習(xí)題1-3行列式地性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)文案文案標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)文案文案1、用行列式的性質(zhì)計(jì)算下列行列式：（1）34215352152809229092【分析】可見(jiàn)行列式中（1）34215352152809229092【分析】可見(jiàn)行列式中1,2兩列元素大部分?jǐn)?shù)字是相等的，列差同為1000,易于化為下三0000,00,【解法一】34215280923521529092c-c21342152809210001000r-r1261232809201000下三角6123000口【解法二】34215280923521529092r-r12612328092612329092c-c2 161232809201000下三角6123000口-abacae(2)bd-cddebfcf-ef；【分析】各行、列都有公口，抽出后再行計(jì)算。-cc-cQ,r2r2+radfbcer+rr—r-abcdef3 ?上三角-abcdef義(-1)義22=4abcdef口（3）【分析】將第一行加到以下各行即成為上三0000,【解】上三角1X23=81【解】2、口下列行列式化為上三角形行列式，并計(jì)算其值：—2 2—40(1)—131—25—3【解法一】【解法二】—43—2505—31c 2一c 1—2—110—2432—43—2505—31r—r-2 1——12104—2323—4—2550—31—104632510—1043—118r+7r4—131580072152r-r2 3100712523 2r+2r1 2000875817—2 24—13 12 0r+2r2 1r+r3 1——1435—143 50—1180—11 80 0141r—7r-4 3—0 01 410 07170 00—270上三角(一1)2x1x(—270)r—r3 4—22—40—11—2014—1354—135—12-r r2一c —231—2—3==31—2—3212051205101—1—201—1—2003150—118r+r—2—3勺-r 3 —22r1—r040040—3-3-—1-025102511—1—201—1—20+4r2+2r0—1180—118r3r—200429工—2r 3—20042940071700—1—411—1—201—1—200—1180—118+4r—22r二00000—1—135r—r0000—1—41 3-—41-3 -4-0—135=—270口—1432上三角2x1x(—1)2x(—135)=—270?！?3—2505—311234（2）234134124123【分析】該行列式屬于同行元素之和相等的類型，應(yīng)將2,3,4列加到第1列：【解】3、設(shè)行列式101010c+（c+c+c）1010r2r3r-r1-r1-r-3-2-210r-2r2r+r2—交換第一行與第五行，再轉(zhuǎn)口，-3-4上三角10義1x（-4）2=160口-4（i,j=1,2,,5），依下列次序?qū)進(jìn)行變換后，求其結(jié)果：j用..2乘所有元素，再用（-3）乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。【解】 （1）交換第一行與第五0,000口號(hào)，結(jié)果為（2）再轉(zhuǎn)置，行列式的值不變，（3）用（3）用200000,0行里每行都有公因2,這等于用25乘以行列式，結(jié)果為-mx25=-32m;（4）再用（-3）乘以第二列加到第四列，這是倍加，行列式的值不變，結(jié)果仍為（4）再用（-3）乘以第二列加到第四列，這是倍加，行列式的值不變，結(jié)果仍為（5）最后用 40000000,即第二行有公因1,這等于用4100000,4-32m;結(jié)果為-32mx—=-8m。4a+kbb+ccabc11111111a+kbb+cc=abc22222222a+kbb+ccabc333333334、用行列式的性質(zhì)證明下列等式：；（1）【證法一】左邊+kbb+cca+kbbc1111111+kbb+ccc-ca+kbbc2222222+kbb+cc 2 3-a+kbbc3333333123a1a2a31b1b2b3c2c3二右邊，口畢。【證法二】右邊abca+kbbc1111111a2b2c2c+kc a2+kb2b2c2abc——1 2-a+kbbc3333333231c-kc1二1a1a2a3+kb+kb2+kb3b1b2b3+c2+c3c1c2c3【證法三】左邊a+kbb+cc11111a+kbb+cc22222a+kbb+cc33333+Cc分拆c2 3b1b2b3+c1+c2+c3ckbb+cc11111c+kbb+cc22222ckbb+cc33333二左邊，口畢。都分拆c 2a1a2a3b1b2b3c1c2ca1a2a3c1c2c3c1c2c3kb1kb2kb3b1b2b3c1c2c3kb1kb2kb3c1c2c3c1c2c3第，行列式c第行列式cc=k:1a1a2a3b1b2b3c1c2c3+0+0+0二aia2a3b1b2b3c1c2c3二右邊，口畢。y+z(2)x+yz+x【證法一】左邊y+zz+xx+y2(x+y+z)z+xx+yx+yy+zz+xc+(c+c)2(x+y+z)y+zz+xz+xx+yy+z-1 2 3-2(x+y+z)x+yy+zy+zyxz2(x+y+z)z+xx+yr-r2 1r-r3 11z+xx+y0y一xz一y0y一zz一xz一x2(x+y+z)1 0 0c]((+*)c12(x+y+z)0y-xz-y

[(x+y)c 0y-zz-*x右邊=2zyzyc+(c+c)2【證法二】左邊5【證法二】左邊5、計(jì)算下列行列式：1yz(x+y+z)-c2(x+y+z)1xy= 1zx1yzr2-r2(x+y+z)0x-yy-z■A^T- 0z-yx-z100c-yc2 12(x+y+z)0x-yy-zc-zc 3 1-= 0z-yx-z1 0 0r22(x+y+z)0y-xz-y,J 0y-zz-x對(duì)比即得 左邊二右邊，口畢。yz+xx+y分拆cxy+zz+x 1—zx+yy+zy+zz+xx+y=x+yy+zz+xz+xx+yy+zzz+xx+y+yy+zz+xxx+yy+zyz+xxzxx+yyzxzxy前cc3 1xy+zz+yzz+x前cc2 3xyz+yzx后cc 2 1—zzx+yyxyy+z后cc 3 2—zxyxyz前r―r-2 1后r―r3 1xyz=2zxy=右邊，口畢。yzx

xaaaaaaxaaaaaaxaaxaaaxa???aa??????aa???xx+(n—1)a???x+(n—1)aaxaaaaaa???x+(n—1)ac+(c+c+c)-123 n—axaa???x+(n—1)aaa???xa??????????????????x+(n—1)aaaax???x+(n—1)aaaa a???° x—a°° °c-c ° °2 1x—a° °???4 0 °°???x—a°?????????° °°°x—a上三角[x+(n-1)a](x-a)n-i（1）【分析】該行列式屬于同行元素之和相等的類型，應(yīng)將2列以后各列加到第 1列：（1）【分析】該行列式屬于同行元素之和相等的類型，應(yīng)將2列以后各列加到第 1列：ax【解】設(shè)a為n階行列式，則每行中有1個(gè)x,n-1個(gè)a,于是-10 3(2L-2°—1—2—3?????????—1—2—3n—1 nn—1 nn—1 nn—1 n；° n??????—(n—1) °因此，將首行加到以下各行，123n-1123n-1n-103n-1n【解】-1-20???n-1n-1-2???-30n??????????????????-1-2-3??????-(n-01n1（3）1\o"CurrentDocument"a a1 2a+b a1 1 2aa+b1 2 2123n-1n0262(n-1)??2nc+c21003.2(n-1)??2nc拽—n——000??n-12n0000??n上三角1x2x3xx(n-二1n=n!。1aaa+b?? ??1 ??2 ???n???n【分析】這是為n+1階行列式。...該行列式主對(duì)角線以下元素與首行元素對(duì)應(yīng)相等，因此，將首行的-1倍加到以下各行，將化為上三角行列式?！窘狻縜1a+b【分析】這是為n+1階行列式。...該行列式主對(duì)角線以下元素與首行元素對(duì)應(yīng)相等，因此，將首行的-1倍加到以下各行，將化為上三角行列式?！窘狻縜1a+b1 :a1a2a2a+b2 2anananc-c21a1b10上三b1nc-ca+bn???n(4)【分析】為化成上三角行列式，須將…一個(gè)接一個(gè)地），將a化為0，其中-1后加到第-1后加到第1列。aW(4)【分析】為化成上三角行列式，須將…一個(gè)接一個(gè)地），將a化為0，其中-1后加到第-1后加到第1列。aW0。i限元素全化為1列，將a化為10,這樣就需要次第地（-1后加到第2列，以一定順序，，將a化為

n【解】1

c-—C1a32二1a1010a21 00…1

c-—C1a32二1a1010a21 00…a?? n1

c-~c1an+110a200a

na；￡111 10ai=1i\o"CurrentDocument"0 a 0…010 0a02 …0 00a??? n上三解1a2a(an0上述的n次列倍加運(yùn)算也可以疊加進(jìn)行：-￡11

a1-ci=10……an：cn4上三角a1a2ai=1i6、解下列方程：1,2兩行及3,4兩行有較多的1,2兩行及3,4兩行有較多的【解】先將等式左邊的行列式化為上三角形行列式，注意到相同元素，得：-3-3-523c-2c01-x2001 3c-3c0015 3-0004-x2上三角一3x(1-x2)(4一x2),(1-x2)(4-(1-x2)(4-x2)=0，即得4個(gè)根為x=±1,x=±2111111-x11(2)112-x???111???1(n—2)—x???????????????111???1原方程為【解】先將等式左邊的行列式化為上三角形行列式，口第一行的111=0；1

???

(n-1)-x-1倍加到以下各行即成為2 3112 32 301-x20 0r-r1 521r-r2 3 1519-x2~3-0 0 04-x21 112一x22 32 3上三角行列式。1111111-x111左邊=112-x111???1???1???(n-2)-x???1???1111 (n-1)-x111110一x000r-r21001-x00r-r—n-1二0???0???0???(n-3)-x??????0???0000(n—2)—x標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)文案文案原方程為即得原方程為即得n-1上三角一x(1一x)(2一x) [(n-3)一x][(n-2)-x],x(1一x)(2一x)??[(〃—3)一x][(n一2)一x]=0,個(gè)根為x=k,(k=0,1,2,,n-1,n一2。)7、設(shè)n階行列式D=det(a)，把

jD上下翻轉(zhuǎn)，或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o,或依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn)，依次得an1annannann證明a?Ina?n1a-11=D=(—1)n(n-1)/2D,2【證明】【證明】(J)D=(-1)n(n-1)/2D,1口得到了逆序這就是將D1，翻轉(zhuǎn)變換中，元素n321口由于排列D變換成D：1a11an?lan1ann，由于把D上下翻a?nna?Ina的列碼仍為列碼，順序沒(méi)變，行碼則由順序ij123n變成123n變成321要經(jīng)過(guò)(n一1)+(n-2)+行對(duì)口，從而a11行對(duì)口，從而a11annn(n—1) 次對(duì)口,,2可知把D上下口D=(―1Mn-1)D。證畢。1(2)D=(-1)n(n-1)/2D,2，由于把，由于把D逆時(shí)針這就是將D變換成D2：ania,nna,nia?11旋轉(zhuǎn)900得到D2：￡□□□□(7=(7(【-〃)〃(1一)=(7 DDDDDDDDDDDaDDDDDDDDD(7DDDDDDDDa代儂 uDDD此〃￡ZlDDDDDDDDDDDDD2DDDDDu￡Z[DDDDDD(7DDDDDDD(7DDDDuuV\uVu\u￡Z[DDDDDD(7DDDDDDD(7DDDDuuV\uVu\VitD￡□a=aDDzDDDD- -([—〃)〃DDDDDDDDD°06DD(JDDDnVICV???V\-uV\uDuuDl-U'UDV\uVu?V&?V???c'iV?Vu'l〃D[—滾D???C'iVI'iV???一???i'lVi'cD???V\-uQuDVi'CV???aDICDu\VUNVVUUDU\Vi'lVCIVIIVfl-DDDDDDDDDfDDDDDD2DDDDDDDDDDDDDDDD什.DZODD- -(【一〃)〃[+C++億_〃)+[+C++億_〃)+(1一〃)DDDHEu1口