2023年高考數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)第8章8.6幾何法求空間角

8.6幾何法求空間角INCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【考試要求INCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點(diǎn)．理解異面直線所成角、直線和平面所成角和二面角的定義，并會(huì)求值．INCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【知識(shí)梳理INCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，把直線a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).2．直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(3)二面角的平面角α的范圍：[0，π]．INCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【思考辨析INCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若直線l1，l2與同一個(gè)平面所成的角相等，則l1∥l2.(×)(2)異面直線所成角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(×)(3)如果平面α∥平面α1，平面β∥平面β1，那么平面α與平面β所成的二面角和平面α1與平面β1所成的二面角相等或互補(bǔ)．(√)(4)線面角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，二面角的范圍為[0，π]．(√)INCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【教材題改編INCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角或其補(bǔ)角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C為等邊三角形，∴∠D1B1C＝60°.2.如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點(diǎn)，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC和平面ABC所成角的正切值為________．答案2解析因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC和平面ABC所成的角．在Rt△PAC中，因?yàn)锳C＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝2.3.如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中：①二面角D′－AB－D的大小為________．②二面角A′－AB－D的大小為________．答案①45°②90°解析①在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD為二面角D′－AB－D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小為45°.的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小為90°.題型一異面直線所成的角例1(1)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)答案C解析如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角或其補(bǔ)角．因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋BB\o\al(2,1))＝eq\r(5).所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).延伸探究若將本例(1)中題干條件“AA1＝eq\r(3)”變?yōu)椤爱惷嬷本€A1B與AD1所成角的余弦值為eq\f(9,10)”．試求AA1的值．解設(shè)AA1＝t，∵AB＝BC＝1，∴A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(t2＋1).∴cos∠A1BC1＝eq\f(A1B2＋BC\o\al(2,1)－A1C\o\al(2,1),2×A1B×BC1)＝eq\f(t2＋1＋t2＋1－2,2×\r(t2＋1)×\r(t2＋1))＝eq\f(9,10)，解得t＝3，則AA1＝3.(2)(2022·衡水檢測(cè))如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝eq\f(1,4)SB，則異面直線SC與OE所成角的正切值為()A.eq\f(\r(22),2)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(13,16)D.eq\f(\r(11),3)答案D解析如圖，過點(diǎn)S作SF∥OE，交AB于點(diǎn)F，連接CF，則∠CSF(或其補(bǔ)角)為異面直線SC與OE所成的角．∵SE＝eq\f(1,4)SB，∴SE＝eq\f(1,3)BE.又OB＝3，∴OF＝eq\f(1,3)OB＝1.∵SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴SC＝3eq\r(2).∵SO⊥OF，∴SF＝eq\r(SO2＋OF2)＝eq\r(10).∵OC⊥OF，∴CF＝eq\r(10).∴在等腰△SCF中，tan∠CSF＝eq\f(\r(\r(10)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2),\f(3\r(2),2))＝eq\f(\r(11),3).【備選INCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】(2022·鄭州模擬)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝4，AC⊥BC，CC1＝5，D，E分別是AB，B1C1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD所成的角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(58),29) D.eq\f(3\r(87),29)答案C解析如圖，取A1C1的中點(diǎn)F，連接DF，EF，CF.易知EF是△A1B1C1的中位線，所以EF∥A1B1且EF＝eq\f(1,2)A1B1.又AB∥A1B1且AB＝A1B1，D為AB的中點(diǎn)，所以BD∥A1B1且BD＝eq\f(1,2)A1B1，所以EF∥BD且EF＝BD.所以四邊形BDFE是平行四邊形，所以DF∥BE，所以∠CDF就是異面直線BE與CD所成的角或其補(bǔ)角．因?yàn)锳C＝BC＝4，AC⊥BC，CC1＝5，D，E，F(xiàn)分別是AB，B1C1，A1C1的中點(diǎn)，所以C1F＝eq\f(1,2)A1C1＝2，B1E＝eq\f(1,2)B1C1＝2且CD⊥AB.由勾股定理得AB＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，所以CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(4×4,4\r(2))＝2eq\r(2).由勾股定理得CF＝eq\r(29)，DF＝BE＝eq\r(29).在△CDF中，由余弦定理得cos∠CDF＝eq\f(\r(29)2＋2\r(2)2－\r(29)2,2×\r(29)×2\r(2))＝eq\f(\r(58),29).思維升華求異面直線所成的角的三個(gè)步驟(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角或其補(bǔ)角．(3)三求：解三角形，求出所作的角．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2021·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)答案D解析方法一如圖，連接C1P，因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點(diǎn)，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角．設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則在Rt△C1PB中，C1P＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(1,2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6).方法二如圖所示，連接BC1，A1B，A1P，PC1，則易知AD1∥BC1，所以直線PB與AD1所成的角等于直線PB與BC1所成的角．根據(jù)P為正方形A1B1C1D1的對(duì)角線B1D1的中點(diǎn)，易知A1，P，C1三點(diǎn)共線，且P為A1C1的中點(diǎn)．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1為等邊三角形，所以∠A1BC1＝eq\f(π,3)，又P為A1C1的中點(diǎn)，所以可得∠PBC1＝eq\f(1,2)∠A1BC1＝eq\f(π,6).(2)如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．答案eq\r(2)解析如圖，取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成的角等于異面直線AC1與BC所成的角．因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD.因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).題型二直線與平面所成的角例2如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，AB＝AD＝2，AA1＝3.(1)證明：EF∥平面A1ADD1；(2)求直線AC1與平面A1ADD1所成角的正弦值．(1)證明如圖，連接BC1，AD1，由E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，可得EF∥BC1，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，因此四邊形ABC1D1為平行四邊形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1，又EF?平面A1ADD1，AD1?平面A1ADD1，所以EF∥平面A1ADD1.(2)解在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，因?yàn)镃1D1⊥平面A1ADD1，所以AC1在平面A1ADD1中的射影為AD1，所以∠C1AD1(或其補(bǔ)角)為直線AC1與平面A1ADD1所成的角，由題意知AC1＝eq\r(22＋22＋32)＝eq\r(17)，在Rt△AD1C1中，sin∠C1AD1＝eq\f(C1D1,AC1)＝eq\f(2,\r(17))＝eq\f(2\r(17),17)，即直線AC1與平面A1ADD1所成角的正弦值為eq\f(2\r(17),17).【備選INCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD＝BC＝1，二面角P－CD－A為直二面角．(1)若E為線段PC的中點(diǎn)，求證：DE⊥PB；(2)若PC＝eq\r(3)，求PC與平面PAB所成角的正弦值．(1)證明∵PD＝DC＝1，且E為PC的中點(diǎn)，∴DE⊥PC，又∵二面角P－CD－A為直二面角，∴平面PCD⊥平面ABCD，∵BC⊥CD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥DE.∵BC?平面PBC，PC?平面PBC，BC∩PC＝C，∴DE⊥平面PBC，又∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB.(2)解若PC＝eq\r(3)，由余弦定理可求得∠PDC＝120°，過點(diǎn)P作PH⊥CD的延長(zhǎng)線于H，如圖，可得PH⊥平面ABCD，在Rt△PHD中，PH＝PDsin60°＝eq\f(\r(3),2)，過H點(diǎn)作HG∥DA，且HG與BA的延長(zhǎng)線交于G點(diǎn)．可得HG⊥AB，從而PG⊥AB.在Rt△PHG中，PG＝eq\r(PH2＋HG2)＝eq\f(\r(7),2)，∴VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12)，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h，則三棱錐C－PAB的體積V＝eq\f(1,3)S△ABP·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(7),2)h＝eq\f(\r(3),12)，解得h＝eq\f(\r(3),\r(7))，設(shè)PC與平面PAB所成的角為θ，sinθ＝eq\f(h,PC)＝eq\f(\r(7),7)，即PC與平面PAB所成角的正弦值為eq\f(\r(7),7).思維升華求線面角的三個(gè)步驟一作(找)角，二證明，三計(jì)算，其中作(找)角是關(guān)鍵，先找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，然后把線面角轉(zhuǎn)化到三角形中求解．跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為AC的中點(diǎn)．若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝eq\f(π,2)，則CC1與平面BC1D所成角的正弦值為________．答案eq\f(\r(3),3)解析過點(diǎn)C作CH⊥C1D于點(diǎn)H，如圖，∵三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.∵BD?平面ABC，∴CC1⊥BD.∵AB＝BC，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，又CC1∩AC＝C，CC1，AC?平面ACC1，∴BD⊥平面ACC1，∵CH?平面ACC1，∴BD⊥CH.又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，C1D，BD?平面BC1D，∴CH⊥平面BC1D，∴∠CC1D為CC1與平面BC1D所成的角，設(shè)AB＝2a，則CD＝eq\r(2)a，C1D＝eq\r(6)a，∴sin∠CC1D＝eq\f(CD,C1D)＝eq\f(\r(2)a,\r(6)a)＝eq\f(\r(3),3).(2)(2022·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)．①求證：直線BD1∥平面PAC；②求直線BD1與平面ABCD所成角的正切值．①證明如圖，設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O，則O為BD的中點(diǎn)，連接PO，又∵P是DD1的中點(diǎn)，故PO∥BD1，又∵PO?平面PAC，BD1?平面PAC，∴直線BD1∥平面PAC.②解在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，∵DD1⊥平面ABCD，∴∠D1BD是直線BD1與平面ABCD所成的角，∵DD1＝2，BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\r(2)，∴tan∠D1BD＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，∴直線BD1與平面ABCD所成角的正切值為eq\r(2).題型三二面角例3(2022·上海市延安中學(xué)模擬)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，四邊形BDEF是正方形，平面BDEF⊥平面ABCD.(1)證明：平面ACE⊥平面BDEF；(2)若點(diǎn)M是線段BF上的一點(diǎn)，且滿足DM⊥平面ACE，求二面角A－DM－B的正切值．(1)證明∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，由四邊形BDEF是正方形有DE⊥BD，又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，DE?平面BDEF，∴DE⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，∴DE⊥AC，又BD∩DE＝D，且BD，DE?平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，由AC?平面ACE，∴平面ACE⊥平面BDEF.(2)解設(shè)O是AC，BD的交點(diǎn)，連接OE交DM于G，連接AG，如圖．由DM⊥平面ACE，AG，OE?平面ACE，∴AG⊥DM，OE⊥DM，∴∠AGO是二面角A－DM－B的平面角，由射影定理知，OD2＝OG·OE，OD＝1，DE＝2，則OE＝eq\r(5)，OG＝eq\f(\r(5),5).∴tan∠AGO＝eq\f(AO,OG)＝eq\r(15)，∴二面角A－DM－B的正切值為eq\r(15).INCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【備選INCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢(mèng)夢(mèng)\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E在線段CD1上，CE＝2ED1，點(diǎn)F為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，AF＝λFB，且EF∥平面ADD1A1.(1)求λ的值；(2)求二面角E－DF－C的余弦值．解(1)過E作EG⊥D1D于G，連接GA，如圖．則EG∥CD，而CD∥FA，所以EG∥FA.因?yàn)镋F∥平面ADD1A1，EF?平面EFAG，平面EGAF∩平面ADD1A1＝GA，所以EF∥GA，所以四邊形EGAF是平行四邊形，所以GE＝AF.因?yàn)镃E＝2ED1，所以eq\f(GE,DC)＝eq\f(D1E,D1C)＝eq\f(1,3).所以eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,3)，即eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2)，所以λ＝eq\f(1,2).(2)過E作EH⊥CD于H，過H作HM⊥DF于M，連接EM，如圖．因?yàn)槠矫鍯DD1C1⊥平面ABCD，EH⊥CD，所以EH⊥平面ABCD.因?yàn)镈F?平面ABCD，所以EH⊥DF.又HM⊥DF，HM∩EH＝H，HM，EH?平面EMH，所以DF⊥平面EMH.因?yàn)镋M?平面EMH，所以DF⊥EM.所以∠EMH是二面角E－DF－C的平面角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3a，則EH＝2a.在Rt△DHF中，DH＝a，HF＝3a，DF＝eq\r(10)a，所以HM＝eq\f(DH·HF,DF)＝eq\f(a×3a,\r(10)a)＝eq\f(3,\r(10))a.在Rt△EHM中，求得EM＝eq\r(EH2＋HM2)＝eq\f(7,\r(10))a，所以cos∠EMH＝eq\f(HM,EM)＝eq\f(3,7)，所以二面角E－DF－C的余弦值為eq\f(3,7).思維升華作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PBC為正三角形，M，N分別為PD，BC的中點(diǎn)，PN⊥AB.(1)求三棱錐P－AMN的體積；(2)求二面角M－AN－D的正切值．解(1)∵PB＝PC，∴PN⊥BC，又∵PN⊥AB，AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABCD，∴PN⊥平面ABCD，∵AB＝BC＝PB＝PC＝2，∴PN＝eq\r(3)，M為PD的中點(diǎn)，VP－AMN＝VD－AMN＝VM－ADN，∴VP－AMN＝eq\f(1,2)VP－ADN＝eq\f(1,4)VP－ABCD＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×4×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3).(2)如圖，取DN的中點(diǎn)E，連接ME，∵M(jìn)，E分別為PD，DN的中點(diǎn)，∴ME∥PN，∵PN⊥平面ABCD，∴ME⊥平面ABCD，過E作EQ⊥AN，連接MQ，又ME⊥AN，EQ∩ME＝E，EQ，ME?平面MEQ，∴AN⊥平面MEQ，∴AN⊥MQ，∠MQE即為二面角M－AN－D的平面角，∴tan∠MQE＝eq\f(ME,QE)，∵PN＝eq\r(3)，∴ME＝eq\f(\r(3),2)，∵AN＝DN＝eq\r(5)，AD＝2，∴QE＝eq\f(2\r(5),5)，∴tan∠MQE＝eq\f(\r(15),4).即該二面角的正切值為eq\f(\r(15),4).課時(shí)精練1.(2020·新高考全國Ⅰ)日晷是中國古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面．在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為()A．20°B．40°C．50°D．90°答案B解析如圖所示，⊙O為赤道平面，⊙O1為A點(diǎn)處的日晷面所在的平面，由點(diǎn)A處的緯度為北緯40°可知∠OAO1＝40°，又點(diǎn)A處的水平面與OA垂直，晷針AC與⊙O1所在的面垂直，則晷針AC與水平面所成角為40°.2.如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，其中AC＝3，PA＝4，BC＝5，則PB與平面PAC所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(17),5)答案A解析根據(jù)題意，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，則BC⊥AC，又由PA⊥圓O所在平面，則PA⊥BC，因?yàn)镻A∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，則BC⊥平面PAC，故∠BPC是PB與平面PAC所成的角，在△ACB中，AC＝3，BC＝5，AC⊥BC，則AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(34)，在△PAB中，AB＝eq\r(34)，PA＝4，PA⊥AB，則PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝5eq\r(2)，在Rt△PCB中，BC＝5，PB＝5eq\r(2)，則sin∠BPC＝eq\f(BC,PB)＝eq\f(\r(2),2).3．(2022·哈爾濱模擬)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5) D.eq\f(\r(3),3)答案C解析如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，則所求角為∠BC1D，∵BC1＝eq\r(2)，BD＝eq\r(22＋1－2×2×1×cos60°)＝eq\r(3)，C1D＝AB1＝eq\r(5)，易得C1D2＝BD2＋BCeq\o\al(2,1)，即BC1⊥BD，因此cos∠BC1D＝eq\f(BC1,C1D)＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5).4．在正四面體P－ABC中，點(diǎn)M是棱BC上的動(dòng)點(diǎn)(包含端點(diǎn))，記異面直線PM與AB所成的角為α，直線PM與平面ABC所成的角為β，則()A．α>β B．α<βC．α≥β D．α≤β答案C解析根據(jù)題意，如圖，作PO⊥底面ABC，連接OM，則∠PMO是直線PM與平面ABC所成的角，即∠PMO＝β，過點(diǎn)M作l平行于AB，過點(diǎn)P作PN⊥l，與l交于點(diǎn)N，∠PMN是直線PM與AB所成的角，即∠PMN＝α，在Rt△POM和Rt△PMN中，有PN≥PO，則sinα≥sinβ，則α≥β.5．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，則二面角C1－AB－C為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(π,4)答案D解析由圖可知C1B⊥AB，CB⊥AB，所以∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角，tan∠C1BC＝eq\f(C1C,BC)＝1，所以∠C1BC＝eq\f(π,4).6.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列說法不正確的是()A．A1C1⊥BDB．A1C⊥BDC．B1C與BD所成的角為60°D．AC1與平面ABCD所成的角為45°答案D解析對(duì)于A，如圖，由正方體性質(zhì)可知B1D1⊥A1C1，又因?yàn)锽B1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以A1C1⊥BD，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，如圖，由正方體ABCD－A1B1C1D1可得CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以CC1⊥BD，由選項(xiàng)A可知A1C1⊥BD，又A1C1∩CC1＝C1，A1C1，CC1?平面A1C1C，所以BD⊥平面A1C1C，因?yàn)锳1C?平面A1C1C，所以BD⊥A1C，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，如圖，由選項(xiàng)A可知BD∥B1D1，所以∠CB1D1為直線B1C與直線BD所成的角，由正方體性質(zhì)可知△B1CD1為正三角形，所以∠CB1D1＝60°，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，如圖，由CC1⊥平面ABCD，所以∠C1AC為直線AC1與平面ABCD所成的角，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC＝eq\r(2)CC1，tan∠CAC1＝eq\f(CC1,AC)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠CAC1≠45°，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．7．在正四棱錐P－ABCD中，底面邊長(zhǎng)為2，四棱錐的體積為eq\f(4,3)，則二面角P－AB－C的大小為________．答案45°解析如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)E，依題意，PE⊥平面ABCD，取AB的中點(diǎn)F，連接FE，F(xiàn)P，易知AB⊥EF，AB⊥PF，則∠PFE為二面角P－AB－C的平面角，又VP－ABCD＝eq\f(1,3)×2×2×PE＝eq\f(4,3)，故PE＝1，∴PE＝EF＝1，∴△PEF為等腰直角三角形，∴∠PFE＝45°.8．在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，SA⊥平面ABC，且SA＝2，則AB與平面SBC所成角的正弦值為________.答案eq\f(\r(21),7)解析如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，SD，過A作AO⊥SD，交SD于點(diǎn)O，連接OB，∵在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，SA⊥平面ABC，且SA＝2，∴AD⊥BC，SD⊥BC，SA⊥AD，∵AD∩SD＝D，AD，SD?平面SAD，∴BC⊥平面SAD，∴BC⊥AO，AD＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，SD＝eq\r(4＋4－1)＝eq\r(7)，∵eq\f(1,2)×SA×AD＝eq\f(1,2)×SD×AO，∴AO＝eq\f(2×\r(3),\r(7))＝eq\f(2\r(21),7)，∵AO⊥SD，SD∩BC＝D，SD，BC?平面SBC，∴AO⊥平面SBC，∴∠ABO是AB與平面SBC所成的角，∴AB與平面SBC所成角的正弦值為sin∠ABO＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(\f(2\r(21),7),2)＝eq\f(\r(21),7).9.如圖，已知在三棱錐A－BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD＝3，AD＝1，AC＝BC，M為線段AB的中點(diǎn)．(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)求異面直線MD與BC所成角的余弦值；(3)求直線MD與平面ACD所成角的余弦值．(1)證明∵平面ABD⊥平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，AD⊥AB，AD?平面ABD，∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC，又AC⊥BC，AD∩AC＝A，AD，AC?平面ACD，∴BC⊥平面ACD.(2)解如圖，取AC的中點(diǎn)N，連接MN，DN，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴MN∥BC，∴∠NMD(或其補(bǔ)角)為異面直線MD與BC所成的角，由(1)知BC⊥平面ACD，∴MN⊥平面ACD，MN⊥ND，∵BD＝3，AD＝1，AB⊥AD，∴AB＝2eq\r(2)，又∵AC＝BC，AC⊥BC，∴AC＝BC＝2，在Rt△MND中，MN＝eq\f(1,2)BC＝1，MD＝eq\r(AD2＋AM2)＝eq\r(3)，∴cos∠NMD＝eq\f(MN,MD)＝eq\f(\r(3),3)，即異面直線MD與BC所成角的余弦值為eq\f(\r(3),3).(3)解由(2)知∠MDN為直線MD與平面ACD所成的角，在Rt△MND中，ND＝eq\r(MD2－MN2)＝eq\r(2)，∴cos∠MDN＝eq\f(ND,MD)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，即直線MD與平面ACD所成角的余弦值為eq\f(\r(6),3).10.如圖，在三棱錐A－BCD中，△ABD為等邊三角形，BC＝BD，平面ABD⊥平面BCD且BA⊥BC.(1)求證：BC⊥AD；(2)求二面角A－CD－B的正切值．(1)證明如圖，取BD的中點(diǎn)E，連接AE，則AE⊥BD，因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE?平面ABD，則AE⊥平面BCD，所以AE⊥BC，又因?yàn)锳B⊥BC，AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABD，則BC⊥平面ABD，因?yàn)锳D?平面ABD，則BC⊥AD.(2)解如圖，過點(diǎn)E作EF⊥CD交CD于點(diǎn)F，連接AF，由(1)知AE⊥CD，AE∩EF＝E，AE，EF?平面AEF，所以CD⊥平面AEF，因?yàn)锳F?平面AEF，則CD⊥AF，所以∠AFE為二面角A－CD－B的平面角．因?yàn)椤鰽BD為等邊三角形，設(shè)BD＝2，則AE＝eq\r(3)，EF＝eq\f(\r(2),2)，則tan∠AFE＝eq\f(AE,EF)＝eq\f(\r(3),\f(\r(2),2))＝eq\r(6).所以二面角A－CD－B的正切值為eq\r(6).11．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，異面直線AB與A1C所成角的大小為eq\f(π,3)，則該長(zhǎng)方體的側(cè)面積與表面積的比值是()A.eq\f(4－2\r(2),7) B.eq\f(4－\r(2),4)C.eq\f(8－2\r(2),7) D.eq\f(4－\r(2),8)答案C解析如圖，連接B1C，因?yàn)锳B∥A1B1，所以∠B1A1C是異面直線AB與A1C所成的角，即∠B1A1C＝eq\f(π,3).設(shè)AB＝x，AA1＝y(tǒng)，在△A1B1C中，B1C2＝x2＋y2，A1C2＝2x2＋y2，則cos∠B1A1C＝eq\f(x2＋2x2＋y2－x2＋y2,2x·\r(2x2＋y2))＝eq\f(1,2)，整理得y＝eq\r(2)x，從而該長(zhǎng)方體的側(cè)面積S1＝4xy＝4eq\r(2)x2，該長(zhǎng)方體的表面積S2＝4xy＋2x2＝(4eq\r(2)＋2)x2，故eq\f(S1,S2)＝eq\f(4\r(2)x2,4\r(2)＋2x2)＝eq\f(8－2\r(2),7).12．某幾何體的三視圖如圖所示，記底面的中心為E，則PE與底面所成的角為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,2)答案A解析由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示﹐∠PEA為PE與底面所成的角．∵PA＝eq\r(6)，AE＝eq\r(2)，∴tan∠PEA＝eq\f(PA,AE)＝eq\r(3)，∴∠PEA＝eq\f(π,3).13．已知正四面體A－BCD的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段BC上，則下面四個(gè)命題中：①?F∈BC，EF∥AC；②?F∈BC，EF≤eq\r(3)；③?F∈BC，EF與AD不垂直；④?F∈BC，直線EF與平面BCD夾角正弦的最大值為eq\f(\r(3),3).所有不正確的命題序號(hào)為________．答案①③解析如圖，對(duì)?F∈BC，EF與AC異面或相交，故