2022-2023學(xué)年廣東省佛山市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題1【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省佛山市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若前項(xiàng)和為的等差數(shù)列滿足，則（

）A．46 B．48 C．50 D．52【答案】C【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)化簡(jiǎn)條件求，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可求，由此可得結(jié)論.【詳解】由，有，根據(jù)等差數(shù)量性質(zhì)可知，所以，故，所以，所以.故選：C.2．在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05，若發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的，則接受信號(hào)為1的概率為（

）A．0.475 B．0.525 C．0.425 D．0.575【答案】B【分析】運(yùn)用全概率公式及對(duì)立事件概率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)A=“發(fā)送的信號(hào)為0”，B=“接收到的信號(hào)為0”，則=“發(fā)送的信號(hào)為1”，=“接收到的信號(hào)為1”，所以，，，，，，所以接收信號(hào)為0的概率為：，所以接收信號(hào)為1的概率為：.故選：B.3．在等比數(shù)列中，如果，，那么（

）A．72 B．81 C．36 D．54【答案】D【分析】依題意設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，最后根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，所以；故選：D4．將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.5．某社區(qū)活動(dòng)需要連續(xù)六天有志愿者參加服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，計(jì)劃依次安排到該社區(qū)參加服務(wù)，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（

）A．72種 B．81種 C．144種 D．192種【答案】D【分析】先計(jì)算乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)的排法，排除乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務(wù)的排法，即可得出答案.【詳解】解：若乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為，若乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為，由間接法可知，滿足條件的排法種數(shù)為種.故選：D.6．若函數(shù)在是增函數(shù)，則a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由條件知在上恒成立，即在上恒成立．∵函數(shù)在上為減函數(shù)，∴,∴．故選D．【解析】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．7．已知，則（

）A． B．1 C． D．0【答案】A【分析】首先利用換元，轉(zhuǎn)化為，再去絕對(duì)值后，賦值求和.【詳解】令，可得，則，二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，則且．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因此，．故選：A．8．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故二、多選題9．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，再結(jié)合通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式逐項(xiàng)辨析即可.【詳解】方法一：∵等差數(shù)列滿足，，∴由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式有，解得，∴，，對(duì)于A，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，，當(dāng)取與最接近的整數(shù)即或時(shí)，最大，∴，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.方法二：∵等差數(shù)列滿足，∴，∴對(duì)于A，，∴，故A正確；對(duì)于B，，，，∴，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.10．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，下列結(jié)論正確的是（

）A．是函數(shù)的極值點(diǎn)B．是函數(shù)的極值點(diǎn)C．在處取得極大值D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的極值的定義和判斷方法，通過圖像，可判斷出選項(xiàng)ABC的正誤；再通過函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷出選項(xiàng)D的正誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由圖像可知，在的左側(cè)，在的右側(cè)，所以由函數(shù)的極值的判斷方法可知，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由圖像可知，在的左側(cè)，在的右側(cè)，所以由函數(shù)的極值的判斷方法可知，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，根據(jù)圖像和極值的定義可知，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由圖像可知，在區(qū)間上，恒有，且僅在處取到等號(hào)，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.11．在的展開式中，下列結(jié)論正確的是（

）A．第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等 B．奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256C．常數(shù)項(xiàng)為84 D．有理項(xiàng)有2項(xiàng)【答案】BC【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的特征，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】的展開式中共有10項(xiàng)，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得展開式中的第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，故A錯(cuò)誤；由已知可得二項(xiàng)式系數(shù)之和為，且展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，所以奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B正確；展開式的通項(xiàng)為，令，解得．故常數(shù)項(xiàng)為，故C正確；有理項(xiàng)中x的指數(shù)為整數(shù)，故，2，4，6，8，故有理項(xiàng)有5項(xiàng)，故D錯(cuò)誤．故選：BC12．已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，看出與互為反函數(shù)，確定也關(guān)于對(duì)稱，求出，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，，，A選項(xiàng)，利用基本不等式進(jìn)行證明；B選項(xiàng)，得到，，，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而求出；C選項(xiàng)，由基本不等式得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，得到；D選項(xiàng)，先根據(jù)得到，再用作差法比較大小.【詳解】與互為反函數(shù)，即兩函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，而與垂直，故也關(guān)于對(duì)稱，聯(lián)立，解得：，故，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，即，且，不妨設(shè)，，畫出圖象如下：A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又，故等號(hào)取不到，A正確；因?yàn)?，所以，所以，因此，故，又為與的交點(diǎn)，故，所以，令，，其中在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，B正確；因?yàn)椋?，所以，因此有，設(shè)，，因?yàn)?，所以，因此在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有，即，因此，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，即，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)：①反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域與定義域；②嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)存在反函數(shù)，但有反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調(diào)的（比如反比例函數(shù)）；③互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，④奇函數(shù)不一定有反函數(shù)，若有反函數(shù)，則反函數(shù)也時(shí)奇函數(shù)；⑤如果一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)一定存在反函數(shù)，并且其反函數(shù)就是它本身.三、填空題13．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，若，，則__________．【答案】或【分析】根據(jù)已知條件，由首項(xiàng)和公比列方程組求解．【詳解】等比數(shù)列的公比為，若，，則，則有，①，②②-①，化簡(jiǎn)可得：，解得或故答案為：或14．函數(shù)的圖象在處的切線方程為______.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】∵，∴，，∴函數(shù)在處的切線方程為.故答案為：.15．某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有_________種．【答案】1320【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計(jì)數(shù)原理及排列、組合列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，當(dāng)甲和乙都不去時(shí)，選派方案有種，當(dāng)甲和乙之一去時(shí)，選派方案有種，所以不同的選派方案共有.故答案為：132016．已知a，，若，，是函數(shù)的零點(diǎn)，且，，則的最小值是__________．【答案】【分析】由三次方程的韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，將表示為函數(shù)【詳解】即，可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)①若，此時(shí)，由對(duì)稱性可知，不合題意②若，此時(shí)，由題意得對(duì)于方程故解得故令，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故的最小值為故答案為：四、解答題17．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在上的值域.【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；(2).【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系結(jié)合條件即得.【詳解】（1）因?yàn)椋?，由，可得或，，的變化情況如下：2+00+遞增遞減遞增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，又，，，，所以在上的值域?yàn)?18．公差不為0的等差數(shù)列，滿足成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）設(shè)的公差為d，由題意列出關(guān)于的兩個(gè)方程，求出，從而可求出通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法即得.【詳解】（1）設(shè)的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，則，又，解得，，故；（2）由（1）知，則，，所以，所以．19．已知數(shù)列中，，且.(1)求，，并證明是等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式；(3)數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，，證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）利用賦值法即可求得，，利用等比數(shù)列定義即可證得是等比數(shù)列；（2）先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式；（3）利用分組求和法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由，得，，，∴，又，∴是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，∴.（3）數(shù)列的前項(xiàng)和20．袋中裝有4個(gè)大小相同的小球，編號(hào)為，現(xiàn)從袋中有放回地取球2次.(1)求2次都取得3號(hào)球的概率；(2)記這兩次取得球的號(hào)碼的最大值為，求的分布列.【答案】(1)(2)分布列見解析【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可求得答案；（2）確定X的取值，求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可求得分布列.【詳解】（1）由題意從袋中有放回地取球2次，每次取到3號(hào)球概率為，故2次都取得3號(hào)球的概率.（2）隨機(jī)變量的取值為，則，，，所以的分布列為：123421．已知數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用遞推關(guān)系分類討論與兩種情況，注意檢驗(yàn)，易得；（2）利用裂項(xiàng)求和法易得，再由可推得.【詳解】（1）由已知可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減可得，則，經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，所以；（2）由（1）得，則，因?yàn)?，則，故，則，故，所以，即，得證.22．已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）將導(dǎo)數(shù)化為求其零點(diǎn)并討論零點(diǎn)的大小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求解.（2）結(jié)合第（1）問的結(jié)果，利用函數(shù)的單調(diào)性、極值的符號(hào)