現(xiàn)代控制理論第一章

現(xiàn)代控制理論第一章第一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式§1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立§1-3狀態(tài)向量的線性變換§1-4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣§1-5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式§1-6時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式第二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式§1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立§1-3狀態(tài)變量的線性變換§1-4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)§1-5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式§1-6時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式

§1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立§1-3狀態(tài)變量的線性變換§1-4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)§1-5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式§1-6時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日完全表征系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的最小個(gè)數(shù)的一組獨(dú)立變量為狀態(tài)變量.一個(gè)用n階微分方程描述的系統(tǒng),就有n個(gè)獨(dú)立變量,當(dāng)n個(gè)獨(dú)立變量的時(shí)間響應(yīng)都求得時(shí),系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)就被揭示無疑了.因此可以說該系統(tǒng)的狀態(tài)變量就是n階系統(tǒng)的n個(gè)獨(dú)立變量.一．狀態(tài)變量§１－１狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式第五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日

同一系統(tǒng)中,究竟選取哪些變量作為獨(dú)立變量,這不是唯一的,重要的是這些變量應(yīng)該是相互獨(dú)立的.,且其個(gè)數(shù)應(yīng)等于微分方程的階數(shù);又由于微分方程的階數(shù)唯一的取決于系統(tǒng)中獨(dú)立儲能元件的個(gè)數(shù),因此狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)獨(dú)立儲能元件的個(gè)數(shù).測量上：理論上不一定要可測量的，但工程上一般選可測量的，用于反饋控制。第六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日

狀態(tài)變量是既足以完全確定系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)而個(gè)數(shù)又是最小的一組變量，當(dāng)其在t=to時(shí)刻的值已知，則在給定t>=to時(shí)間的輸入作用下，便能完全確定系統(tǒng)在任何t>=to時(shí)間的行為．眾所周知，n階微分方程式要有唯一的解，必須知道n個(gè)獨(dú)立的初始條件，很明顯，這個(gè)獨(dú)立的初始條件就是一組狀態(tài)變量在初始時(shí)刻的值．第七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日二．狀態(tài)矢量

如果n個(gè)狀態(tài)變量用X1(t),X2(t),…Xn(t)表示，并把這些狀態(tài)變量看作是矢量X(t)的分量，則X(t)就稱為狀態(tài)矢量．第八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日三.狀態(tài)空間

以狀態(tài)變量為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n維空間，稱為狀態(tài)空間．四.狀態(tài)方程

由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程．第九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日五.

輸出方程

在指定系統(tǒng)輸出的情況下,該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式,稱為系統(tǒng)的輸出方程.

六.狀態(tài)空間表達(dá)式

狀態(tài)方程和輸出方程總和起來,構(gòu)成對一個(gè)系統(tǒng)完整的動態(tài)描述，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式.第十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日

根據(jù)函數(shù)向量的不同情況，一般控制系統(tǒng)可以分為如下四種：線性定常(時(shí)不變)系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)；

非線性定常系統(tǒng)；

非線性時(shí)變系統(tǒng)。

在本課程中，我們主要考慮線性定常系統(tǒng)(LTI)。這時(shí)，系統(tǒng)的動態(tài)方程可以表示如下:第十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日單輸入－單輸出定常系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為則狀態(tài)方程的一般形式為：輸出方程：第十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日用向量矩陣表示狀態(tài)空間表達(dá)式則為：對于一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，具有r個(gè)輸入，m個(gè)輸出，此時(shí)狀態(tài)方程和輸出方程變?yōu)椋旱谑?，共一百五十七頁，編輯?023年，星期日第十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日寫成矢量矩陣形式:第十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日

上式中，Anxn稱為系統(tǒng)矩陣，Bnxr稱為輸入(或控制)矩陣。A由系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其參數(shù)決定，體現(xiàn)了系統(tǒng)內(nèi)部的特性，而B則主要體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入的施加情況。

Cmxn矩陣稱為輸出矩陣，它表達(dá)了輸出變量與狀態(tài)變量之間的關(guān)系，Dmxr矩陣稱為直接傳遞矩陣，表示了控制向量U直接轉(zhuǎn)移到輸出變量Y的轉(zhuǎn)移關(guān)系。第十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日將狀態(tài)方程表示的系統(tǒng)動態(tài)方程用方塊圖表示為如圖所示。系統(tǒng)有兩個(gè)前向通道和一個(gè)狀態(tài)反饋回路組成，其中D通道表示控制輸入U(xiǎn)到系統(tǒng)輸出Y的直接轉(zhuǎn)移。七、狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)方塊圖經(jīng)典控制理論類似，可以用方塊圖表示系統(tǒng)信號的傳遞關(guān)系．第十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日§1-0概述§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式§1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立§1-3狀態(tài)變量的線性變換§1-4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)§1-5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式§1-6時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日§１－２狀態(tài)空間表達(dá)式的建立

用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時(shí)，首先要建立給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式．這個(gè)表達(dá)式一般可以從三個(gè)途徑求得：一是由系統(tǒng)方塊圖來建立，即根據(jù)系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)際連接，寫出相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式；二是從系統(tǒng)的物理或化學(xué)的機(jī)理出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)；三是由描述系統(tǒng)運(yùn)動過程的高階微分方程或傳遞函數(shù)予以演化而得．第十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日一．從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式

要將系統(tǒng)方塊圖模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達(dá)式，一般可以由下列三個(gè)步驟組成：

第一步：在系統(tǒng)方塊圖的基礎(chǔ)上，將各環(huán)節(jié)通過等效變換分解，使得整個(gè)系統(tǒng)只有標(biāo)準(zhǔn)積分器（1/s）、比例器（k）及其綜合器（加法器）、信號線組成，這四種基本器件通過串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種形式組成整個(gè)控制系統(tǒng)。第二十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日

第二步：將上述變換過的方塊圖中的每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積分器（1/s）的輸出作為一個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量xi，積分器的輸入端就是狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)。

第三步：根據(jù)變換過的方塊圖中各信號的關(guān)系，可以寫出每個(gè)狀態(tài)變量的一階微分方程，從而寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程。根據(jù)需要指定輸出變量，即可以從方塊圖寫出系統(tǒng)的輸出方程。第二十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日【例1-1】某控制系統(tǒng)的方塊圖如下圖所示，試求出其動態(tài)方程。解：該系統(tǒng)主要有一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)積分器組成。對于一階慣性環(huán)節(jié)，我們可以通過等效變換，轉(zhuǎn)化為一個(gè)前向通道為一標(biāo)準(zhǔn)積分器的反饋系統(tǒng)。第二十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日上圖所示方塊圖經(jīng)等效變換后如下模擬結(jié)構(gòu)圖示：我們?nèi)∶總€(gè)積分器的輸出端信號為狀態(tài)變量積分器的輸入端即第二十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日從圖可得系統(tǒng)狀態(tài)方程：取y為系統(tǒng)輸出，輸出方程為：寫成矢量矩陣形式，我們得到系統(tǒng)動態(tài)方程：第二十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日二

.從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式

一般控制系統(tǒng)可分為電氣、機(jī)械、機(jī)電、氣壓、熱力等等。要研究它們，一般先要建立其運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型（微分方程、傳遞函數(shù)、動態(tài)方程等）。根據(jù)具體系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其研究目的，選擇一定的物理量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸出變量，并利用各種物理定律，如牛頓定律、基爾霍夫電壓電流定律、能量守恒定律等，即可建立系統(tǒng)的動態(tài)方程模型。第二十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日【例1-2】RLC電路如下圖所示.以ei作為系統(tǒng)的控制輸入u(t)，eo作為系統(tǒng)輸出y(t)。建立系統(tǒng)的動態(tài)方程。第二十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日解:該R-L-C電路有兩個(gè)獨(dú)立的儲能元件L和C，可以取電容C兩端電壓和流過電感L的電流

作為系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量，分別記作x1和x2。根據(jù)基爾霍夫電壓定律和R、L、C元件的電壓電流關(guān)系，可得到下列方程：第二十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日整理得：

第二十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日寫成矢量形式為：這就是如圖2-3所示RLC電網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)方程。第二十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日【例1-3】多輸入多輸出系統(tǒng)（MIMO）如圖2-5所示機(jī)械系統(tǒng),質(zhì)量各受到的作用，其相對靜平衡位置的位移分別為。解:根據(jù)牛頓定律，分別對進(jìn)行受力分析，我們有：第三十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日取為系統(tǒng)四個(gè)狀態(tài)變量，為系統(tǒng)兩個(gè)控制輸入，則有狀態(tài)方程：第三十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日如果取為系統(tǒng)的兩個(gè)輸出，即：寫成矢量矩陣形式，得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：第三十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日【例1-4】下圖是直流電動機(jī)的示意圖.圖中R和L分別為電樞回路的電阻和電感,J為機(jī)械旋轉(zhuǎn)部分的轉(zhuǎn)動慣量,B為旋轉(zhuǎn)部分的粘性摩擦系數(shù).列寫該圖在電樞電壓作為控制作用時(shí)的狀態(tài)空間表達(dá)式.MJ。。第三十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日解：電感Ｌ和轉(zhuǎn)動慣量Ｊ是儲能元件，相應(yīng)的物理變量電流i和旋轉(zhuǎn)速度w是相互獨(dú)立的，可選擇為狀態(tài)變量．即則第三十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日由電樞回路的電路方程，有由動力學(xué)方程有由電磁感應(yīng)關(guān)系有式中為反電動勢；轉(zhuǎn)矩常數(shù)和反電動勢常數(shù)．第三十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日整理得：把代入，有第三十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日若指定角速度為輸出，則若指定電動機(jī)的轉(zhuǎn)角為輸出，則上述兩個(gè)狀態(tài)變量不足以對系統(tǒng)的時(shí)域行為加以全面描述，必須增添一個(gè)狀態(tài)變量則第三十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日于是，狀態(tài)方程為輸出方程為第三十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日三.由描述系統(tǒng)運(yùn)動過程的高階微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式

從經(jīng)典控制理論中知道，任何一個(gè)線性系統(tǒng)都可以用下列線性微分方程表示：第三十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日

其傳遞函數(shù)就是輸出信號y(t)的Laplace變換Y(S)與輸入信號u(t)的Laplace變換U(S)之比，其形式為如下S的有理分式：第四十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日

由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求其狀態(tài)方程的過程稱為系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問題，因?yàn)閭鬟f函數(shù)只是表達(dá)了系統(tǒng)輸出與輸入的關(guān)系，卻沒有表明系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，而狀態(tài)空間表達(dá)式卻可以完整的表明系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，有了系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，就可以唯一地模擬實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)。第四十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日考慮一個(gè)單變量線性定常系統(tǒng)，它的運(yùn)動方程是一個(gè)n階線性常系數(shù)微分方程相應(yīng)的傳遞函數(shù)為第四十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日所謂實(shí)現(xiàn)問題，就是根據(jù)以上兩式尋求如下狀態(tài)空間表達(dá)式并非任意的微分方程或傳遞函數(shù)都能求得其實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)的存在條件是，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)．在這種情況下，傳遞函數(shù)可寫成如下形式：第四十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日這意味著輸出含有與輸入直接關(guān)聯(lián)的項(xiàng)．

應(yīng)該指出：從傳遞函數(shù)求得的狀態(tài)空間表達(dá)式并不是唯一的一．傳遞函數(shù)中沒有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)此時(shí)，系統(tǒng)的微分方程為第四十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日相應(yīng)的傳遞函數(shù)為上式的實(shí)現(xiàn)，可以有多種結(jié)構(gòu)，常用的簡便形式可由相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖導(dǎo)出．第四十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日∫∫∫∫＋＋＋＋＋＋＋－將圖中每個(gè)積分器的輸出取作狀態(tài)變量，有時(shí)稱為相變量，它是輸出的各階導(dǎo)數(shù)．至于積分器的輸入，顯然就是個(gè)狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)．第四十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日通過系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖，我們可以列出系統(tǒng)的狀態(tài)方程：輸出方程為第四十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日表示成矩陣形式為式１－２－１第四十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日【例1-4】系統(tǒng)的輸入輸出微分方程為列寫其狀態(tài)方程和輸出方程.解:選為狀態(tài)變量即第四十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日可得:第五十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日寫成矩陣方程:第五十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日二．傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)此時(shí)，系統(tǒng)微分方程為系統(tǒng)傳遞函數(shù)為第五十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日從三階微分方程出發(fā)，找出其實(shí)現(xiàn)規(guī)律，然后推廣到n階．設(shè)待實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為因?yàn)樯鲜娇勺儞Q為１-２-２第五十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日令則對上式進(jìn)行拉氏反變換，可得第五十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日我們可以得到系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖∫∫∫圖1－－－第五十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日每個(gè)積分器的輸出為一個(gè)狀態(tài)變量，可得系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：第五十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日表示成矩陣形式為第五十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日推廣到n階系統(tǒng)，系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)可以為：式１-２-3第五十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日前面已經(jīng)提到，實(shí)現(xiàn)是非唯一的，仍以式1-2-3的傳遞函數(shù)為例．系統(tǒng)另一種模擬結(jié)構(gòu)圖如下∫∫∫從輸入、輸出關(guān)系看，二者是等效的，輸入函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)作適當(dāng)?shù)牡刃б苿?，就可以用下圖表示：圖2－－－第五十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日∫∫∫圖3－－－第六十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日∫∫∫圖4－－－第六十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日容易求得其對應(yīng)的傳遞函數(shù)為:通過對多項(xiàng)式系數(shù)的比較,得:第六十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日所以或記為第六十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日

將圖3中的每個(gè)積分器輸出選作狀態(tài)變量,得狀態(tài)空間表達(dá)式:第六十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日擴(kuò)展到n階系統(tǒng),其狀態(tài)空間表達(dá)式為:第六十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日或記為：

也可以用長除法求系數(shù)。第六十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日三.系統(tǒng)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)

將上式展開成部分分式.由于系統(tǒng)特征根有兩種情況:一是所有根均是互異的,一是有重根;現(xiàn)分別討論:1-3-1第六十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日⑴.具有互異根的情況式1-3-1可寫成將其展開成部分分式第六十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日∫∫∫＋＋＋＋＋＋＋＋＋…第六十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日取每個(gè)積分器的輸出作為一個(gè)狀態(tài)變量，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：第七十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日∫∫∫＋＋＋＋＋＋＋＋＋…＋＋或第七十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為第七十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日⑵.具有重根的情況設(shè)有一個(gè)q重的主根其余是互異根．這時(shí)的部分分式展開式為第七十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日模擬結(jié)構(gòu)圖如下第七十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日列出狀態(tài)空間表達(dá)式第七十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日寫成矩陣形式:第七十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日第七十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日三．多輸入－多輸出系統(tǒng)微分方程的實(shí)現(xiàn)以雙輸入－雙輸出的三階系統(tǒng)為例，設(shè)系統(tǒng)微分方程為：采用模擬結(jié)構(gòu)圖的方法，按高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)求解第七十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日對每個(gè)方程積分第七十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖為∫∫∫－－－第八十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日取每個(gè)積分器的輸出為一個(gè)狀態(tài)變量，則一種實(shí)現(xiàn)為第八十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日或表示為第八十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日§1-0概述§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式§1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立§1-3狀態(tài)變量的線性變換

§1-4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)§1-5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式§1-6時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第八十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日§1-3狀態(tài)向量的線性變換系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性對于一個(gè)給定的定常系統(tǒng),可以選取多種變量,對應(yīng)地有許多種狀態(tài)空間表達(dá)式描述同一系統(tǒng),也就是說系統(tǒng)可以有多種結(jié)構(gòu)形式.所選取的狀態(tài)矢量之間,實(shí)際上是一種矢量的線性變換.第八十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日設(shè)給定系統(tǒng)為

我們總可以找到任意一個(gè)非奇異矩陣T,將原狀態(tài)向量x作線性變換，得到另一狀態(tài)矢量z設(shè)變換關(guān)系為第八十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日我們可以得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式很明顯，由于Ｔ為任意非奇異陣，故狀態(tài)空間表達(dá)式為非唯一的．通常稱Ｔ為變換矩陣.第八十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日二．系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量１．系統(tǒng)特征值

系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣Ａ的特征值，即特征方程的根．n×n方陣Ａ有n個(gè)特征值第八十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日２．系統(tǒng)的不變量與特征值不變性同一系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換后，得其特征方程為第八十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日上式的系數(shù)就是系統(tǒng)不變量。第八十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日3.特征矢量

一個(gè)n維矢量經(jīng)過以A作為變換陣的變換,得到一個(gè)新的矢量,即若則我們稱為Ａ的對應(yīng)于的特征矢量，此時(shí)有⑴特征矢量的定義第九十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日⑵特征矢量的求法①根據(jù)定義求特征矢量;②代數(shù)余子式法求特征矢量.

按某一行展開的代數(shù)余子式構(gòu)成矢量P,相應(yīng)地將代入分別得.第九十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日三．狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型這里的問題是通過一個(gè)非奇異矩陣Ｔ，x的線性變換x=Tz，從而將變換為根據(jù)系統(tǒng)矩陣Ａ，求其特征值，可以直接寫出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型矩陣Ｊ第九十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日無重根時(shí)有q重根時(shí)第九十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日要求控制矩陣和輸出矩陣，則必須求出變換矩陣Ｔ，下面根據(jù)Ａ陣形式及有無重根的情況，分別介紹幾種求Ｔ的方法．１．Ａ為任意形式⑴．特征值無重根時(shí)設(shè)是Ａ的n個(gè)互異特征根，求出的特征矢量，則變換矩陣由Ａ的特征矢量構(gòu)成，即第九十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日【例1-５】試求的特征矢量．第九十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日解：Ａ的特征方程為方法一：定義法第九十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日１）對應(yīng)于的特征矢量第九十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日取得對應(yīng)的特征向量m1為：解之有:為簡便起見第九十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日同理可得：所以：第九十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日方法二:

按某一行展開的代數(shù)余子式構(gòu)成矢量P,相應(yīng)地將代入分別得.代數(shù)余子式法第一百頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日按第一行展開得將代入得,取第一百零一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日將代入得,取將代入得,取第一百零二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日按第二行展開得將代入得,取第一百零三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日將代入得,將代入得,取取第一百零四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日按第三行展開得將代入得,取第一百零五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日將代入得,取將代入得,取第一百零六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日

當(dāng)A的特征根互異時(shí),所求出的特征矢量不唯一,但是所求出的所有特征矢量都成比例,若取它們的最簡形式,則所有特征矢量都相同.小結(jié):第一百零七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日⑵．Ａ陣的特征根有重根時(shí)設(shè)Ａ的特征根有q個(gè)的重根，其余（n–q）個(gè)根互異，則Ｔ的計(jì)算公式為：其中，上對應(yīng)與（n–q）個(gè)單根的特征矢量，對應(yīng)于q個(gè)重根的特征向量的求得，應(yīng)根據(jù)下式計(jì)算第一百零八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日顯然,仍為對應(yīng)的特征矢量,其余則稱為廣義特征矢量.第一百零九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日例:已知求特征矢量.第一百一十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日解:當(dāng)時(shí),方法一定義法第一百一十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日第一百一十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)所以第一百一十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日同理可得第一百一十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日方法二:代數(shù)余子式法按第三行展開新的余子式構(gòu)成向量第一百一十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)時(shí),對應(yīng)特征向量為當(dāng)時(shí),對應(yīng)特征向量為第一百一十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日規(guī)律:當(dāng)時(shí),對應(yīng)特征向量為第一百一十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日同理,按第一行展開分別求得對應(yīng)特征向量為第一百一十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日取同理,按第二行展開第一百一十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日分別求得對應(yīng)特征向量為取第一百二十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日小結(jié):

當(dāng)特征根有重根時(shí),利用代數(shù)余子式方法求出的T值可能不完全相同,即所謂的特征矢量不唯一,但是約旦陣都相同,不同的僅僅是和第一百二十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日2.A陣為標(biāo)準(zhǔn)型,即第一百二十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日⑴.A的特征值無重根時(shí),其變換矩陣是一個(gè)范德蒙德矩陣,為第一百二十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日⑵.A的特征值有重根時(shí),以有的三重根為例;第一百二十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日⑶.有共軛復(fù)根時(shí),以四階系統(tǒng)其中有一對共軛復(fù)根為例,即第一百二十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日此時(shí),第一百二十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日【例1-6】將下列（A,B,C,D）組成的動態(tài)方程轉(zhuǎn)換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。解：先求特征根：第一百二十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日對于λ1=-1，m1=2，我們有：對于λ2=-2，m2=1，我們有：所以：第一百二十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為：

第一百二十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日§1-0概述§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式§1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立§1-3狀態(tài)變量的線性變換§1-4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)

§1-5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式§1-6時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第一百三十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日§1－4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣一.傳遞函數(shù)陣1.單輸入—單輸出系統(tǒng)已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為第一百三十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日式中x—n維狀態(tài)矢量；y和u—輸出和輸入；Ａ－n×n方陣；b－n×1列陣；－１×n行陣；d—標(biāo)量，一般為零．對其進(jìn)行拉氏變換，并假定初始條件為零，則有：第一百三十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日故Ｕ－Ｘ間的傳遞函數(shù)為U－Ｙ間的傳遞函數(shù)為第一百三十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日２．多輸入－多輸出系統(tǒng)已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：

其中，X、Y、U分別為n×1、m×1、r×1的列向量，A、B、C、D分別為n×n、n×r、m×n、m×r的矩陣。第一百三十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日作拉氏變換，并設(shè)系統(tǒng)初態(tài)為零，則有：故Ｕ－Ｘ間的傳遞函數(shù)為而Ｕ－Ｙ間的傳遞函數(shù)為第一百三十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日§1-0概述§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式§1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立§1-3狀態(tài)變量的線性變換§1-4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)§1-5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式

§1-6時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第一百三十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期日§１－５離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式

顧名思義，離散時(shí)間系統(tǒng)就是系統(tǒng)的輸入和輸出信號只在某些離散時(shí)刻取值的系統(tǒng)。

離散時(shí)間系統(tǒng)一般用差分方程