微積分的創(chuàng)立與分析時代

微積分的創(chuàng)立與分析時代第一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六解析幾何是代數(shù)與幾何相結合的產物，它將變量引進了數(shù)學，使運動與變化的定量表述成為可能，從而為微積分的創(chuàng)立搭起了舞臺。微積分的思想萌芽，特別是積分學，部分可以追潮到古代。我們已經知道，面積和體積的計算自古以來一直是數(shù)學家們感興趣的課題，在古代希臘、中國和印度數(shù)學家們的著述中，不乏用無窮小過程計算特殊形狀的面積、體積和曲線長的例子。前面已經介紹過阿基米德、劉輝和祖沖之父子等人的方法，他們的工作，確實是人們建立一般積分學的漫長努力的先驅。第二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六與積分學相比而言，微分學的起源則要晚得多。刺激微分學發(fā)展的主要科學問題是求曲線的切線、求瞬時變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問題。古希臘學者曾進行過作曲線切線的嘗試，如阿基米德《論螺線》中給出過確定螺線在給定點處的切線的方法；阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》中討論過圓錐曲線的切線，等等。但所有這些都是基于靜態(tài)的觀點

第三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六古代與中世紀中國學者在天文歷法研究中曾涉及到天體運動的不均勻性及有關的極大、極小值問題，如郭守敬《授時歷》中求“月離遲疾”(月亮運行的最快點和最慢點)、求月亮白赤道交點與黃赤道交點距離的極值(郭守敬甚至稱之為“極數(shù)”)等問題，但東方學者以慣用的數(shù)值手段(“招差術”，即有限差分計算)來處理，從而回避了連續(xù)變化率。總之，在17世紀以前，真正意義上的微分學研究的例子可以說是很罕見的。第四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六一、微積分的醞釀

近代微積分的醞釀，主要是在17世紀上半葉這半個世紀。為了理解這一醞釀的背景，我們首先來略微回顧一下這一時期自然科學的一般形勢和天文、力學等領域發(fā)生的重大事件。首先是1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發(fā)明了望遠鏡，不久伽利略將他制成的第一架天文望遠鏡對準星空而作出了令世人驚奇不已的天文發(fā)現(xiàn)。望遠鏡的發(fā)明不僅引起了天文學的新高漲，而且推動了光學的研究。第五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六

1619年，開普勒公布了他的最后一條行星運動定律。開普勒行星運動三大定律要意是：1）行星運動的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點；

2）由太陽到行星的矢徑在相等的時間內掃過的面積相等；3）行星繞太陽公轉周期的平方，與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。

開普勒主要是通過觀測歸納出這三條定律從數(shù)學上推證開普勒的經驗定律，成為當時自然科學的中心課題之一。第六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六1638年，伽利略的《關于兩門新科學的對話》出版。伽利略建立了自由落體定律、動量定律等，為動力學奠定了基礎；他認識到彈道的拋物線性質，并斷言炮彈的最大射程應在發(fā)射角為45度時達到，等等。伽利略本人竭力倡導自然科學的數(shù)學化，他的著作激起了人們對他所確立的動力學概念與定律作精確的數(shù)學表述的巨大熱情。第七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六

凡此一切，標志著自文藝復興以來在資本主義生產力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學開始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學困難，使微分學的基本問題空前地成為人們關注的焦點。當時，人們主要集中的焦點有：非勻速運動物體的速度與加速度使瞬時變化率問題的研究成為當務之急；望遠鏡的光程設計需要確定透鏡曲面上任一點的法線，這又使求任意曲線的切線問題變得不可回避；確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點與遠日點等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題也亟待解決。與此同時，行星沿軌道運動的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力的計算等又使積分學的基本問題——面積、體積、曲線長、重心和引力計算的興趣被重新激發(fā)起來。第八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六在17世紀上半葉，幾乎所有的科學大師都致力于尋求解決這些難題的新的數(shù)學工具，特別是描述運動與變化的無限小算法，并且在相當短的時期內，取得了迅速的進展。代表性的工作有：

1、開普勒與旋轉體體積：

開普勒方法的要旨，是用無數(shù)個同維無限小元素之和來確定曲邊形的面積及旋轉體的體積。例如他認為球的體積是無數(shù)個小圓錐的體積的和，這些圓錐的頂點在球心，底面則是球面的一部分；他又把圓錐看成是極薄的圓盤之和，并由此計算出它的體積，然后進一步證明球的體積是半徑乘以球面面積的三分之一。第九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六2、卡瓦列里不可分量原理：他在《用新方法促進的連續(xù)不可分量的幾何學》中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法。認為線是由無限多個點組成；面是由無限多條平行線段組成；立體則是由無限多個平行平面組成。他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量”?？ㄍ吡欣锢眠@條原理計算出許多立體圖形的體積，他對積分學創(chuàng)立最重要的貢獻還在于在1639利用平面上的不可分量原理建立了等價于列積分式的基本結果，使早期積分學突破了體積計算的現(xiàn)實原型而向一般算法過渡。第十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六3、笛卡兒的“圓法”：

笛卡兒在《幾何學》中提出了求切線的所謂“圓法”，本質上是一種代數(shù)方法。

笛卡兒的這種代數(shù)方法在推動微積分的早期發(fā)展方面有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點而踏上研究微積分的道路的。笛卡兒圓法在確定重根時會導致極繁復的代數(shù)計算，1658年荷蘭數(shù)學家胡德提出了一套構造曲線切線的形式法則，稱為“朗德法則”。朗德法則為確定笛卡兒圓法所需的重根提供了機械的算法，可以完成求任何代數(shù)曲線的切線斜率時所要進行的計算。第十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六4、費馬求極大值和極小值方法按費馬的方法。設函數(shù)f(x)在點a處取極值，費馬用“a+e”代替原來的未知量a，并使f(a+e)與f(a)逼近,即：

f(a+e)～f(a)

這里所提到的“e”就是后來微積分學當中的“

”第十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六

5、巴羅的“微分三角形”巴羅是牛頓的老師。是英國劍橋大學第一任“盧卡斯數(shù)學教授”，也是英國皇家學會的首批會員。當巴羅發(fā)現(xiàn)和認識到牛頓的杰出才能時，便于1669年辭去了盧卡斯教授的職位，舉薦自己的學生——當時才27歲的牛頓來擔任。巴羅讓賢，已成為科學史上的佳話。第十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六6、沃利斯的“無窮算術”

沃利斯利用他的算術不可分量方法獲得了許多重要的結果，其中之一就是將卡瓦列里的冪函數(shù)積分公式推廣到分數(shù)冪的情形——沃利斯另“一項重要的研究是計算四分之一單位圓的面積，并由此得到

的無窮乘積表達式。第十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六二、牛頓的“流數(shù)術”牛頓于1661年入劍橋大學三一學院，受教于巴羅，同時鉆研伽利略、開普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作。三一學院至今還保存著牛頓的讀書筆記，從這些筆記可以看出，就數(shù)學思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》對他影響最深，正是這兩部著作引導牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路。1665年8月，劍橋大學因瘟疫流行而關閉，牛頓離校返鄉(xiāng)，隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年，競成為牛頓科學生涯中的黃金歲月。制定微積分，發(fā)現(xiàn)萬有引力和顏色理論，……，可以說牛頓一生大多數(shù)科學創(chuàng)造的藍圖，都是在這兩年描繪的。第十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六牛頓(英，1642-1727年)NatureandNature'slawslayhidinnight;Godsaid,letNewtonbe!andallwaslight.自然和自然定律隱藏在茫茫黑夜中。上帝說：讓牛頓出世吧！于是一切都豁然明朗。第十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六1、流數(shù)術的初建牛頓對微積分問題的研究始于1664年秋，當時他反復閱讀笛卡兒《幾何學》，對笛卡兒求切線的“圓法”發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法。就在此時，牛頓首創(chuàng)了小o記號表示x的無限小且最終趨于零的增量。1665年夏至1667年春，牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，繼續(xù)探討微積分并取得了突破性進展。據(jù)他自述，1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術”(微分法)，次年5月又建立了“反流數(shù)術”(積分法)。1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結性論文，此文現(xiàn)以《流數(shù)簡論》著稱，《流數(shù)簡論》是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻。第十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六2、流數(shù)術的發(fā)展《流數(shù)簡論》標志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的。牛頓于1667年春天回到劍橋，對自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚。他在這一年10月當選為三一學院成員，次年又獲碩士學位，并不是因為他在微積分方面的工作，而是因為在望遠鏡制作方面的貢獻。但從那時起直到1693年大約四分之一世紀的時間里，牛頓始終不渝努力改進、完善自己的微積分學說，先后寫成了三篇微積分論文，它們分別是：(1)1669年的《運用無限多項方程的分析》；(2)1671年的《流數(shù)法與無窮級數(shù)》；(3)1691年的《曲線求積術》。第十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六3、《原理》與微積分牛頓微積分學說最早的公開表述出現(xiàn)在1687年出版的力學名著《自然哲學的數(shù)學原理》之中。因此《原理》也成為數(shù)學史上的劃時代著作?！对怼吩诔珜啄┍确椒ǖ耐瑫r保留了無限小瞬，這種做法常常被認為自相矛盾而引起爭議。實際上，在牛頓的時代，建立微積分嚴格基礎的時機尚不成熟，在這樣的條件下，牛頓在大膽創(chuàng)造新算法的同時，堅持對微積分基礎給出不同解釋，說明了他對微積分基礎所存在的困難的深邃洞察和謹慎態(tài)度。第十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六《原理》被愛因斯坦盛贊為“無比輝煌的演繹成就”。全書從三條基本的力學定律出發(fā)，運用微積分工具，嚴格地推導證明了包括開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律等在內的一系列結論，并且還將微積分應用于流體運動、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學工具的威力?！对怼分械奈⒎e分命題雖然都采用了幾何形式來敘述、證明，但正如牛頓本人后來解釋的那樣：發(fā)現(xiàn)原理中的絕大多數(shù)命題是依靠使用了“新分析法”，然后再“綜合地證明”。事實上，牛頓發(fā)明微積分主要是依靠了高度的歸納算法的能力，并沒有多少綜合幾何的背景。他1664年參加巴羅主考的三一學院津貼生考試時，因歐氏幾何成績不佳差一點未能通過。第二十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六

微積分的創(chuàng)立者——牛頓第二十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六萊布尼茲評論牛頓：“在從世界開始到牛頓生活的年代的全部數(shù)學中，牛頓的工作超過一半?！?/p>

“宇宙和宇宙規(guī)律，隱藏在一片黑夜里，上帝說‘降生牛頓，于是世界充滿光明’?！薄八麕缀跻陨褚话愕乃季S力，最先證明了行星的運動和圖象，彗星的軌道和大海的潮汐。”第二十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六

牛頓語：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！崩窭嗜赵u論牛頓：“牛頓是歷史上最大才能的人，也是最幸運的人——因為宇宙體系只能被發(fā)現(xiàn)一次?！迸ｎD語：“若說我比笛卡兒看得更遠一些的話，那是因為我站在巨人肩上的緣故?！钡诙?，共六十八頁，編輯于2023年，星期六牛頓的名言（對自己的評價）“如果我所見的比笛卡兒遠一點，那是因為我站在巨人們肩上的緣故?！保↖fIhaveseenfartherthanDescartes,itisbystandingontheshouldersofgiants.）“我不知道世人對我怎樣看法，我只覺得自己好象是在海濱游戲的孩子，有時為找到一塊光滑的石子或比較美麗的貝殼而高興，而真理的海洋仍然在我的前面未被發(fā)現(xiàn)”．第二十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六三、萊布尼茨的微積分

在微積分的創(chuàng)立上，牛頓與萊布尼茨分享榮譽。萊布尼茨(1646——1716)出生于德國萊比錫一個教授家庭，早年在萊比錫大學學習法律，同時開始接觸伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡以及巴羅等人的科學思想。1667年獲阿爾特多夫大學法學博士學位，次年開始為緬因茨選帝侯服務，不久被派往巴黎任大使。萊布尼茨在巴黎居留了四年(1672—1676)，這四年對他整個科學生涯的意義，可以與牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年類比，萊布尼茨許多重大的成就包括創(chuàng)立微積分都是在這一時期完成或奠定了基礎。第二十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六萊布尼茨(德，1646-1716)

1661年進入萊比錫大學法學博士、外交官

1672-1676年留居巴黎數(shù)學家科學家哲學家第二十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六1、特征三角形萊布尼茨在巴黎與荷蘭數(shù)學家、物理學家惠更斯的結識、交往，激發(fā)了他對數(shù)學的興趣．他通過卡瓦列里、帕斯卡、巴羅等人的著作，了解并開始研究求曲線的切線以及求面積、體積等微積分問題．與牛頓流數(shù)論的運動學背景不同，萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角形的研究．特征三角形，也稱“微分三角形”，在巴羅的著作中已經出現(xiàn)．帕斯卡在特殊情形下也使用過這種三角形．萊布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形．第二十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六帕斯卡的“例子”是下述的命題：

“圓的一個象限的任何弧的正弦之和，等于界于兩端的兩個正弦之間的底線段乘以半徑．”這里“正弦”是指縱坐標，而在所說的和中，每個縱坐標都要乘以相應的圓的無限小弧而不是乘以底的無限小段。第二十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六從而得到一下結果：即有：第二十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六帕斯卡的論證僅限于這一特例，他本人并未察覺其中所使用的三角形的普遍意義。萊布尼茨卻由此看到帕斯卡的方法可以推廣，對任意給定的曲線都可以作這樣的無限小三角形，只要用給定曲線的法線來替代圓半徑，而借助于這樣的無限小三角形，可以“迅速地、毫無困難地建立大量的定理”，這就是萊布尼茨從帕斯卡的工作中看到的“一束光明”。第三十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六2、分析微積分的建立早在1666年，萊布尼茨在《組合藝術》一書中討論過數(shù)列問題并得到許多重要結論。第三十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六3、萊布尼茨微積分的發(fā)表

1684年萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇微分學論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》，刊登在《教師學報》上，這也是數(shù)學史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻．該文是萊布尼茨對自己1673年以來微分學研究的概括，其中定義了微分并廣泛采用了微分記號dx，dy。萊布尼茨假設橫坐標x的微分dx是任意的量，縱坐標y的微分dy就定義為它與dx之比等于縱坐標與次切距之比的那個量?！缎路椒ā分忻鞔_陳述了萊布尼茨1677年已得到的函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式：第三十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六第三十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六

1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學論文《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》。這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關系。萊布尼茨分析道：‘‘研究不定求積或其不可能性的方法，對我來說不過是我稱之為反切線方法的更廣泛的問題的特殊情形(并且事實上是比較容易的情形)，而這種反切線方法包括了整個超越幾何的絕大部分．”第三十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六4、萊布尼茨的其他數(shù)學貢獻符號邏輯二進制計算機的先驅行列式第三十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六四、牛頓和萊布尼茨——微積分優(yōu)先權之爭德丟勒(瑞士，1664-1753)1699年“牛頓是微積分的第一發(fā)明人”1713年英國皇家學會裁定“確認牛頓為第一發(fā)明人”英國與歐洲大陸數(shù)學家分道揚鑣萊布尼茨：“綜觀有史以來的全部數(shù)學，牛頓做了一多半的工作”。科學史上最不幸的一章第三十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六(18世紀)第七章:分析時代

第三十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六一、微積分的發(fā)展泰勒(英,1685-1731)法學博士進入牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分優(yōu)先權爭論委員會，皇家學會秘書1715年出版《正和反的增量法》泰勒定理的價值由拉格朗日(法,1736-1813)發(fā)現(xiàn)，證明由柯西(法,1789-1857)給出與約翰?伯努利(瑞,1667-1748)關于泰勒公式優(yōu)先權之爭后期轉向宗教和哲學的寫作

泰勒公式使任意單變量函數(shù)展為冪級數(shù)成為可能。第三十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六皇家學會會員，愛丁堡大學教授18世紀英國最大數(shù)學家，1742年《流數(shù)論》墓碑上刻“曾蒙牛頓推薦”牛頓微積分學說的竭力維護者麥克勞林(英,1698-1746)X=0時的泰勒級數(shù)稱為“麥克勞林級數(shù)”第三十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六1686到英國,1718年出版《機會的學說》英國皇家學會會員，進入牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分優(yōu)先權爭論委員會1730年《分析雜論》棣莫弗(法,1667-1754)1707-1730年棣莫弗定理第四十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六伯努利家族第四十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六伯努利家族尼古拉?伯努利雅格布尼古拉約翰尼古拉第二尼古拉第三丹尼爾約翰第二約翰第三丹尼爾第二雅格布第二第四十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六雅格布?伯努利(瑞，1654-1705)“我違背父親的意愿，研究星星。”

1687年巴塞爾大學數(shù)學教授17世紀牛頓和萊布尼茨之后最先發(fā)展微積分的人解析幾何、微積分、變分法、概率論1694年《微分學方法》1689年證明調和級數(shù)的發(fā)散性第四十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六約翰?伯努利(瑞，1667-1748)1694年醫(yī)學博士、數(shù)學教授、英國皇家學會會員解析幾何、微分方程、變分法18世紀初分析學的重要奠基者之一,歐拉(瑞,1707-1783)的老師1700年左右發(fā)展了積分法1742年《積分學教程》(寫于1691-1692)洛必達(法,1661-1704)法則，1696年《關于曲線研究的無窮小分析》第四十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六丹尼爾?伯努利(瑞，1700-1782)醫(yī)學博士、數(shù)學教授、植物學教授、生理學教授、物理學教授、哲學教授、英國皇家學會會員圣彼得堡：1725－1733年巴塞爾：1733－1782年1738年《流體動力學》第一個把牛頓和萊布尼茨的微積分思想連接起來的人把微積分、微分方程應用到物理學，研究流體力學問題、物體振動和擺動問題，為數(shù)學物理方法的奠基人第四十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六歐拉(瑞,1707-1783)圣彼得堡科學院(1727-1741,1766-1783)柏林科學院(1741-1766)1748年《無窮分析引論》、1755年《微分學原理》、1768-1770年《積分學原理》最多產的數(shù)學家、《歐拉全集》87卷李善蘭譯的《代數(shù)學》（1859）等著作記載了歐拉的學說“讀讀歐拉，他是我們大家的老師”“四杰”：阿基米德、牛頓、歐拉、高斯18世紀最偉大的數(shù)學家、分析的化身、“數(shù)學家之英雄”第四十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六歐拉《無窮分析引論》第四十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六瑞士法郎上的歐拉（1976）第四十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六達朗貝爾(法,1717-1783)自學成才，巴黎科學院院士、終身秘書1751-1757年與狄德羅(1713-1784)共同主編《百科全書》“科學處于17世紀的數(shù)學時代到18世紀的力學時代，力學應該是數(shù)學家的主要興趣?！薄秳恿W》、《數(shù)學手冊》數(shù)學分析的重要開拓者之一，其成就僅次于歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼爾?伯努利第四十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六拉格朗日(法,1736-1813)數(shù)學、力學和天文學中都有重大歷史性貢獻，分析學中僅次于歐位的最大開拓者，論著超過500篇1754年(18歲)發(fā)現(xiàn)萊布尼茨公式1755年任數(shù)學教授(都靈時期:1754-1766)1788年《分析力學》(柏林時期:1766-1787)1797年《解析函數(shù)論》(巴黎時期:1787-1813)分析力學的創(chuàng)立者、天體力學的奠基者1808年伯爵，1813年帝國大十字勛章第五十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六貝克萊主教（愛爾蘭，1985）微積分的發(fā)展

積分技術多元函數(shù)

無窮級數(shù)函數(shù)概念

分析嚴格化的嘗試貝克萊(愛爾蘭,1685-1753):《分析學家，或致一位不信神的數(shù)學家》(1734)“這些消逝的增量究竟是什么呢？它們既不是有限量，也不是無限小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄帕康墓砘陠?？?/p>

形式化觀點極限觀點：綜述第五十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六二、數(shù)學新分支的形成

常微分方程偏微分方程變分法

微分幾何概率論第五十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六常微分方程

萊布尼茨、惠更斯、約翰?伯努利給出問題的解1690年雅格布?伯努利(瑞,1654-1705)提出懸鏈線問題第五十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六初等解法

常微分方程——包含一個自變量和它的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導數(shù)的等式

形成和發(fā)展是與力學、天文學、物理學及其他自然科學技術的發(fā)展互相促進和互相推動的

分離變量法變量代換法積分因子法黎卡提方程降階法常系數(shù)線性方程2001年9月6日哈勃拍到的"星體爆發(fā)"星系第五十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六拉格朗日(法,1958)偏微分方程偏微分方程——包含未知函數(shù)以及偏導數(shù)的等式

偏微分方程理論研究一個方程(組)是否有滿足某些補充條件的解，有多少個解,解的各種性質與求解方法，及其應用一階偏微分方程：1772年拉格朗日(法,

1736-1813)和1819年柯西(法,1789-1857)發(fā)現(xiàn)將其轉化為一階常微分方程組第五十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六達朗貝爾(法,1959)偏微分方程1747年和1749年達朗貝爾和歐拉求出解

弦振動方程：1715年和1727年泰勒和約翰?伯努利分別提出1753年丹尼爾?伯努利導出了具有正弦周期模式的解第五十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六拉普拉斯

拉普拉斯:1773年進入巴黎科學院,1785年當選院士,

1789年研究制定公制系統(tǒng),

1796年任科學院院長,1799年任內政部長,1803年任參議院議長,1817年再任法國科學院院長,并封爵位勢方程(拉普拉斯方程)：1752年歐拉提出，1785年拉普拉斯(法,1749-1827)用球調和函數(shù)求解1796年《宇宙體系論》的星云假說，1799－1825年《天體力學》

“陛下,我不需要這樣的假設!”第五十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六星云假說第五十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六1697年牛頓、萊布尼茨、洛必達、約翰?伯努利、雅各布?伯努利等解決1696年約翰?伯努利提出最速降線問題變分法

研究泛函的極值的方法

CalculusofVariations(1756)第五十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六歐拉(瑞士,1957)1759年拉格朗日引入變分的概念1728年歐拉