第十七變分法

第十七變分法第一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

如果某個(gè)定解問題不能嚴(yán)格解出，但另一個(gè)與它差別甚微的定解問題能嚴(yán)格解出，那么就可以運(yùn)用微擾法求近似解．量子力學(xué)教科書中一般都要介紹微擾法，限于篇幅，本書就不再重復(fù)介紹．近似解法涉及：變分法，有限差分法和模擬法等．

變分法是研究求解泛函極值（極大或極?。┑姆椒?，變分問題即是求泛函的極值問題．把定解問題轉(zhuǎn)化為變分問題，再求變分問題的解．第二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一變分法的優(yōu)點(diǎn):

(2)

變分法易于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一化．因?yàn)橐话愣裕瑪?shù)學(xué)物理方程的定解問題都可以轉(zhuǎn)化為變分問題．尤其是前面介紹的斯特姆－劉維爾本征值問題可轉(zhuǎn)化為變分問題，變分法提供了施－劉型本征值問題的本征函數(shù)系的完備性等結(jié)論的證明；(1)變分法在物理上可以歸納定律．因?yàn)閹缀跛械淖匀欢啥寄苡米兎衷淼男问接枰员磉_(dá)；第三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一(3)

變分法是解數(shù)學(xué)物理定解問題常用的近似方法，其基本思想是把數(shù)學(xué)物理定解問題轉(zhuǎn)化為變分問題由直接解變分問題發(fā)展了一些近似解法，其中最有用的是里茨（Ritz）法．由于里茨法中的試探函數(shù)的選取較為麻煩，計(jì)算系數(shù)矩陣也十分困難，隨著計(jì)算機(jī)的展，又迅速發(fā)展了一種有限元法；

(4)

變分法的應(yīng)用不僅在經(jīng)典物理和工程技術(shù)域，而且在現(xiàn)代量子場(chǎng)論，現(xiàn)代控制理論和現(xiàn)代信息理論等高技術(shù)領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用．第四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一有限差分法：有限差分法把定解問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，然后通過電子計(jì)算機(jī)求定解問題的數(shù)值解．模擬法：即用一定的物理模型來模擬所研究的定解問題，而在模型上實(shí)測(cè)解的數(shù)值．

變分法是這些方法中最為重要和切實(shí)有效的方法，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究和工程計(jì)算之中，限于篇幅故本書主要詳細(xì)介紹經(jīng)典變分法的基本概念和理論．第五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一17.1變分法的基本概念定義17.1.1變分法變分問題

變分法就是求泛函極值的方法．變分問題即是求泛函的極值問題．17.1.1泛函

變分法研究的對(duì)象是泛函，泛函是函數(shù)概念的推廣．為了說明泛函概念先看一個(gè)例題：第六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

考慮著名的最速降線落徑問題。如圖17.1所示，已知A和B為不在同一鉛垂線和不同高度的兩點(diǎn)，要求找出A、B間的這樣一條曲線，當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿這條曲線無摩擦地從A滑到B時(shí)，所需的時(shí)間T最?。畧D17.1第七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一我們知道，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度是

因此從A滑到B所需的時(shí)間為即為（17.1.1）第八頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一式中代表對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)．我們稱上述的為的泛函，而稱為可取的函數(shù)類，為泛函的定義域。簡(jiǎn)單地說，泛函就是函數(shù)的函數(shù)（不是復(fù)合函數(shù)的那種含義）．一般來說，設(shè)C是函數(shù)的集合，B是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的集合，如果對(duì)于C的任一元素在B中都有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，

第九頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一則稱為的泛函，記為必須注意，泛函不同于通常講的函數(shù)．決定通常函數(shù)值的因素是自變量的取值，而決定泛函的值的因素則是函數(shù)的取形．如上面例子中的泛函T的變化是由函數(shù)本身的變化（即從A到B的不同曲線）值，也不取決所引起的．它的值既不取決于某一個(gè)第十頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一于某一個(gè)值，而是取決于整個(gè)集合C中與的函數(shù)關(guān)系．定義17.1.2泛函泛函的核

泛函通常以積分形式出現(xiàn)，比如上面描述的最速降線落徑問題的式（17.1.1）．更為一般而又典型的泛函定義為

(17.1.2)第十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一其中稱為泛函的核．17.1.2泛函的極值――變分法對(duì)于不同的自變量函數(shù)，與此相應(yīng)的泛函也有不同的數(shù)值．找出一個(gè)確定的自變量函數(shù)，使泛函

具有極值（極小或極大），這種泛函的極小值與極大值統(tǒng)稱為泛函的極值．第十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一引入泛函的概念后，對(duì)于上述的最速降線落徑問題變?yōu)榉汉臉O小值問題．物理學(xué)中常見的有光學(xué)中的費(fèi)馬(Fermat)原理，分析力學(xué)中的哈密頓(Hamiton)原理等，都是泛函的極值問題．定義17.1.3變分法：所謂的變分法就是求泛函極值的方法．研究泛函極值問題的方法可以歸為兩類：一類叫直接法，

第十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一即直接分析所提出的問題；另一類叫間接法，即把問題轉(zhuǎn)化為求解微分方程．為討論間接方法，先介紹變分和泛函的變分．17.1.3變分

定義17.1.4變分

如果我們將泛函取極值時(shí)的函數(shù)（或函數(shù)曲線）定義為并定義與函數(shù)曲線鄰近的曲線（或略為變形的第十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一曲線）作為比較曲線，記為其中是一個(gè)小參數(shù)；是一個(gè)具有二階導(dǎo)數(shù)的任意選定函數(shù)，規(guī)定它在一個(gè)小范圍內(nèi)變化，這限制主要保證泛函在極值處連續(xù)．在研究泛函極值時(shí)，通常將固定，而令變化，這樣規(guī)定的好處在于：建立了由參數(shù)第十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一到泛函值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此泛函就成為了參數(shù)的普通函數(shù)．原來泛函的極值問題就成為普通函數(shù)對(duì)的求極值的問題．同時(shí)，函數(shù)曲線的變分定義為(17.1.3)因此可得(17.1.4)第十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一這里代表對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)．

所以(17.1.5)即變分和微分可以交換次序．

17.1.4泛函的變分定義17.1.5泛函的變分泛函的增量變分問題泛函的變分定義為第十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

(17.1.6)在極值曲線附近，泛函

的增量，定義為(17.1.7)依照上述約定，當(dāng)時(shí)，泛函增量的線性主要部分定義為泛函的變分，記為第十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

(17.1.8)

在求一元或多元函數(shù)的極值時(shí)，微分起了很大的作用；同樣在研究泛函極值問題時(shí)，變分起著類似微分的作用．因此，通常稱泛函極值問題為變分問題；稱求泛函極值的方法為變分法．例17.1.1計(jì)算泛函的變分第十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一【解】

注意：最后一步利用了一般在邊界上函數(shù)變分為零的事實(shí)，即第二十頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一19．2泛函的極值

泛函的極值問題，一般來說是比較復(fù)雜的．因?yàn)樗c泛函包含的自變量個(gè)數(shù)，未知函數(shù)的個(gè)數(shù)以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)等相關(guān)．另外，在求泛函極值時(shí)，有的還要加約束條件，且約束條件的類型也有不同，等等．下面我們首先討論泛函的極值的必要條件．第二十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一17.2.1泛函的極值的必要條件――歐拉－拉格朗日方程

設(shè)的極值問題有解（17.2.1）

現(xiàn)在推導(dǎo)這個(gè)解所滿足的常微分方程，這是用間接法研究泛函極值問題的重要一環(huán)．設(shè)想這個(gè)解有變分則可視為參數(shù)的函數(shù)而當(dāng)時(shí)，第二十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)應(yīng)于式(17.2.1),即為取極值．于是原來的泛函極值問題，就化為一個(gè)求普通函數(shù)的極值問題．由函數(shù)取極值的必要條件，有即有（17.2.2）第二十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

1.泛函表示為一個(gè)自變量，一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分形式泛函表示為一個(gè)自變量，一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分形式，即（17.1.2）若考慮兩端固定邊界的泛函問題：積分是在區(qū)域內(nèi)通過兩點(diǎn)的任意曲線進(jìn)行的，其中第二十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一泛函中為由于兩端固定，所以要求，即．由(17.1.8)，有（17.2.3）第二十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一式(17.2.3)的積分號(hào)下既有，又有，對(duì)第二項(xiàng)應(yīng)用分部積分法可使積分號(hào)下出現(xiàn)(17.2.4)根據(jù)（17.2.2）,所以

,再根據(jù)（17.2.4）故有（17.2.5）第二十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一因?yàn)椴⑶沂侨我獾?，所?/p>

(17.2.6)

上式(17.2.6)稱為歐拉（Euler）－拉格朗日（Lagrange）方程，簡(jiǎn)稱為E-L方程．此即泛函取極值的必要條件．即泛函的極值函數(shù)必須是滿足泛函的變分的函數(shù)類．因此，第二十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一把泛函的極值問題稱為變分問題．

注明：E-L方程是泛函取極值的必要條件，而不是充分條件．如果討論充分條件，則要計(jì)算二階變分，并考慮其正、負(fù)值,但對(duì)于實(shí)際問題中，當(dāng)泛函具有明確的物理涵義，極值的存在性往往間接地在問題的提法中就可以肯定，所以極值的存在性是不成問題的，只要解出E-L方程，就可以得到泛函的極值．E-L方程除了上面給出的形式(17.2.6)之外，另外還有四種特殊情況：第二十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一(1)不顯含且因?yàn)槿鬍-L方程等價(jià)于

（17.2.7）第二十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一(2)不依賴于且則E-L方程化為（17.2.8）(3)不依賴于且則E-L方程化為（17.2.9）第三十頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一由此可見僅為的函數(shù)．(4)關(guān)于是線性的：則E-L方程化為（17.2.10）

對(duì)于含有一個(gè)自變量，多個(gè)變量函數(shù)，以及有較高階變量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的泛函，類似上面的推導(dǎo)可得如下結(jié)論：第三十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.泛函表示為多個(gè)函數(shù)的積分形式則與此泛函極值問題相應(yīng)的E-L方程為（17.2.11）第三十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.泛函的積分形式中含有高階導(dǎo)數(shù)與此泛函極值問題相應(yīng)的E-L方程為第三十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一（17.2.12）4.泛函的積分形式中含有多元函數(shù)設(shè)為的二元函數(shù)，則第三十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一與此泛函極值問題相應(yīng)的E-L方程為（17.2.13）例17.2.1試求解最速降線落徑問題，即變分問題【解】目前，我們只能用間接方法來求解，由于第三十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一不顯含，故其E-L方程為（17.2.7）式令，故有第三十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一令，分離變量得到再令，代入上式得到即得到第三十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一此即為擺線的參數(shù)方程，積分常數(shù)可由初始位置（圖17.1的A,B兩點(diǎn)）決定．19.2.2泛函的條件極值問題

在許多泛函的極值問題中，變量函數(shù)還受到一些附加條件的限制，其中最常見和重要的一種是以積分形式表示的限制條件（17.2.14）第三十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一即所謂的等周問題：

(17.2.15)（注：這種問題之所以稱為等周問題，是因?yàn)樵跉v史上起源于求一條通過兩點(diǎn)，長(zhǎng)度固定為l的曲線使面積取極大值）第三十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一其中為常數(shù)．此類問題可以仿照普通函數(shù)的條件極值問題的拉格朗日乘子法．即將附加條件(17.2.14)乘以參數(shù)，求其變分后，加到泛函取極值的必要條件中得到于是問題轉(zhuǎn)化為不帶條件的由上式所表示的變分問題．

其對(duì)應(yīng)的E-L方程為第四十頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一這是通過和兩點(diǎn)的之下使泛函取極值的必要條件．它實(shí)際上是一個(gè)關(guān)于在附加條件（17.2.14）的二階常微分方程．其通解中含有三個(gè)參數(shù)，即和兩個(gè)積分常數(shù)．它們可由條件（17.2.14）來確定.和附加條件第四十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

例17.2.2

求的極值，其中是歸一化的，即，且已知【解】本題是求泛函的條件極值問題，可化為變分問題對(duì)應(yīng)的E-L方程為其通解為第四十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一代入附加條件得到代入歸一化條件得到于是得到，故原極值問題的解為而題中要求的泛函的極值為第四十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一當(dāng)時(shí)，極值函數(shù)使得泛函數(shù)取得最小值例17.2.3

求泛函在條件下的極值曲線.【解】

此時(shí)

,則偏導(dǎo)數(shù)第四十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一.對(duì)應(yīng)的Euler方程為其通解為,代入邊界條件可得,所以極值曲線為

第四十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一17.3泛函極值問題的典型應(yīng)用泛函極值問題的求解,通常有兩種結(jié)果：（i）解析解

由變分法得到的E-L方程求解，一般來說，是很困難的．但在分析力學(xué)中往往還是采用這一辦法來求解．因?yàn)闅v史悠久，它自有一套辦法．第四十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一（ii）近似解

所謂近似解即由泛函本身出發(fā)，而不需求解E-L方程，直接求得所需要的解——極值曲線因此，常常稱它為研究泛函極值問題的直接法．

下面我們以一個(gè)典型的實(shí)例來描述泛函的極值問題在數(shù)學(xué)物理問題中的應(yīng)用.第四十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一