新教材蘇教版高中數(shù)學必修第二冊全冊書各章節(jié)知識點考點重點難點解題規(guī)律歸納總結(jié)

蘇教版高中數(shù)學必修第二冊知識點總結(jié)

第9章平面向量............................................................-2-

9-1向量概念..........................................................."2-

9.2向量運算...........................................................-6-

9.3向量基本定理及坐標表示...........................................-20-

9.4向量應用..........................................................-30-

第10章三角恒等變換.......................................................-33-

10.1兩角和與差的三角函數(shù).............................................-33-

10.2二倍角的三角函數(shù).................................................-43-

10.3幾個三角恒等式...................................................-47-

第11章解三角形..........................................................-52-

11.1余弦定理.........................................................-52-

11.2正弦定理.........................................................-55-

11.3余弦定理、正弦定理的應用........................................-63-

第12章復數(shù)...............................................................-68-

12.1復數(shù)的概念.......................................................-68-

12.2復數(shù)的運算.......................................................-72-

12.3復數(shù)的幾何意義...................................................-78-

12.4復數(shù)的三角形式*..................................................-81-

第13章立體幾何初步.......................................................-86-

13.1基本立體圖形.....................................................-86-

13.2基本圖形位置關(guān)系.................................................-96-

13.3空間圖形的表面積和體積.........................................-123-

第14章統(tǒng)計.............................................................-130-

14.1獲取數(shù)據(jù)的基本途徑及相關(guān)概念...................................-130-

14.2抽樣...........................................................-132-

14.3統(tǒng)計圖表.......................................................-140-

14.4用樣本估計總體.................................................-148-

第15章概率.............................................................-160-

15.1隨機事件和樣本空間.............................................-160-

15.2隨機事件的概率.................................................-163-

15.3互斥事件和獨立事件.............................................-168-

第9章平面向量

9.1向量概念

知識點1向量的定義及表示

定義既有大小又有方面的量叫作向量

(1)幾何表示：向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表

表示示向量的大小,箭頭所指的方向表示向量的方囪，以A為起點、B

方法為終點的向量記為防；

(2)字母表示：用小寫字母a,b,c來表示

模向量拔的大小稱為向量的長度(或稱為模),記作|成|

定義中的“大小”與“方向”分別描述了向量的哪方面的特征？只

描述其中一個方面可以嗎？

［提示］向量不僅有大小而且有方向，其中大小描述了向量的代數(shù)特征，方向

描述了向量的幾何特征，兩者缺一不可，故不能只描述其中一個方面.

知識點2向量的有關(guān)概念及其表示

名稱定義表示方法

零向量長度為Q的向量記作0

單位向量長度等于L個單位長度的向量

a與b平行(或共線)，記作

平行向量方向相同或相反的非零向量

a//b

相等向量長度相等且方向相同的向量a與b相等，記作a=Z>

相反向量長度相等且方向相反的向量a的相反向量記作一a

晝差K2.(1)零向量的方向是如何規(guī)定的？零向量與任一向量共線嗎？

(2)已知A,8為平面上不同兩點，那么向量筋和向量成相等嗎？它們共線嗎？

(3)向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段平行、共線相同嗎？

［提示］(1)零向量的方向是任意的：規(guī)定零向量與任一向量共線.

(2)因為向量荏和向量麗方向不同，所以二者不相等.又表示它們的有向線段

在同一直線上，所以兩向量共線.

(3)不相同，由相等向量定義可知，向量可以任意移動.由于任意一組平行向

量都可以移動到同一直線上，所以平行向量也叫作共線向量.因此共線向量所在

的直線可以平行，也可以重合.

重點題型

□類型1向量的概念

【例1】判斷下列命題是否正確，并說明理由.

(1)任何兩個單位向量都是平行向量；

(2)零向量的方向是任意的；

(3)在△ABC中，D、￡分別是A3、AC的中點，則向量或與麗是平行向量；

(4)對于向量Q、b、c,若?！ㄍ咔?〃c,則?！╟；

(5)若非零向量油與⑦是平行向量，則直線AB與直線CD平行；

(6)非零向量◎與麗是模相等的平行向量.

［解］(1)錯誤.因為兩個單位向量只是模都等于1個單位，方向不一定相同或

相反；

(2)正確.任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；

(3)正確.由三角形中位線性質(zhì)知，DE//BC,向量西與西方向相反，是平行

向量；

(4)錯誤.8為零向量時，有a〃〃且〃〃c,但a與c的方向可以任意變化，它

們不一定是平行向量；

(5)錯誤.A、B、C、。四點也可能在同一條直線上；

(6)正確.非零向量油與成的模相等，方向相反，二者是平行向量.

廠....???成思領(lǐng)悟??.....................

1.在判斷與向量有關(guān)的命題時，既要立足向量的數(shù)(即模的大小)，又要考慮

其形(即方向性).

2.涉及共線向量或平行向量的問題，一定要明確所給向量是否為非零向量.

3.對于判斷命題的正誤，應該熟記有關(guān)概念，理解各命題，逐一進行判斷，

對于錯誤命題，只要舉一反例即可.

提醒：與向量平行相關(guān)的問題中，不要忽視零向量.

□類型2向量的表示

【例2】一輛汽車從A點出發(fā)，向西行駛了100千米到達點8,然后又改變

方向向西偏北50。行駛了200千米到達點C,最后又改變方向，向東行駛了100千

米到達點D.

(1)作出向量麴，BC，⑦，AD;

⑵求應＞|.

依據(jù)向量的幾何特征和代數(shù)特征，分別作出向量箱，BC,CD,AD；進而求

出的.

［解］(1)如圖.

(2)由題意，易知篇與前方向相反，故施與詼共線，即4B〃CO.

又：m=\cb\,

.?.在四邊形ABCD中，AB^-CD,

四邊形ABC。為平行四邊形，

疝|=|就1=200(千米).

廠......成思領(lǐng)悟????...............

用有向線段表示向量時，先確定起點，再確定方向，最后依據(jù)向量模的大小

確定向量的終點.必要時，需依據(jù)直角三角形知識，求出向量的方向或長度(模)，選

擇合適的比例關(guān)系作出向量.

□類型3共線向量

【例3】(對接教材P6例2)如圖，四邊形A3CO是邊長為3的正方形，把各

邊三等分后，共有16個交點，從中選取兩個交點作為向量，則與衣平行且長度為

2吸的向量個數(shù)有個.

DC

4B

8［如圖所示,

滿足與撫平行且長度為2啦的向量有FA,EC,CE,GH,HG,1J,萬共

8個.］

［母題探究］

1.（變條件）在本例中，與向量危同向且長度為26的向量有多少個？

［解］與向量流同向且長度為2近的向量占與向量危平行且長度為2啦的向

量中的一半，共4個.

2.（變條件）在本例中，與向量劭相等的向量有多少個？

［解］題圖中每個小正方形的對角線所在的向量中，與向量肪方向相同的向

量與其相等，共有8個.

廠.....?成思領(lǐng)悟.......................

1.尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定

哪些是同向共線.

2.尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)

造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點,

起點為終點的向量.

9.2向量運算

9.2.1向量的加減法

第1課時向量的加法

知識點1向量的加法

(1)向量加法的定義

求兩個向量和的運算叫作向量的加法.

(2)向量加法的運算法則

①三角形法則：

如圖，已知向量a和。，在平面內(nèi)任取一點。，作晶=a,AB=b,則向量速

叫作a與。的和，記作a+4即4+6=醇+筋=曲.

這個法則稱為向量加法的三角形法則.

②平行四邊形法則：

如圖，已知兩個不共線的非零向量a,b,作OC=b,以3，0C為

鄰邊作則以。為起點的對角線表示的向量麗=a+b,這個法則叫作向量

加法的平行四邊形法則.

思考鼠向量的三角形法則和平行四邊形法則是否對任意兩個向量的加法都適

用？

［提示］向量的三角形法則對任意兩個向量的加法都可以適用；向量的平行四

邊形法則僅適用兩個不共線的非零向量.

知識點2向量加法的運算律

⑴交換律：a+b=b+a.

(2)結(jié)合律：(a+A)+c=a+S+c).

(3)a+0=0+a=a.

(4)。+(一。)=(—a)+a=O.

重點題型

類型1向量加法的三角形法則和平行四邊形法則

［例1］如圖，已知向量a,b,c,求作和向量a+8+c.

［解］法一：可先作a+c,再作（a+c）+b,即為a+5+c（用到向量加法運算

律）.

如圖①，首先在平面內(nèi)任取一點。，作向量OX=a,接著作向量筋=c,則得

向量為=a+c,然后作向量反"=》，則向量（5W=a+b+c為所求.

①②

法二：三個向量不共線，用平行四邊形法則來作.如圖②,

（1）在平面內(nèi)任取一點0,作蘇=a,彷=方；（2）作平行四邊形A0BC,則近=

a+b-,（3）再作向量歷=c:（4）作QCOOE,則無=5t+c=a+》+c.則無即為所

求.

1......??成思領(lǐng)悟?...........................

向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系：

區(qū)別：（1）三角形法則中強調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則中強調(diào)的是“共

起點”；（2）三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用

于不共線的兩個向量求和.

聯(lián)系：(1)當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是

統(tǒng)一的；(2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半.

類型2向量的加法運算

【例2】(1)在正六邊形A3COEF中，AB=a,AF=b,則危=,AD

________,AE=________

(2)AB-\-DF+CD+BC+FA=.

(l)2a+62a+2ba+2b(2)0[⑴如圖，連接FC交AO于點。，連接03,

由平面幾何知識得四邊形ABOF,四邊形ABCO均為平行四邊形.

根據(jù)向量的平行四邊形法則，有命=牯+崩=a+b.

在平行四邊形ABCO中，AC=AB+AO=a+a+b=2a+b,AD=2AO=2a+

2b.

而在=Ab=a+b,

由三角形法則得能=涯+走=〃+a+)=a+2。.

(2)AB+DF+Cb+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=Q.]

「....思領(lǐng)悟.............................

1.解決該類題目要靈活應用向量加法運算，注意各向量的起點、終點及向量

起點、終點字母排列順序，特別注意勿將0寫成0.

2.運用向量加法求和時，在圖中表示“首尾相接”時，其和向量是從第一個

向量的起點指向最后一個向量的終點.

類型3向量加法在實際問題中的應用

【例3】(對接教材PH例2)已知小船在靜水中的速度與河水的流速都是10

km/h.

(1)小船在河水中行駛的實際速度的最大值與最小值分別是多少？

(2)如果小船在河南岸M處，對岸北偏東30。有一碼頭N,小船的航向如何確

定才能直線到達對岸碼頭？(河水自西向東流)

結(jié)合實際問題畫出草圖，借助三角形的邊角關(guān)系求解.

［解］(1)小船順流行駛時實際速度最大，最大值為20km/h;小船逆流行駛時

實際速度最小，最小值為Okm/h,此時小船是靜止的.

(2)如圖所示，設必表示水流的速度，疚表示小船實際過河的速度.

設|必|=|而|=10,NCMN=30。.

'：MA+MB=MN,

，四邊形MANB為麥形.

則4AMN=60°,，為等邊三角形.

在△MNB中，|前|=|疝V|=|麻|=10,：.ZBMN=6Q°,而NCMN=30。,

：.ZCMB=30°,

所以小船要由M直達碼頭N,其航向應為北偏西30°.

廠.....?成思領(lǐng)悟.........................

解決與向量有關(guān)的實際應用題，應本著如下步驟：弄清實際問題一轉(zhuǎn)化為數(shù)

學問題f正確畫出示意圖f用向量表示實際量f向量運算f回扣實際問題f作出

解答.

第2課時向量的減法

知識點向量的減法

（1）向量減法的定義

若方+x=a,則向量x叫作a與》的差，記為a—b,求兩個向量差的運算，

叫作向量的減法.

/bBx

0aA

（2）向量的減法法則

如圖所示，以。為起點，作向量為=。，OB=b,則放=a—），即當向量a,

b起點相同時，從幺的終點指向生的終點的向量就是a-b.

思考K.向量的加法三角形法則和減法三角形法則有什么不同？類比實數(shù)的減

法，a~b=。+（—6）是否一定恒成立？

［提示］向量的加法三角形法則對任意兩個向量首尾相接，第一個向量的起點

指向第二個向量的終點的向量就是它們的和向量；向量的減法三角形法則，對任

意兩個向量同起點，由減向量的終點指向被減向量的終點的向量就是它們的差向

量；類比實數(shù)的減法，。一方=。+（一。）一定恒成立.

重點題型

類型1向量減法的幾何作圖

【例1】（對接教材Pi2例3）如圖，已知向量a,b,c,求作向量a—分一c.

［解］法一：先作a—力，再作（a—萬）一c即可.

如圖①所示，以A為起點分別作向量篦和危，使麴=a,AC=b,連接CB,

得向量西，再以C為起點作向量前，使⑦=c,連接08,得向量力及則向量方方

即為所求作的向量a—8—c.

法二:先作一b,—c,再作a+(—6)+(—c),如圖②.

（1）作協(xié)=-b和冊=-c;

（2）作。X=a,則次7=a一萬一c.

「......,應思領(lǐng)悟............................

求作兩個向量的差向量時，當兩個向量有共同起點，直接連接兩個向量的終

點，并指向被減向量，就得到兩個向量的差向量；若兩個向量的起點不重合，先

通過平移使它們的起點重合時，再作出差向量.

D類型2向量減法法則的應用

【例2】（1）化簡下列式子：

@NQ-PQ-NM-MP；

②（屈一⑦）一（危一防）.

⑵如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，8是該平行四邊形外一點，且屈=

a,AC=b,AE=c,試用向量a,b,c表示向量⑦，BC,BD.

［解］（1）①原式=版+0＞一（而/+宓）=種一標=o.

②逐一詼）一乘一曲

=AB-Cb-AC+BD

=AB+DC+G\+BD

=(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=(i.

(2)因為四邊形ACDE是平行四邊形，

所以前=A^=c;BC=AC-AB=b-a,

故防=比+⑦=〃-a+c.

廠.....cS思領(lǐng)悟.........................

(1)向量減法的三角形法則的內(nèi)容是：兩向量相減，表示兩向量起點的字母必

須相同，這樣兩向量的差向量以減向量的終點字母為起點，以被減向量的終點字

母為終點.

(2)用幾個基本向量表示其他向量的技巧

①觀察待表示的向量位置；

②尋找相應的平行四邊形或三角形；

③運用法則找關(guān)系，化簡得結(jié)果.

類型3一例與)之間的關(guān)系

【例3】已知⑷=6,制=8,且|a+5|=|a—3|,求|Q—

結(jié)合向量加、減的運算法則，你能發(fā)現(xiàn)向量a,8間存在怎樣的位置關(guān)系？如

何借助該關(guān)系求得|。一例.

［解］如圖，設屈=a,

AD=b,以AB,A。為鄰邊作QABCD.

則慶=a+b,DB=a-b,

因為|@+加=|a一例，

所以1nl=|加

又四邊形ABC。為平行四邊形，

所以四邊形ABC。為矩形.

故4DLAB.

在RtZXDAB中，|4陰=6,以。=8,

由勾股定理得|加|=、/|■郡+|屐)[2=^62_|_82=]0,所以|“一臼=1().

廠......反思領(lǐng)悟.............................

1.以平行四邊形A8CD的兩鄰邊AB,AD分別表示向量拔=a,AD=b,則

兩條對角線表示的向量為慶=a+b,DB=a-b,這一結(jié)論在以后應用非常廣泛，

應該加強理解并記住.

2.若|a+旬=|°一回，則以a,方為鄰邊的平行四邊形是矩形.

9.2.2向量的數(shù)乘

知識點1向量的數(shù)乘定義

一般地，實數(shù)人與向量a的積是一個向量,記作％a,它的長度和方向規(guī)定如

下：

(lW=|z||a|；

(2)若a#0,則當2>0時，九i與a方向相同;當丸<0時，■與a方向相反.

實數(shù)人與向量。相乘的運算，叫作向量的數(shù)乘.

特別地，當4=0時，0a=0；當a=0時，20=0.

向量的數(shù)乘Aa的幾何意義：當A>0時，把向量a沿著a的相同方向放大或縮

小；當/IV0時，把向量a沿著a的相反方向放大或縮小.

量重j1.za=0,一定能得到2=0嗎？

[提示]不一定.癡=0,則2=0或a=0.

知識點2向量數(shù)乘的運算律

設a,8為向量，九〃為實數(shù)，則

(1)她G=(〃)“；

(2)(2+〃)a=；

(3)A(a+6)=za+AZ>.

向量的加法、減法和數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算.

知識點3向量共線定理

一般地，對于兩個向量a(aWO),方，設a為非零向量，如果有一個實數(shù)人使

b=Xa,那么8與a是共線向量；反之，如果〃與a是共線向量，那么有且只有一

個實數(shù)人使8=癡.

墾紅2.向量共線定理中，為什么規(guī)定aWO.

［提示］當a=O時，顯然白與a共線，此時若b=0,則存在無數(shù)實數(shù)九使b

=〃；若方W0,則不存在實數(shù)A使得力=曲.

重點題型

□類型1向量數(shù)乘的基本運算

【例1】計算：

(1)6(3。—26)+9(—2a+b)；

(2),(3a+2彷等一辦］一翡Q+蓑時制;

(3)6(。-b+c)-4(a-2Z>+c)-2(—2a+c).

［解］(1)原式=18。-126-18a+明=-36

(2)原式=g(3a+2方_：“一))一看$+%>+5］

(3)原式=6。-6)+6c—4@+8。一4c+4a—2c=6a+2》.

廠......cS思領(lǐng)悟.............................

向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算，主要是“合并同類項”“提取公

因式”，但這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù).向量也

可以通過列方程來解，把所求向量當作未知量，利用解代數(shù)方程的方法求解.

類型2向量的共線問題

【例2】已知非零向量ei,e2不共線.

(1)如果屈=ei+e2,BC=2ei+8ei,CD=3(e\-e2),求證：A,B,D三點共

線.

(2)欲使氏i+e2和ei+&2共線，試確定實數(shù)k的值.

(1)欲證4B,。三點共線，能否證明麴與屐)或防共線？

(2)若ke\+e2與e\+kei共線，則兩向量間存在怎樣的等量關(guān)系？

［解］(1)證明：'：AB=e}+e2,防=比+⑦=2ei+8e2+3ei—3e2=5(ei+e2)

=5AB,

：.AB,筋共線，且有公共點8,B,。三點共線.

(2),.,&i+e2與ei+Ze2共線，，存在實數(shù)2,使kei+e2=%(ei+Ze2),K'］(k,—A)ei

7：—2=0,

=(M—l)e2,由于ei與e2不共線，只能有.*./：=±1.

z?—1=0,

1......(J5思領(lǐng)悟......................

1.證明三點共線，通常轉(zhuǎn)化為證明這三點構(gòu)成的其中兩個向量共線，向量共

線定理是解決向量共線問題的依據(jù).

2.若A,B,。三點共線，則向量麴，AC,慶:在同一直線上，因此必定存在

實數(shù)，使得其中兩個向量之間存在線性關(guān)系.而向量共線定理是實現(xiàn)線性關(guān)系的

依據(jù).

類型3向量的表示

【例3】如圖所示，已知AOAB中，點C是以A為對稱中心的B點的對稱

點，。是把肉分成2：1的一個內(nèi)分點，0c和OA交于E,設倒=“，OB=b.

(1)用a和分表示向量近，DC；

(2)若無=%醇，求實數(shù)2的值.

［解］(1)依題意，A是BC中點,

：.2OA=OB+OC,

即次?=2/一為=2。―仇

—?—?—?—?2―?

DC=OC-OD=OC-^OB

25

=2a—〃一gb=2a-/

⑵若無=%見

則徐=無一定=觴一(24一方)=。一2)。+4

?.?麗與比共線，

，存在實數(shù)左，使在=豉，

.,.(%—2)a+》=42a—布)，解得見=f?

廠......反思領(lǐng)悟.............................

用已知向量表示未知向量的求解思路

(1)先結(jié)合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中；

(2)然后結(jié)合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理，用已知向

量表不未知向量；

(3)求解過程體現(xiàn)了數(shù)學上的化歸思想.

9.2.3向量的數(shù)量積

知識點1向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a和b,它們的夾角是0,我們把數(shù)量㈤依cos8叫作向量a

和b的數(shù)量積，記作ab,即a-b=\a\\b\cos6.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

(1)兩個向量的數(shù)量積是向量嗎？

(2)數(shù)量積的大小和符號與哪些量有關(guān)？

［提示］(1)兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量.

(2)數(shù)量積的大小與兩個向量的長度及夾角都有關(guān)，符號由夾角的余弦值決定.

知識點2兩個向量的夾角

(1)定義：已知兩個非零向量a,b,作為=<z,OB=b,則NA08稱為向量a

與b的夾角.

B

b

0

0aA

(2)范圍：0°WeW180°.

(3)當。=￡時，a與力同向；當。=180。時，。與)反向.

(4)當。=繆時，則稱向量a與8垂直，記作aJ_b.

⑸兩個非零向量a和b的夾角仇可以由cos。=就求得?

知識點3投影向量

設a,方是兩個非零向量，如圖，/表示向量a,為表示向量b,過點A作彷

所在直線的垂線，垂足為點Ai,我們將上述由向量。得到向量次?的變換稱為向量

a向向量8投影，向量Ei稱為向量。在向量方上的投影向量.

所以dAi=(㈤cos。血，a-b=OA\b.

投影向量與向量數(shù)量積的關(guān)系：向量a和向量b的數(shù)量積就是向量a在向量力

上的投影向量與向量。的數(shù)量積.

知識點4向量的數(shù)量積的運算律及性質(zhì)

(1)向量數(shù)量積的運算律：已知向量a,b,c和實數(shù)九

?ab=ba-,

?(Aa)-b=a-Ub)=A(a-b)=Xab；

③(a+》)-c=a-c+be

(2)數(shù)量積的性質(zhì)：

?a-a=|a|2或|a|；

②|a切W|a|血，當且僅當向量a,8為共線向量時取“=”號；

③a_L)臺a,5=Q.(向量a,?均為非零向量)

墾卷限2.向量的數(shù)量積運算結(jié)果和向量的線性運算的結(jié)果有什么區(qū)別？

［提示］向量線性運算結(jié)果是向量，而數(shù)量積運算結(jié)果是數(shù)量.

重點題型

□類型1向量數(shù)量積的運算

【例1】(對接教材P20例1)已知悶=2,\b\=3,a與分的夾角為120。，求：

(1"(2)標一52；(3)(2a-*).(a4-3Z?).

［解］(l)a-6=|a||6|cos120°=2X3X(—￡|=一3.

(2)/一方2=同2—向2=4—9=-5.

(3)(2?！猙>(a+3。)=2a2+5a-b-3b2

=2⑷2+5⑷制cos120。-3向2

=8-15-27

=-34.

廠....成思領(lǐng)悟........................

1.求平面向量數(shù)量積的步驟：①求a與力的夾角仇。@［0,兀］;②分別求同

和步I；③求數(shù)量積，即05=同派OSa要特別注意書寫時,。與萬之間用實心圓

點連結(jié)，而不能用“X”連結(jié)，也不能省去.

2.較復雜的數(shù)量積的運算，需先利用向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)公式進行化

簡.

口類型2求向量的模

【例2】已知向量醇=a,OB=b,乙408=60。，且⑷=|加=4.求|a+Z>|,

\a-b\j\3a~\~b\.

[解]山=|研|例cosNAOB=4X4X；=8,

\a+b\=y(a+b，=^a2+2a-6+Z>2

='16+16+16=4小,

\a-b\=yl(a—b)2=y]a2-2a9b+b2=*\J16-16+16=4,

|3a+"=*\/(3a+))2=y]9a2+6a-b+b2

=、9義16+48+16=4vB.

廠.....?成思領(lǐng)悟................

1.求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，要靈活應用a?a=|a|2,

勿忘記開方.

2.一些常見的等式應熟記，如（°士〃）2=。2±2。.方+）2,（a+5）.（a—））=，一b2等.

類型3求向量的夾角

【例3】已知Q,b都是非零向量，且。+3〃與la—5b垂直，a-4b與7a

一2萬垂直，求a與力的夾角.

由兩組向量分別垂直可得出⑷，向同。小的關(guān)系，由此可借助公式cos。=編

求a與分的夾角.

［解］由已知，得（a+3，）-（7a-5Z＞）=0,

即7屋+16。/-15明=0,①

（。一孫（7。-26）=0,即7a2—30a.》+8》2=0,②

①②兩式相減，得2a仍=加，,,.ab=^b2,

代入①②中任一式，得，=62,設出的夾角為。，

.ab2^1

川cos夕=麗=而=手

?.?0°WeW180°,.?.9=60°.

廠成思領(lǐng)悟.....S

求a與8夾角的思路

（1）求向量夾角的關(guān)鍵是計算a6及同步|,在此基礎上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)

rt*h

計算cos9=j^jj而，最后借助。6［0,兀］,求出0的值.

（2）在個別含有⑷，囪及。協(xié)的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計算cos。的值.

提醒：注意兩向量的夾角。e［0,兀］.

9.3向量基本定理及坐標表示

9.3.1平面向量基本定理

知識點1平面向量基本定理

(1)定理：如果ei,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,那么對于這一平面內(nèi)

的任一向量a,有且只有一對實數(shù)為，方，使a=/hgi+乃￡2.

(2)基底：兩個不共線的向量0,62叫作這個平面的一組基底.

小￡如果ei,e2是兩個不共線的確定向量，那么與0,e2在同一平面內(nèi)的任

一向量a能否用ei,e2表示？依據(jù)是什么？

［提示］能.依據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則.

知識點2平面向量的正交分解

由平面向量基本定理知，平面內(nèi)任一向量a可以用一組基底e\,e2表示成a

=為0+2262的形式.我們稱4⑹+4262為向量a的分解.當幻,€2所在直線互相垂

直時，這種分解也稱為向量a的正交分解.

重點題型

□類型1對向量基底的理解

【例1】如果a,e2是平面a內(nèi)所有向量的一組基底，則下列說法正確的是

()

A.若實數(shù)力,42,使210+2262=0,則21=22=0

B.空間任一向量?？梢员硎緸閍=/bei+丸202,這里力，上為實數(shù)

C.對實數(shù)21,丸2,為61+2202不一定在該平面內(nèi)

D.對平面內(nèi)任一向量。，使4=2⑻+七02的實數(shù)力，上有無數(shù)對

A［平面a內(nèi)任一向量都可寫成ei與62的線性組合形式，而不是空間內(nèi)任一

向量，故B不正確；對任意實數(shù)為，后，向量Aiei+人262一定在平面a內(nèi)，故C不

正確；而對平面a內(nèi)的任一向量a,實數(shù)無，上是唯一的，故D不正確.］

廠......成思領(lǐng)悟????.................

考查兩個向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否非零且不共線.止匕外，一

個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表

示出來.

口類型2用基底表示向量

【例2】如圖所示，在△ABC中，點M是A8的中點，且俞=家，BN與

CM相交于點E,設油=a,AC=b,試用基底a,A表示向量能.

［解］法一：由已知，在△ABC中，AM=MB,且病=；近，已知BN與CM

交于點跳過N作A3的平行線，交CM于。，如圖所示.

在△ACM中，稅=翳-3,

NDNEDE2

所以礪=麗=麗=予

//-2一

所以NEqNB,

AE=AN+NE=^AC+^NB

=1■慶+,（隔+油）

法二：易得俞=|■慶=g。，AM=^AB=^a,

由N,E,3三點共線知存在實數(shù)相，滿足

——,—1

AE=mAN+(l—m)AB=2^b+(l—m)a.

由C,E,M三點共線知存在實數(shù)外滿足

AE=nAM+(1~n)AC=^na+(\~n)b.

所以;〃力+(1—m)a=+(1—ti)b.

I1-m=；n,

因為％b為基底，所以＜]一

2m=]一〃，

r3

m=g,

解得＜4所以能=]a+1b.

、〃=予

廠........反思領(lǐng)悟.............................

將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用

向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化，直到用基底表示為止；另一種是

通過列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.

D類型3平面向量基本定理與向量共線定理的應用

【例3】如圖，在△A8C中，點M是BC的中點，N在AC上且AN=2NC,

AM與BN交于點P,求AP：PM的值.

［解］設6=a,AC=b,

則與f=1(a+Z>),BN=~a+^b.

VA,P,M共線，

Z.設協(xié)=加拓

fA,

.,.AP=2(a+b).

同理設麗=〃麗,

.,.BP=—/tia+^ib.

\"AB=AP+PB,

/.a=2（?+b）―（一〃a+7

,'（1_1_4}=修一崗，,

?：a與b不共線,

.伊，=1,

"\X2

匕下

?"=5,〃=予

.'.AP=^AM,BP=^BN,

：.AP：PM=4：1.

廠......成思領(lǐng)悟.............................

1.充分挖掘題目中的有利條件，本題中兩次使用三點共線，注意方程思想的

應用.

2.用基底表示向量也是用向量解決問題的基礎，應根據(jù)條件靈活應用，熟練

掌握.

9.3.2向量坐標表示與運算

第1課時向量的坐標表示

知識點1向量的坐標表示

在平面直角坐標系中，分別取與X軸、v軸正方向相同的兩個單位向量i,j作

為基底，對于平面內(nèi)的向量。，由平面向量的基本定理可知，有且只有一對有序?qū)?/p>

數(shù)(x，y),使得a=xi+yj.我們把有序?qū)崝?shù)對(x,y)稱為向量a的(直角)坐標，記

作a=(x,y).

1.在平面直角坐標系內(nèi)，給定點A的坐標為A(l,1),則A點位置確

定了嗎？給定向量。的坐標為4=(1,1),則向量"的位置確定了嗎？

［提示］對于A點，若給定坐標為A(l,1),則A點位置確定.對于向量a,

給定的坐標為a=(l,1),此時給出了a的方向和大小，但因向量的位置由起點和

終點確定，且向量可以任意平移，因此。的位置還與其起點有關(guān).

知識點2向量線性運算的坐標表示

(1)已知向量。=(xi,yi),b=(x2,*)和實數(shù)九那么a+/>=(xi+x2,yi+y2),

a—1=(XLX2,yi—y2),7la=(Axi>Ayi).

(2)已知A(xi,yi),B(X2,”)，O為坐標原點，則油=①一宓=52,也)一(加，

yi)=(x2—xi,V2—yi),即一個向量的坐標等于該向量終點的坐標減去起點的坐標.

思考k2.設i,j是分別與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若設a=(xi,巾),

b=(x2,>2),則a=xii+yj,b=x2i+yy,根據(jù)向量的線性運算性質(zhì)，向量a十5，

a-b,SR)如何分別用基底用j表示?

［提示］a+6=(Xi+x2)i4-(ji+y2)j,

a-b—{x\—X2)i+(>'i~yi)j,癡=Axii+肛ij.

重點題型

□類型1平面向量的坐標表示

【例1】(對接教材P28例1)在直角坐標系xOy中，向量a,方的位置如圖，

⑷=4,\b\=3,且NAQx=45。，NOAB=105。，分別求向量a,方的坐標.

［解］設a=(ai,?2),b=(b\,bi),由于向量a相對于x軸正方向的轉(zhuǎn)角為45°,

所以ai=|a|cos45°=4X乎=2啦，a2=|a|sin45。=4乂乎=26.

可以求得向量。相對于無軸正方向的轉(zhuǎn)角為120。,

3

所以勿=|〃cos120。=3X［一］

b2=\b\sin120°=3義坐=曰3.

故。=(2隹2^2),8=［一|,駕目?

廠.......思領(lǐng)悟???.............................

求向量的坐標一般轉(zhuǎn)化為求點的坐標，解題時常常結(jié)合幾何圖形，利用三角

函數(shù)的定義和性質(zhì)進行計算.

類型2平面向量的坐標運算

【例2】已知平面上三個點A(4,6),8(7,5),C(l,8),求屈，AC,AB+

AC,2AB+^AC.

［解］VA(4,6),8(7,5),C(l,8),

：.AB=(3,-1),AC=(-3,2),

AB+AC=(O,1),

一1一

2AB+^AC=(6,-2)+

廠......近思領(lǐng)悟.............................

平面向量坐標的線性運算的方法

(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進

行.

(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量

的坐標運算.

(3)向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行.

類型3平面向量線性運算的坐標應用

【例3】已知點。(0,0),A(l,2),3(4,5)及種=/+方及試問：

(1)當7為何值時，P在x軸上？P在y軸上？

(2)四邊形OABP是否能成為平行四邊形？若能，則求出t的值.若不能，說

明理由.

以坐標軸上點的坐標特征為切入點求解/的值；結(jié)合平行四邊形的向量表達式

建立參數(shù)f的表達式.

［解］⑴油=（3,3）,

OP=OA+tAB=（l+3t,2+3。，

則P（l+3t,2+3/）.

2

若P在x軸上，則2+3/=0,所以/=一§;

若P在y軸上，則1+3，=0,所以/=一

（2）因為次=（1,2）,PB=（3~3t,3-30,

若。ABP是平行四邊形，則昂=而，

3—3r=l,

所以，此方程組無解；

、3—3r=2,

故四邊形OABP不可能是平行四邊形.

［母題探究］

1.（變條件）在本例條件下，若P在第三象限，求r的取值范圍.

1+3/<0,2

［解］由本例解知，若P在第三象限，則J解得/<一與，所以/的取

、2十3r<0,。

值范圍為（一8,—1j.

2.（變條件）在本例條件下，r為何值時，P在函數(shù)y=-x的圖象上？

［解］由P點坐標（1+332+3。在），=一刀上，

得2+3f=-1-3f,解得尸一；.

即/=一；時，P在y=-x的圖象上.

廠......?廢思領(lǐng)悟.......................

已知含參的向量等式，依據(jù)某點的位置探求參數(shù)的問題，其本質(zhì)是坐標運算

的運用，用已知點的坐標和參數(shù)表示出該點的坐標，利用點的位置確定其橫縱坐

標滿足的條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程（組）或不等式（組），求解即可.

提醒：要注意點的坐標和向量的坐標之間的關(guān)系，一個向量的坐標等于向量

終點的坐標減去始點的坐標.

第2課時向量數(shù)量積的坐標表示

知識點1平面向量數(shù)量積的坐標運算

若兩個向量為a=(xi,y),b=(x2,”)，則a6=xix2+yiy2,即兩個向量的數(shù)

量積等于它們對應坐標的乘積的和.

知識點2向量的長度、夾角、垂直的坐標表示

(1)向量的模：設a=(x,y),則/=f+y2,即㈤二、仔丘.

(2)向量的夾角公式：設兩個非零向量。=(汨，yi),b=(x2,yi),它們的夾角為

仇則cos'—MM廠演明5m-

特別地，若。，萬，則xiX2+yiy2=0；反之，若xi無2+yiy2=0,則a_LZ>.

晝造！若A(?,yi),8(X2,刈，如何計算向量油的模？

［提示］'：AB=OB—OA=(xi—x\,y2-y\),

**-|AB|=7(X2-龍+-y.

重點題型

□類型1數(shù)量積的坐標運算

【例1】已知。=(1,3),6=(2,5),c=(2,1),求：

(l)a如(2)(a+b>(2a+b)；⑶(a協(xié))-c.

［解］(l)a山=1X2+3X5=17.

(2)'.—(3,8),

2。+。=(4,11),

/.(a+6)-(2a+6)=12+88=100.

(3)(a山)-c=17c=(34,17).

廠......思領(lǐng)悟■..........................

利用數(shù)量積的條件求平面向量的坐標，一般來說應當先設出向量的坐標，然

后根據(jù)題目中已知的條件，找