老師數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課20高數(shù)下

第七 常微分方含有自變量,未知函數(shù)及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程；若yyx能使Fx,y, ,yn0或ynfx,y, 若微分方程的解中含有的獨立常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù),稱該解為通解 x解法令uy則yuxdyuxdu帶入原方程得uxduu

dx化為了變量可分離方程u 能表示為yPxyQx 解法: 能表示為yPxyQxy0,1的方程稱為 解法:令uy1,可化為一階線性方程.x x （ 例4微分方程y 的通解 xy 1.ynfx2.yfxy型（缺y型解法令yp,則yp,帶入原方程化為一階方程3.yfyy型（缺x型解法令yp,則ypdp帶入原方程化為一階方程2 2ypxyqxyfxypxyqxy0

若CyCy是（）的通解,y是（）的特解,則CyCyy是（）的通解1 2 1 2若（）中的非齊次項fxf1xf2xy是ypxyqxyfx的特解y是ypxyqxyfx的特解 則yy是ypxyqxyfx 例7（2013數(shù)一二,4分）已知ye3xxe2x,yexxe2x, 二階常系數(shù)齊次線性微分方程ypyqy 對應(yīng)的特征方程為2pq0其對應(yīng)的兩個根為 （1）若通解yCe1xC （2）若通解yCC i通解yCcosxCsinxe 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyfn（1）若fxPxen （2）若fxexPxcosxPxsin

. BAxe2xe2xBcos2xCsin DAxe2xxe2xBcos2xCsin例10以yCexCe2xxex為通解的微分方程 Ayy2yCyy2y

Byy2yDyy2y例11設(shè)有二階線性微分方程1x2d2y dy

nt

t

2

第八 多元函數(shù)微分定義 若對0,0,當(dāng)0

xx2y

2時

fx,yA 則稱A是fx,y在x0,y0點的極限,記

fxyAy

fx,y :

x,yx0,y0

x,yx0,y0

x,y值不存在,則說明二重極 x,yx0,y0

例

:1

x2x2y2 x2xx 3 xlim 4lim ;5lim 2x

x2

x2

定義 x,yx0,y0

fxyfx0y0,則稱fxy在點x0y0處連續(xù)二元函數(shù) 若在點 處不連續(xù),是不再討論 注:一元函數(shù)y二元函數(shù) 若在點 處不連續(xù),是不再討論 x x x zfx,y在x0,y0處的偏導(dǎo)fx,ylimfx0x,y0fx0,y0limfx,y0fx0,y00 x0fx,ylimfx0,y0yfx0,y0limfx0,yfx0,y00 yy0 y 000

xx,其中xfxy00fyx0y0yyyfx0yyyyfx0y0 例2設(shè)fx,yx2y y,則 例

xx xy, x Bfxfy Cfxfy Dfxfy 設(shè)z

zfx,y 2zzfx,y 2z zfx,y fx,y x

y 定理

定義 若zfx,y在點x0,y0處的全增量zfx0x,y0yfx0,y0可表 zAxByo0,其中 x2y2,則稱zfx,y在點x,y 0AxBy稱為zfxy在點x0y0的全微分記為dz,即dzxyAx0定理2（可微的必要條件）若zfxy在x0y0處可微,則fxy在x0y0兩個偏導(dǎo)數(shù)xx,y

,yx,y

都存在且dz

x,y

dx

x,y

定理3（可微的充分條件）若zfxy的兩個偏導(dǎo)數(shù)ff都在xyx 小結(jié):判定二元函數(shù)fxy在點x0y0xx y2200y利用充分條件,若ff都在點x,y處連續(xù),x

是否等于

C可 D偏導(dǎo)數(shù)連x2xy

,x,y0,反例2fx,y

x,y0, x0x

例2設(shè)fx,yex2y4, Afx00,fy00Cfx00存在,fy00

Bfx00不存在,fy00Dfx00,fy00

xy2 x2f 2f y2f dt,求 2 ty xt解: yex2y2

2

yex2y22xy22xy3ex2y22根據(jù)對稱性,

2x3yex2y22

ex2y22x2y2ex2y2x2 2 y2 x2于是 2 y x例4設(shè)fxy

x2x2

xy0,0,討論fxy在點0,0 x,y0, ,x,y0,0,討論fx,y在點0,0的連續(xù)性、可導(dǎo)

x,y0, Aa2,b Ba2,b Ca3,b Da3,b設(shè)uuxyvvxy在點xy處有對xy的偏導(dǎo)數(shù)zfuv在對應(yīng)點可微,zfufvfufv；zfufvfufv u v 1 2 u v 1 2注:無論f對誰求導(dǎo),求導(dǎo)后的新函數(shù)與原來的f有相同的復(fù)合關(guān)系例1設(shè)zfuvxuuxyvvy都是可微函數(shù),求z和z 例2設(shè)zfexsinyx2y2其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

.yy 例3設(shè)zfu,x,y,uxe,其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 例4設(shè)zf2xygx,xy,其中f二階可導(dǎo),g具有具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求ux

4xy3y20化為z關(guān)于uvuv分析:將u,v作中間變量分別計算 解zzzzazbz v

及

2z2z 2z2z2z 22z 2zb22

a 2ab

x

2

xyau2abuv 2.帶入原方程22 22 必須有14a3a20,14b3b20,且24ab6ab0a1b1或a1,b1

注: 和與z具有相的復(fù)合結(jié)構(gòu),對

設(shè)Fxy0有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)且F0,則Fxy0確定yyxdyFxy且z

z

x2,12例7設(shè)zzxyzyz0確定其中F有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求xzyz y x u

y

求x，設(shè)zfxy在x0y0的某鄰域有定義若對該鄰域內(nèi)任意xy有fxyfx0y0則稱x0y0為fxy的極大（?。┲迭c稱fx0y0為fxy極大（?。┲翟O(shè)函數(shù)zfxy在x0y0的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且fxx0y00,fyx0y0 若 0,則x0,y0是 x,y的極值點,且 若B2AC0,則xy不是fxy 若B2AC0,則法則失效,xy可能是也可能不是fxy A0, B0, C3, 求zfxy在條件xy0（1）構(gòu) 日函數(shù)Fx,y,fx,yx,yF x,yx,y

fxyz在約束xyz0或xyz0下的最值注:無條件極值和條件極值都是先找可疑點,只不過前者是找函數(shù)fx,y后者是找 日函數(shù)F,y,的駐點；另外,對條件極值我們用 日乘數(shù)法找到的駐點只能說是可能的極值點,但這些點到底是不是極值我們一般是判別不了的,故考試中經(jīng)常遇到的都是求條件最值.求二元連續(xù)函數(shù)zfxy在有界閉區(qū)域D求fxy在D求fxy在D例2求函數(shù)ux2y2z2在條件zx2y2及xyz4下的最大值與最小值 x2y2z2在xy2z21條件下的最小值 例5求fxyxy2在橢圓域Dx4

第九 二重積定義

fxydlimf,其中dmaxdd為小區(qū)域 d0 注:

D D若fxy表示平面域D的面密度,則它的質(zhì)量mfxydD當(dāng)zfxy0時,二重積分fxyd表示以區(qū)域D為底,曲面zfxyDDD fx,ydfx,ydfx,yd,

D2D, D2 D

D

fx,y

fxyM,則mADfxydMAD其中AD表示D的面積DD若D是X型積分區(qū)域,即D:axb,xyx, fx,ydb

21

fx,y若D是Y

D:cyd,yxy, fx,ydddy2yfx,y

1 首先,在極坐標(biāo)下有xrcosyrsin 若D:,r rr,則 x,yd D

11

frcos,rsin被積函數(shù)形如fx2y2或fy或fxx y 普通對稱 2fxydxdyfxy對xfx,ydxdy 2fxydxdyfxy對yfx,ydxdy 若D關(guān)于直線yx對稱,則fx,ydxdyfy, x例 x a,則exey DD y1 fx,yy1 2 例3累次積分2dcosfrcos,rsinrdr A0 fx,y B0 fx,yC0dx0fx,y44累次積分

D0frcos,rsinrdr

fx,y0x fx,y fx,y0x 2 x,y 2 x,y 2

1

x

dy

x2DD

xdxdy其中Dx2y2 1 1xD

x2y2

dxdy其中D:1x2y24,x0yDD

xx2y21d其中D0x1,0y第十 無窮級數(shù)（數(shù)二不要n

un稱為一般項或通項,Snunu1u2 un稱為級數(shù)的部分和 若部分和Sn的極限limSn存在,即limSnS則稱級數(shù)un收斂并稱極限值S為級數(shù)un

即unlimSnlimunS若部分和數(shù)列Sn的極限limSn不存在,則稱級數(shù)un nk

n

如果級數(shù)un收斂,則limun

注:limun0,則級數(shù)un limun0,則級數(shù)un一定發(fā)散. 若un0從某項開始即可為什么？）,稱un為正項級數(shù)正項級數(shù)un收斂部分和Sn v收斂u 設(shè)u和v都是正項級數(shù),且0uv,則

n都是正項級數(shù)n都是正項級數(shù)

u發(fā)散vn1 nn設(shè) n

lim

l0l, n （1）若l0u更小,則

u發(fā)散,則

v若

（2）若lv更小,則

v發(fā)散,則

u若

注:aqnaqn

q1時收斂

a1q 1p1

q q p級數(shù)npp1時發(fā)散;當(dāng)p1時,n n

設(shè)un為正項級數(shù),則lim

n

設(shè)un為正項級數(shù)則limnun1或+ 若 （從某項開始即可,稱1n1u為交錯級數(shù) 設(shè)交錯級數(shù)1n1u滿足:1limu;2）u n

n

注:1）條件“u

un1un方法二：構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)fx使un

,則稱un為任意項級數(shù) 設(shè)un是任意項級數(shù),若un收斂,則稱un絕對收斂； 定義 設(shè)un是任意項級數(shù),若un收斂,但un發(fā)散,則稱un條件收斂

定理 若任意項級數(shù)un絕對收斂,則un收斂 n1 n n1

n1 n 1 n2 B

C

Dn1x30n1x301333 n1333 n3例5設(shè)正項級數(shù)a收斂證明級數(shù)a2收斂 nn

;nn；；11n n11n n

nln（2）2

A

nnn1

sinnk為常數(shù)） n1 C發(fā) D斂散性與k有A

a收

1na收 C

a D

anan1n

n2 2中心點為0的冪級數(shù)axnaaxax2 n

n

anx2中心點為x的冪級數(shù)axx

aaxxaxx

ax

n

若x使axn收斂,則稱x是冪級數(shù)axn的收斂點所有收斂點構(gòu)成的集合稱為收斂域 n0 （1）定若冪級數(shù)axn在xxx0處收斂xx的一切x冪級數(shù)axn都絕對收斂

若冪級數(shù)axn在xxx0處發(fā)散xx的一切x冪級數(shù)axn都發(fā)散

使得xR,R時,冪級數(shù)axn收斂,x,R R,時,冪級數(shù)axn

nn

l或 l,則收斂半徑R注:

ann

n1或

n

n

設(shè)冪級數(shù)axn的收斂半徑為R,收斂域為I和函數(shù)為Sx,即Sxax

Sx在收斂域ISx在收斂域I上可積,且逐項積

xStdtxatndtx

xatndt

1a；

0 0

n1可導(dǎo) Sx在收斂區(qū)間R,R上可導(dǎo),且有逐項求 Sx

a

axnna；n n

00fxfxxx fnxxxn 為fx在xx 00 注:若x00上述級數(shù)稱為fx n!1x2! n! ,xn 2nn 2n ,x（2sinx

2n

x n ncosx12n!12!4! 12n! ,x n1

xx2x3

n1xn

ln1x

,n

1 1

xn1xx2 xn ,1x n1xn,1x x en

n12n

3 3

ax1n在x1處收斂,在則此級數(shù)在x2 n C發(fā) 例4若冪級數(shù)axn在x3處條件收斂,則冪級數(shù)nax1n1的收斂區(qū)間

: ;2）fxln1x x23x 1

1

2anx

1x求an

2n

n0 a1lfxcos

xdx,n0,1,

上可積,則稱b l

f

xdx,n1,2,l為f

a0

n xn

x

2ancoslxbnsinlx 設(shè)fx在ll則fx的 級數(shù)在l,l上處處收斂,且

fx

若xll為fx cosnxbsinnx

0fx,若 l,l為 x第一類間斷 20 2

l

n1 fl0fl ,若xl,l上的奇偶函數(shù)f包括經(jīng)奇延拓或偶延拓的函數(shù)） 0,

allfxcosnxdx,n0,1,lbn fl

0xdx,n1,2, 0 lf b

bn0,n1,2,a02a02n

l

（余弦級數(shù)l1,x 1x2,0xx,x

,則其以2為周期的級數(shù)在x處收斂 0x

級數(shù)的和函數(shù)Sx 例13設(shè)x2acosnxx,則a 第十一 向量代數(shù)與空間解析幾何（僅數(shù)一記為向量a在三個坐標(biāo)軸上的投影xyz稱為向量的坐標(biāo)記為axyzxiyjaa且 x2y2z2,進一步 aax2y2若axx2y2

,cos

,cos x2x2y2幾何表示:ababcos其中是a與b的夾角；坐標(biāo)表示abaxayazbxbybzaxbxaybyazbz；判定垂直:a垂直bab0axbxaybyazbz幾何表示:abababsin其中是a與b 坐標(biāo)表示:ab

az判定平行a平行b

ab0

ayaz 幾何表示:ab,cab 坐標(biāo)表示:abc bz

bz點法式

xyz1;這里a,b,c是平面在三個坐標(biāo)軸上的截距. 注:1）過原點的平面AxByCz平行于x軸、y軸、z軸的平面分別為ByCzD0、AxCzD0、AxByD過x軸、y軸、z軸的平面分別為ByCz0、AxCz0、AxBy點向式xx0yy0zz0 一般式A1xB1yC1zD1 AxByCzD xx0

yymt，其中slmn zz A2B2C點P0x0y0z0到平面AxByCzD0的距離dAx0By0A2B2C 0 0 0 0 s,點Px,y,z到直線 ,

xxt；參數(shù)式:yyt,tzzt注:動直線沿定曲線平行移動形成的曲面稱為柱面,動直線叫母線,定曲線叫準線

中消去z得到的二元方程Hx,y0是母線平行于z在曲線C

聯(lián)立z0,即z 隱式曲面:Fx,y,z0 顯示曲面:zfx,y xxt參數(shù)式曲線yytzzt

切向量xtytzt一般式曲線:

切向量n1定義

limfx0tcos,y0tcosfx0,y0lx0,y0

若zfxy在x0y0點可微,則fxy在x0y0點處沿任意方向l且 fx,ycosfx,ycos,其中cos,cos是方向l的方向余弦lx0,y0 定義 gradfx,yx0,y0fxx0,y0ifyx0,y0jfxx0,y0,fyx0,y0梯度是一個向量 解記M6,3,2,則OM63,2平面4xy2z8的法向量n041, 設(shè)所求平面發(fā)法向量為n,則n與n0及OM都垂直故取nn0OM6故所求平面方程是2x02y03z00,即2x2y3z

24i4j 注:例2經(jīng)過點A1,2,3,垂直于直線L 且與平面:7x8y9z100平 的直線方程

1 ijk且s與平面的法向量n7,8,9也垂直故可取ss1n563i6j789故直線方程是:x1y2z3 注:x3y2z1

2xy10z3 B在 D與斜 x2y22z2例4以C:x2y2z20為準線,母線平行于z軸的柱面方程 例6直線L:x1yz1在平面:xy2z10上的投影直線L的方程 z2x2:

y A只有1

zB只有2 D不存x2y2z2

Byoz Czox Dxyz1平

y2z2在點A1,0,1處沿點A指向點B3,2,2方向的方向?qū)?shù) z 13gradxyy2,1,1 第十二 多元函數(shù)積分學(xué)（僅數(shù)一第1 定義

fx,y,zdvlim

f,,vi其中dmaxdidi為小區(qū)域vi

i d0 （2）若fxyz表示空間體的體密度,則它的質(zhì)量mxyz,在此上下限內(nèi)對z作定積分于是fxyzdvdxdyz2xyf DDDD

x2y2z1及z2圍成然后在z和z之間任意處作一平面zz截得一截面區(qū)域Dz在此Dz上對x作二重積分于是fxyzdvdzfxyz 當(dāng)fxyz僅為z的函數(shù)或僅是特殊的xy的函數(shù)（如x2y2,

x2y2z1及z2圍成xrsin（1）直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的關(guān)系yrsinsin其中0r002 zr（2）球坐標(biāo)下的體積元素dvr2sin fx,y,zdvfrsincos,rsinsin,rcosr2sin 注:1）當(dāng)fxyzgx2y2z2且積分區(qū)域1x2y21x2y2

x2y2與z1圍成

fxyzdv2fxyzdv,fxyz對z是偶函數(shù)上 上例4設(shè):x2y2z2R2z0;x2y2z2R2x0,y0,z x2x2

z ,x2 ,

1及

x2y2z2dv其中由x2y2z2z圍成 解利用輪換對稱性有x2dvy2dv 則Iax2by2cz2dvabcx2dvabcx2y2z2 abc R ab

rrsindr

3

abcR 第2 定義1fxydslimnf,s其中maxss為第i個小弧段的長度

i:L 第一型曲線積分與曲線的方向無關(guān),即fx,yds fx,y 若平面曲線Lyyxaxb,則fxydsbfx,yx1y2x 若平面曲線Lxxt,t,則fxyds

fxt,ytx2ty2tyyt 若平面曲線Lrr,,則Lfxyds

frcos,rsinr2r2d另外,若是對空間曲線Lxxtyytzzt,t

fx,y,zds

fxt,yt,zt x2ty2tzt注:第一型曲線積分化成定積分時必須注意要下限上限2

xds 若平面曲線L關(guān)于y軸對稱,被積函數(shù)fx,y對x有奇偶性,Lfx,ydsL

若fxy對xfxyds若fxy對x是偶函數(shù)若平面曲線L關(guān)于x軸對稱被積函數(shù)fxy對yLfx,ydsL

若fxy對yfxyds若fxy對y是偶函數(shù) 若x,y互換積分曲線L不變,則Lfx,ydsLfy,xx2Lex2Le 例2設(shè)l為橢圓431,其周長為a,則L2xy3x4yds 例3設(shè)Lx2y2z2R2,

xyz ,即xdsydszds1xyzds10ds 3 3且x2dsy2dsz2ds1x2y2z2ds

R2ds

1R22R

3故I022R34

3

x2y2z2 x

第3 n定義

變力FPxyiQxyj沿著曲線L從A到B所做的功WLPdx 第二型曲線積分與曲線的方向有關(guān),即LPdxQdyLPdxLPdxQdyLPcosQcos 若定向曲線AB: y

,對應(yīng)起點A,對應(yīng)終點B,

Px,ydxQx,ydyPxt,ytxtQxt,ytyt 注: 22

P函數(shù)Pxy，Qxy在D上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則LPdxQdyxD

y L2o對D內(nèi)任一閉曲線l積分PdxQdyl5oPdxQdy0在D6oQP,x,y （33o中的ux,y也稱PdxQdy的原函數(shù)如何找到ux,y？

QdyuBu注:方法二的缺點在于一般情況下原函數(shù)ux,y故方法一用的比較多;方法二的優(yōu)點在于如果能預(yù)先找到PdxQdy的一個原函數(shù)ux,y則既可說明積分LPdxQdy與路徑無關(guān)又同時可算出積分LPdxQdy而方法一必須事先驗證積分LPdxQdyxxtzzt Pxt,yt,ztxtQxt,yt,ztytRxt,yt,ztzt

t,,PQRPQRPQR或lPdxQdyRdz

若能找到某三元函數(shù)uxyz使duxyzPxyzdxQxyzdyRxyzPdxQdyRdzux,yzuxyz.11x,y,z 11L L解PdxQdyRdzx2dxy2dyz2dz2yzdxxzdyxydzx3 y3 z3 x3y3 d3d3d32dxyzd

x3y3

Lx2yzdxy2xzdyz2xydz 2xyz1,0,1 LLx2y22x到點2,0再沿圓周x2y24到點02的曲線段

x2

起點是a,b,終點是c,d,記I 1y2fxydx y2fxy1Ly y2 L L過點1,2求方程Fx,y0確定的曲線.L例7設(shè)L是x2y21與yz0的交線,從z軸正向往負向看為逆時針方向,則zdxydz L

x

求空間第二型曲線積分I

y2dxz2dyLx

R

R R 解:（參數(shù)法）由x2y2Rx y2 y ,0t2 2 2 2

zRsin2 2 t2

22 t I sintsintR cost costcosdt 0 2 第4 定義

fxyzdSlimf,,S其中maxdd為小曲面塊S i 0 若fxyz表示曲面塊的面密度,則它的質(zhì)量mfx,yz第一型曲面積分與曲面的側(cè)無關(guān),即fxyzdSfxyz 設(shè)曲面zzx,y在xoy2為D2xyzx,y在Dxy上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)則fx,y,zdS fx,y,zx,y1zz 對其它去曲面:xxy,z或:yyx,z有類似 若曲面關(guān)于xoy面上下軸對稱,被積函數(shù)fx,y,z對z有奇偶性,fx,y,zdS fx,y,zdS 2fxyzdS若fxyz對z 上積分曲面關(guān)于yoz面或xoz面對稱被積函數(shù)fxyz對x或y 若x,y互換曲面不變,則fx,y,zdSfy,x,z

x220z例2求I