彈簧振子實(shí)驗(yàn)中的方法解析

彈簧振子實(shí)驗(yàn)中的方法解析韓躍武（貴州廣播電視大學(xué)貴陽550004）摘要：本文分析了彈簧振子實(shí)驗(yàn)中測量周期時(shí)使用的累計(jì)法和數(shù)據(jù)處理時(shí)使用的逐差法、最小二乘法，目的是加強(qiáng)“方法”教學(xué)；同時(shí)用彈簧串聯(lián)改變k值的方式測量了一組T?k的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)處理的結(jié)果表明：簡諧振動(dòng)周期公式與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本相符，可以把彈簧振子的運(yùn)動(dòng)近似為簡諧振動(dòng)，但這也只能在一定條件下成立。關(guān)鍵詞：彈簧振子方法解析AnalysisofMethodinSpringOscillatorExperimentHanYue-wu（GuizhouRedio&TVUniversity,550004）Abstract:Thistextexplainstheaccumulativemethod,stepbystepsubtractionmethodandminimumtwomultiplicationmethodinthespringoscillatorexperiment.Thepurposeistostrengthenteachingofmethods,theT?kdataismeasuredbychangingthekvaluewithspringgettingconnetedinaseries,theresultofdataprocessshousthattheequationofharmonicoscillatorymotionalmostagreeswiththeexperimentdata,springoscillatormotionissimilartoharmonicoscillatorymotiononcertainconditions.Keywords:springoscillator,analyzesofmethod彈簧振子由一根輕質(zhì)彈簧和一個(gè)質(zhì)量為m的物體（砝碼）所組成，圖（1）為水平放置的彈簧振子，可在氣墊導(dǎo)軌上實(shí)現(xiàn)；圖（2）為豎直懸掛的彈簧振子，只要找一固定懸掛點(diǎn)就可實(shí)現(xiàn)，本實(shí)驗(yàn)就是利用這種彈簧振子完成的。圖（1） 圖（2）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容為：1、測量彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)；2、測量周期與質(zhì)量的關(guān)系；3、驗(yàn)證周期公式。下面結(jié)合具體的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，重點(diǎn)分析實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)處理中的各種方法。一、測量彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，用逐差法［1］處理數(shù)據(jù)測量彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)我們使用的是靜力平衡的辦法：在彈簧下端依次加掛質(zhì)量為m的砝碼，待砝碼靜止后，測出砝碼在固定標(biāo)尺上的對應(yīng)坐標(biāo)值x,然后用逐差法求出倔強(qiáng)系數(shù)。為此我們先介紹逐差法。逐差法是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的一種處理方法，根據(jù)數(shù)據(jù)處理目的的不同可以分為逐項(xiàng)逐差法和分組逐差法兩種，前者主要用來判斷數(shù)據(jù)的線性關(guān)系是否成立，后者主要用來求線性方程的系數(shù)。逐差法的使用條件是：1、 x、y之間的關(guān)系可以表達(dá)為多項(xiàng)式形式。例如：y=a+bx,y=a+bx+cx2.2、 自變量必須等間距變化，且較因變量有更高的測量準(zhǔn)確度，以致自變量的測量不確定度可忽略不計(jì)。下面以倔強(qiáng)系數(shù)的測量為例，介紹分組逐差法。表一為用靜力平衡的辦法測得的一組數(shù)據(jù).分組逐差法處理數(shù)據(jù)分為三個(gè)步驟：第一步是將數(shù)據(jù)分為上半組和下半組；第二步是將上半組數(shù)據(jù)與下半組數(shù)據(jù)對應(yīng)

相減；最后是求平均值。表二就是用分組逐差法處理表一的數(shù)據(jù)的示例。表一：靜力平衡法測彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)序數(shù)i123456m(g)20.040.060.080.0100.0120.0x(cm)29.5332.8536.1439.4542.7746.05表二：分組逐差法處理表一中的數(shù)據(jù)序數(shù)i123平均值x (cm)29.5332.8536.14x (cm)3+i39.4542.7746.05Ax=x,-x(cm)9.929.929.919.917i3+i i△m=m-m.(g) i 3^ i 160.060.3060.060.0k=(m3+i—mi)牛二=60.0*10-3*9.8/9.167*10-2=5.925N/m/Axi二、累計(jì)法測量周期累計(jì)法是實(shí)驗(yàn)中使用的一種測量方法，能有效地提高測量的精密度。為了說明累計(jì)法對提高測量的精密度的作用，我們先分析一組數(shù)據(jù)，見表三。該組數(shù)據(jù)是在同一條件下對彈簧振子的周期作十次重復(fù)測量的結(jié)果。表三：用電子秒表測量彈簧振子的周期=1.487sn-1=0.06s=1.487sn-1=0.06s電子秒表分度值：0.01s序數(shù)i12345678910T(s) i 11.501.471.501.431.471.591.561.471.381.50△=\：A2+A2A B電子秒表的儀器誤差△儀=0.01s，我們?nèi)≯藺=0n-1=0.06s,△二△儀=0.01s，可見用電子秒表

測量彈簧振子的周期，周期測量值的總不確定度△主要取決于A類不確定度，即手動(dòng)計(jì)時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)性誤

差，這一隨機(jī)性誤差，主要是由于按秒表的計(jì)時(shí)動(dòng)作，超前或滯后砝碼振動(dòng)過平衡點(diǎn)這一計(jì)時(shí)起點(diǎn)和終點(diǎn)

而產(chǎn)生的，我們?nèi)?°n-1=0.18s"0.2s為周期測量列的A類不確定度的最大限值，即正常情況下，單次

測量周期，測量值的A類不確定度的最大限值為0.2s,習(xí)慣上我們稱其為手動(dòng)計(jì)時(shí)誤差。這是我們指導(dǎo)實(shí)

驗(yàn)長期使用的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論［2］，此時(shí)單次測量周期，測量值落在(T-0.2,T+0.2)范圍內(nèi)

的概率不小于99.73%。累計(jì)法測周期分為兩步：一是測出彈簧振子完成N次全振動(dòng)所用的時(shí)間t；二是用公式計(jì)算周期，公式為：T=t/N。下面我們比較兩種測量結(jié)果的優(yōu)劣程度。作單次測量，周期的A類不確定度的最大限值為0?2s；累計(jì)法測周期，周期的A類不確定度的最大限值為△T=0.2/N。如果取N=40, △T=0.005s,可見，AA累計(jì)法測周期可大大地提高測量的精密度。不過需要指出的是，累計(jì)法的使用是有條件的，關(guān)鍵是待測量能夠等值累加。累計(jì)法測周期的前提是周期的等值不變性。這一點(diǎn)彈簧振子可滿足這一要求，下面的周期都是用累計(jì)法來測量的，累計(jì)次數(shù)為40次。另外，在實(shí)際測量中許多地方都可以運(yùn)用累計(jì)法，例如：用天平測一粒小鋼珠的質(zhì)量，用米尺測一根金屬絲的直徑，用米尺測一頁紙的厚度等，這些都可以使用累計(jì)法進(jìn)行測量。三、最小二乘法[3]從測量數(shù)據(jù)中尋求經(jīng)驗(yàn)方程或提取參數(shù)，稱為回歸問題，是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的重要內(nèi)容。用作圖法獲得直線的斜率和截距就是回歸問題的一種處理方法，但描點(diǎn)后的連線帶有相當(dāng)大的主觀成分，結(jié)果會因人而異；用逐差法求多項(xiàng)式的系數(shù)也是一種回歸方法，但它又受到自變量必須等間距變化的限制。下面介紹處理回歸問題的又一種方法—最小二乘法。假定變量x、y之間存在著線性關(guān)系，回歸方程為一條直線y=a+bx——(1)由實(shí)驗(yàn)測得的一組數(shù)據(jù)為x,y(i=l,2,3?n)，我們的任務(wù)是根據(jù)這組數(shù)據(jù)擬合出一條直線，使之ii代表x,y的變化規(guī)律，即確定線性回歸方程(1)的系數(shù)a和b。為此，我們引入測量值y與回歸方程函iii數(shù)y的偏差6=y—yii=y-(a+bx)(i=1,2,3?,n)i對上式兩邊平方取和，并以s表示6得：is=E52=E[y-(a+bx)]2 (2)最小二乘法的原理就是:當(dāng)s為最小值，這時(shí)的直線：y=a+bx就是我們要擬合的最佳直線。換句話說，我們用這種方法得到的直線，克服了作圖法連直線的主觀因素，得到了能夠代表所有測量點(diǎn)的最佳直線。下面按照函數(shù)取最小值的條件來確定回歸方程的系數(shù)a和b。dai=dai=1-a-bx)=0in=-2乙(y-a-bx)x=0iii=1整理后得：xb+a=y整理后得：x2b+xa=xy其中ni=1其中ni=1- 1乎y=乙yni=11vx2=乙x2nii=1—1yxy=乙xynii=1xy-xy解方程組（3解方程組（3）得： （4）a=y一bx利用（4）式，我們就可以擬合出一條最佳直線。必須指出，只有當(dāng)x、y之間存在線性關(guān)系時(shí)，擬

合的直線才有意義，為了檢驗(yàn)擬合的直線有無意義，在數(shù)學(xué)上引進(jìn)一個(gè)叫相關(guān)系數(shù)r的量，其計(jì)算公式為：r=乙(x一x)(y一y)ii (5)n n乙(x一r=乙(x一x)(y一y)ii (5)n n乙(x一x)2乙(y一y)2i=1i=1r表示兩測量量與線性函數(shù)的符合程度。r越接近于1,x,y的線性關(guān)系就越好；如果它接近于0,ii就可以認(rèn)為x,y之間不存在線性關(guān)系。物理實(shí)驗(yàn)中，如果r達(dá)到0。999,則說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性關(guān)系良ii好。用（4）式和（5）式計(jì)算回歸方程的系數(shù)和相關(guān)系數(shù)是比較復(fù)雜的,好在一般檔次較高的計(jì)算器都有回歸計(jì)算的功能，回歸計(jì)算就變得簡單多了。下面的數(shù)據(jù)是用CASIOfx-82TL計(jì)算器處理的。序數(shù)i123456m(g)20.040.060.080.0100.0120.0T(s)0.44900.58050.68380.77500.85550.9305T.2(S2)0.20160.33700.46760.60060.73190.8658表四： 測量彈簧振子質(zhì)量m與周期T的關(guān)系彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k=5.929N/m假設(shè)：m=a+bT (6)11m=a+bT2 (7)22將上表中的數(shù)據(jù)輸入計(jì)算器,可得：a=11.839(g),b=59.166(g/s)

11a=-10.59(g),b=150.90(g/s2)22需要說明的是方程(7)中的T2相當(dāng)于方程(1)中的x,r=0.99451,r=0.999992。從數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果上看,我們有以下兩點(diǎn)分析：其一，方程（6）的相關(guān)系數(shù)也是比較高的，為r=0.9945,1但還是低于方程（7）的相關(guān)系Im+m數(shù)r2=0?99999。究其原因，是我們所測數(shù)據(jù)處于T=2氣丁拋物線的一小段，而該段曲線的彎曲不大所致，其二，我們所得到的回歸方程為：m=-10.59+150.90T2 （8）e 4兀2=-m+150.18T2 (9)e具有完全相同的形式，對比方程（8）和（9）的對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可得：有效質(zhì)量m=10.59（g），這為我e們測量彈簧振子的有效質(zhì)量提供了一種方法，與作圖法相比較，在有計(jì)算器的條件下，這種方法就簡單多了，而且準(zhǔn)確唯一。四、周期公式的進(jìn)一步驗(yàn)證作為一個(gè)設(shè)計(jì)性的實(shí)驗(yàn)，通過上面的分析，我們認(rèn)為回歸方程與理論方程是比較吻合的，但如果據(jù)此認(rèn)為我們已從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)找到了周期公式，似乎有點(diǎn)難以使人信服，因?yàn)門與k的關(guān)系我們并未測量，所以有必要研究一下T與k的關(guān)系。是否可以測出一組T,k的數(shù)據(jù)，通過回歸分析的方法來檢測一下T與kiiT2的關(guān)系呢？答案是否定的，究其原因是彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k改變，相應(yīng)的m也跟著變，方程：T2 （10）中的T2與1不是線性關(guān)系，這就是為什么我們查閱了許多的實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書，沒有一本談及如何驗(yàn)證T2?k1關(guān)系的原因。下面我們試圖分析一下如何通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證周期公式中T與k的關(guān)系。將周期公式平方后kT2T2k4n （11）我們是通過驗(yàn)證方程（11）來驗(yàn)證T與k的關(guān)系的。具體方法是通過彈簧串聯(lián)的方式獲取不同的k值，同時(shí)測出相應(yīng)的T和m,數(shù)據(jù)填入下表。e表五： 驗(yàn)證周期公式中彈簧振子倔強(qiáng)系數(shù)k與周期T的關(guān)系序數(shù)i123456k(N/m)5.9293.9142.9042.3221.9601.672m(g)10.5916.2221.8027.7433.4640.74T1(s)0.68380.87431.04381.20931.35551.5070T2ki i4n2(g)70.2275.7980.1486.0291.2296.19m+m(g)70.5976.2281.8087.7493.46100.74對比上表中第4行和第5行的數(shù)據(jù)，可見上下兩行數(shù)據(jù)是比較接近的，這說明方程（11）與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是相符的。同時(shí)我們也注意到，隨著彈簧串聯(lián)個(gè)數(shù)的增加，k值的減小，第三行數(shù)據(jù)與第四行數(shù)據(jù)的差值是在增大的，究其原因，主要是彈簧串聯(lián)過長，使得m和k的測量值的誤差過大所致。e通過上面的分析，首先我們覺得實(shí)驗(yàn)中有許多的實(shí)驗(yàn)方法和數(shù)據(jù)處理方法有待我們進(jìn)一步去歸納和總結(jié)，這將是一件非常有意義的工作。其次，實(shí)驗(yàn)與理論相比