第4講-利用軸對稱破解最短路徑問題

第4講一利用軸對稱破解最短路徑問題第一章平移、對稱與旋轉(zhuǎn)第4講利用軸對稱破解最短路徑問題一、學(xué)習(xí)目標(biāo).理解“直線上同一側(cè)兩點與此直線上一動點距離和最小”問題通過軸對稱的性質(zhì)與作圖轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題求解。.能將實際問題或幾何問題（對稱背景圖）中有關(guān)最短路徑（線段之差最大值）問題借助軸對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間，線段最短問題分析與求解。二、基礎(chǔ)知識?輕松學(xué)與軸對稱有關(guān)的最短路徑問題關(guān)于最短距離，我們有下面幾個相應(yīng)的結(jié)論：（1）在連接兩點的所有線中，線段最短（兩點之間，線段最短）；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3）在三角形中，大角對大邊，小角對小邊。（4）垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；【精講】一般說來，線段和最短的問題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用“兩點之間線段最短”或者“三角形兩邊之和大于第三邊”加以證明，關(guān)鍵是找相關(guān)點關(guān)于直線的對稱點實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”。另外，在平移線段的時候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。（判定：如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等。）三、重難疑點?輕松破最短路徑問題在平面圖形中要解決最短路徑問題，自然離不開構(gòu)建與轉(zhuǎn)化“兩點之間，線段最短”的數(shù)學(xué)公理，通常將涉及到的兩點中的任一點作出關(guān)于直線的對稱點，從而運用兩點之間，線段最短解決實際問題．在日常生活、工作中，經(jīng)常會遇到

有關(guān)行程路線的問題?！白疃搪窂絾栴}”的原型來自于“飲馬問題”、“造橋選址問題”，出題通常以直線、角、等腰(邊)三角形、長方形、正方形、坐標(biāo)軸等對稱圖形為背景。(1)“一線同側(cè)兩點”問題例1如圖，點A、B在直線m的同側(cè)，點B‘是點B關(guān)于m的對稱點，AB′交m于點P.(1)AB,與AP+PB相等嗎？為什么？(2)在m上再取一點N,并連接AN與NB,比較AN+NB與AP+PB的大小，并說明理由.TOC\o"1-5"\h\z解析：(1)???點B，是點B 關(guān)于m的對稱點， .PB=PBz，ABz- 4廠R’=AP+PB',???AB/=AP+PB.(2)如圖：連接AN,BN,B'N,???AB/=AP+PB.(2)如圖：連接AN,BN,B'N,???AB，=AP+PB,???AN+NB=AN+NB/>AB‘,?AN+NB>AP+PB.點評：兩條線段之和最短，往往利用對稱的思想，把兩條線段的和變?yōu)橐粭lB線段來研究，利用兩點之間的線 ? *段最短得出結(jié)果。這類題主考實 郎際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，關(guān)鍵是利用軸對稱、“兩點之間，線段最短”及三角形三邊的關(guān)系等．變式1需要在高速公路旁邊修建一個飛機場，使飛機場到A,B兩個城市的距離之和最小，請作出機場的位置．（2）“兩點兩線（平行）”問題例2如圖所示,在一條河的兩岸有兩個村莊，現(xiàn)要在河上建一座小橋，橋的方向與河流垂直，設(shè)河的寬度不變，試’問：橋架在何處，才能使從A到B的””距離最短？ ；解析：雖然A、B兩點在河兩側(cè)，但連接AB的線段不垂直于河岸.關(guān)鍵在于使AP+BD最短，但AP與BD未連起來，要用線段公理就要想辦法

使P與D重合起來，利用平行四邊形的特征可以實現(xiàn)這一目的．如圖，作BB'垂直于河岸GH,使BB'等于河寬，連接AB',與河岸EF相交于P,作PDLGH,則PD〃BB'且PD=BB',于是PDBB'為平行四邊形，故PD=BB'.根據(jù)“兩點之間線段最短”，AB'最短，即AP+BD最短.故橋建立在PD處符合題意.點評：此題考查了軸對稱——最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”，解決“造橋選址”的簡單的實際問題．但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點之間線段最短的問題．此類題往往需要利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進行轉(zhuǎn)化，以后還會學(xué)習(xí)一些線段轉(zhuǎn)化的方法．變式2如圖，兩個村莊A /和B被一條河隔開，現(xiàn)要在河上 ——架設(shè)一座橋CD.請你為兩村設(shè)計 橋址，使由A村到B村的距離最?。俣▋珊影秏、n是平行的，且橋要與河垂直）.要求寫出作法，并說明理由．（3）“一點兩線（相交）”解決周長最短問題例3：如圖所示，NABC內(nèi)有，一點P,在BA、BC邊上各取一點P1、P2,使APP1P2的周長最?。馕觯阂罁?jù)兩點之間線段最短，可分別作點P關(guān)于AB, 1/AC的對稱點，如圖，以BC為對稱軸作P的對稱點M,一yc以BA為對稱軸作出P的對飛稱點N,連MN交BA、BC于點P、P???△PP1P2為所求作三角形.2點評：解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化“直線上同一側(cè)兩點與此直線上一動點距離和最小”問題（將軍飲馬問題），其核心是化折為直（兩點之間線段最短）的思想，轉(zhuǎn)化技巧是能夠運用軸對稱性質(zhì)及作圖求解問題變式3城關(guān)中學(xué)八（2）班舉，行文藝晚會，桌子擺成兩直條（如圖中的AO,BO）,AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C處，請你在下圖幫助他設(shè)計一條行走路線,使其所走的總路程最短？（4）“一線異側(cè)兩點”“差最大”問題例4在定直線XY異側(cè)有兩點A、B,在直線XY上求作一點P,使PA與PB之差的絕對值L——；最大.解析：作法：作點B關(guān)于直線XY的對稱點B’,作直線AB′交XY于P點，則點P為所求點（如圖）；若 5B，A〃XY（即B，、A到直線XYp一.：；"]的距離相等），則點p不存在. -：證明：連接BP,在XY上任Z&*意取點P’,連接P'A、P‘B,則PB=PB,,P'B=P’B,因為|P'B-P'A|=|P‘B'-P‘A<AB'=|P‘B-PA|=|PB-PA|,所以，此時點P使|PA-PB|最大.點評：本題考查的是最短線路問題，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出圖形，再由兩點之間線段最短的知識求解．變式4.如圖，在4ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AB于N,交AC于M,連接人MB,若AB=8cm,ZXMBC的周長是14cm,(1)求BC的長 ' '(2)在直線MN上是否存在點P,使IPA-CPI的值最大，若存在，畫出點P的位置，并求最大值，若不存在，說明理由。(5)“兩點一線＋線段”例5直線L的同側(cè)有兩點A、B,在直線L上求兩點C、D,使得AC、CD、If/，CD的長為定值a,點D在點C的“：。口hI作法：①將點A向右平移a \：%②作點B關(guān)于直線L的對利.… ”1③連結(jié)A1B1交直線L于點D④過點人作人合人1口交直線L于點C,連結(jié)BD，

變式5長方形OACB,OA=3,OB=4,D為邊OB的中點.(1)若E為邊OA上的一個動點，當(dāng)4CDE的周長最小時，畫出點E的位置；(2)若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2,當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，畫出點E、F的位置；(6)臺球擊點問題例6如圖，在臺球桌面.上，有白和黑兩球分別位于M,N兩" “點處，問：怎樣撞擊白王^拉，使白球先撞擊臺邊笈。反彈后再去擊中黑球N？解析:作N關(guān)于8C的對稱點N',連接拉N咬8C于點連接EN.按ME方向撞擊白球拉，白球拉反彈后必沿EN方向擊中黑球N.點評：要使白球M撞擊臺邊BC反彈后再去擊中黑球N,必須使NMEB=ZNEC由軸對稱還可得，NN'EC=NNEC.又對頂角NMEB=NN'EC,故可得到NMEB=NNEC.本題重在考查軸對稱的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵注意對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等．變式6如圖，甲乙丙丁四人做接力游戲．開始時，甲站在長方形操場ABCDB p內(nèi)部的E點處，丙在BC的中點*G處，乙，丁分別站在AB、CD， 。邊上．游戲規(guī)則是，甲將接力棒傳給乙，乙傳給丙，丙傳給丁，最后丁跑回傳給甲．如果他們四人的速度相同，試找出乙，丁站在何處，他們的比賽用時最短？（請畫出路線，并保留作圖痕跡，作法不用寫）四、課時作業(yè)?輕松練A.基礎(chǔ)題組.如圖，直線l是一條河，P,Q是兩個村莊.欲在L上的某處修建一個水泵站，向P,Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道,則所需管道最短的是（）D、’D、’A、??/zB、71C、，b.已知，如圖4ABC為等邊三角形，高PD+PB的最小值為cm．AH=10cm,P為AH上一動點，D為AB的中點，則PD+PB的最小值為cm．第3題.如圖，MN是正方形ABCD的一條對稱軸，點P是直線MN上的一個動點，當(dāng)PC+PD最小時，°．ZPCD=°．ZAOB小于.為慶祝60年國慶圣典，陽光中學(xué)八年級（2）班舉行一次文藝晚會，桌子擺成兩真線（如圖：AO，OB）AO桌子上擺滿蘋果，BO桌子上擺滿桔子，坐在C處的小華想先拿蘋果再拿桔子，然后回到座位C處，90度，請你幫助他設(shè)計一條行走路線，使小華所走路程最短．請作出路線圖，并用字母表示所走路線．（保留作圖痕跡，不寫作法、不必說明理由）ZAOB小于B.中檔題組.如圖，山娃星期天從A處趕了幾只羊到草地11放羊，然后趕羊到小河12飲水，之后再回到B處的家，假設(shè)山娃趕羊走的都是直路，請你為它設(shè)計一條最短的路線，標(biāo)明放羊與飲水的位置．.如圖，一牧民從A點出發(fā)，到草地出發(fā)，到草地MN去喂馬，“二 '該牧民在傍晚回到營帳B之前先一?。帶馬去小河邊PQ給馬飲水（MN、PQ均為直線），試問牧民應(yīng)走怎樣的路線，才能使整個路程最短？（簡要說明作圖步驟，并在圖上畫出）C.挑戰(zhàn)題組.如圖，荊州古城河在CC'C處直角轉(zhuǎn)彎，河寬均為5米，從 除三室A處到達B處，須經(jīng)兩座橋:DD'， |EE，（橋?qū)挷挥嫞?，設(shè)護城河以b.邕及兩座橋都是東西、南北方向的，A、B在東西方向上相距65米，南北方向上相距85米，如何架橋可使到A到B的路程最短，畫出路程圖五、我的錯題本參考答案變式練習(xí) ..變式1解：利用軸對稱圖形的性_1,二質(zhì)可作點A關(guān)于公路的對稱點A，，連4接A’B,與公路的交點就是點P的位置.變式2解：如圖，過點B作BC^n,且使BC等于河寬，連接AC交直線m與M,作MN〃BC即可.理由：兩點之間線段最短.4^ 變式3解析：本題意思是在0A上找一點D,在0B上找一點E,使^‘一c >■CDE的周長最小.如果作點C關(guān)于0A的對稱點是M,關(guān)于OB的對稱點是N,當(dāng)點D、E在MN上時，ACDE的周長為CD+DE+EC=MN,此時周長最?。兪?解：(1)因MN垂直平分AB,所以MB=MA,又因4MBC的周長是14cm,故AC+BC=14cm,所以BC=6cm.(2)當(dāng)點P位于直線MN與BC延長線的交點時，PA—CP的值最大，最大值是6cm,理由：因A、B關(guān)于直線MN對 ,稱，所以AP二BP,當(dāng)點P位于MN（直線MN與BC延長線的交點除外）上.二^三"時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系始終有IPB—CPI<BC,當(dāng)點P位于直線MN與BC延長線的交點P時，即B、C、P三點成線時，存在|PA—CP|=BC=6cm為最大值，變式5解：（1）如圖，作點D關(guān)于b口，OA的對稱點D\連接CD，與OA交于點。匕彳E,連接DE. 。怦4若在邊OA上任取點與點E不重合、，連接CE'、DE'、D'E'由DE'+CE'=D'E'+CE'>CD'=D'E+CE=DE+CE，可知4CDE的周長最小.（2）如圖，作點D關(guān)于OA的對稱點DI在CB邊上截取CG=2,連接D，G‘上彳與OA交于點E,在EA上截取EF=2, 力GC〃EF,GC=EF,.?.四邊形GEFC:『力為平行四邊形，有GE=CF,又GC、EF的長為定值，...此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最小.變式6解:作點G關(guān)于CD的對稱；點G,作E關(guān)于AB的對稱點E，連接十GrEr,交CD于點F、交AB于點H,.卜^故比賽最短的路線為：E-H-G-F.課堂作業(yè)A.基礎(chǔ)題組.D解析：利用對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點之間的距離.作點P關(guān)于直線L的對稱點P',連接QP,交直線L于M.根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項D鋪設(shè)的管道，則所需管道最短.故選D.應(yīng).10解析：連接PC,根據(jù)等邊 n/K三角形三線合一的性質(zhì)，可得PC=BP,PD+PB要取最小值，應(yīng)使D、P、C三,二點一線.連接PC,〈aABC為等邊三角形，D為AB的中點，，PD+PB的最小值為：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm..45°解析：\?當(dāng)PC+PD最小時，作出D點關(guān)于MN的對稱點，正好是A點，連接AC,AC為正方形對角線，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出NPCD=45°,，NPCD=45°.

.解析:要求小華所走路程最短路g線，如圖，可作點C關(guān)于0A的對稱點 ?M,作點C關(guān)于0B的對稱點N.連接MN,《交OA于點F,交OB于點E,最短路線CEF..中檔題組5解：作出點A關(guān)于L的對稱點E,點B適于！的對稱點F,連接E