【無(wú)線射頻仿真】-COMSOL中高頻電磁場(chǎng)的多尺度模擬-導(dǎo)論

1/1COMSOL中高頻電磁場(chǎng)的多尺度模擬——導(dǎo)論本篇文章將開(kāi)啟一個(gè)全新的綜合性博客系列，探討高頻電磁場(chǎng)的多尺度模擬方法。在首篇文章中，我們將介紹必要的支撐理論和定義。后續(xù)的文章將探討如何使用COMSOLMultiphysics軟件在不同場(chǎng)景下對(duì)高頻電磁場(chǎng)進(jìn)行多尺度模擬。讓我們開(kāi)頭吧！

應(yīng)用范圍：天線和無(wú)線通信

多尺度模擬是現(xiàn)代仿真技術(shù)的一個(gè)挑戰(zhàn)性課題，它指的是當(dāng)一個(gè)模型具有截然不同的尺度時(shí)產(chǎn)生的問(wèn)題。舉例來(lái)說(shuō)，你的手機(jī)大約長(zhǎng)15cm，但是它需要從20,000km外的衛(wèi)星接收GPS信息，在一個(gè)仿真中同時(shí)處理這兩個(gè)長(zhǎng)度往往并不簡(jiǎn)潔。天氣、化學(xué)以及很多其他領(lǐng)域的仿真應(yīng)用也會(huì)遇到類似的問(wèn)題。

雖然多尺度模擬是一個(gè)泛泛的話題，不過(guò)我們選擇將重點(diǎn)放在天線和無(wú)線通信的實(shí)例上。當(dāng)通過(guò)天線進(jìn)行無(wú)線數(shù)據(jù)傳輸時(shí)，傳輸過(guò)程可以分為三個(gè)主要階段：

1、天線將本地信號(hào)轉(zhuǎn)換為自由空間輻射。

2、輻射向遠(yuǎn)離天線的方向傳播，經(jīng)過(guò)一段相對(duì)較長(zhǎng)的距離。

3、另一個(gè)天線檢測(cè)到輻射，并將其轉(zhuǎn)換成接收信號(hào)。

現(xiàn)代通信通過(guò)天線進(jìn)行遠(yuǎn)距離無(wú)線數(shù)據(jù)傳輸。

數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中的兩個(gè)長(zhǎng)度尺度是輻射波長(zhǎng)和天線間的距離。我們想象一個(gè)詳細(xì)的場(chǎng)景：FM收音機(jī)的波長(zhǎng)約為3m，當(dāng)你坐在汽車中收聽(tīng)廣播時(shí)，通常距離無(wú)線電塔十公里以上。很多天線（例如偶極天線）的尺寸與波長(zhǎng)相近，因此不必將天線尺寸看作一個(gè)不同的長(zhǎng)度尺度。綜上所述，涉及的尺度包括：放射天線的長(zhǎng)度尺度，信號(hào)從源傳送到目的地的另一種長(zhǎng)度尺度，然后又是接收天線的原始長(zhǎng)度尺度。

在同一個(gè)高頻電磁模型中處理多個(gè)尺度之前，我們先重溫一些最核心的方程式、術(shù)語(yǔ)和留意事項(xiàng)。

弗里斯傳輸方程

弗里斯（Friis）傳輸方程計(jì)算的是兩個(gè)由無(wú)損耗介質(zhì)隔開(kāi)的天線間的視距通信的接收功率，公式為

其中，下標(biāo)r和t區(qū)分了放射天線和接收天線，G是天線增益，P是功率，是天線與傳輸線之間阻抗失配的反射系數(shù)，p是極化失配因子，是波長(zhǎng)，r是天線之間的距離，它與所謂的自由空間路徑損耗相關(guān)聯(lián)，和是兩個(gè)天線的角球坐標(biāo)。

請(qǐng)留意，我們明確地引入了兩個(gè)阻抗失配項(xiàng)，因此：

Pt指放射天線供應(yīng)給傳輸線的功率

Pr指接收天線從傳輸線接收的功率很多文本注明白弗里斯傳輸方程的推導(dǎo)過(guò)程，所以我們?cè)谶@里略過(guò)。

放射天線和接收天線增益的可視化圖像。在使用弗里斯傳輸方程時(shí)，我們必需了解天線的方向，才能獲得正確的增益參數(shù)。天線之間的距離為r。

球面坐標(biāo)

下面，我們來(lái)爭(zhēng)論球面坐標(biāo)(r，，)，緣由是球面坐標(biāo)極其適用于討論天線輻射，而且我們會(huì)在下文中反復(fù)使用它們。從笛卡爾坐標(biāo)（x，y，z）動(dòng)身，我們可以利用很便利地得到以下表達(dá)式。

為了便利起見(jiàn)，我們使用了真實(shí)的COMSOLMultiphysics命令sqrt()、acos()和atan2()，而不是它們的數(shù)學(xué)符號(hào)。在創(chuàng)建仿真時(shí)，我們還將利用球面單位矢量的笛卡爾重量。

和的笛卡爾重量也能實(shí)現(xiàn)類似的任務(wù)，但對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是最重要的。在介紹射線光學(xué)的后續(xù)博客中，我們將探討這一問(wèn)題。

給定點(diǎn)同時(shí)使用笛卡爾坐標(biāo)(x,y,z)和球面坐標(biāo)(r,,)進(jìn)行表示。球面坐標(biāo)的單位矢量也顯示在圖片中。請(qǐng)留意，球面坐標(biāo)的單位矢量是位置的函數(shù)。

坡印廷（Poynting）矢量和輻射強(qiáng)度

我們通常對(duì)天線的輻射功率很有愛(ài)好。功率通量的單位為W/m2，使用復(fù)坡印廷矢量

來(lái)表示。

很多有關(guān)天線的文本也會(huì)使用輻射強(qiáng)度，其定義為每立體角輻射的功率，單位為W/steradian（瓦/球面度）。在數(shù)學(xué)中，它的公式寫作

。

為了讓讀者更清晰，我們?cè)诖艘肓藘蓚€(gè)慣用法：

常用于電氣工程，而物理學(xué)家通常更加熟識(shí)

。

之后，我們對(duì)全部角度上的輻射強(qiáng)度進(jìn)行積分，由此計(jì)算出輻射功率。

增益和方向性

增益和方向性的相像之處是二者均能對(duì)特定方向的輻射功率進(jìn)行量化，不同之處是增益將特定方向的輻射功率與輸入功率相關(guān)聯(lián)，而方向性將其與總輻射功率相關(guān)聯(lián)。更簡(jiǎn)潔地講，增益能夠解釋電介質(zhì)損耗和導(dǎo)電損耗，而方向性不能。在數(shù)學(xué)中，增益和方向性分別表示為

和

。

Pin是天線接收的功率，Prad是總輻射功率。雖然這兩個(gè)物理量都有意義，但是增益可以解釋天線中的材料損耗，一般狀況下更為有用?？紤]到它的常用性和有用性，我們還參考了"IEEE有關(guān)天線術(shù)語(yǔ)的標(biāo)準(zhǔn)定義（IEEEStandardDefinitionsofTermsforAntennas）'，（在給定方向上）的增益定義為："在天線接收的輻射功率為各向同性的條件下，給定方向上輻射強(qiáng)度與接收的輻射強(qiáng)度之比。'

針對(duì)增益的定義，IEEE添加了三個(gè)解釋：

1、"增益不包括由阻抗和極化失配所引起的損耗'。

2、"各向同性輻射功率的輻射強(qiáng)度等于天線接收的功率除以4'。

3、"假如天線沒(méi)有耗散損耗，那么在任意給定方向上其增益等于其方向性'。

增益、實(shí)際增益和阻抗失配

在現(xiàn)實(shí)中，真正的天線會(huì)連接到傳輸線。天線和傳輸線的阻抗或許不一樣，所以可能會(huì)由于阻抗失配而存在損耗因子。實(shí)際增益指考慮到阻抗失配時(shí)的增益。在數(shù)學(xué)中，實(shí)際增益表示為

，

其中

為傳輸線理論的反射系數(shù)，Zc為傳輸線的特性阻抗，Z為天線的阻抗。

在COMSOLMultiphysics中使用帶特性阻抗的集總端口時(shí)，計(jì)算的遠(yuǎn)場(chǎng)增益相當(dāng)于IEEE（電氣和電子工程師協(xié)會(huì)）定義的實(shí)際增益。我們必需明確提及這一點(diǎn)，由于在過(guò)去的幾十年中增益的定義發(fā)生了多次變化。從2023年發(fā)布的COMSOLMultiphysics5.3版本起，COMSOL軟件將根據(jù)IEEE的定義更轉(zhuǎn)變量名稱。

Vivaldi天線的實(shí)際增益和電場(chǎng)，使用了COMSOLMultiphysics和"RF模塊'進(jìn)行模擬。您可以在"案例下載'中獵取Vivaldi天線的教學(xué)模型。

接收天線、洛倫茲互易定理和接收功率

到現(xiàn)在為止，我們爭(zhēng)論的術(shù)語(yǔ)對(duì)應(yīng)的是發(fā)出輻射的天線，不過(guò)它們通常同樣適用于接收天線。在上文中，我們更關(guān)注放射的緣由是天線通常遵守互易定理（洛倫茲互易定理是大多數(shù)天線教科書(shū)的必要章節(jié)）?；ヒ椎暮x是在特定的方向上，不管是沿此方向放射信號(hào)還是從今方向接收信號(hào)，天線的增益都是相同的。在實(shí)踐討論中，您可以使用放射天線的單個(gè)仿真來(lái)計(jì)算任意方向上的增益，這比模擬每個(gè)指定方向上的接收過(guò)程更加簡(jiǎn)潔。

當(dāng)爭(zhēng)論到接收天線時(shí)，我們往往想要計(jì)算入射信號(hào)的接收功率。詳細(xì)的方法是用天線的有效面積

乘以入射功率通量，同時(shí)考慮到傳輸線的阻抗失配，由此得出

。

不出所料，它與弗里斯傳輸方程的其中幾項(xiàng)驚人地相像。

放射器示例：完善電偶極子

今日，我們將爭(zhēng)論一種類型的放射器：完善電點(diǎn)偶極子。您可能在不同的文獻(xiàn)中看到它被稱為完善、抱負(fù)或者無(wú)窮小偶極子。此放射器常用于表征電小天線的輻射。場(chǎng)的求解方程為

其中為輻射源的偶極矩（勿與極化失配混淆），k為介質(zhì)的波矢。

電小天線產(chǎn)生的電磁場(chǎng)的各區(qū)域分解圖。

在上述方程中，1/rn有三個(gè)因子。1/r2和1/r3項(xiàng)在信號(hào)源四周更重要，而1/r項(xiàng)在較大的距離上占主導(dǎo)地位。雖然電磁場(chǎng)是連續(xù)的，不過(guò)人們一般會(huì)依據(jù)與源的距離來(lái)劃分場(chǎng)的不同區(qū)域。上圖顯示了電小天線的一種場(chǎng)分布，事實(shí)上，還有其他適用于描述kr大小的慣用法。

之后，我們將展現(xiàn)如何計(jì)算與給定源相隔任意距離的場(chǎng)，不過(guò)天線通信的最關(guān)鍵區(qū)域是與源相距最遠(yuǎn)的遠(yuǎn)場(chǎng)或輻射區(qū)。在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，場(chǎng)表現(xiàn)為球面波

～exp(-jkr)/r

的形式，之后我們會(huì)利用這個(gè)事實(shí)。

現(xiàn)在我們要將E-field方程式拆分為兩個(gè)項(xiàng)。為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，我們將1/r項(xiàng)稱為遠(yuǎn)場(chǎng)（FF），將1/r2和1/r3項(xiàng)稱為近場(chǎng)（NF）。

如上文所述，我們可以對(duì)全部角上的

進(jìn)行積分，借此計(jì)算以瓦特為單位的輻射功率。請(qǐng)留意，只有遠(yuǎn)場(chǎng)項(xiàng)對(duì)積分有貢獻(xiàn)，這就是對(duì)于天線工程師而言，天線具有實(shí)際意義的主要緣由。點(diǎn)偶極子輻射的總功率為

，

其中Z0是自由空間的阻抗，c是光速。最大增益為1.5，它在垂直于偶極矩的平面（例如中偶極子的xy平面）中是各向同性。

關(guān)于單位的說(shuō)明：我們依據(jù)單位為庫(kù)侖*米（Cm）的偶極矩

的傳統(tǒng)定義寫出上方的表達(dá)式。天線和工程的文本通常使用安培*米（Am）來(lái)指定無(wú)窮小電流偶極子。COMSOLMultiphysics遵循工程慣例。上述兩個(gè)定義由時(shí)間導(dǎo)數(shù)關(guān)聯(lián)起來(lái)，因此在COMSOL軟件中執(zhí)行方程時(shí)，應(yīng)當(dāng)將偶極矩乘以因子j來(lái)獲得無(wú)窮小電流偶極子。

接收器示例：半波長(zhǎng)偶極子

我們將抱負(fù)導(dǎo)體半波長(zhǎng)偶極子用作接收天線。

很多文本探討了無(wú)限細(xì)的導(dǎo)線，它的阻抗73，方向性為

。

值得一提的是，這種天線的阻抗與具有半徑的天線存在差異。我們爭(zhēng)論的接收天線的長(zhǎng)度為0.47，長(zhǎng)度與直徑之比為100。利用這些值，我們的模擬得到了733j的阻抗，它接近于無(wú)限細(xì)導(dǎo)線的阻抗值，并且與試驗(yàn)值吻合良好。令人圓滿的是，對(duì)該數(shù)字進(jìn)行比較沒(méi)有理論價(jià)值，但是這強(qiáng)調(diào)了天線設(shè)計(jì)對(duì)數(shù)值模擬的需求。

下圖比較了無(wú)限細(xì)偶極子與偶極天線仿真的方向性。由于天線是無(wú)損的，這相當(dāng)于天線增益。您可以點(diǎn)擊"閱讀原文'下載偶極天線模型。

比較兩個(gè)半波長(zhǎng)天線（z方向）的方向性與之間的函數(shù)關(guān)系。COMSOLMultiphysics仿真模型是一個(gè)具有很小半徑的圓柱體，理論模型是一個(gè)無(wú)限細(xì)的天線。

計(jì)算接收功率

現(xiàn)在，我們可以使用弗里斯傳輸方程計(jì)算完善點(diǎn)偶極子放射的功率和半波長(zhǎng)偶極子天線接收的功率。使用方程時(shí)，我們只需要了解增益和阻抗失配（或?qū)嶋H增益）、波長(zhǎng)、天線之間的距離和輸入功率。我們選擇了使用電點(diǎn)偶極子，所以可以獲得偶極矩，而不是輸入功率和阻抗失配。要解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以去掉阻抗失配項(xiàng)，用完善電偶極子的輻射功率替代輸入功率實(shí)際上，輸入功率等于輻射功率。

若假設(shè)放射器和檢測(cè)器均位于xy平面，處于極化匹配狀態(tài)，相隔1000，而且中放射極的偶極矩為1Am，則弗里斯方程關(guān)于接收功率的計(jì)算值為380W。我們將在本系列的第3部分中模擬接收功率值，借此驗(yàn)證仿真技術(shù)，然后我們可以自信