2022屆吉林省長春市普通高中高三質(zhì)量監(jiān)測（三）文科數(shù)學試題

2/2長春市2022屆高三質(zhì)量監(jiān)測（三）文科數(shù)學

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.集合，則A.B.C.D.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點坐標為A.B.C.D.3．已知，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.拋物線過點，則的準線方程為A.B.C.D.5.已知平面向量滿足，且與的夾角為，則A.B.C.D.6.函數(shù)圖象的一個對稱中心為A.B.C.D.7.某區(qū)創(chuàng)建全國文明城市，指揮部辦公室對所轄街道當月文明城市創(chuàng)建工作進行考評.工作人員在本區(qū)選取了甲、乙兩個街道，并在這兩個街道各隨機抽取10個地點進行現(xiàn)場測評，下表是兩個街道的測評分數(shù)（滿分100分），則下列說法正確的是甲75798284868790919398乙73818183878895969799A.甲、乙兩個街道的測評分數(shù)的極差相等

B.甲、乙兩個街道的測評分數(shù)的平均數(shù)相等

C.街道乙的測評分數(shù)的眾數(shù)為87

D.甲、乙兩個街道測評分數(shù)的中位數(shù)中，乙的中位數(shù)較大

8.若點滿足線性條件，則的最大值為A.2B.3C.4D.5

9.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，若，則

A.4B.10C.16D.32

10.函數(shù)的圖象大致是11.已知邊長為2的等邊三角形，為的中點，以為折痕，將△折起，使，則過四點的球的表面積為A.B.C.D.12.已知函數(shù)滿足，當時，，那么A.B.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分.（其中15題，第一空2分，第二空3分）

13.若，則.14.已知，則的值為.15.已知數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列，是其前項的和，若，則，.16.已知點是雙曲線上的一點，，設，，△的面積為，則的值為.三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟、第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.（12分）

某學校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實踐活動”.為了解學生的學習成果，該校從全校學生中隨機抽取了50名學生作為樣本進行測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50）,[50,60），[60,70）,[70,80）,[80,90），[90,100]，并整理得到頻率分布直方圖：

(I)求的值；

(Ⅱ)若全校學生參加同樣的測試，試估計全校學生的平均成績（每組成績用中間值代替）；

(Ⅲ)在樣本中，從其成績在80分及以上的學生中按分層抽樣隨機抽取6人，再從這6人中隨機取3人，求3人中成績在[90,100]中至多1人的概率.

18.（12分）

如圖，是△外一點，△的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(=1\*ROMANI)求的大小;(=2\*ROMANII)若，且△的面積是△面積的2倍，求的值.19.（12分）

如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，

，△是以為底邊的等腰三角形，平面平面，點分別為的中點.

（I）求證：；

（Ⅱ）若，求三棱錐的體積.

20.（12分）

已知橢圓的離心率為,長軸的兩個端點分別為.

（I）求橢圓的方程；

（II）過點的直線與橢圓交于（不與重合）兩點，直線與直線交于點，求證：、、三點共線.

21．（12分）

已知函數(shù).

（I）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

（二）選考題：共10分，請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題計分.

22.（10分）選修4-4坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，已知曲線為參數(shù)），在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，已知曲線，曲線.

（I）求曲線與的交點直角坐標

（Ⅱ）設點分別為曲線,上的動點，求的最小值.

23.（10分）選修4-5不等式選講

已知函數(shù).

（I）解不等式;

（Ⅱ）若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.

長春市普通高中2022屆高三質(zhì)量監(jiān)測（三）數(shù)學（文科）試題參考答案及評分標準

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1.B【解析】

2.C【解析】對應點是

3.A【解析】當a>0時，當且僅當a=1時，“=”成立，所以a>1，有；若，有a>0且a≠1

4.B【解析】把點（-4,4）代入得a=1,所以拋物線方程為，所以準線方程為y=-1.

5.A【解析】

6.D【解析】由得，當k=-1時，，y=-1.

7.D【解析】甲街道極差為23，乙街道極差為26；甲街道平均數(shù)86.5，乙街道平均數(shù)88；乙街道眾數(shù)81；甲街道中位數(shù)為86.5，乙街道中位數(shù)為87.5。

8.D【解析】當直線y=-2x+z過（1,3）時，z有最大值5.

9.C【解析】q=-3(舍)或q=2,所以。

10.A【解析】f（x）為偶函數(shù)，且f（2）<0.

11.C【解析】AD,BD,CD互相垂直，所以所以選C.

12.A【解析】f（21）=f（1+2×10）=。

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.【解析】

14.【解析】。

15.【解析】由通項公式易解。

16.【解析】設，，

三、解答題

17.（本小題滿分12分）

【試題解析】解：（1）由頻率分布直方圖可知a=0.014.（2分）

（2）平均成績?yōu)椋?5×0.006+55×0.014+65×0.018+75×0.032+85×0.020+95×0.010）×10

＝72.6．（6分）

（3）根據(jù)分層抽樣可知，成績在「80,90）中有4人，分別設為A,B,C,D，

在[90,100]中有2人，分別設為a,b，（8分）從這6個人中隨機選出3人的方案一共有

ABC、ABD、ABa、ABb、ACD、ACa、ACb、ADa、ADb、BCD、

BCa、BCb、BDa、BDb、CDa、CDb、Aab、Bab、Cab、Dab,20種,（10分）

其中至多包含[90,100]中1人的有ABC、ABD、ABa、ABb、ACD、ACa、ACb、

ADa、ADb、BCD、BCa、BCb、BDa、BDb、CDa、CDb，共計12種，（1分）

因此，取出的3人中，成績在[90,100]中至多一人的概率為（12分）

18.（本小題滿分12分）

【試題解析】解：（1）在△ABC中，由及正弦定理，得，（2分）

整理得2sinBcos∠BAC=cos∠BACsin∠BCA+sin∠BACcos∠BCA

即2sinBcos∠BAC=sinB,因為在△ABC中,sinB≠0,（4分）

所以cos∠BAC=，又0<∠BAC<π，所以∠BAC=，(6分）

（2）由（1）知∠BAC=，因為，所以（8分）又（10分）所以，解得（12分）19.（本小題滿分12分）

【試題解析】（1）因為F為BC的中點，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB=，

所以∠DCB=且DC=2CF=2，易知：△DFC為直角三角形，故∠FDC=，

而∠ADC=，則∠ADF=∠ADC－∠FDC=，故DF⊥AD,(2分）

由平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD=AD,DF平面ABCD,

所以DF⊥平面ADP，（4分）又AE平面ADP，即AE⊥DF.（6分）

（2）由△PAD是以AD為底邊的等腰三角形，E為PD的中點，AE=，設DE=m，

由余弦定理有，cos∠EDA=cos∠PDA，，解得m=1，（8分）△PAD為等邊三角形，由平面PAD⊥平面ABCD，點P到平面ABCD的距離為（10分）

由△CDF的面積為，所以三棱錐D-CEF的體積為.（12分）

20.（本小題滿分12分）

【試題解析】解：（1）由長軸的兩個端點分別為A(-2,0），B(2,0），可得a=2，

由離心率為，可得，所以（2分）又,解得b=1,所以橢圓C的標準方程為.（4分）

（2）設直線的方程為x=my+1，由得

設，則（6分）所以，直線AM的方程為，所以所以（8分）所以即，所以N、B、Q三點共線。（12分）21.（本小題滿分12分）

【試題解析】（1）當a=1時，，則。（1分）

當時，因為x+1<1,且，所以

所以，單調(diào)遞減（2分）當時，因為x+1>1,且，所以

所以，單調(diào)遞增（3分）所以當a=1時，f(x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞,0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+∞）.（4分）

（2）恒成立等價于恒成立令，則的最小值大于等于0。（5分）①當a=0時，在區(qū)間上恒成立，符合題意；（6分）②當時，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，（8分）

當x趨近于0時，趨近于-∞，當x趨近于+∞時，趨近于+∞,

所以存在唯一,使,此時,即,(10分)

則當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增。所以。令，解得。綜上，實數(shù)的取值范圍為。(10分)（2）解法二：,設,當時，令，【】22.（