專題16-角平分線四大模型(解析版)

PAGEPAGE2中考常考幾何模型專題16角平分線四大模型1、角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PA⊥OM于點(diǎn)A，PB⊥ON于點(diǎn)B。結(jié)論：PB=PA。2、截取構(gòu)造對稱全等如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，在ON上截取OB=OA，連接PB。結(jié)論：△OPB≌△OPA。3、角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是∠MO的平分線上一點(diǎn)，AP⊥OP于P點(diǎn)，延長AP于點(diǎn)B。結(jié)論：△AOB是等腰三角形。4、角平分線+平行線如圖，P是∠MO的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥ON，交OM于點(diǎn)Q。結(jié)論：△POQ是等腰三角形。模型精練：1．（2019?東平縣二模）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°2．（2019?桂平市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么點(diǎn)D到直線AB的距離是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm3．（2020?浙江自主招生）如圖，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點(diǎn)，設(shè)PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，則（m+n）與（b+c）的大小關(guān)系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．無法確定4．（2019?蘭山區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，則線段MN的長為．5．如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長線于點(diǎn)D，試說明：BF＝2CD．6．如圖，在△ABC中，∠ABE＝2∠C，AD是∠BAC的平分線，BE⊥AD，垂足為E（1）若∠C＝30°，求證：AB＝2BE．（2）若∠C≠30°，求證：BE=12（AC﹣7．（2019?沂源縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分線，延長BD至E，使DE＝AD，求證：∠ECA＝40°．8．（2019?臨洮縣期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求證：BC＝AC+CD．9．（2019?自貢期中）如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，（1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的長；（2）若BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C＝180°．10．（2019?宜昌期中）（1）已知：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的外角平分線，交CB邊的延長線于點(diǎn)D．求證：BD＝AB+AC；（2）對于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分線，交CB邊的延長線于點(diǎn)D，如圖2，請你寫出線段AC、AB、BD之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．11．（2019?潮南區(qū)期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，AD⊥BD，垂足是D．（1）求證：∠2＝∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度數(shù)．12．（2019?蔡甸區(qū)校級月考）如圖，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求證：EF∥AB．13．（2019?崇安區(qū)校級月考）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點(diǎn)E．試說明AD＝AB﹣BC的理由．14．（2019?江夏區(qū)校級月考）如圖1，AB∥CD，P為AB、CD之間一點(diǎn)（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求證：AP⊥CP；（2）如圖（2），若∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E（3）在（1）的條件下，當(dāng)∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，H為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連HQ并延長至K，使∠QKA＝∠QAK，再過點(diǎn)Q作∠CQH的平分線交直線AK于M，問當(dāng)點(diǎn)H在射線15．（2019?東湖區(qū)校級月考）（1）如圖1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則圖中共有個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是，△AEF的周長是（2）如圖2，若將（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改為“若△ABC為不等邊三角形，AB＝8，AC＝10”其余條件不變，則圖中共有個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，并求出△AEF的周長（3）已知：如圖3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過點(diǎn)D作DE∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則EF與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫出結(jié)論不證明．中考?？紟缀文Ｐ蛯ｎ}16角平分線四大模型1、角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PA⊥OM于點(diǎn)A，PB⊥ON于點(diǎn)B。結(jié)論：PB=PA。2、截取構(gòu)造對稱全等如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，在ON上截取OB=OA，連接PB。結(jié)論：△OPB≌△OPA。3、角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是∠MO的平分線上一點(diǎn)，AP⊥OP于P點(diǎn)，延長AP于點(diǎn)B。結(jié)論：△AOB是等腰三角形。4、角平分線+平行線如圖，P是∠MO的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥ON，交OM于點(diǎn)Q。結(jié)論：△POQ是等腰三角形。模型精練：1．（2019?東平縣二模）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°【點(diǎn)睛】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案【解析】解：延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故選：C．2．（2019?桂平市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么點(diǎn)D到直線AB的距離是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm【點(diǎn)睛】先求出CD的長，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)可得DE＝CD，從而得解．【解析】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵BC＝12cm，BD＝8cm，∴CD＝BC﹣BD＝12﹣8＝4cm，∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝CD＝4cm，即點(diǎn)D到直線AB的距離是4cm．故選：B．3．（2020?浙江自主招生）如圖，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點(diǎn)，設(shè)PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，則（m+n）與（b+c）的大小關(guān)系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．無法確定【點(diǎn)睛】在BA的延長線上取點(diǎn)E，使AE＝AC，連接EP，證明△ACP和△AEP全等，推出PE＝PC，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊即可得到m+n＞b+c．【解析】解：在BA的延長線上取點(diǎn)E，使AE＝AC，連接EP，∵AD是∠A的外角平分線，∴∠CAD＝∠EAD，在△ACP和△AEP中，AE=∴△ACP≌△AEP（SAS），∴PE＝PC，在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，∴m+n＞b+c．故選：A．4．（2019?蘭山區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，則線段MN的長為11．【點(diǎn)睛】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，根據(jù)角平分線定義得出∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，求出∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，推出ME＝BM，EN＝CN即可．【解析】解：∵M(jìn)N∥BC，∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，∴ME＝BM，EN＝CN，∵BM+CN＝11，∴EM+EN＝11，即MN＝11，故答案為：11．5．如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長線于點(diǎn)D，試說明：BF＝2CD．【點(diǎn)睛】作BE的中點(diǎn)E，連接AE、AD，根據(jù)直角三角形得到性質(zhì)就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，從而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，求出AD＝DC，證△ADC≌△AEB推出BE＝CD，從而得到結(jié)論．【解析】解：取BF的中點(diǎn)E，連接AE，AD，∵∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝EF，∴∠ABD＝∠BAE，∵CD⊥BD，∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠DAC＝∠DBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DAC＝∠BAE，∴∠EAD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，∴∠AED＝45°，∴AE＝AD，在△ABE與△ADC中，∠ABE∴△ABE≌△ADC，∴BE＝CD，∴BF＝2CD．6．如圖，在△ABC中，∠ABE＝2∠C，AD是∠BAC的平分線，BE⊥AD，垂足為E（1）若∠C＝30°，求證：AB＝2BE．（2）若∠C≠30°，求證：BE=12（AC﹣【點(diǎn)睛】（1）由BE⊥AD，得到∠AEB＝90°，根據(jù)已知條件得到∠ABE＝60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAE＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即刻得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB＝AF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AFE＝∠ABE＝2∠C，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠C＝∠CBF，得到BF＝CF，于是得到結(jié)論．【解析】解：（1）∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∵∠ABE＝2∠C，∠C＝30°，∴∠ABE＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AB＝2BE；（2）∵AD是∠BAC的平分線，BE⊥AD，∴AB＝AF，∴∠AFE＝∠ABE＝2∠C，∵∠AFE＝∠C+∠CBF，∴∠C＝∠CBF，∴BF＝CF，∵BF＝2BE，∴CF＝AC﹣AB＝BE＝2BE，∴BE=12（AC﹣7．（2019?沂源縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分線，延長BD至E，使DE＝AD，求證：∠ECA＝40°．【點(diǎn)睛】在BC上截取BF＝AB，連DF，根據(jù)SAS可證明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，證明△DCE≌△DCF，故∠ECA＝∠DCB＝40°．【解析】證明：在BC上截取BF＝AB，連DF，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠FBD，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE，又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°，∴∠FDC＝60°，∴∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，∴△DCE≌△DCF（SAS），故∠ECA＝∠DCB＝40°．8．（2019?臨洮縣期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求證：BC＝AC+CD．【點(diǎn)睛】在線段BC上截取BE＝BA，連接DE．則只需證明CD＝CE即可．結(jié)合角度證明∠CDE＝∠CED．【解析】證明：在線段BC上截取BE＝BA，連接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD=12∠在△ABD和△EBD中，BE=∴△ABD≌△EBD．（SAS）∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC=12×（180°﹣108∴∠ABD＝∠EBD＝18°．∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE＝∠DEC．∴CD＝CE．∴BC＝BE+EC＝AB+CD．9．（2019?自貢期中）如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，（1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的長；（2）若BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C＝180°．【點(diǎn)睛】（1）由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出DC，即可得出答案；（2）在BC上截取BE＝BA，連接DE，推出△ABD≌△EBD，推出∠A＝∠BED，AD＝DE＝DC，推出∠BED+∠C＝180°，即可得出答案．【解析】（1）解：∵BD⊥CD，∠C＝60°，∴∠CBD＝30°，∴DC=12BC＝∵AD＝DC＝5；（2）證明：在BC上截取BE＝BA，連接DE，如圖所示：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，在△ABD和△EBD中，AB=∴△ABD≌△EBD（SAS），∴∠A＝∠BED，AD＝DE，∵AD＝DC，∴DE＝DC，∴∠C＝∠DEC，∵∠BED+∠DEC＝∠A+∠DEC＝∠A+∠C＝180°，即∠A+∠C＝180°．10．（2019?宜昌期中）（1）已知：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的外角平分線，交CB邊的延長線于點(diǎn)D．求證：BD＝AB+AC；（2）對于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分線，交CB邊的延長線于點(diǎn)D，如圖2，請你寫出線段AC、AB、BD之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【點(diǎn)睛】（1）在CA的延長線上截取AE＝AB，連接DE，由角平分線的性質(zhì)就可以得出△EAD≌△BAD，得出∠AED＝∠ABD＝90°，DB＝DE，就可以得出DB＝AB+AC；（2）在CA的延長線上取一點(diǎn)E，使AE＝AB，連接DE，由角平分線的性質(zhì)就可以得出△AED≌△ABD，就可以得出DE＝DB，∠AED＝∠ABD，就可以得出∠DEF＝∠ABC，就可以得出∠EDC＝∠C，進(jìn)而得出結(jié)論．【解析】證明：（1）在CA的延長線上截取AE＝AB，連接DE．∵AD平分∠EAB，∴∠EAD＝∠BAD，在△EAD和△BAD中，EA=△EAD≌△BAD（SAS）．∴∠AED＝∠ABD，DB＝DE，∵AB＝BC，∠ABC＝90°∴∠C＝45°，∠ABD＝90°，∴∠AED＝90°，∴∠EDC＝45°，∴∠EDC＝∠C，∴DE＝EC．∴BD＝EC．∵EC＝AE+AC，∴BD＝AE+AC∴DB＝AE+AC＝AB+AC；（2）BD＝AB+AC，理由如下：在CA的延長線上取一點(diǎn)E，使AE＝AB，連接DE，∵AD平分∠EAB，∴∠EAD＝∠BAD，在△EAD和△BAD中，EA=∴△EAD≌△BAD（SAS）．∴∠AED＝∠ABD，DB＝DE．∵∠AED+∠FED＝180°，∠ABD+ABC＝180°，∴∠FED＝∠ABC．∵∠ABC＝2∠C，∴∠FED＝2∠C．∵∠FED＝∠EDC+∠C，∴2∠C＝∠EDC+∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE．∴BD＝EC．∵EC＝AE+AC，∴BD＝AE+AC∴DB＝AE+AC＝AB+AC．11．（2019?潮南區(qū)期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，AD⊥BD，垂足是D．（1）求證：∠2＝∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度數(shù)．【點(diǎn)睛】（1）如圖延長AD交BC于H．證明△BDA≌△BDH（ASA）即可解決問題．（2）求出∠AHC，再利用平行線的性質(zhì)即可解決問題．【解析】解：（1）如圖延長AD交BC于H．∵BD⊥AH，∴∠BDA＝∠BDH＝90°，∵∠ABD＝∠HBD，BD＝BD，∴△BDA≌△BDH（ASA），∴BA＝BH，∠2＝∠BHA，∵∠BHA＝∠1+∠C，∴∠2＝∠1+∠C．（2）∵∠ABD＝28°，∠BDA＝90°，∴∠2＝62°，∴∠AHB＝∠2＝62°，∴∠AHC＝180°﹣62°＝118°，∵DE∥EC，∴∠ADE＝∠AHC＝118°．12．（2019?蔡甸區(qū)校級月考）如圖，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求證：EF∥AB．【點(diǎn)睛】過E作AC的平行線于AD延長線交于G點(diǎn)，可證明△DEG≌△DCA，可得EG＝EF，可證明EF∥AB．【解析】解：過E作AC的平行線于AD延長線交于G點(diǎn)，∵EG∥AC在△DEG和△DCA中，∠ADC∴△DEG≌△DCA（ASA），∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC故EG＝AC∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EG＝EF，∴∠G＝∠EFD，∴∠EFD＝∠BAD，∴EF∥AB．13．（2019?崇安區(qū)校級月考）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點(diǎn)E．試說明AD＝AB﹣BC的理由．【點(diǎn)睛】在AB上找到F使得AF＝AD，易證△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根據(jù)平行線性質(zhì)可證∠C＝∠BFE，即可證明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解題．【解析】證明：在AB上找到F使得AF＝AD，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠EAF，∵在△AEF和△AED中，AD=∴△AEF≌△AED，（SAS）∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，∵AD∥BC，∴∠D+∠C＝180°，∵∠AFE+∠BFE＝180°∴∠C＝∠BFE，∵BE平分∠BAD，∴∠FBE＝∠C，∵在△BEC和△BEF中，∠BFE∴△BEC≌△BEF，（AAS）∴BF＝BC，∵AB＝AF+BF，∴AB＝AD+BC，即AD＝AB﹣BC．14．（2019?江夏區(qū)校級月考）如圖1，AB∥CD，P為AB、CD之間一點(diǎn)（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求證：AP⊥CP；（2）如圖（2），若∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E（3）在（1）的條件下，當(dāng)∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，H為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連HQ并延長至K，使∠QKA＝∠QAK，再過點(diǎn)Q作∠CQH的平分線交直線AK于M，問當(dāng)點(diǎn)H在射線【點(diǎn)睛】（1）依據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義，即可得到∠P＝180°﹣90°＝90°，進(jìn)而得到AP⊥CP；（2）過E作EG∥AB，過F作FH∥CD，依據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，再根據(jù)∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，即可得到∠E+∠（3）過Q作QE∥AB，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝∠BAQ+∠DCQ，依據(jù)∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，即可得出∠AQC＝30°，再根據(jù)∠M＝∠MQH﹣∠K進(jìn)行計(jì)算，即可得出∠【解析】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，∴∠CAP=12∠CAB，∠ACP=1∴∠CAP+∠ACP=12（∠BAC+∠ACD）=12∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°，即AP⊥CP；（2）∠E+∠F＝108°．證明：如圖2，過E作EG∥AB，過F作FH∥CD，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC+∠DCA＝180°，∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，AE平分∠BAP，∴∠BAE=15∠BAC，∠DCF=1∴∠AEC=15∠BAC+25∠ACD，∠AFC=25∴∠AEC+∠AFC=15∠BAC+25∠ACD+25∠BAC+15∠DCA=35∠ACD+35∠BAC（3）如圖，過Q作QE∥AB，∵AB∥CD，QE∥CD，∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，∴∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝∠BAQ+∠DCQ，由（1）可得∠BAP+∠DCP＝180°﹣90°＝90°，又∵∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=1∴∠AQC＝∠BAQ+∠DCQ=13∠BAP+13∠DCP=13（∠BAP∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，∴∠K=12∠∵QM是∠CQH的平分線，∴∠MQH=12∠∵∠MQH是△MQK的外角，∴∠M＝∠MQH﹣∠K=12∠CQH-12∠AQH=12（∠CQH﹣∠AQH）=1即∠QMK的大小不變，是定值15°．15．（2019?東湖區(qū)校級月考）（1）如圖1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則圖中共有5個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是BE+CF＝EF，△AEF的周長是20（2）如圖2，若將（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改為“若△ABC為不等邊三角形，AB＝8，AC＝10”其余條件