第二節(jié)行列式的基本性質(zhì)與計(jì)算

第二節(jié)行列式的基本性質(zhì)與計(jì)算第一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一定義3

設(shè)

一、行列式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1.

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即

第二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一因?yàn)樾再|(zhì)2.

互換兩行(列),行列式改變符號.

注：由性質(zhì)1可知,行列式中行與列具有同等地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的,對列也成立,反之亦然.所以第三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一注:

換行:換列:即例如:第四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一又如:

推論1.

若行列式中某一行(列)的所有元素均為零,則

證明:當(dāng)?shù)谝恍性厝珵?時(shí),即由行列式定義知D=0;第五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一若第i

行(i＞1)的元素全為0,即(第i行)=0.證畢.第六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一推論2.

若行列式D中有兩行(列)完全相同,則D=0.證明:將相同的兩行互換,有

性質(zhì)3.

若行列式中某行(列)的所有元素是兩個(gè)數(shù)的和,則D可表示成兩個(gè)新行列式之和.即

第七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一第八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一證明:當(dāng)i=1時(shí)，由行列式的定義知第九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)i>1時(shí)，把第i行與第一行互換，再按上面的方法把行列式拆成兩個(gè)行列式之和，然后再把這兩個(gè)行列式的第i行與第一行互換即可．第十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.即證:當(dāng)i=1時(shí)，由行列式的定義知第十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)i>1時(shí)，把第i行與第一行互換，根據(jù)上面的結(jié)論，可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互換第一行和第i行，即得該命題．第十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一(第j行)推論20.(第i行)也就是

推論3.

若行列式D

中有某兩行(列)對應(yīng)元素成比例,則D=0.第十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一

性質(zhì)5

把行列式中某一行(列)的各元素乘以常數(shù)k后加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去,行列式保持不變,即第十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一又注意:

注:

利用上述性質(zhì)和推論可以簡化行列式的運(yùn)算,即可把行列式化成上三角(或下三角)行列式來計(jì)算.第十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一例1.計(jì)算解:D第十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一第十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一例2.計(jì)算解:從第四行開始,后行減去前行,得第十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一第十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一例3.

計(jì)算n

階行列式

解:此行列式的特點(diǎn)是各行n個(gè)數(shù)之和均為a+(n-1)b,故把第二列至第n列都加到第一列上去:第二十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一第二十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一解法二(鑲邊法)當(dāng)a,b相等時(shí)，行列式為0,當(dāng)a,b不等時(shí)第二十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一第二十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一例：計(jì)算解：第二十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一第二十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一第二十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一

引理一個(gè)n階行列式，如果其中第i行(或第j列)所有元素除外都為零，那末此行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即二、行列式按任一行(列)展開

根據(jù)行列式的定義和性質(zhì)1,我們知道行列式等于它的第一行(列)的各元素與它們對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.

事實(shí)上可以證明更一般的結(jié)論.為此先證明以下引理.例如第二十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一也就是:若則第二十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一(1).當(dāng)位于第一行第一列的情形,即證明:

先證由定義,按第一行展開得(2).再證一般情形(第i行除外,其它元素全為零),此時(shí)第二十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一得第三十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一其中得第三十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一第三十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一于是證畢.

定理一.行列式等于它的任一行(列)的各元素與它們對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即行列式按行（列）展開法或

證明:把行列式D的第i行的每個(gè)元素按下面的方式拆成n個(gè)數(shù)的和,再根據(jù)性質(zhì)3,可將D

表示成n個(gè)行列式之和:第三十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一引理第三十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一證畢.同理,若按列證明,可得

推論.

行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證明:

不妨設(shè)i＜j,考慮輔助行列式第三十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一←第i行←第j行其中第i行與第j行對應(yīng)元素相同,又將按第j行展開,有于是得第三十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一上述證法按列進(jìn)行,同理可得證畢.小結(jié):關(guān)于代數(shù)余子式的性質(zhì)有:(1).(2).或簡寫成:第三十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一例1.利用定理一計(jì)算前面的例1解:D第三十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一第三十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一例2.計(jì)算0000解:按第一行展開,有第四十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一第四十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一遞推公式第四十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一例3.證明范德蒙(Vandermonde)行列式說明:第四十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一下面我們來證明范德蒙(Vandermonde)行列式.證明:用數(shù)學(xué)歸納法.因?yàn)榈谒氖捻?，共五十一頁，編輯?023年，星期一第四十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一按歸納法假設(shè),有故第四十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一常見的行列式計(jì)算法1.用定義2.化為三角行列式3.每行(列)元素之和為同一常數(shù)4.奇數(shù)階的反對稱行列式為零(n為