中考數(shù)學備考復習題13

選擇題

1、（2011浙江杭州模擬14）下列命題中的真命題是（）.

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形B.中心對稱圖形都是

軸對稱圖形

C.兩條對角線相等的梯形是等腰梯形D.等腰梯形是中心對

稱圖形

答案：C

2、（2011浙江杭州模擬16）下列圖形中，周長不是32的圖形是

)

答案：B

3.（2011浙江省杭州市8模）如圖，ABCD、CEFG是正方形，E在CD

上，直線BE、DG交于H,且HE?HB=4-2逝，BD、AF交于M,

當E在線段CD（不與C、D重合）上運動時，下列四個結論：①BE

_LGD；②AF、GD所夾的銳角為45°；③GD=6AM；④若BE

平分NDBC,則正方形ABCD的面積為4。其中正確的結論個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案:D

4、（2011年黃岡中考調研六）矩形ABC。中，AB=\,AD=2,M是C。

的中點，點P在矩形的邊上沿4-CfM運動，則

B

的面積y與點尸經(jīng)過的路程》之間的函數(shù)關系用圖象表示大

致是下圖中的（

DMC

A.

答案A

5.（2011年浙江杭州三模）如圖，

在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A、

B、E在同一直線上，P是線段DF的

中點，連結PG,PCo若NABC=N

PG_

BEF=60°，則正一（）給《旦而反1

A.V2B.6

V2V3

dDT

答案：B

6、（2011年浙江杭州八模）如圖，ABCD、CEFG是正方形，E在CD

上，直線BE、DG交于H,且HE?HB=4-2及，

BD、AF交于M,當E在線段CD（不與C、D

重合）上運動時，下列四個結論：①BE±GD；

②AF、GD所夾的銳角為45°；③GD=V2AA7.

④若BE平分NDBC,則正方形ABCD的面積為4。其中正確的結

論個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案：D

B組

1.（2011浙江慈吉模擬）如圖，將一個正方體分割成甲、乙、丙三

個長方體，且三個長方體的長和寬均與正方體的棱長相等；若已知

甲、乙、丙三個長方體的表面積之比為2：3：4,則它們的體積之比

等于（）

A.2：3：4B.2：5：7C.1：10：23

D.1：6：11

%*1日而反1

答案：D

2、（2011北京四中一模）下列命題中，真命題是（）

（A）有兩邊相等的平行四邊形是菱形（B）有一個角是直角的四邊

形是矩形

（C）四個角相等的菱形是正方形（D）兩條對角線互相垂直且

相等的四邊形是正方形

3（2011深圳市中考模擬五）下列命題中，真命題是（）

A.兩條對角線相等的四邊形是矩形

B.兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

D.兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

答案：D

4.（2011深圳市全真中考模擬一）如圖，順次連

結圓內接矩形各邊的中點，得到菱形ABCD,若

BD=10,DF=4,則菱形ABCD的邊長為

(A)4a.

(B)5近

(Q6.

(D)9.

（第4題）

答案：D

5.（安徽蕪湖2011模擬）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆

時針旋轉45度后得到正方形ABC。，邊*。與DC交于點O,則四

邊形A夕。。的周長是（）

A.2桓B.3C.應D.1+后

答案:A

6.（浙江杭州金山學校2011模擬）（原創(chuàng)）如圖，把一個長方形的紙

片對折兩次，然后剪下一個角，為了得到一個銳角為60。的菱形，剪

口與折痕所成的角a的度數(shù)應為（▲）

A.15?；?0。B.30。或45。C.45?；?0。D.30?；?/p>

60°

答案：D

7.（浙江杭州金山學校2011模擬）（引黃岡市2010年秋期末考試九

年級數(shù)學模擬試題）

正方形A8C。、正方形和正方形RKPF的位置如圖所示，點G在

線段。K上，正方形3EFG的邊長為4,則AOEK的面積為（）

C、14D、16

答案：D

8.（河南新鄉(xiāng)2011模擬）如圖，菱形ABCD的周長為40cm,DEA.AB,

.3

sinAA=一

垂足為E,5,則下列結論正確的有（）

①OE=6cm②BE=2cm

③菱形面積為60cm2④8。=4V10cm

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案：C

9.（浙江杭州進化2011—模）下列命題中的真命題是（）.

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形B.中心對稱圖形都是

軸對稱圖形

C.兩條對角線相等的梯形是等腰梯形D.等腰梯形是中心對

稱圖形

答案:C

10、（2011年黃岡市流水縣）如圖所示，將邊長為8cm的正方哌紙片D

ABCD折疊，使點D落在BC中點E處，點A落在F處，折痕微力kJ

則線段CN的長是…（）

BEC

A.2B.3C.4D.5

答案：B

11、（2011年北京四中33模）如圖，四邊形

ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榱庑?

需要添加的條件是（）

A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD

答案C

12.（2011年杭州市上城區(qū)一模）如圖，順次連結

圓內接矩形各邊的中點，得到菱形ABCD,若

BD=6,DF=4,則菱形ABCD的邊長為（）C

笫1O

A.4夜B.3&C.5D.7

答案：D

13.（2011年杭州市上城區(qū)一模）已知下列命題：①若?！?,?！?,

則a+"0；②若則③角平分線上的點到這個角的兩邊

距離相等；④平行四邊形的對角線互相平分；⑤直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半.其中原命題與逆命題均為真命題的是（）

A.①③④B.①②④C.③④⑤D.②③⑤

答案：C

14.（2011年杭州市模擬）如圖，矩形的長7^?

與寬分別為。和心在矩形中截取兩個大小

b

笛1/I的

相同的圓作為圓柱的上下底面，剩余的矩形作為圓柱的側面，剛好能

組合成一個沒有空隙的圓柱，貝心和匕要滿足的數(shù)量關系是

a1a_2

\.b2zr+124+1

a_1a2

C.b~2萬+2D.b萬+1

答案:D

15.（2011年海寧市鹽官片一模）如圖所示，正方形

4BCD的面積為12,△4族是等邊三角形，點E在正

方形ABCD內，在對角線AC上有一點尸，使PD+PE的口第15題”

和最小，則這個最小值為（）

A.2GB.2aC.3D.a

答案：A

二填空題

1、（2011浙江杭州模擬16洞學們在拍照留念的時候最喜歡做一個“V”

字型的動作。我們將寬為2加的長方形如圖進行翻折,

便可得到一個漂亮的“V”。如果“V”所成的銳角為600,

那么折痕A8的長是

4百

答案：3

2.（2011.河北廊坊安次區(qū)一模）如圖6,菱形的對角線相交于

點。，請你添加一個條件:,使得該菱形為正方形.

答案：定義或判定

3.（2011.河北廊坊安次區(qū)一模）如圖8,依次連結第一個矩形各邊的中

點得到一個菱形，再依次連結菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照

此方法繼續(xù)下去.已知第一個矩形的面積為1,則第n個矩形的面積

為

答案:

4.（2011湖北省天門市一模）如圖4（1）,已知小正方形ABCD的面

積為1,把它的各邊延長一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形

A1B1C1D1邊長按原法延長一倍得到正方形評72D2（如圖4（2））；

以此下去…，則正好^t4B4c4D4的面積

D讀匕

BlDZXWFTD/

A】X^/

A2

第4題圖（1）圖(2)

5.（浙江杭州金山學校2011模擬）（原創(chuàng)）如圖所示，正方形ABC。的

面積為12,AABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC

上有一點產(chǎn)，使PD+PE的和最小，則這個最小值為▲.

答案：2G

答案:625

6.（2011浙江杭州模擬7）如圖，在矩形ABCD中，AD=6,AB=

4,點E、G、H、F分別在AB、BC、CD、AD±,且AF=CG=2,

BE=DH=1,點P是直線EF、GH之間任意一點，連結PE、PF、PG、

PH,則4PEF和4PGH的面積和等于

7.（2011年寧夏銀川）如圖，已知正方形ABC。的邊長為3,E為CD邊上

一點，DE=l.以點A為中心，把△ADE順時針旋轉90。,得△ABE，,

連接則破，的長等于

答案：2出

8.（2011年青島二中）如圖，將兩張長為8,寬為2

的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知

道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8,那么

菱形周長的最大值是

答案：17

9（2011年浙江仙居）如圖在AABC中，點D、E、F分另IJ在邊AB、BC、

CA上，且。E〃C4,DF//BA,下列四種說法：/

①四邊形AEDF是平行四邊形；///

②如果NBAC=90。，那么四邊形4ED尸是矩形；-——

③如果A。平分NBA。，那么四邊形尸是菱形；

④如果人辦叱且斗人人。，那么四邊形4口加是菱形.

其中，正確的有.（只填寫序號）

答案：①②③④

10、（2011由西陽泉盂縣月考）如圖，在矩形ABCD

中，E、F分別是邊AD、BC的中點，G、H在DC

邊上，且GH=；DC,AB=10,BC72,則陰影部

分的面積為35o

11.（2011年江蘇鹽都中考模擬）如圖所示，把一個長方形紙片沿EF

折疊后，點D,C分別落在D，，。的位置.若NEFB=65。，則NAED，

等于°.

笫11旦而

答案50

12、（2011年北京四中中考模擬19）在正方形的截面中，最多可以截

出邊形

答案4

13、（2011年浙江杭州三模）如圖，邊長為2的正方形ABCD中，

點E是對角線BD上的一點，且BE=BC,點P在EC上，PM±BD

于M,PNLBC于N,貝iJPM+PN=

答案：J5

14、（2011年浙江杭州七模）如圖，在矩形ABCD中，AD=6,AB

=4,點E、G、H、F分別在AB、BC、CD、AD±,且AF=CG=2,

BE=DH=1,點P是直線EF、GH之間任意一點，連結PE、PF、PG、

PH,則4PEF和△PGH的面積和等于

答案：7

B組

1.（2011安徽中考模擬）如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6

和8,點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別

希1?

是邊AB、BC的中點，則PM+PN的最小值是.

答案：5

2.（2011湖北武漢調考模擬二）如圖，菱形ABCD中，AB=2,Z

C=60°,菱形ABCD在直線1上向右作無滑動的翻滾，每繞著一個

頂點旋轉60°叫一次操作，則經(jīng)過36次這

操作菱形中心D所經(jīng)過的路徑總長為

（結果保留萬）.

答案：（8石，+4）兀

3、（北京四中2011中考模擬14）要使一個平行四邊形成為正方形，

則需添加的條件為（填上一個正確的結論即可）.

答案：對角線垂直且相等

4.（2011年杭州市模擬）菱形。ABC在平面直角坐標,

系中的位置如圖所示，NAOC=45。，OC=2^2,則點8、

的坐標為鉆?）斯

答案：(272+2,2)

5.（2011年海寧市鹽官片一模）如圖，有一塊邊

長為4的正方形塑料摸板ABC。，將一塊足夠大的

直角三角板的直角頂點落在A點，兩條直角邊分

/3L日前、

別與C。交于點尸，與C8延長線交于點E.則四邊形AECF的面積

是

答案：16

6、（趙州二中九年七班模擬）若菱形AB。。的對角線A。=24,8。=10,

則菱形的周長為。

答案：52

7、（趙州二中九年七班模擬）用含30。角的兩塊同樣大小的直角三角

板拼圖形，下列五種圖形：①平行四邊形，②菱形，③矩形，④直角

梯形，⑤等邊三角形。其中可以被拼成的圖形是（只填

正確答案的序號）。

答案：①③⑤

三解答題

1、（2011浙江杭州模擬15）

如圖（1）矩形紙片ABCD,把它沿對角線折疊，會得到怎么樣的

圖形呢？

（1）在圖（2）中用實線畫出折疊后得到的圖形（要求尺規(guī)作圖，保

留作圖軌跡，只需畫出其中一種情況）

（2）折疊后重合部分是什么圖形？試說明理由。

口H

(1)

答案：

(1)圖略

(4分)

(2)等腰三角形

(1分)

???"OE是A50c沿50折疊而成

\BDE三\BDC

：.NFDB=ZCDB

???AOCB是矩形

ABDC

：.NCDB=NABD

：.NFDB=NABD

，重疊部分，即是等腰三角形

(2分)

2、(2011浙江杭州模擬15)

如圖(1),AABC中，AD為BC邊上的的中線，則%池=5刖8.(模

擬改編)

實踐探究

(1)在圖(2)中，E、F分別為矩形ABCD的邊AD、BC的中點，則

VX7\/1、EF71/—、IX-yI/—、

rm/4、

S陰影和5矩形A3。之間滿足的關系式為

(2)在圖(3)中，E、F分別為平行四邊形ABCD的邊AD、BC的中

點，則$陰影和§平行四邊形田。之間滿足的關系式為；

(3)在圖(4)中，E、F分別為任意四邊形ABCD的邊AD、BC的中

點，則$陰影和S四邊形.CD之間滿足的關系式為；

解決問題：

(4)在圖(5)中，E、G、F、H分別為任意四邊形ABCD的邊AD、

AB、BC、CD的中點，并且圖中陰影部分的面積為20平方米，求圖

中四個小三角形的面積和，即Sl+S2+S3+S4=?

答案：

(1)

(2分)

s_L

。陰影一萬S°平行四邊形ABC。

(2)

(2分)

S陰影邊形ABCO

(3)

(2分)

S四邊形BEDF=]S四邊形ABCDS四邊形AHCG=]S四邊形ABCD

（4）由上得

/.Sl+x+S2+S3+y+S42四邊形曲°.si+m+S4+S2+n+S32四邊形曲0,

(Sl+x+S2+S3+y+S4)+(Sl+m+S4+S2+n+S3)=S四邊形ABCD.

二(Sl+x+S2+S3+y+S4)+(Sl+m+S4+S2+n+S3)

=Sl+x+S2+n+S3+y+S4+m+S陰

.*.S1+S2+S3+S4=S陰=20.

（4分）

3.（10分）（2011武漢調考模擬）如圖，四邊形ABCD為正方形，ABEF

為等腰直角三角形（NBFE=900,點B、E、F,按逆時針排列），點

P為DE的中點，連PC,PF

⑴如圖①，點E在BC上，則線段PC、PF的數(shù)量關系為,

位置關系為（不

證明）.

（2）如圖②,將4BEF繞點B順時針旋轉a（O<a<450）,則線段PC,

PF有何數(shù)量關系和位置關系？請寫出你的結論，并證明.

(3)如圖③，4AEF為等腰直角三角形，且NAEF=90°,AAEF

繞點A逆時針旋轉過程中，能使點F落在BC上，且

AB平分EF,直接寫出AE的值是

24.解：(1)PC=PF,PC±PF.

⑵延長FP至G使PG=PF,連DC.GC、FC.DB,延長EF交BD于

N.

由APDGgAPEF,.*.DG=EF=BF.

ZPEF=ZPDG,EN//DG,ZBNE=ZBDG=450+ZCDG=900-Z

NBF=900-(450-ZFBC)

AZFBC=ZGDCAABFC^ADGC,AFC=CG,ZBCF=ZDCG.

AZFCG=NBCD=900..?.△FCG為等腰Rt△，:PF=PG,PC±

PF,PF=PC.

V3

⑶了

22.（2011年寧夏銀川）（6分）如圖，在DABCD中，BE平分NABC交

AO于點E,。尸平分NAOC交5c于點尸.

求證：（1）4ABE當CDF；

（2）若BDLEF,則判斷四邊形E6F。是什么特殊四邊形，請證明你

的結論.

證明：（1）???四邊形A8C。是平行四邊,

/.ZA=NC,AB=CD,ZABC=ZADC

?：BE平分ZABC,DF平5、ZADC,

；,ZABE=NCDF2分

./\ABE^/\CDF(ASA)

3分

(2)由△A8E烏△COR,得=...........................................................4分

在平行四邊形"CO中，AD//BC,AD=BC

；.DE//BF,DE=BF

???四邊形也即是平行四邊形...........................................................................5

分

若8。，",則四邊形EBFD是菱形6分

1.(2011年興華公學九下第一次月考)如圖，四邊形ABCD是矩形,

ZEDC=ZCAB,ZDEC=90°。

(1)求證：AC〃DE；

(2)過點B作BF±AC于點F,連結EF,試判別四邊形BCEF的形狀,

并說明理由。

答案：證明：(1)?.?四邊形ABCD是矩形，.\CD〃ABZDCA=

ZCAB

又ZEDC=ZCABZEDC=ZDCA

二.AC//DE.

--------------------------------------------------------------------------------(3分)

(2)四邊形BCEF是平行四邊形

證明：VZDEC=90°,BF±AC

.?.在RtaDEC與RtAAFC中

ZDEC=ZAFB,ZEDC=ZFAB,CD=AB

ARtADEC^RtAAFC

/.CE=BF(6

分）

XVDE/7AC/.ZDEC+ZACE=180°

又ZDEC=9O0/.ZACE=90°

，ZACE-ZAFB

，CE〃BF

四邊形BCEF是平行四邊形.

2.（2011年北京四中中考全真模擬17）如圖，菱形公園內有四個景

點，請你用兩種不同的方法，按下列要求設計成四個部分：⑴用直線

分割；⑵每個部分內各有一個景點；⑶各部分的面積相等。（可用鉛

答案：答案不唯一，如

1.（2011年江蘇連云港）（13分）在正方形ABCD中，點P是CD邊

上一動點，連接PA,分別過點B、D作BEJLPA、DF±PA,垂足分

別為E、F,如圖①.

（1）請?zhí)骄緽E、DF、EF這三條線段的長度具有怎樣的數(shù)量關系？若

點P在DC的延長線上，如圖②，那么這三條線段的長度之間又具有

怎樣的數(shù)量關系？若點P在CD的延長線上呢，如圖③，請分別直接

寫出結論；

(2)就(1)中的三個結論選擇一個加以證明.

圖①圖②圖③

解：(1)圖①的結論是：BE=EF+DF,.........2分

圖②的結論是：DF=BE+EF,...................4分

圖③的結論是：EF=BE+DF,...................6分

(2)圖①的結論是：砥=敏+。產(chǎn)的證明：

VZBAE+ZDAF=90°,ZBAE+ZABC=90°,

二.ZDAF=ZABEo.........8分

在4DAF和4BAE中，

VZDAF=ZABE,ZDFA=ZAEB=90°,AD=BA

.'.△DAF^AABE.........10分

.?.AF=BE,AE=DF

即BE=EF+DF.....13分

圖②與圖③的證明與圖①的證明方法類似，可參考圖①的證明評分。

23.(2011年江蘇鹽城)(本題滿分10分)如圖，矩形ABCD的周長

為20cm,兩條對角線相交于點O,過點O作AC的垂線EF,分別交

AD、BC于點E、F.連接CE.

(1)求4CDE的周長；

(2)連接AF,四邊形AECF是什么特殊的四邊形？

說明你的理由.

答案.(1)得到AO=CO.......1',得到CE=AE............2',解得△

CDE的周長為10cm..............C

⑵四邊形AECF是菱形...................5',說明理由

(略).....................8'

27.(2011年江蘇鹽城)(本題滿分12分)如圖(1),點M、N分別是

正方形ABCD的邊AB、AD的中點，連接CN、DM.

⑴判斷CN、DM的關系，并說明理由；

(2)設CN、DM的交點為H,連接BH,如圖(2),求證：zXBCH是等

腰三角形；

(3)WAADM沿DM翻折得到4A'DM,延長MA'交DC的延長

線于點E,如圖(3),求

tanZDEM.

27.解：(1)CM=DM,CN±DM........................lz證得△

AMD^ADNC...................2'

證得CN=DM.............................................3'證得CN_L

DM...............................4Z

(2)延長DM、CB交于點P.證得BP=BC............7,證得△BCH

是等腰三角形......8'

(3)設AD=4k,解得DE=5k.......................10'解得A'

E=3k................................11'

解得tanZDEM=

4

3..........................................................................................................................................

…1、(2011杭州模擬25)如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,BC=2AD,

F、G分別為邊BC、CD的中點，連接AF,FG,過D作DE〃GF交

AF于點E。

(1)證明△AEDgz^CGF

(2)若梯形ABCD為直角梯形，判斷四邊形DEFG是什么特殊四邊

形？并證明你的結論。(原創(chuàng))

(1)證明；*.*BC=2AD、點F為BC中點

.\CF=AD（1分）

；AD〃CF，四邊形AFCD為平行四邊形

AZFAD=ZC（1分）

VDE#FGAZDEA=ZAFG

VAF//CDAZAFG=ZFGC（1分）

/.ZDEA=ZFGC（1分）

.,.△AED^ACGF（1分）

（2）連結DF

VDE=2AF>FG=2DC

DE-FGDE〃FG

...四邊形DEFG為平行四邊形（3分）

又?.?NDFC=90°

點G為DC中點

AFG-DG（2分）

平行四邊形DEFG為菱形

2、

1、（2011年浙江杭州七模如圖：把一張給定大小的矩形卡片ABCD

放在寬度為10mm的橫格紙中，恰好四個頂點都在橫格線上，已知a

=25°,求長方形卡片的周長。（精確到1mm,參考數(shù)據(jù)：sin25°y

0,cos25°^0.9,tan25°弋0.5）.

答案：解：作AFJJ4,交12于E,交14于F

則4ABE和4AFD均為直角三角形.........1分

在RtAABE中，ZABE=Za=25°

sinZABE=AB

：.AB=04=50

VZFAD=90°-ZBAE,Za=90°-ZBAE

.?.NFAD=Na=25。

在RtZ\AFD中，cosNFAD=A。1分

AD=cos250心44.41分

，長方形卡片ABCD的周長為(44.4+50)x2=190(mm)

1分

B組

1.(2011天一實驗學校二模)如圖，在正方形ABC。中，E、尸分別

是邊AD、C。上的點,AE=ED,DF=^DC,連結環(huán)并,長達長

畿于占G./、

J八、、/

(1)求證：4ABES4DEF〃

(2)若正方形的邊長為4,求BG的長。

答案:

⑴證明：在正方形ABCD中，ZA=ZD=90°,AB=AD=CD

又AE=DE,DF=1DC

AE_1DF_1NEDF

AB-2DE_2AB-BF

△ABEDEF

⑵BG=10（過程略）

2.（2011年三門峽實驗中學3月模擬）如圖，將正方形ABCD中的

△ABD繞對稱中心O旋轉至4GEF的位置，EF交AB吉M/GF交?

BD于N.請猜想BM與FN有怎樣的數(shù)量關系？并證明帆印論.1

答案：BM=FN11

E

證明：在正方形ABCD中，BD為對角線，O為對稱中心，

BO=DO,ZBDA=ZDBA=45°.

,.,△GEF為4ABD繞O點旋轉所得，.\FO=DO,ZF=ZBDA

.*.OB=OFZOBM=ZOFN

ZOBM-ZOFN

<OB=OF

在△OMB和△ONF中|/BOM=ZTON

/.△OBM^AOFN

BM=FN

3.（2011北京四中二模）（本題滿分6分）如圖,有一塊三角形土地，

它的底邊BC=100米，高AH=80米，某單位要沿著地邊BC修一座

底面是矩形DEFG的大樓，D、G分別在邊AB、AC上.若大樓的寬

是40米，求這個矩形的面積.

答案：2000米2

4.（2011浙江杭州育才初中模擬）（本小題滿分10分）如圖，梯形

ABCD中，AD//BC,BC=2AD,F、G分別為邊BC、CD的中點，

連接AF,FG,過D作DE〃GF交AF于點E。

(1)證明△AEDgACGF

（2）若梯形ABCD為直角梯形，判斷四邊形

DEFG是什么特殊四邊形？并證明你的結論。

（原創(chuàng)）

答案：（1）證明；BC=2AD、點F為BC中點

.\CF=AD（1分）

；AD〃CF，四邊形AFCD為平行四邊形

AZFAD=ZC（1分）

VDE#FGAZDEA=ZAFG

VAF//CDAZAFG=ZFGC（1分）

/.ZDEA=ZFGC（1分）

.,.△AED^ACGF（1分）

（2）連結DF

VDE=2AF>FG=2DC

DE-FGDE〃FG

...四邊形DEFG為平行四邊形（3分）

又?.?NDFC=90°

點G為DC中點

.，.FG=DG（2分）

平行四邊形DEFG為菱形（1分）

5.（2011廣東南塘二模）Z^ABC中，AD是高，E、F分別是AB、

AC的中點，當NB與

NC滿足怎樣的關系時，四邊形AEDF是菱形。并證明你的結論。

(第5題)

答案：NB=NC時，四邊形AEDF為菱形。

證明：VZB=ZC,AAB=AC,

VAD1BC,.*.BD=DC,

VE>F分別為AB、AC中點，.\DF〃AB、DE〃AC、DE=DF,

二.四邊形AEDF為菱形。

6.(2011廣東南塘二模)如圖，矩形OABC的長OA=6,AB=1,

將△AOC沿AC翻折得△APC。

(1)填空：ZPCB=度，P

點坐標為__________

(2)若P、A兩點在拋物線

A^

y=3x+bx+c上，求拋物線的解

析式，并判斷點C是否在這拋物線

±0

(3)在(2)中的拋物線CP段上(不含C、P點)是否存在一點M,

使得四邊形MCPA的面積最大？若存在，求這個最大值和M點坐標,

若不存在，說明理由。

答案：(1)連OM、MC>AB,設MC交x軸于D。

VZAOB=90°,...AB為。M直徑，

?「OA為。M的.二NOMA=120°,ZOMC=60°,

VOM=2,ADM=1,OD=^,.'.M(后，1),

VZBAO=ZMOA=30°,AOB=2,r.B(0,2)

(2)VOA=2-OD,:.AW，0),C(右,-1),

述

把O、A>C三點坐標代入y=as2+bx+c得：y=§x2—3x。

\_

(3)VZAOC=ZOAC=2ZOMC=30°,ZBAO=ZAOC=30

...若存在，則P必為拋物線與直線AB或與直線OM的交點。求得直

線AB為：

)，=一旦+2

3

旦

y=-3+2,由I33

解得：Pl(一右，3),P2(2石,3)

1P1O=OA=AP2=26,APkP2合題意。

7.（2011深圳市中考模擬五）如圖，在一塊如圖所示的三角形余料

上裁剪下一個正方形，如果4ABC為

直角三角形，且NACB=90°,AC

=4,BC=3,正方形的四個頂點D、E、F、G分別在三角形的三條

邊上.

求正方形的邊長.

答案：解：作CHLAB于H,

二?四邊形DEFG為正方形，...CM_LGF

由勾股定理可得AB=5

12

根據(jù)三角形的面積不變性可求得CH=《.............2分

設GD=x

VGF〃AB

NCGF=NA，/CFG=ZB

.,.△ABC^AGFC

-12-X

_5___J

CMGF12-5

CH=AB即J...........................6分

12

整理得：12-5x=5x

60

解得：X=379分

60

答：正方形的邊長為5...........................10分

8.(2011深圳市中考模擬五)已知：如圖所示的一張矩形紙片ABC。

(AO>AB),將紙片折疊一次，使點4與。重合，再展開，折痕爐交

A。邊于E,交邊于尸，分別連結AF和CE.

(1)求證：四邊形是菱形；

(2)若AE=10cm,△ABE的面積為24cm2,求AAB尸的周長;

(3)在線段AC上是否存在一點尸，使得2AE?=ACAP?

若存在，請說明點尸的位置，并予以證明；若不存在,

請說明理由.

答案：（1）證明：由題意可知OA=OC,EF±AO

VAD//BC

，NAEO=ZCFO,ZEAO=ZFCO

.,.△AOE^ACOF

VAE=CE,又AE〃CF

...四邊形AECF是平行四邊形VAC1EF四邊形AEFC是菱形

(2)?.?四邊形AECF是菱形.*.AF=AE=10...........................4分

設AB=a,BF=b,：AABF的面積為24

a,+t)2=100,ab=48

(a+b)2=196a+b=14或a+b=—14(不合題意，舍去)

△ABF的周長為a+b+10=24...........................8分

(3)存在，過點E作AD的垂線，交AC于點P,點P就是符合條

件的點

證明：VZAEP=ZAOE=90°,ZEAO=ZEAP

AE_AO

.,.△AOE^AAEP;.7P~7EAE2=AOAP

2

???四邊形AECF是菱形，.?.AO=5AC

]_

.-.AE2=2ACAP

.,.2AE2=ACAP...........................12分

9.(2011深圳市全真中考模擬一)如圖1,已知正方形ABCD的對

角線AC、BD相交于點O,E是AC上一點，連結EB,過點A作

AM1BE,垂足為M,AM交BD于點F.

⑴求證：OE=OF；

(2)如圖2,若點E在AC的延長線上，AM^BE于點M,交DB的延

長線于點F,其它條件不變，則結論“OE=OF"還成立嗎?如果成立,

請給出證明；如果不成立，請說明理由.

答案：（1）證明：?.?四邊形ABCD是正方形.

...NBOE=NAOF=90°.OB=OA.......................（1分）

XVAM±BE,，NMEA+NMAE=90°=NAFO+/MAE

二.NMEA=NAFO.......................（2分）

ARtABOE^RtAAOF.......................（3分）

.,.OE=OF.......................（4分）

（2）OE=OF成立.............（5分）

證明：?.?四邊形ABCD是正方形，

...NBOE=NAOF=90°.OB=OA.......................（6分）

XVAM±BE,，NF+NMBF=90°=NB+NOBE

又?.?NMBF=NOBE

...NF=NE.......................（7分）

二.RtABOE^RtAAOF.......................（8分）

.,.OE=OF.....................（9分）

10.（浙江杭州金山學校2011模擬）（10分）（根據(jù)2010年中考數(shù)學

考前知識點回歸+鞏固專題13二次函數(shù)題目改編)

如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，0A所在的直線為x軸，0C

所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系.已知OA=3,OC=2,點

E是AB的中點，在OA上取一點D,將ABDA沿BD翻折，使點A

落在BC邊上的點F處.

(1)直接寫出點E、F的坐標；

(2)設頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P,且以點E、F、P為

頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；

(3)在x軸、y軸上是否分別存在點M、N,使得四邊形MNFE的

周長最??？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理

由.

答案：解：(1)43,1)；/(1,2)...............................2

分

(2)在Rtz\E8尸中,4=90°,

EF=>JEB2+BF2=Vl2+22=V5.

設點尸的坐標為?"),其中〃>0,

?..頂點”12),

???設拋物線解析式為V=a(xT)2+2(。工°).

(第3題圖①)(第3題圖②)(第2題圖③)

①如圖①，當E/nP/7時，EF2=PF2,

22

l+(n-2)=5>

解得叫二°(舍去)；%=4.

尸(0,4).

二4=cz(O-廳+2.

解得。=2.

拋物線的解析式為

y=2(x-l)2+2..................................2分

②如圖②，當a=尸尸時，EP2=FP2,

.-,(2-?)2+l=(l-n)2+9.

5

n——

解得2(舍去)........2分

③當EF=EP時，七尸=后＜3,這種情況不存

在..........................1分

綜上所述，符合條件的拋物線解析式是y=2(x-1)2+2.

(3)存在點朋，N,使得四邊形MNFE的周長最小.

如圖③，作點E關于％軸的對稱點作點尸關于>軸的對稱點尸，

連接分別與％軸、丁軸交于點"，N,則點M，N就是所求

點.............................1分

￡f(3,-l)，F(xiàn)(—1,2),NF=NF',ME=ME'?

BF'=4,BE'=3.

FN+NM+ME=F'N+NM+ME'=F'E'=A/32+42=5.

又,；EF=亞,

FN+NM+ME+EF=5+舊,此時四邊形MNFE的周長最小值是

5+5.....................2分

11.(河南新鄉(xiāng)2011模擬)(10分).如圖，在直角坐標系中放入一

個邊長OC為9的矩形紙片ABCO.將紙片翻折后，點B恰好落在X

3

軸上，記為B',折痕為CE,已知tanNOB'C=4.

(1)求B'點的坐標；

(2)求折痕CE所在直線的解析式.

3

答案：解：(1)在Rk\B'OC中，tan/OB'C=4,oc=9,

93

oF-4.................................................

.....3分

解得OB12,即點B'的坐標為(12,

0).4分

（2）將紙片翻折后，點B恰好落在x軸上的B'點，CE為折痕，

△CBE^ACB/E,故BE=B'E,CB'=CB=OA.

由勾股定理，得CB'=^OB'2+OC2=

15..........................................................5分

設AE=a,則EB'=EB=9—a,AB'=AO-OB'=15-12=3.

由勾股定理，得a2+32=（9—a）2,解得a=4.

.?.點E的坐標為（15,4）,點C的坐標為（0,9）.5分

設直線CE的解析式為y=kx+b,根據(jù)題意，得

9=b,

<

4=15《+b....................&分

b=9,

'k=--.

解得13CE所在直線的解析式為y=-

2

3x+9............................10分

12.（河南新鄉(xiāng)2011模擬）（10分）

如圖，的直徑AB=4,C為圓周上一點，AC=2,過點C作。O

的切線1,過點B作1的垂線BD,垂足為D,BD與。O交于點E.

（1）求NAEC的度數(shù)；

（2）求證：四邊形OBEC是菱形.

D

c

答案：（10分）（1）解：在△AOC中，AC=2,

AO=OC=2,

...△AOC是等邊三角形.………2分

NAOC=60。,

NAEC=30°.4分

(2)證明：VOC11,BD11.

...OC〃BD.5分

NABD=NAOC=60°.

AB為。。的直徑,

...ZiAEB為直角三角形，ZEAB=30°.7分

.?.NEAB=NAEC

/.四邊形OBEC為平行四邊形.9分

又；OB=OC=2.

/.四邊形OBEC是菱形.

13、（北京四中2011中考模擬12）已知:如圖1,點E是正方形ABCD

的邊CD上一點,點F是CB的延長線上一點，且EAJ_AF.

求證：DE=BF.

反I1

答案：

證明：?.?四邊形ABCD是正方形,.*.AB=AD,ZBAD=ZADE=Z

ABF=90°

VEA±AF,/.ZBAF+ZBAE=ZBAE+ZDAE=90°,AZBAF=Z

DAE,

ARtAABF^RtAADE,.*.DE=BF.

14^（2011北京四中模擬）如圖，在菱形ABCD

中，AE_LBC于E,AF，CD于F。求證：DABE

會DACT"\'

答案：\?菱形ABCD

?AB=AC,?BC

第14題圖

A

??AEBC,AF八CD

?AEB?AFC90

DABEDACF(AAS)

15、(2011杭州模擬20)如圖(1),已知正方形ABCD在直線MN

的上方，BC在直線MN上，E是線段BC上一點，以AE為邊在直

線MN的上方作正方形AEFG

連結GD,求證△ADGZ^ABE；

如圖(2),將圖(1)中正方形ABCD改為矩形ABCD,AB=1,BC=2,

E是線段BC上一動點(不含端點B,C)，以AE為邊在直線MN的

上方作矩形AEFG,使頂點G恰好落在射線CD上.判斷當E由B

向C運動時-，ZFCN的大小是否保持不變，若NFCN的大小不變，

求tanZFCN的值；若NFCN

的大小發(fā)生改變，請舉例說

明.

MBECN

/笛10

答案：（1）???四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形

.,.AB=AD,AE=AG,ZBAD=ZEAG=90°

ZBAE+ZEAD=ZDAG+ZEAD

/.ZBAE=ZDAG

.*.△BAE^ADAG...............4分

(2)當點E由B向C運動時，ZFCN的大小總保持不變,

1分

理由是：作FHLMN于H

由已知可得NEAG=ZBAD=ZAEF=90°

NJTT't「cH

結合（1）（2）得NFEH=NBAE=NDAG圖

又TG在射線CD±

ZGDA=NEHF=ZEBA=90°

.,.△EFH^AGAD,AEFH^AABE

，EH=AD=BC=b,ACH=BE,

.EHFHFH

,,^JB=BE=CH

FHEH

.,.在中，：

RtAFEHtanNFCNC=Ha=AEo=2

當點E由B向C運動時，NFCN的大小總保持不變，tan/FCN=

2...............5分

16、（2011年黃岡潘水模擬1）如圖，在4ABC中，點O是AC邊上

的一個動點，過點O作直線MN〃BC,設MNA

交NBCA的角平分線于點E,交NBCA的外/\\

角平分線于點F.當點。運動到何處時，四邊M/ZEXAA

形AECF是矩形？并證明你的結論.