常微分方程第五章線性微分方程組

常微分方程第五章線性微分方程組第一頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六例如，已知在空間運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間及點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系為且質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t經(jīng)過點(diǎn)求該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。第二頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六因?yàn)?所以這個(gè)問題其實(shí)就是求一階微分方程組滿足初始條件的解（1.12）第三頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六中,令就可以把它化成等價(jià)的一階微分方程組注意，這是一個(gè)含n個(gè)未知函數(shù)的一階微分方程組。。另外，在n階微分方程第四頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六含有n個(gè)未知函數(shù)的一階微分方程組的一般形式為：此方程組在上的一個(gè)解，是這樣的一組函數(shù)使得在上有恒等式第五頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六含有n個(gè)任意常數(shù)的解稱為方程組的通解.如果通解滿足方程組第六頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六則稱后者為(1)的通積分.如果已求得(1)的通解或通積分，要求滿足初始條件的解，可以把此初始條件代入通解或通積分之中，得到關(guān)于的n個(gè)方程式，如果從其中解得再代回通解或通積分中，就得到所求的初值問題的解.

第七頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六為了簡(jiǎn)潔方便，經(jīng)常采用向量與矩陣來研究一階微分方程組(1)令n維向量函數(shù)并定義則(1)可記成向量形式第八頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六初始條件可記為

其中這樣，從形式上看，一階方程組與一階方程式完全一樣了。

進(jìn)一步，對(duì)n維向量Y和矩陣,第九頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六定義易于證明以下性質(zhì)：

當(dāng)且僅當(dāng)Y=0(0表示零向量，下同);

第十頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六對(duì)任意常數(shù)有對(duì)任意常數(shù)有

稱‖Y‖和‖A‖分別為向量Y和矩陣A的范數(shù)。進(jìn)而還有如下性質(zhì)第十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六有了以上準(zhǔn)備，完全類似于第三章定理3.1，我們有如下的關(guān)于初值問題(1)的解的存在與唯一性定理.定理5.1

如果函數(shù)F(x,Y)在n+1維空間的區(qū)域上滿足：

1)連續(xù)；

2)關(guān)于Y滿足李普希茲條件，即存在N>0,使對(duì)于R上任意兩點(diǎn)有則初值問題(1)的解在上存在且唯一，其中

第十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六如果在一階微分方程組(1)中，函數(shù)方程組（1）是線性的。為線性的。5.2一階線性微分方程組的一般概念

關(guān)于第十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六則稱(1)為一階線性微分方程組。我們總假設(shè)(1)的系數(shù)及在某個(gè)區(qū)間上連續(xù)。向量形式：記：第十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六向量形式如果在I上，,方程組變成（5.2)

我們把(5.2)稱為一階線性齊次方程組。

如果(5.2與(5.1)中A(x)相同，則稱(5.2)為(5.1)的對(duì)應(yīng)的齊次方程組.與第二章中關(guān)于一階線性微分方程的結(jié)果類似，我們可以證明如下的關(guān)于(5.1)的滿足初始條件(5.3)的解的存在與唯一性定理.

（5.1)

（5.3)第十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理5.1′如果(5.1)中的A(x)及F(x)在區(qū)間I=上連續(xù)，則對(duì)于上任一點(diǎn)x以及任意給定的方程組(5.1)的滿足初始條件(5.3)的解在上存在且唯一.

它的結(jié)論與定理3.1的不同之處是：定理3.1的解的存在區(qū)間是局部的，而定理5.1則指出解在整個(gè)區(qū)間上存在.第十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.2一階線性齊次方程組的一般理論

1．一階線性齊次微分方程組解的性質(zhì)

本節(jié)主要研究一階線性齊次方程組(5.2)的通解結(jié)構(gòu).為此我們首先從(5.2)的解的性質(zhì)入手.

（5.2)

第十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

是方程組(5.2)的m個(gè)解，則

也是(5.2)的解，其中是任意常數(shù).換句話說，線性齊次方程組(5.2)的任何有限個(gè)解的線性組合仍為(5.2)的解.

若

(5.4)

第十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理5.2告訴我們，一階線性齊次微分方程組(5.2)的解集合構(gòu)成了一個(gè)線性空間.為了搞清楚這個(gè)線性空間的性質(zhì)，進(jìn)而得到方程組(5.2)的解的結(jié)構(gòu)，我們引入如下概念.

定義5.1

，使得

在區(qū)間I上恒成立，則稱這m個(gè)向量函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)；否則稱它們?cè)趨^(qū)間I上線性無關(guān).

顯然，兩個(gè)向量函數(shù)的對(duì)應(yīng)分量成比例是它們?cè)趨^(qū)間I上線性相關(guān)的充要條件.另外，如果在向量組中有一零向量，則它們?cè)趨^(qū)間I上線性相關(guān).

若有函數(shù)組

第十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

例3中兩個(gè)向量函數(shù)的各個(gè)對(duì)應(yīng)分量都構(gòu)成線性相關(guān)函數(shù)組.這個(gè)例題說明，向量函數(shù)組的線性相關(guān)性和由它們的分量構(gòu)成的函數(shù)組的線性相關(guān)性并不等價(jià).下面介紹n個(gè)n維向量函數(shù)組

在其定義區(qū)間I上線性相關(guān)與線性無關(guān)的判別準(zhǔn)則.

我們考察由這些列向量所組成的行列式

通常把它稱為向量組(5.10)的朗斯基(Wronski)行列式.

(5.10)

第二十頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

定理5.3

如果向量組(5.10)在區(qū)間I上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零.

證明依假設(shè)，存在不全為零的常數(shù),使得

把上式寫成純量形式，有

這是關(guān)于的線性齊次代數(shù)方程組，且它對(duì)任一都有非零解根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，它的系數(shù)行列式都為零.故在I上有W(x)≡0.證畢.

W(x)對(duì)任一第二十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六對(duì)于一般的向量函數(shù)組,定理3.3的逆定理未必成立.例如向量函數(shù)

的朗斯基行列式恒等于零，但它們卻是線性無關(guān)的.然而，當(dāng)所討論的向量函數(shù)組是方程組(5.8)的解時(shí)，我們有下面的結(jié)論.

定理5.4

如果是方程組(5.8)的n個(gè)線性無關(guān)解，則它的朗斯基行列式W(x)在I上恒不為零.

第二十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

由定理5.3和定理5.4立即得到如下的推論.

推論5.1

如果向量組(5.10)的朗斯基行列式W(x)在區(qū)間I上的某一點(diǎn)處不等于零，即,則向量組(5.10)在I上線性無關(guān).

實(shí)際上，這個(gè)推論是定理5.3的逆否命題.

推論5.2

如果方程組(5.8)的n個(gè)解的朗斯基行列式W(x)在其定義區(qū)間I上某一點(diǎn)x0等于零，即則該解組在I上必線性相關(guān).第二十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六實(shí)際上，這個(gè)推論是定理5.4的逆否命題.

推論5.3

方程組(5.2)的n個(gè)解在其定義區(qū)間I上線性無關(guān)的充要條件是它們的朗斯基行列式W(x)在I上任一點(diǎn)不為零.

條件的充分性由推論5.1立即可以得到．

必要性用反證法及推論5.2證明是顯然的．證畢．2．一階線性齊次微分方程組解空間的結(jié)構(gòu)．

我們把一階線性齊次方程組(5.2)的n個(gè)線性無關(guān)解稱為它的基本解組.

例4

易于驗(yàn)證向量函數(shù)

第二十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

是方程組

的基本解組.

定理5.5

方程組(5.2)必存在基本解組.

第二十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

定理5.6

如果是齊次方程組(5.2)的基本解組，則其線性組合

是齊次方程組(5.2)的通解,其中為n個(gè)任意常數(shù).

推論5.4

線性齊次方程組(5.2)的線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)不能多于n

個(gè).

第二十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

3．劉維爾公式

齊次方程組(5.2)的解和其系數(shù)之間有下列聯(lián)系.

定理5.7

如果是齊次方程組(5.2)的n個(gè)解，則這n個(gè)解的朗斯基行列式與方程組(5.2)的系數(shù)有如下關(guān)系式

這個(gè)關(guān)系式稱為劉維爾(Liouville)公式.

第二十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

在代數(shù)學(xué)中，稱為矩陣的跡，記作，因此劉維爾公式可表為

從劉維爾公式可以看出，齊次方程組（5.2）的幾個(gè)解所構(gòu)成的朗斯基行列式W(x)或者恒為零，或者恒不為零．第二十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六5．4一階線性非齊次方程組的一般理論

本節(jié)研究一階線性非齊次方程組

的通解結(jié)構(gòu)與常數(shù)變易法.

5.4.1通解結(jié)構(gòu)

定理3.8

如果是線性非齊次方程組(5.1)的解，而是其對(duì)應(yīng)齊次方程組(5.2)的解，則是非齊次方程組(5.1)的解.

定理5.9

線性非齊次方程組(5.1)的任意兩個(gè)解之差是其對(duì)應(yīng)齊次方程組(5.2)的解.

第二十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六是對(duì)應(yīng)齊次方程組(5.2)的一個(gè)基本解組，則方程組(5.1)的通解為

這里是任意常數(shù).

定理5.10

線性非齊次方程組(5.1)的通解等于其對(duì)應(yīng)的齊次方程組(5.2)的通解與方程組(5.1)的一個(gè)特解之和.即若是非齊次方程組(5.1)的一個(gè)特解，

第三十頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

5.4.2

拉格朗日常數(shù)變易法

在第一章我們介紹了對(duì)于一階線性非齊次方程，可用常數(shù)變易法求其通解.現(xiàn)在，對(duì)于線性非齊次方程組，自然要問，是否也有常數(shù)變易法求其通解呢?事實(shí)上，定理5.10告訴我們，為了求解非齊次方程組(5.1)，只需求出它的一個(gè)特解和對(duì)應(yīng)齊次方程組(5.2)的一個(gè)基本解組.而當(dāng)(5.2)的基本解組已知時(shí)，類似于一階方程式，有下面的常數(shù)變易法可以求得(5.1)的一個(gè)特解.

為了計(jì)算簡(jiǎn)潔，我們定義(5.2)的基本解矩陣如下：

第三十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六

其中每一列均為(5.2)的解，且是(5.2)的一個(gè)基本解組.因此.

由定理5.6知，齊次方程組(5.2)的通解可表為

,

其中C為列向量

第三十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六現(xiàn)在求(5.1)的形如

的解，其中

為待定向量函數(shù).將(5.17)代入(5.1)有

其中