彈性力學(xué)空間問(wèn)題有限元法

彈性力學(xué)空間問(wèn)題有限元法第一頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

當(dāng)分析結(jié)構(gòu)的形狀、尺寸和邊界條件不具備某種特殊性時(shí)，這種結(jié)構(gòu)便屬于空間問(wèn)題。這時(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)的任一點(diǎn)i都具有三個(gè)位移分量，即和六個(gè)應(yīng)變分量以及六個(gè)應(yīng)力分量以上15個(gè)分量都是空間坐標(biāo)（x，y，z）的函數(shù)。第二頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六空間問(wèn)題：規(guī)模大、網(wǎng)格劃分困難，網(wǎng)格劃分占有較長(zhǎng)時(shí)間。分析這類(lèi)結(jié)構(gòu)時(shí)要充分利用求解問(wèn)題的特點(diǎn)（對(duì)稱(chēng)性、相似性和重復(fù)性等），盡量減少有限元模型規(guī)模。有些結(jié)構(gòu)可以先近似為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題或平面問(wèn)題進(jìn)行粗算，然后再按空間問(wèn)題求解。第三頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六工程中的絕大部分結(jié)構(gòu)都屬于空間問(wèn)題這類(lèi)結(jié)構(gòu)的幾何模型為三維實(shí)體模型，網(wǎng)格劃分時(shí)可采用四面體、五面體和六面體形式的空間實(shí)體單元。第四頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二節(jié)空間問(wèn)題有限元法第五頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六一、結(jié)構(gòu)離散在空間結(jié)構(gòu)的離散中，常用的單元是四節(jié)點(diǎn)四面體單元。zyxOpupvpwpmumvmwmiuiviwijujvjwj第六頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六1、位移函數(shù)四面體單元，其節(jié)點(diǎn)為四面體的4個(gè)頂點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別為i（xi,

yi,

zi

），

j（xj,

yj,

zj

），m（xm,

ym,zm），p（xp,

yp,zp）。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)位移分量，即三個(gè)自由度，一個(gè)單元共有12個(gè)自由度。二、單元分析單元的位移列陣為第七頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六假設(shè)單元的位移函數(shù)為線性函數(shù)將4個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值和位移分量分別代入上式，即可求得待定系數(shù)，然后用形函數(shù)表達(dá)第八頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六單元的位移可寫(xiě)成式中稱(chēng)為形函數(shù)矩陣。其中I是三階單位矩陣；稱(chēng)為形函數(shù)，系數(shù)為已知，V的四面體的體積。第九頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.單元應(yīng)變矩陣知道單元內(nèi)各點(diǎn)的位移后，就可確定單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變，位移表達(dá)式代入幾何方程式，得式中各矩陣元素為已知，應(yīng)變矩陣[B]是常量矩陣，因此這類(lèi)單元是常應(yīng)變單元。應(yīng)變矩陣[B]第十頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六3.單元應(yīng)力矩陣由物理方程，得式中[S]為應(yīng)力矩陣，也是常數(shù)矩陣。第十一頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六4.單元?jiǎng)偠染仃囉商撐灰圃硗茖?dǎo)出單元的剛度方程寫(xiě)成分塊矩陣形式為式中，單元?jiǎng)偠仁怯晒?jié)點(diǎn)坐標(biāo)和材料彈性常數(shù)確定的，它是一個(gè)常數(shù)矩陣。第十二頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六三、總剛集成將每個(gè)單元在總體坐標(biāo)系中的剛度矩陣進(jìn)行疊加，便可得到結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。

第十三頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六四、載荷移置作用在結(jié)構(gòu)的各類(lèi)載荷同樣需要移置為等效的節(jié)點(diǎn)載荷，移置方法與平面問(wèn)題相同。1、集中力的移置設(shè)作用在單元上的集中力為由移置后產(chǎn)生的等效節(jié)點(diǎn)載荷為根據(jù)第二章介紹的方法，上式各矩陣元素的表達(dá)式為式中是形函數(shù)在載荷作用點(diǎn)處的值。第十四頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六2、表面力的移置設(shè)作用在單元上的表面力為由移置后產(chǎn)生的等效節(jié)點(diǎn)載荷為則有式中是形函數(shù)在載荷作用點(diǎn)處的值。第十五頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六因此，由各類(lèi)載荷移置產(chǎn)生的單元總的等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣為由此可求出整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷列陣，第十六頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六3、體積力的移置設(shè)作用在單元上的表面力為由移置后產(chǎn)生的等效節(jié)點(diǎn)載荷為則有因此，由各類(lèi)載荷移置產(chǎn)生的單元總的等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣為第十七頁(yè)，共十九