2022-2023學(xué)年蘇教版高一數(shù)學(xué)新教材同步講義專題01 含參數(shù)與新定義的集合問題 （蘇教版2019必修第一冊(cè)） 解析

文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除專題01含參數(shù)與新定義的集合問題【技巧總結(jié)】一．解決與集合有關(guān)的創(chuàng)新題的對(duì)策：（1）分析含義，合理轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確提取信息是解決此類問題的前提．剝?nèi)バ露x、新法則的外表，利用我們所學(xué)集合的性質(zhì)將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的集合，陌生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為我們熟悉的運(yùn)算，是解決這類問題的突破口，也是解決此類問題的關(guān)鍵．（2）根據(jù)新定義（新運(yùn)算、新法則）的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證和運(yùn)算，其中要注意應(yīng)用集合的有關(guān)性質(zhì)．（3）對(duì)于選擇題，可結(jié)合選項(xiàng)，通過驗(yàn)證、排除、對(duì)比、特值法等進(jìn)行求解或排除錯(cuò)淏選項(xiàng)，當(dāng)不滿足新定義的要求時(shí)，只需通過舉反例來說明，以達(dá)到快速判斷結(jié)果的目的．二．解決與集合有關(guān)的參數(shù)問題的對(duì)策（1）如果是離散型集合，要逐個(gè)分析集合的元素所滿足的條件，或者畫韋恩圖分析．（2）如果是連續(xù)型集合，要數(shù)形結(jié)合，注意端點(diǎn)能否取到．（3）在解集合的含參問題時(shí)，一定要注意空集和元素的互異性．（4）由集合間關(guān)系求解參數(shù)的步驟：①弄清兩個(gè)集合之間的關(guān)系，誰(shuí)是誰(shuí)的子集；②看集合中是否含有參數(shù)，若，且A中含參數(shù)應(yīng)考慮參數(shù)使該集合為空集的情形；③將集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式(組)或方程(組)，求出相關(guān)的參數(shù)的取值范圍或值.（5）經(jīng)常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸巧妙解答.【題型歸納目錄】題型一：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)題型二：根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)題型三：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)題型四：根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)題型五：根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)求參數(shù)題型六：集合的創(chuàng)新定義【典型例題】題型一：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)例1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B．或 C． D．【答案】D【解析】∵，∴或．若，解得或．當(dāng)時(shí)，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，集合，滿足題意，故成立．若，解得，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去．綜上所述，．故選：D．例2．（2022·江蘇·揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，解得，故選：C例3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)全集，，若，則B等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，故選：C.例4．（多選題）（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高一開學(xué)考試）已知，且，，，則取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，，故，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，，故，B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，，故，C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，，故，D正確.故答案為：BCD.例5．（多選題）（2022·湖北孝感·高一期中）已知集合，，則為（

）A．2 B． C．5 D．【答案】BC【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，或，若，則，符合題意；若，則，對(duì)于集合，不滿足集合元素的互異性，所以不符合.當(dāng)時(shí)，或，若，則，對(duì)于集合，不滿足集合元素的互異性，所以不符合.若，則，符合題意.綜上所述，的值為或.故選：BC題型二：根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)例6．（2022·上?！ど贤飧街懈咭黄谥校┘现兴性刂蜑椋瑒t實(shí)數(shù)________．【答案】【解析】由得或所以，，當(dāng)時(shí)，是方程的根，解得，當(dāng)時(shí)，若方程的一根為1，則，方程的另一根為4，不合題意；若1不是方程的根，則方程兩根，此時(shí)不滿足，舍去.故答案為：．例7．（2022·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期中）已知集合，記集合中的元素個(gè)數(shù)為，若，則實(shí)數(shù)______.【答案】或或【解析】因?yàn)?，，解得或者，時(shí)，即只有一個(gè)元素，當(dāng)只有一個(gè)解而無解時(shí)，即，解得，當(dāng)只有一個(gè)解而無解時(shí)，即，不存在，時(shí)，有三個(gè)元素，當(dāng)只有一個(gè)解而有2個(gè)不同解時(shí)，即，不存在，當(dāng)只有一個(gè)解而有2個(gè)不同解時(shí)，即，解得或者，綜上所述，或或.故答案為：或或.例8．（2022·江蘇南通·高一期中）已知集合，若集合A中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值的集合是______【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)解，則集合有且只有一個(gè)元素，符合題意；當(dāng)時(shí)，若集合A中只有一個(gè)元素，則一元二次方程有二重根，即，即綜上，或，故實(shí)數(shù)a的取值的集合為故答案為：例9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，集合.(1)若A是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若集合A中只有一個(gè)元素，求集合A；(3)若集合A中至少有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）若A是空集，則關(guān)于x的方程無解，此時(shí)，且，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程應(yīng)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則，得，此時(shí)，符合題意.綜上，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).（3）當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則，得.綜上，若集合A中至少有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.例10．（2022·天津市靜海區(qū)第四中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合.(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A中只有一個(gè)元素，求a的值，并求集合A；【解析】(1)當(dāng)時(shí)，方程化為，有一個(gè)根，不符合題意；當(dāng)時(shí)，若方程無根，則即綜上，a的取值范圍為(2)當(dāng)時(shí)，方程化為，有一個(gè)根，；當(dāng)時(shí)，若方程只有一個(gè)根，則即此時(shí)方程化為，有二重根，題型三：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)例11．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1【答案】D【解析】A={x|x2=1}={1，-1}.當(dāng)a=0時(shí)，，滿足B?A；當(dāng)a≠0時(shí)，B=，因?yàn)锽?A，所以=1或=-1，即a=±1.綜上所述，a=0或a=±1.故選：D例12．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合．若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．1或 D．0或1或【答案】D【解析】由題可得，，當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，則或，即.綜上所述，或.故選：D.例13．（2022·安徽宣城·高一期中）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，解得，此時(shí).綜上所述，.故選：A.例14．（2022·上海市控江中學(xué)高一期中）已知為常數(shù)，集合，集合，且，則的所有取值構(gòu)成的集合為______;【答案】【解析】集合，因?yàn)榧?，且，所以或或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的所有取值構(gòu)成的集合為.故答案為：.例15．（2022·江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高一期中）集合，，若，則的值為__________.【答案】0【解析】因?yàn)?，所以，顯然，若，則與集合元素的互異性矛盾，舍去；若，則或（舍去），綜上，．故答案為：0．例16．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）已知集合或，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍_________．【答案】或【解析】用數(shù)軸表示兩集合的位置關(guān)系，如上圖所示，或要使，只需或，解得或．所以實(shí)數(shù)的取值范圍或.故答案為：或例17．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，，．(1)當(dāng)時(shí)，求的取值集合；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值集合.【解析】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．又，所以，此時(shí)，滿足．所以當(dāng)時(shí)，的取值集合為．（2）當(dāng)時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，，，成立；當(dāng)且時(shí)，，，由，得，所以．綜上，的取值集合為．例18．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）不等式組的解集是，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，因?yàn)椴坏仁浇M的解集為，則，所以.故選：D.例19．（2022·全國(guó)·高一）已知集合，集合．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，；(2)由，則有：，解得：，即，實(shí)數(shù)的取值范圍為．例20．（多選題）（2022·江蘇·鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）設(shè)，．若，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A．1 B．2 C．0 D．【答案】ACD【解析】由得：,當(dāng)時(shí)，,符合題意；當(dāng)時(shí)，，若，則；若，則；由于B中至多有一個(gè)元素，故,所以實(shí)數(shù)的值可以為，故選：ACD例21．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高一開學(xué)考試）設(shè)集合，.(1)若，試求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由，解得或，.當(dāng)時(shí)，得解得或；∴.（2）由（1）知，，，于是可分為以下幾種情況．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩根為，，則，解得.當(dāng)時(shí)，又可分為兩種情況．當(dāng)時(shí)，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有且只有一個(gè)根為，則，解得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有且只有一個(gè)根為，則，此時(shí)方程組無解，當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程無實(shí)數(shù)根，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值為.例22．（2022·江蘇·高一）已知集合．(1)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)，；(2)，；(3)，，，，且，．例23．（2022·廣東·揭陽(yáng)華僑高中高一期中）已知集合，(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，又；(2)，且，即,且所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.例24．（2022·湖南益陽(yáng)·高一期末）設(shè)集合，，．(1)求；(2)若_________，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．請(qǐng)從①，②，③這三個(gè)條件中選一個(gè)填入（2）中橫線處，并完成第（2）問的解答．（如多選，則按第一個(gè)選擇的解答給分）【解析】（1）∵集合，，∴．（2）①若，∴，即，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是．②若，∴，即，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是．③若，∵或，∴，即，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是．題型四：根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)例25．（2022·安徽·涇縣中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，若，則___________；若，則___________.【答案】

【解析】若時(shí)，由可知，必有；若時(shí)，①當(dāng)時(shí)，可得或，由集合的互異性，必有，可得，有或可得或②當(dāng)時(shí)，可得，有可得，與集合的互異性矛盾；③當(dāng)時(shí)，可得，有或，可得或無解，不合題意.由上可知或可得.故答案為：0；0.例26．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高一期中）集合，且，則實(shí)數(shù)m=________.【答案】1或【解析】因?yàn)椋?，所以，由，得，解得或故答案為?或例27．（2022·湖南·高一期中）若，集合A={1，a，a+2}，B={1，3，5}，且A=B，則a=___________.【答案】3【解析】∵，∴，解得，或，無解所以.故答案為：3.例28．（2022·浙江麗水·高一期末）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)_______【答案】【解析】因?yàn)?，所以方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，解得.所以故答案為：例29．（2022·上海市向明中學(xué)高一階段練習(xí)）已知全集為R，A＝{x|x2+px﹣6＝0}，B＝{x|x2+2x+q＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求實(shí)數(shù)p，q的值；(2)若B＝{x|x2+2x+q＝0}＝{m，n}（m，n∈R），求使得為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值【解析】（1）由題意A＝{x|x2+px﹣6＝0}，B＝{x|x2+2x+q＝0}，且A∩B＝{2}，故所以解得（2）由題意，解得此時(shí)故為整數(shù)所以，又故題型五：根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)求參數(shù)例30．（2022·天津市軍糧城中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，故可得或，因?yàn)椋?，故可?故選：C.例31．（2022·江蘇·鹽城市伍佑中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合.(1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范圍.【解析】（1）由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，因?yàn)锳＝B，所以，解得，故a＝5.（2）因?yàn)锳∩C＝C，所以C?A.當(dāng)C＝?時(shí)，△＝1﹣24a＜0，解得a；當(dāng)C＝{2}時(shí)，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此時(shí)無解；當(dāng)C＝{6}時(shí)，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此時(shí)無解或a＝0.綜上，a的取值范圍為.例32．（2022·徐州市第三十六中學(xué)（江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué)）高一階段練習(xí)）已知集合，，是否存在實(shí)數(shù)，使得?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解析】由，得，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)不合題意，故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以所以或，解得或，?dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，符合題意，綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得成立.例33．（2022·安徽·蕪湖一中高一階段練習(xí)）已知集合.(1)當(dāng)時(shí)，求的非空真子集的個(gè)數(shù)；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)x∈Z時(shí)，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共有8個(gè)元素，所以A的非空真子集的個(gè)數(shù)為28－2＝254.（2）（2）因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A，當(dāng)B＝?時(shí)，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；當(dāng)B≠?時(shí)，根據(jù)題意，可得，解得2≤m≤3.綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤3}.（3）（3）當(dāng)B＝?時(shí)，由（1）知m<2；當(dāng)B≠?時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得或解得m>4.綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m<2或m>4}.例34．（2022·湖南·高一期中）集合，.(1)當(dāng)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)，又所以；(2)因?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，則，即，符合題意，②當(dāng)時(shí)，所以，解得，綜上所述，例35．（2022·安徽·池州市貴池區(qū)烏沙中學(xué)高一期中）已知集合，，若，，則______，______．【答案】

【解析】因?yàn)椋苑匠膛c有公共解，又同時(shí)滿足方程與，所以，，所以；由上可知，，由得：，聯(lián)立方程組解得，，所以，，故.故答案為：，.例36．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合.(1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范圍.【解析】（1）由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，因?yàn)锳＝B，所以，解得，故a＝5.（2）因?yàn)锳∩C＝C，所以C?A.當(dāng)C＝?時(shí)，△＝1﹣24a＜0，解得a；當(dāng)C＝{2}時(shí)，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此時(shí)無解；當(dāng)C＝{6}時(shí)，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此時(shí)無解或a＝0.綜上，a的取值范圍為.例37．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，或．(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）∵，∴．在數(shù)軸上標(biāo)出集合A，B，如圖1所示，則由圖1可知，解得．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（2）∵，∴．當(dāng)，即，即時(shí)，滿足．當(dāng)，即時(shí)，在數(shù)軸上標(biāo)出集合B，C，若，則有兩種情況，如圖2、圖3所示．由圖2可知，解得，又，∴無解；由圖3可知，解得．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是或．例38．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若集合，，且，則______，______．【答案】

4

0【解析】若，則，顯然不成立，所以；所以，即，得，此時(shí)，所以，即，得．故答案為：4；0題型六：集合的創(chuàng)新定義例39．（2022·上海市控江中學(xué)高一期中）設(shè)是實(shí)數(shù)集的一個(gè)非空子集，如果對(duì)于任意的與可以相等，也可以不相等），且，則稱是“和諧集”.則下列命題中為假命題的是（

）.A．存在一個(gè)集合，它既是“和諧集”，又是有限集B．集合是“和諧集”C．若都是“和諧集”，則D．對(duì)任意兩個(gè)不同的“和諧集”，總有【答案】D【解析】A項(xiàng)中，根據(jù)題意是“和諧集”，又是有限集，故A項(xiàng)為真命題；B項(xiàng)中，設(shè)，則，，所以集合是“和諧集”，故B項(xiàng)為真命題；C項(xiàng)中，根據(jù)已知條件，可以相等，故任意“和諧集”中一定含有0，所以，故C項(xiàng)為真命題；D項(xiàng)中，取，，都是“和諧集”，但5不屬于，也不屬于，所以不是實(shí)數(shù)集，故D項(xiàng)為假命題.故選：D.例40．（2022·廣東·金山中學(xué)高一期中）設(shè)，與是的子集，若，則稱為一個(gè)“理想配集”．規(guī)定與是兩個(gè)不同的“理想配集”，那么符合此條件的“理想配集”的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，∴集合A和B必然同時(shí)含有1，2兩個(gè)元素，若則或，共有2種，若，則，共有1種，故共有種；故選：B.例41．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空子集A與B，且滿足Q，，A中的每一個(gè)元素都小于B中的每一個(gè)元素．請(qǐng)給出一組滿足A中無最大元素且B中無最小元