性質(zhì)的級(jí)數(shù)有所了解。例如：調(diào)和級(jí)數(shù)，等比級(jí)數(shù)，p級(jí)數(shù)。比較法雖然簡(jiǎn)單，但是需要構(gòu)造新級(jí)數(shù)，所以比較麻煩。以下介紹一種方法用于自身比較。

定理六、（極限形式）若Zun為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且可此二1則⑴當(dāng)l<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂（2）當(dāng)l〉1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散注：當(dāng)1=1時(shí)，根式不能對(duì)級(jí)數(shù)的斂散性作出判斷例如，Z_1 Z1 Z_1 Z1級(jí)數(shù) n2與n，二者都有ngn1n，但n2是收斂的，而n是? Z-1…A Z1 -發(fā)散的.但n2是收斂的，而n是發(fā)散的.定理七、若交錯(cuò)級(jí)數(shù)Z（-1）n-1u滿足:（1）（2（2）limu=0則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂絕對(duì)收斂與條件收斂對(duì)于一般項(xiàng)級(jí)數(shù)u1+u2+…+un+…，其各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)，若級(jí)數(shù)ZUZUn=1n各項(xiàng)的絕對(duì)值所構(gòu)成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)Zu| Zun=1n收斂，則稱級(jí)數(shù)n=1n絕對(duì)Zu ZuI Zu收斂;若級(jí)數(shù)n=1n收斂，而級(jí)數(shù)n=1"1發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)n=1〃條件收斂.易Z（-1）nJ Z（-1）nJ知n=1 n2是絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，而n=. n是條件收斂級(jí)數(shù).ZuI zu定理八、若n=17收斂，則n=1必收斂.對(duì)于有些特殊級(jí)數(shù)，既不是正項(xiàng)級(jí)數(shù)也不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可以通過取絕對(duì)值，轉(zhuǎn)換為正項(xiàng)級(jí)數(shù)后，再利用定理八，進(jìn)行判斷。以下介紹一種通過積分判斷的方法。此方法的特點(diǎn)是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以反常積分為比較對(duì)象來判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。定理九 設(shè)/⑴為口，+8)上非負(fù)減函數(shù)，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)Z/⑺與反常積分廠"x"同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。證明：由假設(shè)/⑴為［1，+8)上非負(fù)減函數(shù)，則對(duì)任何正數(shù)A,/⑴在［1,A］上可積,從而有 ”=2,3,Ef(n)<\mf(x)dx<X/(n-1)=S/(n)TOC\o"1-5"\h\z依次相加，得 - 1 -I若反常積分收斂，則對(duì)Dm,有S=^f(n)<fm+imfMdx</(l)+f+0Of(x)tZx加 1 1n=l 1 1 °于是，知級(jí)數(shù)Z/5)收斂。反之，若級(jí)數(shù)收斂，則對(duì)任意正整數(shù)皿>D,有\(zhòng)mf(x)dx<S=￡/WwZf(n)=S1 m-1n=l °又因/⑴為［1，+8)上非負(fù)減函數(shù)，故對(duì)任何A>1,有o<hMd.<Sn<s^〃“0+1。故知，反常積分⑴公收斂。同理可證它們同時(shí)發(fā)散。三、以下給出例題做具體分析yon例題1、判斷級(jí)數(shù)是否收斂rn-1o解：扉100〃+1—麗二，所以此級(jí)數(shù)發(fā)散。

立1TOC\o"1-5"\h\z但是當(dāng)射0時(shí)，不能判斷該級(jí)數(shù)是否收斂。例如In。因此吧0n<^^ n— n7^^只是一個(gè)必要條件，而非充分條件。例題2、k>0,且予T收斂，證明J"蒜耳絕對(duì)收斂?（此題正是利用了比較法，輕松地證明了此題.）a, 1、,n.<i（a2+ ）解：vn2+k2nn2+kE9aa2X1 Z-n又n二1n、心n2+k收斂，則n=1 <n2+k收斂，￡（-1）n^^故n=1 Vn2+k絕對(duì)收斂.￡Jin+1

（一,ln ）例題3、判別級(jí)數(shù)n=1nn 的斂散性.解：利用不等式lnx<x1nn+11nn+1=一?In nn=—一?In < nn+1nn+1￡（1.，） ￡（Ln山）因?yàn)閚=1nn+1收斂，故n=1nn收斂.￡1,11 1乙一=1+—+—+…一+…例題4、斷調(diào)和級(jí)數(shù)n=1n23n 的斂散性?！?=1+1+-解因?yàn)閚=1n23n可以按如下加括號(hào)，得，級(jí)數(shù)(1+1)+(1+1)+(1+1)+(1+1)+(1+1+1+1)+(12 34 5678 9+—+-+11011121314+—)+....

1516而上述加括號(hào)后的級(jí)的各項(xiàng)大于級(jí)數(shù)1+(11+(1+2 4的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，又后一級(jí)數(shù)n=12是發(fā)散的，所以原調(diào)和級(jí)數(shù)八=1n是發(fā)散的。注:在級(jí)數(shù)斂散性判斷時(shí)，對(duì)于某些一般項(xiàng)處理起來比較困難時(shí)，可以通過合并或拆分來使一般項(xiàng)變得方便處理?！阺in2n例題5、判斷級(jí)數(shù)n=1n2是否收斂解:因sin2n1 4 解:因sin2n1 4 且n=1n2為p=2時(shí)的p級(jí)數(shù)，此級(jí)數(shù)收斂。所以nTn2也收斂。注：如果級(jí)數(shù)中不是所有的項(xiàng)都滿足M"Un，而是從有限項(xiàng)開始才滿足。也可以用比較法判斷斂散性。因?yàn)楦淖兗?jí)數(shù)的前有限項(xiàng)不改變級(jí)數(shù)的斂散性。例題6例題6、證明級(jí)數(shù)1+L1+…+L…

2!3!n!收斂.n!1x2x3n!1x2x3x…xn滿足n! 2n-1,立(1)n-1

2n=1是等比級(jí)數(shù)(q=5<1)，由比較判別法可知，級(jí)數(shù)n=1n!收斂.本題應(yīng)用比較法雖然可以解決，但是比較繁瑣。以下用比值法解該題。解法二、因，所以判斷該級(jí)數(shù)收斂。解法二、因，所以判斷該級(jí)數(shù)收斂。例題7、判別級(jí)數(shù)￡sinn的斂散性解：它不是等比級(jí)數(shù)也不是p—級(jí)數(shù)，也無法用比式判別法和根式判別法來解題。由于1sin別法來解題。由于1sin—lim—1nnT8nV1，根據(jù)比較原則，及調(diào)和級(jí)數(shù)n發(fā)V.1… …乙sin— .…散，所以級(jí)數(shù)sn也發(fā)散.注：這是比較法的極限形勢(shì)。是比較法的更深度的運(yùn)用。注：這是比較法的極限形勢(shì)。是比較法的更深度的運(yùn)用。例題8、判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)例題8、判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)八.1￡nsm—3”的斂散性.解因?yàn)?解因?yàn)?3n+1)

~TJ(n+1)sin—!— .u 3n+1 n+1lim^n+1=lim =lim( nf+8u n—+8 n■+%nn nsin—3n1n+1 1 1=—lim =一<13…n3，所以該級(jí)數(shù)收斂.注：本題是比值法的應(yīng)用，從中可以看出，比值法是通過比值的方法消去某些因子，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的。所以運(yùn)用比值法時(shí)，應(yīng)注意觀察通過比值能否消去某些項(xiàng)，能否達(dá)到簡(jiǎn)化的目的。V，例題9、判斷級(jí)數(shù)n.12n+1的斂散性.A,0<，<_1 ■T.1<1…寸L…一一一解因?yàn)?n+12n，而飛2n2，所以n曰2n收斂.再根據(jù)比較V，判別法，原級(jí)數(shù)n.12n+1收斂.注：本題是比較法和根植法的聯(lián)合應(yīng)用，所以有時(shí)應(yīng)用單一的方法無法解決某些問題時(shí)，可以應(yīng)用多種方法，逐步達(dá)到簡(jiǎn)化的目的?！?—)n(%>0)例題10、設(shè)an>0，且嗎n=",試判斷級(jí)數(shù)n.1an 的斂散性.

0<(—)n解因?yàn)閍根值判別法有，XX1( )n naa,x 1xlim——二0<(—)n解因?yàn)閍根值判別法有，XX1( )n naa,x 1xlim——二xlim——二—11||nf+8anf+8aan n;所以，根據(jù)(1)當(dāng)X<a時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(2)當(dāng)x〉a時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)x=a時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.注：根植法對(duì)于處理通項(xiàng)中罕有n次方的級(jí)數(shù)時(shí)，有著特別方便的應(yīng)用。例題11、?1?1 1,+ + n-1 +判斷級(jí)數(shù)12!3! (1)n! 的斂散性.解因?yàn)? 1u= > =u(1)n n! (n+1)! n+1(n=1,2,…)；limu=lim—=0(2)n.+<?nn.+<?n! ?所以它是收斂的.￡sinnx例題12、 判斷級(jí)數(shù)n=1.的斂散性.解因?yàn)閟innx\<1n2 n2.y0 1而級(jí)數(shù)n=1n2收斂.由比較判別法知，級(jí)數(shù)￡n=1sinnxn2收斂，所以級(jí)數(shù)n=1￡sinnx

n2絕對(duì)收斂.例題13、證明級(jí)數(shù)寸2n—1 357 2n—1￡(—1)n—1 =1——+———++(—1)n—1 +???2n—1 248 2n—1n=1絕對(duì)收斂.-10-

因?yàn)閘imnf+8u—因?yàn)閘imnf+8u—n+1un=limnf+82n

2n^r2n-1根據(jù)比值判別法，級(jí)數(shù)￡Unn=￡Unn=11n=12n-1收斂，從而，此交錯(cuò)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.￡±例題14、判斷級(jí)數(shù)n=1np的斂散性。解：此題為p級(jí)數(shù)，但是也可以用積分判斷法解決。函數(shù)fQ)=5，當(dāng)p>0時(shí)在k+s］上是非負(fù)減函數(shù)。知道反常積分J+.空 ￡±1xp在p>1時(shí)收斂，P41時(shí)發(fā)散.故由定理4得XP去當(dāng)P>1時(shí)收斂，當(dāng)。<p<1時(shí)發(fā)散。至于P<0的情形，則可由定理12.1推論知道它也是發(fā)散的。結(jié)束語(yǔ)：在以上的例題中，可以看出，每一個(gè)題，可能