全國(guó)名校真題模擬訓(xùn)練

全國(guó)名校真題模擬專題訓(xùn)練

數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

三、解答題（二）

?）在（-U）上有意義,-1,

51、（廣東省四校聯(lián)合體第一次聯(lián)考）已知函數(shù)且

…+/(>)=/(h).

任意的X、yw(-l，D都有1+D

2x

{X*}滿足占=；,勺+1=x伽山皮⑺.

（1）若數(shù)列2

1+心+■/(4)…+/(2:尸〃工)

⑵求511?+3?+1〃+2的值.

2元

.??1+€之2|4|?區(qū)1又看=5

解:⑴1+4

I2V..|<1/(^)=/(1)=-1

1+大

r\.

/(x*+i)=/(—^7)=-與=/(X*)+/(x,)=2/(xJ.

而1+/1+/、

—)_?

，(勺)—.-,{_/(%))是以-1為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列，故/(/)=-2"]

/(0)+/(0)=/(粵=/(0)由⑼=0

⑵由題設(shè)，有i+o

xe(-U),</(x)+/(-x)=八口)=/(0)=0,

又一

得〃F=-/⑶,故知/⑶在(-LD上為奇函數(shù).由

[11

_(:+1)(左+2)_

11"-i'i

-Z------------=-----------------------1--------------------1_-------------------

/+3^+1(尢+1)?+2)-1/+1)?+2)伏+DW+2)

得〃』1)"4)+八-占=/島)-，晨)

于是￡?"』+13左+1)="寸1一/1(7+2)=7-^(?712)

/+￡)+〃儲(chǔ)"(號(hào)京+，&)=。

52、(廣東省五校2008年高三上期末聯(lián)考)已知數(shù)列&｝的前n項(xiàng)和吊滿

足：'(a為常數(shù)，且。.。，。.^.(口求但力的通項(xiàng)公式；

b

(H)設(shè)“%，若數(shù)列@J為等比數(shù)歹”,求a的值;

11

4=----+-----

(III)在滿足條件(II)的情形下，設(shè)1+41-4”,數(shù)列G)的前n項(xiàng)和為Tn

r>2n--

求證：3

解：(1。耳=三@一"...4=。，

a

當(dāng)心2時(shí)，&=40-&0-廣a口a-口3'

&-=a*1*

*，即⑷是等比數(shù)列..?3=0產(chǎn)=〃；................4分

23T3*-1)0H2a

D=-------------F1=-----------------------

(H)由(I)知，n""("D，若SJ為等比數(shù)列，

,,3a+2,3『+2a+2

則有與=她,而仄=地=-A=

2

,3a+2X2o3a+2a+21

(-----Y=3------3----a=-

故。。，解得3,.........................7分

再將”=?代入得”=于成立，

所以3..........................................................8分

113a3"1

%=d）*G1+（3*+1-d產(chǎn)3*+1+3*“-1

（HI）證明:由（H）知3，所以33

_3f3g1+1…1.A:

3*+13"+1-13*+13*+1-1

=2-（1-1）

一由嚴(yán)彳......................................9分

上」--L--^<1—L

由3*+［3*'3*+1-1嚴(yán)得3*+13*+1-13*F，

所以〃=2一捻-焉）>2-0-煮）................微分

+U…+華2-（；-￡）］+［2-（$$）］+7-@-我）］

=2刀_［（；一f+（今一/）+…+/_/）］

=2落-0-白）>2附一；

Tx>2n--

即3........................14分

53、（貴州省貴陽(yáng)六中、遵義四中2008年高三聯(lián)考）數(shù)列

中,的=2產(chǎn)+1=%+6（￡：是常數(shù)產(chǎn)=123「）且苗，％。3成公比不為1的等比

數(shù)列。

⑴求c的值；

（II）求同的通項(xiàng)公式。

（111）（理做文不做）由數(shù)列1%）中的第1、3、9、27.....項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{2},

Inn.

求I"0”的值。

解:⑴4=2,劭=2+c=2+3"因?yàn)橛?，?nèi),見(jiàn)成等比數(shù)列,

所以（2+C）：2（2+3c），解得c=0或c=2.

當(dāng)。二0時(shí),%=囪=%，不符合題意舍去，故。=2....理4分（文6分）

（||）當(dāng)附＞2時(shí)，由于a廣生=2。，….

Iczv、、n（n—V）

r1、生一巧1=1［1+2+???+（/-1）］匕=------c

/一生一】=（"1）"所以"20

又/=25=2,故％=2+〃。-1）=/_"26=2,"）.當(dāng)2］時(shí),上式也成立，

所以4=7-匕+2（%=12…）……理8分（文12分）

lim也

（lll）bn=32n-2_3n-1+2,二…"=9.....理12分

54、（安徽省合肥市2008年高三年級(jí)第一次質(zhì)檢）已知數(shù)列1%）

%=1,4%+1=（；）”，八獷）

中，2

⑴求證:數(shù)列供J與他*-1）冊(cè)M）都是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列SJ前2〃的和

（3）若數(shù)列以）前加的和為弓，不等式6%%對(duì)閥eM恒成立，求

k的最大值。

4+2_1

"

廿*+L=（不）-、

解:⑴：2,???%*22分

1

..數(shù)列為，%，…,如口…是以1為首項(xiàng),5為公比的等比數(shù)列;

11

數(shù)列叼，4,….與*，…是以5為首項(xiàng),5為公比的等比數(shù)列。4分

=（/+飽十…十a(chǎn)2*』）+（a2+4十…+町*）=-----彳一+?------—

1--1--

⑵22

=3-3.4)*

29分

646外?3(1-MJO64[3-3d)"]4)"?3-斐(》02"+)之64+左

⑶2222

’6當(dāng)且僅當(dāng)為=3時(shí)取等號(hào)，所以64+上46,即上EY8,../的最大值為

-48

55、（河北衡水中學(xué)2008年第四次調(diào)考）已知等差數(shù)列口」的公差大于0,且

是方程/一Mx+45=0的兩根，數(shù)列做）的前n項(xiàng)的和為邑，且

S=1--b

*2x

（1）?求數(shù)列口」，.）的通項(xiàng)公式；

⑵記4="”也，求證:Wc*.

解：（I）：現(xiàn)比是方程―一I?+45=0的兩根，且數(shù)列SJ的公差d>0,

4="生=2.

...<23=5,由=9,公差5-3

.a,=<a+(?-5)d=2?-1.

3...........3分

又當(dāng)n=l時(shí)，有bi=Si=l-23

[b

?之2時(shí)，有與=.一口=-(%-4U產(chǎn)=如1N2).

當(dāng)2如3

,_2_1

瓦=-、q=-?

???數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列，33

9

4=4廣"

,5.......6分

2(2?-1)2(2萬(wàn)+1)

c*=a*bL*=-Q.]=~

(H)由(I)知339分

2(2n+1)2(2?-l)8(1一福)

.4+1-4=-----------------=■3?+1￡。

.,.4+i,c”......................................12分

56、(河北省正定中學(xué)高2008屆一模)設(shè)數(shù)列｛a〃｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意

〃6便,都有一十尺+■+...+*=/，記s〃為數(shù)列｛a〃｝的前n項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)若以=于+(-1廣1九2’(2為非零常數(shù),〃eN+),問(wèn)是否存在整數(shù)入，使得對(duì)任

意都有bn+、>/

解團(tuán))在已知式中，當(dāng)〃=1時(shí)

3]>0..刃=1..............................................................................................1分

當(dāng)n>2時(shí)白；+帚+白：+…①

ai+a2+a3+???+。：_1=S；_]②

①-②得,3=S:一喋k⑸一Z-J電+3-J

-：an>0.???==+S*』=2Sn-an

■.ai=l適合上式.....................3分.

a1

當(dāng)心2時(shí)，?-=2Sn-i-an-i④

22

③一④得*-，-1=2(Sn-Sn-l)-3n+3n-l=23n-3n+3n-l=3n+3n-l

'.Hn+Sn-l>0..Hn-Hn-l=1

，數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列,首項(xiàng)為1，公差為1，可得an=n......................5分

(ax=n=3*十(-1)內(nèi)2，2。=3黑+(-1)”/，2，

九+i_A=[3"1+(—1)*12*"]_[3"+(—1)以2*]

=23*-3N(-l)i.2*>0

(一1嚴(yán)4<(最嚴(yán)

2⑤.......................................................................................7分

當(dāng)〃=2攵-1,攵=1,2,3,……時(shí)，⑤式即為2⑥

依題意，⑥式對(duì)k=l,2,3……都成立,.?.入<1........................9分

當(dāng)n=2k,k=l,2,3,…時(shí)，⑤式即為2⑦

依題意，⑦式對(duì)k=l,2,3,……都成立，

,3

A>——

.-.2...........................................................1

1分

一己〈Zvi,又2治0

?2

??.存在整數(shù)入=-1，使得對(duì)任意neN,都有bn+i>bn.....................12

分

57、已知數(shù)列的前萬(wàn)項(xiàng)和為工，對(duì)一切正整數(shù)萬(wàn)，點(diǎn)只3方”)都在函數(shù)

/(x)=?+2z的圖像上,且過(guò)點(diǎn)2(%應(yīng))的切線的斜率為?.

(1)求數(shù)列(％)的通項(xiàng)公式.

(2)若為=2"%，求數(shù)列的前"項(xiàng)和備.

閉設(shè)0=仲=*"獷)''=仲=2即”獷)，等差數(shù)列G)的任一項(xiàng)

%e°cR，其中5是QCR中的最小數(shù),110<%()<115，求｛cj的通項(xiàng)公式.

解:⑴；點(diǎn)只㈤S*)都在函數(shù)〃x)=,+2x的圖像上,:凡=/+2吟e"),

當(dāng)n>2時(shí),%='「凡-1=2閥+1.

當(dāng)n=l時(shí),勺=4=3滿足上式，所以數(shù)列［4｝的通項(xiàng)公式為4=2*+1.……3

分

(2)由/㈤=求導(dǎo)可得/(x)=2x+2

"過(guò)點(diǎn)巴(”方0的切線的斜率為幻，匕=2抬+2.

/.bx=24q=4.（2%+1）.4*

233

：.Tn=4x3x4+4x5x4+4x7x4+■■+4x（2?+1）x4*①

由①x4,得

4Ta=4x3x4?+4x5x43+4x7x44+-+4x（2%+1）x4*+1②

①-②得：

-3]=4[3乂4+2x（4?+43+.?.+4*）-（2%+1）乂4**[

4tl-4”】）,

=43x4+2x;力--⑵+1）x4*+]

-T=盟口⑷+2一"

-99

7分

?."C=（x|x=2%+2,〃eM）,火=口k=4n+2,ne2T）Qr\R=R

ID）,?

又e°c式,其中G]是Qc《中的最小數(shù),：4=6.

**）是公差是4的倍數(shù),',=4加+6（we.

110<4m+6<115

1/110<c<115mwN

v10，解得m=27.

所以％=114,

11^=12

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則10-19

C*=6+5+1）X12=12M-6,所以匕｝的通項(xiàng)公式為q=12%-6..............12

分

58、（河北省正定中學(xué)2008年高三第五次月考）已知$?是數(shù)列的前八項(xiàng)

_3

和,烏=5'四，且S.「3g+2Su+l=0淇中*2,”獷.

⑴求數(shù)列㈤｝的通項(xiàng)公式火；

(2)(理科)計(jì)算a0°4的值.(文科)求..

解:①S?*「3s.+2sz+1=。=4+1-S.=2(S._SQ-1

=＞&&=2a.-lS之2)_______2分

_3

又“12，生也滿足上式,：.4+1=2%_]伽€2‘)o_]=2(4—1)(冏€咒.)

??數(shù)列是公比為2,首項(xiàng)為“"二'的等比數(shù)列------4分

②S.F+3…+%=（2-/1卜（2。+＞（2"）+.+（21+1）

②,=4+4++4

=（2-1+1）+（2°+1）+（21+1）+...+（2,H2+1）

2*-1

=（2-1+2°+21+...25!-3）+W=^~+N小八、

I/2-------------（9分）

.t__L

lim—-=lim2T1=lim--J=2

1T-2.74-212

a*—+--

于是22"-----------（12分）

59、（河南省開(kāi)封市2008屆高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢）函數(shù)/㈤對(duì)任意xeR都有

f（x）+f（l-x）=.

/4w（-）+/（—）（?€

⑴求2n?的值；

4｝滿是＜.=〃o）+/d）+〃2）+…+/（匕1）+〃1）,求數(shù)歹也4）

（2）數(shù)列???的通項(xiàng)

公式。

4=--—芯=B；+8；+6；+??,+8；,S*=32-—

⑶令4%-1附試比較Tn與Sn的大小。

z=1^)/(-)=-

解:⑴令224

1ZB通/1、1、1,,1、C/M-1、

牙=_即一)+/(I—-)=三=/(-)+/(-)

令力為n2)2n

1力一1

a,=/(0)+/(-)+-+/(—)+/(1)

(2)?n

??=/(1)+/(-)+-+/(-)+/(0)

又MX，兩式相加

1〃一1

2%=L/(0)+/(i)]+LA—)+/(——)]+-..+[/(i)+/(o)]

nn

n+1

~2~

n+1,、…

a*=Ge^*)

<3x+i-ax=故數(shù)歹ij{a*}

4是等差數(shù)列

⑶'”卷4

11

4=8；+8：+???+/?；=16(1++~2+…+-2416[1T-----+------n(n-1))

1x22x3

=16[l+0-；)+§_$+.??+(.1

--)]

n-\n

16(2-1)

n

=32-—=^

n

TMS.

60、已知數(shù)列t』中供二三%=5,其前門項(xiàng)和為滿足

g+S1=2S1+2*-1(?＞3)

(1)試求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

2*-i

4='7"是數(shù)列9")的前n項(xiàng)和，證明:禽〈飛

⑵令

we0,

(3)證明:對(duì)任意的I6，均存在使得⑵中的北＞山成立.

解：(1)由2+Si=2$1+21伽2引得S*-J*』=S--S-+2i523)

,?@二s*-s*_】：.%=%_]+2'T力>3)即4一4.1=2,1(n>3)

乂劭—巧=5—3=2。>2)%—%_i=2"-1(4>2)

a*=(4-4-J+(%-i-%-2)十…十(%一％)+/

2?-1+2?-2+2?-3_(..>>+21+3=2(1^?2)+3=2)1_)_1

1-2

故數(shù)列tJ的通項(xiàng)公式為4=2"+1

(4分)

7*_2_1____1__

"1132"+1+1

⑶證明：由(2)可知

111l-6w1

+1冽---->—；—

若看＞.，則得從32,+1，化簡(jiǎn)得32?++1

142

?/me(0,-)/.1-6w>0.12X+1>-------1..n>log/-------1)-1

6l-6wl-6m

21

log2(--------1)—1<10<W<一時(shí),取?=唧可

當(dāng)1-6初，即15......................(10分)

211

log2(--------1)—1>1即一Wm<一時(shí)，貝U

當(dāng)1-6加，即156

記J--1”的整數(shù)部分為s?-s+i

1-6附，取。即可，

172€（0,—）入T1、

綜上可知，對(duì)任意的6均存在使得時(shí)（2）中的乙>也成立（［2分）

J（z）=~J^+~

61、（黑龍江省哈爾濱九中2008年第三次模擬考試）已知Vx數(shù)列

（%）的前n項(xiàng)和為$■，點(diǎn)"外+1在曲線了=/（力上缶e"）且

勺=1,%>0

（1）求數(shù)列SJ的通項(xiàng)公式；

4=與+161-84一3

（2）數(shù)列的前n項(xiàng)和為且看滿足%%+i，設(shè)定片的值使得數(shù)

列儂J是等差數(shù)列；

S*>—J4tt+]-1,%eN*

(3)求證：2

?a*.a*

（-T）~~2=1

二數(shù)列凡是等差數(shù)列,首項(xiàng)即公差d=4

-4=l+4(?-l)

.ax

21

怎二

?4?-3

..4>0

(?€2V*)

........(4分)

iT

a=-j===-2^-3

⑵由xW"-3即

得(4%—3)小=(An+1)7；+(An-3)(4%+1)

T%+'n1

------------=1

?4%+14M—3

.3=(4〃-3)(毒+%-1)

若也｝為等差數(shù)列，則為一1=°片=明=1

,Z>?=8?-7nGM*

1

(3)平附-3

22

.2d4冷-3n/4%-3+十1

_，4閥+1-、/4.-3

-2

號(hào)“1+?+…+%，(件1)+能-￡

2

H--F(、/4t+1-、/44-3)=--1-1

>—V4?+l=1n€2^*

2...............12分

62、(黑龍江省哈爾濱三中2008年高三上期末)已知二次函數(shù)/⑶=°/+從的

圖象過(guò)點(diǎn)(-4n,0)且/@一2衣,(附e酒

(1)求〃M的解析式；

{%}滿足」-=/(工),且%=4,求數(shù)列⑸)

(2)若數(shù)列“用國(guó)的通項(xiàng)公式；

X______

4}，求證:Z&皿*1<2.

(3)對(duì)于(2)中的數(shù)列?

/(x)=—+2?x,(jreW*)

答案：(1)2

1

⑶略

63、(本題滿分12分)(黑龍江省哈爾濱三中2008年高三上期末)已知

a=(cos(/x)]),8=(7(x),2sin(.x))a〃8

{aJ滿足勺=；，%=/(%)(%e%)

(1)證明：°SaS*+i<l，

7V4一開(kāi)

ax+i.一7巴>，

(2)證明：44

(3)設(shè)7貴數(shù)列SJ的前n項(xiàng)和，判斷7”與—的大小，并說(shuō)明理由。

答案：(1)略

⑵略

⑶4>%-3

64、(黑龍江省哈師大附中2008屆高三上期末)已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,

并且滿足ai=2,nan+i=Sn+n(n+l).

(1)求數(shù)列(怎)的逋項(xiàng)公式；

(為數(shù)列與)的前4項(xiàng)和，求《.

⑵設(shè)不

解：(]產(chǎn)川一("1)/=%+2%%+「4=2伽22)

%=2,%=$1+2,..a3-<31=2,所以｛樂(lè)〕等差4=2%

a*2nn、23n

—=—=--T=]H—+---!■???+---

（2）2*2*2”1'*2222*T

112?-1n

/="+…+k尹

3看=2-5+2），,7；=4一線

65、(黑龍江省哈師大附中2008屆高三上期末)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+

c的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)是(，-),且f(3)=2

(1)求y=f(x)的表達(dá)式,并求出f(l),f(2)的值;

(2)數(shù)列S)他)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù),都滿足g("'"])=*+4+產(chǎn)"e",其

中區(qū)⑴是定義在實(shí)數(shù)集R上的一個(gè)函數(shù)，求數(shù)列(怎)的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)圓：S一％尸+S一")'=，：，若圓G,與圓G，+i外切,化,｝是各項(xiàng)都是正數(shù)的

11m左

等比數(shù)列，設(shè)國(guó)是前”個(gè)圓的面積之和，求

32

解:⑴4

11

因如⑶=2,所%(3-2y-±=2=a=l

24

31□

/W=(X--)Q3--=X3-3X+2/./(1)=0./(2)=0

(2)令x=+B*+l=0,x=2n2a*+8*+2*I=0,

J&=1-2川

則n,

也=2*M-2

⑶4+「&)'+(葭f=(2*+2-2*+了+(2川一2嗎2=293

-+3Qx+5

?1Gi+i+q=22，G+2+q+]=22,,,g=2,“S*=

：,S*二亓0：+dH-----Fr；)=?：U+q2+g4+“.+q2(*-i)]

..1m%=lim兀]+，+“,+產(chǎn)i)14

1=71

2-----=一無(wú)

x-f?rx->?產(chǎn)）1-13

4

66、（黑龍江省哈師大附中2008屆高三上期末）已知數(shù)列｛an｝滿足a】=5,a2=

5,an+i=an+6an-i(n>2且neN*)

(1)求出所有使數(shù)列S*+i+辦*)成等比數(shù)列的'值,并說(shuō)明理由；

(2)求數(shù)列SJ的通項(xiàng)公式；

----F—+,,,H<—(?€N).

(3)求證：,叼42

a*+i+=(1+/)[%H---axJ——=4=>不+2-6=0,04=3或2

解:⑴1+N1+4

⑵a-2)*

(3)當(dāng)附=21時(shí),

證明」_+_113--3-------+--1-----4<--

32bl+2^^1+_2?后No2A2fc21工

怎-i%3如十三.2獨(dú)3?023

2

432A--2n.

=__________￡____2___4<__

3北一之2北+12/3/3派

22

三二"">1）

3A-62n）>0（-

2.6-23fc122124

比cs+111444491

々劭%981982

當(dāng)力=2k+1時(shí)，一十—+,,?+—<—+,,1+<—

aiaxai4+12

67、（湖北省八校高2008第二次聯(lián)考）已知數(shù)列他｝，化）滿足

a=2,2。?=1+4%，4=，數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和為SJ?=S：.-S.

（I）求數(shù)列（"■）的通項(xiàng)公式;

（11）求證:小"?；

sC+H

（III）求證:當(dāng)B2時(shí)，-12

解:⑴由4=%-1,得丹吟+1,代入24=1+的聞，得2（4+1）=1+（4+1昭訊+1）

_L_1=1

整理，得她+】+%—為=°,從而有如X=^-1=2-1=1

1

44丁"'

3"是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,即“4（4分）

111

?:S=1+1+=-----+------+

⑵”2n+1w+22M

11一1+--1--+---1-

力+2n+32?2M+12y+2

11111

——4—

2M+12月+2M+12M+22月+2（，?力+1<2M+2）

（8分）

⑶,.?弁22s1?=s*-J1+%-**+…+區(qū)--4-+4>z++4+4+$

T三T三…手工,:Q=>,工=1居=L

由Q）知仇X】2］，】12

7,八1,7月+11

%=：+47+-+5+4+$列吁1氏+彳+$=萬(wàn)（"1）+”=~

............（14分）

68、（湖北省三校聯(lián)合體高2008屆2月測(cè)試）已知數(shù)列&）的首項(xiàng)4=1'立2=3

前〃項(xiàng)和為E,且￡+】、號(hào)、XT分別是直線/上的點(diǎn)A、B、（：的橫坐標(biāo)，點(diǎn)B

2%+1

分衣所成的比為%，設(shè)&=1

%=1限（%+1）+4

O

⑴判斷數(shù)列（4+D是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

3

4計(jì)1?

c=.=--24<1

⑵設(shè)巴以+1,證明：i。

“s*

=>%=次+1

⑴由題意得凡一凡-1........3分

々+i+1=2（%+1）

數(shù)列（/+?是以々+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列。...........6

分

［則+1=2*.,4=2*-1（附eMl

⑵由4=2*-1及如=log2（。*+D+4得晨1=瓦十”

]J?T）

-2-

....8分

4.^-1

r_E_2*11

則"4%（2"-i）（2?+1-i）=^-f-^r-[

10分

§CA=(2^1-23-1)+(23-l-23-J+G3-l-24-J+-"+(2,,-l-2*+1-l)

=1-------<1

2"+1-l............12分

y=1--

69、(湖北省鄂州市2008年高考模擬)已知函數(shù)"2的圖象按向量

而=(2，1)平移后便得到函數(shù)網(wǎng)的圖象，數(shù)列⑷滿足CSQ(n>2,n(N*).

a^^=—

(I)若15，數(shù)列S?)滿足，求證:數(shù)列0?)是等差數(shù)列；

_3

(II)若‘一$,數(shù)列["?)中是否存在最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，若存在，求出最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，

若不存在，說(shuō)明理由；

(IH)若1<6<2，試證明：1<%<4<2.

11。1

網(wǎng)=1-------+1=2--%=2-----

解：x-2+2"則％](〃、2,"(N").

(〃它2,/XN*)..?.數(shù)列次)是等差數(shù)列.

(II)由(I)知，數(shù)列是等差數(shù)歹U,首項(xiàng)為-12，公差為1,則其通項(xiàng)公式

%=7?n--4=1+-----

由凡7得2，故2n-7.

y=1-+-----丫=一^<Dy=14-----

構(gòu)造函數(shù)2x-7,則（2L7）.函數(shù)2x-7在區(qū)間

q,+8）

uu上為減函數(shù).

X<_J=l+----<1(_總一)cLX

.??當(dāng)2時(shí)，2x-7，且在2上遞減，故當(dāng)”=3時(shí)，，取最小值4

當(dāng)2時(shí)，2x-7，且在2上遞減，故當(dāng)?=4時(shí)取最大值4=3.故存

在.

3D先用數(shù)學(xué)歸納法證明1<肛<2，再證明明&.

①當(dāng)〃=1時(shí)<2成立，

②假設(shè)〃=k時(shí)命題成立，即1<&<2,

一<一<I=2€(t~)

則當(dāng)〃=々+1時(shí),2%，《2，則1<心<2,故當(dāng)〃=々+1時(shí)也成立.

綜合①②有，命題對(duì)任意”(N*時(shí)成立，即1<%<2.下證"u<%.

al，-<31=2---a=2-(0.+—)<2-2LA=0

-?44V4:0?.綜上所述：1<〃氣<2.

【總結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題集數(shù)列、向量、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式于一體，充分展示了《考

試大綱》"構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問(wèn)題，要注重問(wèn)題的多樣化,體現(xiàn)思維的發(fā)

散性”的題目，這需要我們加強(qiáng)這一方面的訓(xùn)練，需要從多層次、多角度去思考問(wèn)

題.

70、(湖北省黃岡市麻城博達(dá)學(xué)校2008屆三月綜合測(cè)試)把正奇數(shù)數(shù)列I2附一1)

中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表：

35

7911

設(shè)》是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第，行，從左往右數(shù)第/個(gè)數(shù)。

（I）若a*=2007,求血力的值;

（H）已知函數(shù)/⑴的反函數(shù)"以）=『/（x>0）為,若記三角形數(shù)表中從上往下

數(shù)第4行各數(shù)的和為勾，求數(shù)歹u{/⑷）的前3項(xiàng)和凡。

1+2+3+-+*四辿

解:（I）?.,三角形數(shù)表中前施行共有2個(gè)數(shù)，

加伽+1）

???第加行最后一個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)是所給奇數(shù)列中第一2一項(xiàng)，即

cm（掰+1）,2■1

2—------l=?ra3+w-l

2

O

因此，使得A*=2007的“是不等式桁2+%―IN2007的最小正整數(shù)解。

-1^+8032-1+^921

由加？+加一1之2007得利*+加一2008N0-22

.加=45

2007-1981+1_M

第45行第一個(gè)數(shù)是44?+44-1+2=19812

（II）.J%）=8hSo）,“上曲痂>0）。

???第"行最后一個(gè)數(shù)是『+%一1，且有,個(gè)數(shù)，若/+國(guó)T將看成第附行第一個(gè)數(shù),

b=?（?2+n-1）+（-2]^^——=?3

則第〃行各數(shù)成公差為一2的等差數(shù)列，故2

凡=2+2（1］+3^-1+…%［口名=2—5+2）（工］

故212）UJ{2）。用錯(cuò)位相減法可求得12）。

71、（湖北省黃岡市2007年秋季高三年級(jí)期末考試）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列

低）滿足*+114+14-2*二°5e獷）且的十2是%、的等差中項(xiàng)

（1）求數(shù)列{%）的通項(xiàng)公式％.

（2）若亍，求使%+*?」成立的正整數(shù)〃的

最小值。

解.⑴■。*+1一。K+1，%—2a*=。,一（a*+］+a*）（a*+1—2%）=0,

,■,數(shù)列SJ的各項(xiàng)均為正數(shù)，,:4+1+%）＞°，,（%+1-2即）=°,

即%“=2%5c"）數(shù)列SJ是以2為公比的等比數(shù)列。

冬+2是%。4的等差中項(xiàng)出+%=2%+4

2%+84=8。］+4,..,=2,

?-?數(shù)列的通項(xiàng)公式為4=2"

a=a*?logi%__a

⑵由⑴及5，得4一一附,（6分）

s

s*=么+瓦+......+2?xsx=-2—2*2^—3?2^—4?2*—???—??2

2S,=-22-2?23-3?24------5-1）?2*—萬(wàn)?2*+1②

②-①得：%=2+2*+2,+2,+,,,2”—加?2*+i=（1-N）?2X+1—2

要使0+%?泮>5°成立，只需2*"-2>50成立，即2m>52/25

s*+"?2d>50成立的正整數(shù)門的最小值為5。（12分）

72、（湖北省荊門市2008屆上期末）已知。>°,且aw1,數(shù)列S）的前閥項(xiàng)和為

aa-l-=],-.1.

用，它滿足條件凡a.數(shù)列間中,4=%1g。

(1)求數(shù)列的前射項(xiàng)和4

(2)若對(duì)一切％eM都有4<4+i,求a的取值范圍。

..。*一11.&心"一1)

解:⑴凡13°-1

1,=凡=0"

當(dāng)萬(wàn)=1時(shí)，a-l2分

當(dāng)〃>2時(shí),%=一凡-1c2—1a-\

樂(lè)=6

4分

此時(shí)4=4Iga*.Iga*=〃a*Iga

備=d+&2+&_(a+2a‘+3。'+....+?a*)lga

6分

設(shè)“*=a+2a'+3a3++?a*

33以"一1)一小川

.(l-a)^=a+a+a++白―a-\

4=[Q_g”ga

fl-1(a-1)a-1(a—1)8分

(2)由4v8*+i=%a*lga<(?+l)a*+1Iga可得

nn

a>___,:_<_1_(%e>1,

10當(dāng)a>1時(shí)，由Iga>?？傻胣+1n+1

n

〃+1對(duì)一切％eM都成立，;此時(shí)的解為。>110分

n

i八n>+<

2n當(dāng)°<1時(shí)，由Iga<°可得

n|(?e2/),0<a<l,nn

0<a<-----,

?/n+\>閥+1對(duì)一切附eM都成立,

0<a<—

此時(shí)的解為212分

口0T*右0<4<一

由1,2可知，對(duì)一切刀都有與<4+1的&的取值范圍是2或a>l.

73、(湖北省荊門市2008屆上期末)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2n2,電｝為

等比數(shù)列，且“】=伉。式町一的)=如

(1)求數(shù)列SJ和eJ的通項(xiàng)公式；

￡*=--

(2)設(shè)2，求數(shù)列匕J的前n項(xiàng)和40

解:⑴:當(dāng)"=1時(shí)臼/=2；

,33

當(dāng)花N2時(shí)，a*=5；-5M_1=2?-2(?-1)=4附一2,

故｛<2〃｝的通項(xiàng)公式為4=布-2,即(%)是a產(chǎn)2,公差d=4的等差數(shù)列.

g,則%gd==4,..q=—.

設(shè)｛?。耐?xiàng)公式為4

工/“=gi-2x占同電.)的通項(xiàng)公式為九=占.

故今今.........6分

⑵L

：,7；=匕1+凸+…+q=[1+3x41+5x4?+…十。附—1)4*7],

4(=[1x4+3x42+5x43+…+(2%-3)4*T+(2”1)4"]

兩式相減得

123

3著=-1-2(4+4+4+???+4+(2?-1)4*=1[(6?-5)4*+5]

T*=^[(I5?-5)4I<+5].

74、(湖北省荊州市2008屆高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列以)為等差數(shù)

列,，=2，且其前10項(xiàng)和為65，又正項(xiàng)數(shù)列9J滿足4="戒5￡/)

⑴求數(shù)列他J的通項(xiàng)公式；

⑵比較“也也也的大??；

⑶求數(shù)列14)的最大項(xiàng)；

⑷令c*=ig%，數(shù)列9J是等比數(shù)列嗎？說(shuō)明理由。

65=10,+l^d

解:⑴設(shè)的公差為日，則

且勺=2,得d=l，從而。*=附+1

故V而M(3分)

⑵4=<V?二為=匕2

4==y]2=4，%=V4=>^5*-=^5=%

二力》4=&>4伊分)

⑶由⑵猜想遞減，即猜想當(dāng)”>2時(shí),"母幣>”+的”

(8分)

Inx

y=---(x>e)

考察函數(shù)X，當(dāng)x>e時(shí)lnx>l

,1-lnx

y=——<0

Inx

故y一丁在(巴.)上是減函數(shù)，而“+123”

ln(x+2)ln(x+1)

所以K+2K+1，即“二+2<馥必+1

于是猜想正確，因此，數(shù)列｛4)的最大項(xiàng)是4=逝(io分)

⑷不是等比數(shù)列

由4=lg%=坨5+1)知

c*c*+2=lg(%+l)lg(?+3)<[且一一

lg(?+l)lg(?+3)lg(?4-2)a

=1----2---]32

=lg2(?+2)=