2023學年完整公開課版回扣3導數

回扣3

導數考前回扣基礎回歸易錯提醒回歸訓練Ⅰ基礎回歸1.導數的幾何意義(1)f′(x0)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).(2)切點的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上.2.利用導數研究函數的單調性(1)求可導函數單調區(qū)間的一般步驟①求函數f(x)的定義域；②求導函數f′(x)；③由f′(x)＞0的解集確定函數f(x)的單調增區(qū)間，由f′(x)<0的解集確定函數f(x)的單調減區(qū)間.(2)由函數的單調性求參數的取值范圍：①若可導函數f(x)在區(qū)間M上單調遞增，則f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可導函數f(x)在區(qū)間M上單調遞減，則f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可導函數在某區(qū)間上存在單調遞增(減)區(qū)間，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調性，區(qū)間I中含有參數時，可先求出f(x)的單調區(qū)間，則I是其單調區(qū)間的子集.3.利用導數研究函數的極值與最值(1)求函數的極值的一般步驟①確定函數的定義域；②解方程f′(x)＝0；③判斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0兩側的符號變化：若左正右負，則x0為極大值點；若左負右正，則x0為極小值點；若不變號，則x0不是極值點.(2)求函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟①求函數y＝f(x)在[a，b]內的極值；②比較函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)的大小，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.4.定積分的三個公式與一個定理(1)定積分的性質：Ⅱ易錯提醒1.已知可導函數f(x)在(a，b)上單調遞增(減)，則f′(x)≥0(≤0)對?x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需驗證“＝”不能恒成立；已知可導函數f(x)的單調遞增(減)區(qū)間為(a，b)，則f′(x)＞0(＜0)的解集為(a，b).2.f′(x)＝0的解不一定是函數f(x)的極值點.一定要檢驗在x＝x0的兩側f′(x)的符號是否發(fā)生變化，若變化，則為極值點；若不變化，則不是極值點.III回歸訓練答案解析1.a，b，c依次表示函數f(x)＝2x＋x－2，g(x)＝3x＋x－2，h(x)＝lnx＋x－2的零點，則a，b，c的大小順序為A.c<b<a

B.a<b<cC.a<c<b

D.b<a<c12345678910111213141516解析a，b，c為直線y＝2－x分別與曲線y＝2x，y＝3x，y＝lnx的交點橫坐標，從圖象可知，b<a<c，故選D.√答案解析2.若曲線f(x)＝x4－4x在點A處的切線平行于x軸，則點A的坐標為A.(－1,2) B.(1，－3)C.(1,0) D.(1,5)解析對f(x)＝x4－4x，求導得f′(x)＝4x3－4，由在點A處的切線平行于x軸，可得4x3－4＝0，解得x＝1，即點A的坐標為(1，－3).12345678910111213141516√3.若函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可能為√答案解析12345678910111213141516解析根據f′(x)的符號，f(x)圖象應該是先下降后上升，最后下降，排除A，D；從適合f′(x)＝0的點可以排除B，故選C.12345678910111213141516答案解析4.設曲線f(x)＝－ex－x(e為自然對數的底數)上任意一點處的切線為l1，總存在曲線g(x)＝3ax＋2cosx上某點處的切線l2，使得l1⊥l2，則實數a的取值范圍為12345678910111213141516√解析由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，12345678910111213141516由g(x)＝3ax＋2cosx，得g′(x)＝3a－2sinx，又－2sinx∈[－2,2]，所以3a－2sinx∈[－2＋3a,2＋3a]，要使過曲線f(x)＝－ex－x上任意一點的切線l1，總存在過曲線g(x)＝3ax＋2cosx上一點處的切線l2，123456789101112131415165.(2016·四川)已知a為函數f(x)＝x3－12x的極小值點，則a等于A.－4 B.－2 C.4 D.2答案解析12345678910111213141516√解析∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，則x1＝－2，x2＝2.當x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；當x∈(－2,2)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，∴f(x)的極小值點為a＝2.答案解析12345678910111213141516√解析方法一

(特殊值法)12345678910111213141516方法二

(綜合法)1234567891011121314151612345678910111213141516答案解析123456789101112131415167.(2016·全國Ⅰ)函數y＝2x2－e|x|在[－2,2]的圖象大致為√12345678910111213141516解析f(2)＝8－e2＞8－2.82＞0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；在x＞0時，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，答案解析8.已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)等于A.11或18 B.11C.18 D.17或1812345678910111213141516√12345678910111213141516解析∵函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.答案解析12345678910111213141516√12345678910111213141516答案解析1234567891011121314151610.已知奇函數f(x)是定義在R上的可導函數，其導函數為f′(x)，當x＞0時，有2f(x)＋xf′(x)＞x2，則不等式(x＋2018)2f(x＋2018)＋4f(－2)＜0的解集為A.(－∞，－2016) B.(－2016，－2012)C.(－∞，－2018) D.(－2016,0)√12345678910111213141516解析由題觀察聯(lián)想可設g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，結合條件x>0，2f(x)＋xf′(x)＞x2，得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＞0，g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上為增函數.又f(x)為R上的奇函數，所以g(x)為奇函數，所以g(x)在(－∞，0)上為增函數.由(x＋2018)2f(x＋2018)＋4f(－2)＜0，可得(x＋2018)2f(x＋2018)＜4f(2)，即g(x＋2018)＜g(2)，所以x＋2018＜2，故x＜－2016，故選A.答案解析12345678910111213141516答案解析1234567891011121314151612.函數f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的極大值是正數，極小值是負數，則a的取值范圍是___________.解析f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0，得x＝±a，當－a<x<a時，f′(x)<0，函數單調遞減；當x>a或x<－a時，f′(x)>0，函數單調遞增.∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，答案解析1234567891011121314151613.已知曲線C：y＝f(x)＝x3－ax＋a，若過曲線C外一點A(1,0)引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補，則a的值為_____.解析設切點坐標為(t，t3－at＋a).由題意知，f′(x)＝3x2－a，切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝t＝3t2－a，

①所以切線方程為y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t). ②將點(1,0)代入②式，得12345678910111213141516答案解析1234567891011121314151612345678910111213141516因此函數f(x)在[0,1]上單調遞增，所以當x∈[0,1]時，f(x)min＝f(0)＝－1.根據題意可知，存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，12345678910111213141516則若存在x∈[1,2]，使a≥h(x)成立，只需使a≥h(x)min，解答1234567891011121314151615.設函數f(x)＝xekx(k≠0).(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；解由題意可得f′(x)＝(1＋kx)ekx，f′(0)＝1，f(0)＝0，故曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為x－y＝0.解答12345678910111213141516(2)求函數f(x)的單調區(qū)間；1234567891011121314151612345678910111213141516解答12345678910111213141516(3)若函數f(x)在區(qū)間(－1,1)上單調遞增，求k的取值范圍.即0<k≤1時，函數f(x)在區(qū)間(－1,1)上單調遞增；函數f(x)在區(qū)間(－1,1)上單調遞增.綜上可知，當函數f(x)在區(qū)間(－1,1)上單調遞增時，k的取值范圍是[－1,0)∪(0,1].解答12345678910111213141516(1)求實數a的值；因為a＞0，所以當x∈(－∞，1)時，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，1)上單調遞