第一章方向?qū)?shù)及梯度

1.3標(biāo)量場的梯度（GradientofaScalarField標(biāo)量場和矢量場確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個場。如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)。靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：u(x,y,z)、F(x,y,z)時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：u(x,y,z,t)、F(x,y,z,t)2021/5/911.標(biāo)量場的等值面等值面:標(biāo)量場為同一數(shù)值的點在空間形成的曲面。等值面方程：u(x,y,z)

C標(biāo)量場的等值線(面)? 常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；? 標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；? 因此標(biāo)量場的等值面互不相交。等值面的特點：2021/5/92例題 求數(shù)量場φ=(x+y)2-z通過點M(1,0,1)的等值面方程。解：點M的坐標(biāo)是x0=1,y0=0,z0=1，則該點的數(shù)量場值為φ=(x0+y0)2-z0=0。(x

y)2

z0z(x

y)2或其等值面方程為2021/5/93如果上式的極限存在，則稱它為函數(shù)在點P0處沿l方向的方向?qū)?shù)標(biāo)量場在不同方向上的變化率一般說來是不同的2.方向?qū)?shù)(directionalderivative)uP

uP 0 lluliml0P0方向?qū)?shù)2021/5/94方向?qū)?shù)物理意義：M00處沿l方向增加率；0M00，標(biāo)量場u在M 處沿l方向減小率；0ululul，標(biāo)量場u在MM00，標(biāo)量場u在M處沿l方向為等值面方向（無改變）02021/5/95方向?qū)?shù)的計算直角坐標(biāo)系下，標(biāo)量函數(shù)的方向?qū)?shù)為：dx

cos, dy

cos

, dz

cosdl dl dlu

u

dx

u

dy

u

dzl x dl y dl z dlzxy方向角

ol在直角坐標(biāo)系中u

u

cos

u

cos

u

cosl x y z2021/5/963cos

2

21222223cos

2

21222223cos

1

1122222例題 求數(shù)量場u在點M(1,1,2)處z沿l

e?x2e?y2e?z 方向的方向?qū)?shù)。u

u

u

u解： cos cos cosl x y zx2

y2方向的方向余弦為lz2u (x2

y2) , , u 2x u 2yx z y z z2021/5/97數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為z2z2x2

y23 z 3 z 312x 22yu

u

cos

u

cos

u

cosl x y

在點M處沿l方向的方向?qū)?shù)

1

1

2

1

2

2

23 3 3 4 3ulM2021/5/983.梯度（gradient）y zu

e? u

e? uxgradu

G

e?y zxgradu

u梯度就是變化率最大方向上的方向?qū)?shù)。

e?

e?

e?xxyzyzu

ux y ze?ze?ye?x

grad u=2021/5/99標(biāo)量場中每一點處的梯度，垂直于過該點的等值面，且指向函數(shù)增大的方向。也就是說，梯度就是該等值面的法向矢量。方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影即

u

e?llu梯度的旋度恒等于零u0如果一個矢量場滿足

F=0，即是一個無旋場，則該矢量場可以用一個標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，即F=u梯度的性質(zhì)zxyu

e? u

e? u

方xx yy zz 向

ol角 cos cos cosl x y zu u u ugradu

e?G2021/5/910u0標(biāo)量場梯度的旋度恒等于零。2u 2u 2u 2u 2u 2u[( )e ( )e ( )e]yz zy x zx xz y xy yx z0梯度的重要性質(zhì)證明：左邊= (

e?

e?

e? )(e? u

e?u

e? u

)y zx y z xzyx y z x2021/5/911梯度的運算u

u

e

1

u

er zu

er r

zu

u

e

1

u

e

1 u

er r

rsin

r

由梯度的定義及標(biāo)量場方向?qū)?shù)的概念可推知在直角坐標(biāo)系下：在球面坐標(biāo)系中：

e 1

e ( 1 )

)

(ersin

rr

r在柱面坐標(biāo)系中：1

(e

e

)rr

r

zzeu

ue?

ue?

ue?x y zx y z2021/5/912例題 設(shè)標(biāo)量函數(shù)r是動點M(x,y,z)的矢量r

xe?x

ye?y

ze?z的模，即r證：e?xe?ye?zrr rgradr

rxyzx2

y2

z2x2

y2

z2r

z x

z

zrx2

y2

z2x2

y2

z2r

x x

x

xrr，證明：gradr=

e?x2

y2

z2x2

y2

z2x2

y2

z2r

y y

y

yr所以rrery zxzyxr

z

e?

1

(xe?

ye?

ze? )

r

?r ry

e?rgradr

r

x

e?r2021/5/913點M處的坐標(biāo)為x=1,y=0,z=1, rx2

y2

z2 2所以r在M點處的梯度為例題 求r在M(1，0，1)處沿l

e?x2e?y2e?z方向的方向?qū)?shù)。e?ze?xgradr

r2121r的梯度為gradr

r

1

(xe?

ye?

ze?)x y zr解：r在M點沿l方向的方向?qū)?shù)為

r

e?lMlr2021/5/914所以2 2 2 2r

1

1

0

2

1

2

1 l3 3 3M而e?ze?ye?xe?lll 1323232021/5/915例題: 若R

r

r'

e?xx

x

e?y

y

y

e?zz

zR

Rf(R)

'f(R)說明：x y z

e

e

ex y z'

e

e

ex' y' z'x y z證明：(1)(R)

R

e?RR(2)R3 R2(1

)

R

e?RR(3)2021/5/9161.矢量線(vectorline)1.4 矢量場的通量散度如：靜電場的電力線、磁場的磁力線、流速場中的流線等矢量線的疏密表征矢量場的大小矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向所謂矢量線，乃是這樣一些曲線，在曲線上的每一點處，場的矢量都位于該點處的切線上。2021/5/917A//dr力線方程rdrr

drA與dr共線在直角坐標(biāo)系中，其表達(dá)式為A

e?xAx

e?yAy

e?zAzdr

e?xdx

e?ydy

e?zdzAdr

0矢量線的方程為2021/5/918xy2 x2y y2z解：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為dx

dy

dz dx

dz

xy y z

xy2

x2y從而有

dx dy22xz

c1xy

c22 2解之即得矢量方程c1和c2是積分常數(shù)。例求矢量場A=xy2+x2ye?y +zy2e?的矢量線方程。xe?z2021/5/919矢量場的通量若S為閉合曲面若矢量場F(r)分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則定義：為矢量F(r)沿曲面S的通量。物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的通量的代數(shù)和。

A(r)

dSs

F(r)

dSs

2.通量(flux)2021/5/920討論：面元矢量dS定義：面積很小的有向曲面。dS：面元面積，為微分量其值可認(rèn)為無限小en：面元法線方向，垂直于面元平面。endS面元法向e的確定方法：對非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手螺旋法則確定；對閉合曲面：閉合面外法線方向n

F

dS

F

e

dS

FcosrdSss sn

稱矢量dS

e?ndS 為面元矢量2021/5/921通過閉合面S的通量的物理意義：

若

0，穿出多于穿入，閉合面內(nèi)有發(fā)出矢量線的正源若

0，穿出少于穿入，閉合面內(nèi)有匯集矢量線的負(fù)源若

0，穿出等于穿入，閉合面內(nèi)無源，或正源負(fù)源代數(shù)和為0

>0(有正源)

<0(有負(fù)源)

=0(無源)2021/5/9223.矢量場的散度Divergenceofavectorfield:散度的定義在場空間F(r)中任意點M處作一個閉合曲面，所圍的體積為V ，則定義場矢量F(r) 在M點處的散度為：divFr

散度的物理意義Fr

dSVsV0

lim矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性；矢量場的散度是一個標(biāo)量；矢量場的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；矢量場的散度值表征空間中通量源的密度。2021/5/923(divF(r)

0正源)divF(r)

0負(fù)源)V3(divF(r)0無源）若divF(r)

0，則該矢量場稱為有源場，為源密度若divF(r)0處處成立，則該矢量場稱為無源場討論：在矢量場中，V2V1當(dāng)divA>0，稱為源點(sourcepoint)---表示矢量場在該點處有散發(fā)通

量之正源；當(dāng)divA<0，稱之為匯點(sinkpoint)---表示矢量場在該點處有吸收通量之負(fù)源；當(dāng)divA=0，表示矢量場在該點處無源。2021/5/924散度的計算?yx?xS3Ozy?zS1S2S6S5S42021/5/925§1.4 矢量的通量和散度? 散度與所取體積元的形狀無關(guān)，與所取坐標(biāo)無關(guān)a.直角坐標(biāo)系中x y zA AAdivA

x

y

z 2021/5/926§1.4 矢量的通量和散度? 引入哈密頓算符

（矢性微分算符）直角坐標(biāo)內(nèi)，則有:xx yy zz

e

e

ediv

A A2021/5/927§1.4 矢量的通量和散度b.圓柱坐標(biāo)c.球坐標(biāo))

z

zAA(A ) (

A

1 1( )rsin

1 (sinA) 1 rsin

(r A)1

2r2Ar

Ar2021/5/9284.散度定理(divergencetheorem)

V

AdV

SAdS高斯散度定理yx矢量場散度的體積分等于矢量場在包圍該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分z2021/5/929則在一定體積V內(nèi)的總的通量為：得證！

ArdV

Ar

dSV s

散度定理的證明

從散度定義有：

Ar

limV0

Ar

dS

d

dVV0VVslim

該公式表明了區(qū)域V中場A與邊界S上的場 A 之間的關(guān)系。

矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。V

AdV

SAdS

2021/5/930例題：已知： R

e?(x

x')

e? (y，y')

e?(z

z')x y zR

R求：矢量R3RD在R0處的散度。場點位置矢量場點位置矢量rr場點源點0rrR3

x

x2R33R5

x

x

1 xR

提示：2021/5/931例解：q 3r23(x2

y2

z2)r50x y z 4divD

D

x

x

x

D D D4

r3

qy,4

r34

r3D

qx,xyzD

qz D原點處點電荷q產(chǎn)生的電位移矢量D

q e?

q r

，4r3試求電位移矢量D的散度。3r3 r3D

q

x

e?

y

e?

ze? 4

r

x y z4r2rr5D

q r23x2xx 4r5q r23y2y 4Dyr5r23z2

Dz

qz 42021/5/932所以例題 球面S上任意點的位置矢量為r

xe?x

ye?y

ze?z解：根據(jù)散度定理知，求

r

dS而r的散度為

r

x

y

z

3x y zS

r

dS

(

r)dVVS33(

r)dV 3dV3

r 4r34r

dSVVS2021/5/9331. 矢量場的環(huán)流與旋渦源不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。1.5 矢量場的環(huán)流與旋度2021/5/934矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，記為：

CF(x,y,z)dl

如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。

如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。環(huán)流的概念2021/5/935如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：

CB(x,y,z)dl

0I

0SJ(x,y,z)dS上式建立了磁場與電流的關(guān)系。2021/5/936例：流速場流速場2021/5/937S

n?S環(huán)流的計算ACP在直角坐標(biāo)系中：F

exFx

eyFy

ezFzdl

exdx

eydy

ezdz

Fdx

F dy

FdzCx y z線元矢量dl：長度趨近于0，方向沿路徑切線方向。

F

dlC

2021/5/938矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場旋度。過點M作一微小曲面S，它的邊界曲線記為L，當(dāng)S點M時，極限

FdlLS0SrotnF lim

1 2、矢量場的旋度Curlofavectorfield:M稱為矢量場在點M處沿e?n的環(huán)流密度。rotnF表示矢量場在點M處沿e?方向的漩渦源密度；其值與方向 有關(guān)。n性質(zhì)：l圍成的面元矢量旋渦面的方向重合，最大夾角，中間值垂直， 0RFe?n2021/5/939旋度 矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流密度最大值，其方向為取得環(huán)流密度最大值時小面積元的法線方向，即：max旋度的物理意義矢量的旋度為矢量，是空間位置的函數(shù)；矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度；nS0rotF

e? limSF

dlC

2021/5/940旋度的計算在直角坐標(biāo)系下：xrotF

exrotxF

eyrotyF

ezrotzF

e(Fz

Fy)

e (Fx

Fz)

e(FyFx)x yzy z z xx yez )exFx

eyFy

ezFz(exeyxy z

F重點M?y?ze?xzyx y zFx Fy Fze?x e?y e?z

2021/5/941圓柱面坐標(biāo)系

zF

F

Fze

e

ez1

F

er re

rsine

Fr rF

rsinFr2sin

r

F

1 球面坐標(biāo)系旋度的有關(guān)公式：

(F

G)＝G

F

F

G

(F

G)

F

G

C0(C為常矢量)

(Cf)

f

C

(fF)

f

F

f

F

2021/5/9423.斯托克斯定理（StokesTheorem）c意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的線積分。lA

dl

s(

A)

dS

2021/5/943由旋度的定義對于有限大面積s，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對每一小面積元有cA

dl

s(

A)

dS得證！斯托克斯定理的證明(rotA)

enclimS0S

A

dl

A

dl (

A)

dSc

A

dl (

A)

dSc2c21cAd

(

)l AdS12021/5/9444.散度和旋度的區(qū)別

F0

F0

F0

F0

F0

F0

F0

F02021/5/9455.矢量場旋度的重要性質(zhì)y2222x22[()()()]0yyxxzz

F

F

F

F

F

Fxyxzyzxyxzyz任意矢量場旋度的散度等于零。

(

F)0

Fx)]e

(FyFz)F F

y)

e

( x

）[e

(Fzz z xz x

e

exx yy證明：左邊=（ezyxz2021/5/946討論? 矢量場的性質(zhì)可以用其散度和旋度來表征，散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律，旋度描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律。?如果矢量場的散度為零，則該矢量場是連續(xù)的或無散的；如果矢量場的旋度等于零，則稱此矢量場是無旋的或保守的。

B0

B

A矢量場的散度等于零該矢量可以用另一個矢量的旋度來表示2021/5/947例 求矢量(c是常數(shù)) 沿曲線(x-2)2+y2=R2,z=0的環(huán)流。A

ye?x

xe?y

ce?z2021/5/9482(R22Rcos

)d0解：由于在曲線l上z0，所以dz0。A

ye?x

xe?y

ce?zdl

e?xdx

e?ydyx2

Rcosy

Rsin2200Rsin

d(2

Rcos

)

(2

Rcos

)d(Rsin

)

2[R2(sin2

cos2

)2Rcos

]d02

R2

lA

dl

(2

Rcos

)Rcosdd

R sin 2202 202021/5/949例 求矢量場在點M(1，0，1)處的旋度以及沿n2e?x6e?y3e?z密度。方向的環(huán)流面e?x e?y e?z

x y zx(z

y) y(x

z) z(y

x)(z

y)e?x(x

z)e?y(y

x)e?zrotA

AA

x(z

y)e?x

y(x

z)e?y

z(y

x)e?z解：矢量場 的旋度A2021/5/950在點M(1，0，1)處的旋度

AM

e?x2e?y

e?zn方向的單位矢量在點M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度

n?

2

6

2

3

177 7 7 7M

A226232n?

1 (2e? 6e? 3e?)

2

e?

6

e?

3

e?7 7 7x y zx y z2021/5/951例場強(qiáng)度為在坐標(biāo)原點處放置一點電荷q，在自由空間產(chǎn)生的電4

r3 4

r3E

q r

q (xe?

ye?

ze?)x y z求自由空間任意點(r≠0)電場強(qiáng)度的旋度

E。2021/5/9523333 03340xyz

q

z

y

e^

x

z

e^y rz rz rx r

y

x

exry r

解：r3 r3 r3e?x e?y e?z

y zx y z4

x

E

q

E

q r4

r3^2021/5/9531、矢量場的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度；旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6 無旋場與無散場2021/5/9542、矢量場按源的分類（1）無旋場僅有散度源而無旋度源的矢量場，

F0Fdl 0C

性質(zhì)：，線積分和路徑無關(guān)，是保守場。無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為F

u例如：靜電場

E0E

2021/5/955（2）無散場僅有旋度源而無散度源的矢量場，

F0FdS0S

無散場可以表示為另一個矢量場的旋度

F

A例如，恒定磁場

B

A

B02021/5/956（3）在要討論的場區(qū)，既無旋又無散

F0

F0

F

u

(u)02u0（4）既可能有散，也