第02講集合間的基本關(guān)系（4大考點(diǎn)7種解題方法）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（滬教版2020必修一）（解析版）

第02講集合間的基本關(guān)系（4大考點(diǎn)7種解題方法）考點(diǎn)考點(diǎn)考向1、子集：定義：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說(shuō)集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，此時(shí)我們稱A是B的子集。即：記作：；讀作：A包含于B或B包含A；注意:有兩種可能：（1）A是B的一部分；（2）A與B是同一集合2、真子集：3.集合相等：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說(shuō)集合A等于集合B，記作A=B。4.空集定義：不含任何元素的集合叫做空集性質(zhì)：空集的特殊屬性，即空集雖空，但空有所用。對(duì)任意集合A，有，；；；。注意事項(xiàng)：①與是不同的，只是一個(gè)數(shù)字，而則表示集合，這個(gè)集合中含有一個(gè)元素，它們的關(guān)系是②與是不同的，中沒有任何元素，則表示含有一個(gè)元素的集合，它們的關(guān)系是兩個(gè)集合之間的關(guān)系（）③與是不同的，中沒有任何元素，則表示含有一個(gè)元素的集合，它們的關(guān)系是或或④顯然，，5.子集個(gè)數(shù)問(wèn)題：設(shè)集合A中元素個(gè)數(shù)為，則①子集的個(gè)數(shù)為，②真子集的個(gè)數(shù)為，③非空真子集的個(gè)數(shù)為考點(diǎn)考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：子集、真子集題型一：判定集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)一、填空題1．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知集合，則集合A的真子集的個(gè)數(shù)為_________【答案】15【分析】先求得集合的元素，由此求得集合的真子集個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以x-1是2的因數(shù)，即x-1可能是-1，-2，1，2，則={-1，0，2，3}，所以真子集的個(gè)數(shù)為24-1=15.故答案為：2．（2020·上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知集合，則集合A的子集個(gè)數(shù)為_____________.【答案】4【分析】根據(jù)公式可求給定集合子集的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)锳中元素個(gè)數(shù)為2，故其子集的個(gè)數(shù)為，故答案為：4.3．（2021·上海市行知中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，則的真子集的個(gè)數(shù)為_________.【答案】7【分析】若集合有n個(gè)元素，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為.【詳解】解：因?yàn)榧现杏?個(gè)元素，所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為.故答案為：7.4．（2021·上海浦東新·高一期中）集合的子集個(gè)數(shù)為________.【答案】8【分析】根據(jù)集合元素的個(gè)數(shù)n，直接寫出其子集個(gè)數(shù)【詳解】由題設(shè)，的元素個(gè)數(shù)為3，∴子集個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：85．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高一期中）集合的子集中，含有元素0的子集共有________個(gè).【答案】4【分析】寫出集合的所有子集，再判斷含有元素0的子集個(gè)數(shù)即可.【詳解】集合的子集：，，，，，，，，其中含有元素0的子集個(gè)數(shù)是4個(gè)故答案為：4.6．（2021·上?！?fù)旦附中青浦分校高一階段練習(xí)）已知集合，、、為非零實(shí)數(shù)，則的子集個(gè)數(shù)______【答案】8【分析】按、、的正負(fù)分情況計(jì)算m值，求出集合M的元素個(gè)數(shù)即可得解.【詳解】因?yàn)榧?，、、為非零?shí)數(shù)，當(dāng)、、都是正數(shù)時(shí)，m=4，當(dāng)、、都是負(fù)數(shù)時(shí)，m=-4，當(dāng)、、中有一個(gè)是正數(shù)，另兩個(gè)是負(fù)數(shù)時(shí)，m=0，當(dāng)、、中有兩個(gè)是正數(shù)，另一個(gè)是負(fù)數(shù)時(shí)，m=0，于是得集合M中的元素有3個(gè)，所以M的子集個(gè)數(shù)是8.故答案為：87．（2020·上海市第三女子中學(xué)高一期中）已知非空集合M同時(shí)滿足下列條件：①；②若，則，則符合條件的集合M共有_______個(gè).【答案】15【分析】先求出滿足，且的數(shù)對(duì)，然后將符合條件的集合M的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)集合的非空子集的個(gè)數(shù)即可.【詳解】解：滿足，且的數(shù)對(duì)有，則集合M的個(gè)數(shù)為集合的非空子集的個(gè)數(shù)，則符合條件的集合M共有個(gè).故答案為：15.8．（2021·上海中學(xué)高一期中）已知集合是自然數(shù)}，則的真子集共有_______個(gè)．【答案】【分析】用列舉法表示集合，再根據(jù)含有個(gè)元素的集合，其真子集有個(gè)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)槭亲匀粩?shù)所以所以集合中含有3個(gè)元素，其真子集有個(gè)；故答案為：9．（2021·上海·華師大二附中高一期中）設(shè)集合只有一個(gè)子集，則滿足要求的實(shí)數(shù)組成的集合是_________.【答案】【分析】由題意可得，討論和即可求解.【詳解】因?yàn)榧现挥幸粋€(gè)子集，所以，可得無(wú)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，不符合題意，所以，所以滿足要求的實(shí)數(shù)組成的集合是，故答案為：.10．（2020·上海·同濟(jì)大學(xué)第二附屬中學(xué)高一期中）已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)a的取值集合為___．【答案】【分析】根據(jù)題意集合A有一個(gè)元素，考慮和兩種情況，計(jì)算得到答案.【詳解】集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有兩個(gè)子集，則集合有1個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)元素，則，，此時(shí)，滿足條件.綜上所述：或.故答案為：.題型二：求集合的子集（真子集）一、填空題1．（2016·上海市川沙中學(xué)高一期中）寫出集合的所有子集_________.【答案】【分析】集合的子集是指屬于集合的部分或所有元素組成的集合，包括空集，列舉出來(lái)即可.【詳解】集合的所有子集為：共4個(gè).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的子集，屬于基礎(chǔ)題.2．（2020·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）滿足的集合的個(gè)數(shù)為____________個(gè).【答案】4【解析】根據(jù)子集的定義即可得到集合的個(gè)數(shù)；【詳解】，或或或，故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查子集的定義，屬于基礎(chǔ)題.3．（2020·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）滿足的集合有__________個(gè).【答案】15【解析】由題意可知集合是集合的非空子集，從而可求得集合的個(gè)數(shù)【詳解】解：因?yàn)?，所以集合是集合的非空子集，所以集合的個(gè)數(shù)為，故答案為：154．（2021·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高一期中）滿足{1，2}M?{1，2，3，4，5}的集合M有________個(gè)．【答案】7【分析】由{1，2}M?{1，2，3，4，5}，可以確定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一個(gè)，根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)分類討論，即可求解.【詳解】由題意可得{1，2}M?{1，2，3，4，5}，可以確定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一個(gè)，因此依據(jù)集合M的元素個(gè)數(shù)分類如下：含有三個(gè)元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有四個(gè)元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有五個(gè)元素：{1，2，3，4，5}．故滿足題意的集合M共有7個(gè)．故答案為：7.5．（2021·上海市桃浦中學(xué)高一階段練習(xí)）寫出所有滿足條件的集合___________.【答案】【分析】由題可得集合應(yīng)為集合和集合的非空子集的并集，即可求出.【詳解】，根據(jù)題意可得集合應(yīng)為集合和集合的非空子集的并集，因?yàn)榈姆强兆蛹?，所以滿足條件的有.故答案為：.6．（2020·上海市楊思高級(jí)中學(xué)高一期中）設(shè)A={1，2，3，4}，B={1，2}，則滿足的集合C有_________個(gè)．【答案】4【分析】根據(jù)滿足條件的集合C中必包含1和2兩個(gè)元素，然后一一列舉出來(lái)求解.【詳解】因?yàn)锳={1，2，3，4}，B={1，2}，且，所以滿足條件的集合C中必包含1和2兩個(gè)元素，所以共4個(gè)，故答案為：47．（2020·上海市控江中學(xué)高一期中）設(shè)集合，若集合的所有非空子集的元素之和是40，則_________.【答案】5【分析】利用集合的非空子集個(gè)數(shù)求出含每個(gè)元素的集合個(gè)數(shù)，再進(jìn)行求和即可.【詳解】若一個(gè)集合中有n個(gè)元素，則它有個(gè)子集，非空子集有個(gè).因?yàn)榧希院性氐募嫌袀€(gè)，含有元素的集合有個(gè)，含有元素的集合有個(gè)，含有元素的集合有個(gè)，若集合的所有非空子集的元素之和是40，則集合的所有元素和為，則.故答案為：5.8．（2021·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）集合的真子集有__________個(gè).【答案】15【分析】按照真子集的元素個(gè)數(shù)分類列舉，即可得到所有真子集的個(gè)數(shù).【詳解】集合{1,2,3,4}的真子集為:Φ,共有15個(gè).故答案為：15.【點(diǎn)睛】本題考查集合的真子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，直接列舉即可，列舉時(shí)注意按照真子集的元素個(gè)數(shù)分類列舉，要不重不漏.二、解答題9．（2020·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）已知集合，寫出集合的所有子集【答案】【分析】根據(jù)集合的子集的定義得出集合的子集,注意不要溜掉空集.【詳解】因?yàn)?所以的子集為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的子集,屬于基礎(chǔ)題.10．（2020·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知求．【答案】或【分析】，則，可得集合．【詳解】，則，則或．考點(diǎn)二：包含關(guān)系題型三：判段兩個(gè)集合的包含關(guān)系一、單選題1．（2021·上海市桃浦中學(xué)高一階段練習(xí)）以下關(guān)系式錯(cuò)誤的有幾個(gè)（

）①；②；③；④；⑤A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合之間關(guān)系直接判斷即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，空集不包含任何元素，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，是任一集合的子集，②正確；對(duì)于③，表示自然數(shù)集，是自然數(shù)，③正確；對(duì)于④，兩集合元素相同，④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，兩集合中元素分別為和，沒有包含關(guān)系，⑤錯(cuò)誤；綜上所述：錯(cuò)誤的共有個(gè).故選：C.2．（2021·上海市向明中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，，那么集合與的關(guān)系是（

）A． B．互不包含 C． D．【答案】A【分析】首先求得集合，由集合間的關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】集合，，又集合，.故選：A.3．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）設(shè)集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，則（）A．MN B．NM C．M∈N D．N∈M【答案】A【分析】根據(jù)集合元素的特征確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于集合N，當(dāng)n＝2k時(shí)，x＝4k＋1（k∈Z）；當(dāng)n＝2k－1時(shí)，x＝4k－1（k∈Z）.所以N＝{x|x＝4k＋1或x＝4k－1，k∈Z}，所以MN.故選：A4．（2021·上海·高一專題練習(xí)）已知集合U=R，則正確表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}關(guān)系的文氏圖是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】先求得集合，判斷出的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N?M，所以選B.故選：B5．（2021·上海·高一專題練習(xí)）已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，則集合M與N的關(guān)系是（

）A．M＝N B．NM C．MN D．N?M【答案】C【分析】先求出集合M，然后通過(guò)比較兩集合中的元素的關(guān)系，可得答案【詳解】解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，則M＝{1，2}，因?yàn)?∈M且1∈N，2∈M且2∈N，所以M?N.又因?yàn)?∈N但0?M，所以MN.故選：C6．（2021·上海市新場(chǎng)中學(xué)高一階段練習(xí)）若，集合，則下列表示中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系判斷即可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；集合之間的關(guān)系符號(hào)有誤，應(yīng)為，故選項(xiàng)C不正確；元素與集合之間的關(guān)系符號(hào)有誤，應(yīng)為，故選項(xiàng)D不正確；故選：A.二、填空題7．（2019·上海師范大學(xué)附屬嘉定高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）下列六個(gè)關(guān)系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中是真命題的序號(hào)有______________________.【答案】（1）、（6）【分析】根據(jù)集合與集合、元素與集合的關(guān)系，以及空集的性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】（1）任意集合是自身的子集，故，正確；（2），故錯(cuò)誤；（3）由于集合只有包含、被包含關(guān)系，故錯(cuò)誤；（4）空集是集合，集合間只有包含、被包含關(guān)系，故錯(cuò)誤；（5）空集沒有任何元素，故錯(cuò)誤；（6）空集是任意非空集合的子集，故正確.故答案為：（1）、（6）8．（2022·上海徐匯·高一期末）已知集合，，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為_________個(gè)【答案】7【分析】化簡(jiǎn)集合A，B，根據(jù)條件確定集合C的個(gè)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所?，2都是集合C的元素，集合C中的元素還可以有3，4，5，且至少有一個(gè)，所以集合C為：，，，，，，，共7個(gè).故答案為：7三、解答題9．（2021·上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，集合.判斷集合A與集合B的包含關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】，證明見解析.【分析】先判斷得到，①對(duì)于集合，當(dāng)時(shí)，得到，但；②化簡(jiǎn)集合，令，得到，即可得證.【詳解】判斷，證明：①對(duì)于集合，當(dāng)時(shí)，，即，假設(shè),則有，可得，這與矛盾，所以，但；②對(duì)于集合：集合，由于，則，令，可得，綜上所述：題型四：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)一、單選題1．（2021·上海市新場(chǎng)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式，解不等式即可求解.【詳解】因?yàn)榧希?，，所以，解得：，故選：B.二、填空題2．（2020·上海市晉元高級(jí)中學(xué)高一期中）已知集合，若集合滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍____________.【答案】[2,＋)【分析】根據(jù)結(jié)合數(shù)軸即可求解.【詳解】∵≠?，，∴A與B的關(guān)系如圖：∴a≥2.故答案為：[2，＋).3．（2021·上海市七寶中學(xué)高一期中）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的所以可能取值組成的集合是_________.【答案】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系分類求解．【詳解】時(shí)，，時(shí)，，由得，或，即或，綜上，的取值集合是．故答案為：．4．（2021·上?！ど贤飧街懈咭黄谥校┤簦瑒t__________．【答案】0或##或0【分析】由題，先求出所代表集合，再分別討論作為子集的可能情況即可.【詳解】由得集合為，故為空集或，當(dāng)為時(shí)，可得；當(dāng)為空集時(shí)，可得，故答案為：0或5．（2020·上海市晉元高級(jí)中學(xué)高一期中）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值集合為___________.【答案】【分析】討論和兩種情況，根據(jù)包含關(guān)系得出實(shí)數(shù)的取值集合.【詳解】當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以或，解得或即?shí)數(shù)的取值集合為.故答案為：6．（2021·上海市桃浦中學(xué)高一期中）若集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|mx＝1}，且B?A，則實(shí)數(shù)m的值為___．【答案】0或1或-1【分析】考慮集合B為空集和不為空集兩種情況，進(jìn)而根據(jù)集合間的關(guān)系解得答案.【詳解】若，則，滿足題意；若，則，因?yàn)椋曰?，則.綜上：或.故答案為：0或1或-1.7．（2021·上海市桃浦中學(xué)高一期中）已知集合A＝{1}，B＝{a，a2+1}，若AB，則實(shí)數(shù)a的值為___．【答案】1或##0或1【分析】由可知，討論即可求出．【詳解】，，若，則，滿足題意；若，則，滿足題意；綜上，或故答案為：1或考點(diǎn)三：相等關(guān)系題型五：判斷兩個(gè)集合是否相等一、單選題1．（2020·上海·高一專題練習(xí)）已知，則集合M與P的關(guān)系是（

）A．M=P B． C．P D．P【答案】A【分析】分別化簡(jiǎn)集合M與P，可得兩個(gè)集合的關(guān)系．【詳解】，，則故選：A2．（2019·上海師范大學(xué)附屬嘉定高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，，，則，，的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將三個(gè)集合中的元素的公共屬性分別變形為，，，，，，比較可得答案.【詳解】因?yàn)?，，，，，，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了判斷集合間的關(guān)系，將三個(gè)集合中的元素的公共屬性分別變形是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3．（2020·上海·高一課時(shí)練習(xí)）如果集合，，，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．? C． D．【答案】C【分析】用列舉法分別列出集合即可判斷.【詳解】因?yàn)榧?，，，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合之間的關(guān)系.屬于較易題.二、填空題4．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）下列各組中的兩個(gè)集合相等的有____________（1）P={x|x=2n，n∈Z}，Q={x|x=2(n+1)，n∈Z}（2）P={x|x=2n-1，n∈N+}，Q={x|x=2n+1，n∈N+}；（3）P={x|x2-x=0}，Q={x|x=，n∈Z}.（4）P={x|y=x+1}，Q={(x，y)|y=x+1}【答案】（1）（3）【分析】根據(jù)集合的元素逐一分析，由此判斷出正確結(jié)論.【詳解】（1）中集合P，Q都表示所有偶數(shù)組成的集合，有P=Q；（2）中P是由1，3，5，…所有正奇數(shù)組成的集合，Q是由3，5，7，…所有大于1的正奇數(shù)組成的集合，1?Q，所以P≠Q(mào).（3）中P={0，1}，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x==0，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x==1，所以Q={0，1}，P=Q.（4）中集合的研究對(duì)象不相同，所以P≠Q(mào).故答案為：（1）（3）.5．（2020·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）如果集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0},那么M與P的關(guān)系為_____.【答案】M=P試題分析：利用不等式的性質(zhì)可得：x+y＜0，xy＞0，?x＜0，y＜0．進(jìn)而判斷出集合M與P的關(guān)系．解：由x+y＜0，xy＞0，?x＜0，y＜0．∴M=P．故答案為M=P．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握不等式的性質(zhì)和集合間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型六：根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)一、填空題1．（2021·上海市延安中學(xué)高一期中）已知集合，集合，且，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【分析】解方程組即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，解之?故答案為：2．（2021·上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，若，則=____________；【答案】2【分析】由題意可得，，從而可求出的值，進(jìn)而可得答案【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，所以，故答案為：23．（2020·上海市控江中學(xué)高一期中）設(shè)，若集合，，且，則_________.【答案】【分析】本題可根據(jù)集合相等的相關(guān)性質(zhì)得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，，滿足題意，故答案為：.4．（2020·上海市行知中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合，．若，則實(shí)數(shù)a的值為______．【答案】0【分析】根據(jù)，得到，然后結(jié)合集合中元素的互異性可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，且所以，得或1當(dāng)時(shí)，，不符合集合中元素的互異性所以故答案為：05．（2020·上海·高一單元測(cè)試）設(shè)，集合，則___________．【答案】2【分析】根據(jù)題意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意義，結(jié)合集合中元素的特征，可得，進(jìn)而分析可得、的值，計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，集合，又，，即，故，，則，故答案為：6．（2020·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）已知集合，，且，則的值為________.【答案】【分析】本題根據(jù)題意先得到限制條件，再根據(jù)限制條件求的值即可.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，解得，故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)集合相等求參數(shù)的值，是基礎(chǔ)題.7．（2020·上海·曹楊二中高一階段練習(xí)）已知集合，，則的充要條件是___________.【答案】，【分析】由集合相等的定義列出方程即可求解.【詳解】，或，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意，的充要條件是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查集合相等求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.二、解答題8．（2020·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）設(shè)【答案】試題分析：解：由得的兩個(gè)根，即的兩個(gè)根，∴，，∴考點(diǎn)：集合的求解點(diǎn)評(píng)：根據(jù)集合之間的關(guān)系來(lái)求解，轉(zhuǎn)換為一元二次方程的根的問(wèn)題來(lái)處理，屬于基礎(chǔ)題．9．（2020·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）設(shè)，集合，，且，求實(shí)數(shù)x，y的值【答案】或【分析】根據(jù)兩個(gè)集合相等，則其元素全部相同，可得，從而得出答案.【詳解】由得:解得

或

考點(diǎn)四：空集題型七：空集一、單選題1．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．空集沒有子集B．空集是任何一個(gè)集合的真子集C．任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集D．設(shè)集合，那么，若，則【答案】D【解析】根據(jù)集合的相關(guān)概念，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果【詳解】A選項(xiàng)，空集是其本身的子集，A錯(cuò)；B選項(xiàng)，空集是任一非空集合的真子集，B錯(cuò)；C選項(xiàng)，空集只有一個(gè)子集，即是空集本身；C錯(cuò)；D選項(xiàng)，若，則中元素都在中，中沒有的元素，則中也沒有；故D正確.故選：D.2．（2021·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高一期中）設(shè)集合A、B、C、D是全集X的子集，，，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．如果或，則B．如果，則，C．如果，則，D．上述各項(xiàng)都不正確【答案】D【分析】利用韋恩圖舉出ABC三個(gè)選項(xiàng)的反例即可【詳解】A選項(xiàng)：如圖1，滿足，但，故A錯(cuò)誤B選項(xiàng)：如圖2，滿足，但，故B錯(cuò)誤C選項(xiàng)：如圖3，滿足，但，故C錯(cuò)誤故選：D3．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）下列四個(gè)集合中，是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對(duì)每個(gè)集合進(jìn)行逐一檢驗(yàn)，研究集合內(nèi)的元素是否存在即可選出.【詳解】選項(xiàng)A，；選項(xiàng)B，；選項(xiàng)C，；選項(xiàng)D，，方程無(wú)解，.選:D.4．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）下列六個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】利用集合相等的概念可判定①，③，④；利用集合之間的包含關(guān)系可判定②，⑤，利用元素與集合的關(guān)系可判定⑥.【詳解】①正確，集合中元素具有無(wú)序性；②正確，任何集合是自身的子集；③錯(cuò)誤，表示空集，而表示的是含這個(gè)元素的集合，所以不成立.④錯(cuò)誤，表示空集，而表示含有一個(gè)元素0的集合，并非空集，所以不成立；⑤正確，空集是任何非空集合的真子集；⑥正確，由元素與集合的關(guān)系知，．故選：C.二、填空題5．（2020·上海市第三女子中學(xué)高一期中）用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：0_____.【答案】【分析】結(jié)合空集、元素與集合的關(guān)系確定正確答案.【詳解】空集沒有任何元素，所以.故答案為：6．（2021·上海虹口·高一期末）若集合，，且，則滿足條件的實(shí)數(shù)的取值集合為______.【答案】【分析】求出集合，由可分、、三種情況討論，可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】依題意得，.∵,所以集合、、．當(dāng)時(shí)，即方程無(wú)實(shí)根，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，則1是方程的根，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，則是方程的根，所以，符合題意；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)值，解題時(shí)不要忽略對(duì)空集的討論.鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·上海市大同中學(xué)高一期中）對(duì)集合，2，3，，的每一個(gè)非空子集，定義一個(gè)唯一確定的“交替和”，概念如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大的開始，交替減或加后繼的數(shù)所得的結(jié)果．如：集合的“交替和”為，集合的“交替和”為，集合的“交替和”為10，則集合所有非空子集的“交替和”的總和為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】因?yàn)榧螦的非空子集有個(gè)，逐個(gè)計(jì)算“交替和”再求總和是不可能的，必須通過(guò)分析“交替和”的特點(diǎn)，尋找“交替和”的規(guī)律.為了找到“交替和”的規(guī)律，令，則的非空子集共有15個(gè)，寫出它們的全部“交替和”如下：

；

；

；

；

；

3；

；

；

4.

；

；

；

；

1；

2；從以上寫出的“交替和”我們發(fā)現(xiàn)，除了集合以外，可以把集合A的子集分成兩類：一類子集中包含4，另一類不包含4，并且可以在這兩類集合之間建立起一個(gè)一一映射：設(shè)是集合A的一個(gè)不包含4的子集，則令與集合相對(duì)應(yīng)，顯然與的“交替和”之和為4.因?yàn)檫@樣的共有個(gè)，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的總和為【詳解】解：集合，2，3，，的非空子集中，除去集合，還有個(gè)非空子集，將這個(gè)子集分成兩類：第一類是包含元素的子集；第二類是不包含元素的子集；在第二類子集與第一類子集之間建立如下對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中是第二類子集，顯然這種對(duì)應(yīng)是一一映射，設(shè)的“交替和”為，則的“交替和”為，這一對(duì)集合的“交替和”的和等于，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的總和為.故選:A.2．（2021·上海市奉賢中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)所示有理數(shù)集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；與相同的集合有（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)集合相等的含義，逐一分析①②③④，即可得答案【詳解】對(duì)于①：集合，則，解得，即，是一一對(duì)于，所以與集合相同.對(duì)于②：集合，則，也是一一對(duì)應(yīng)，所以與集合相同.對(duì)于③：集合，，一一對(duì)應(yīng)，，所以與集合相同.對(duì)于④：，但方程無(wú)解，則，與不相同．故選：D二、填空題3．（2020·上海市晉元高級(jí)中學(xué)高一期中）若對(duì)任意的，有，則稱是“伙伴關(guān)系集合”，則集合的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)為________.【答案】【分析】在集合的子集中列舉出滿足“伙伴關(guān)系集合”的集合，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，就稱是伙伴關(guān)系集合，集合，所以具有伙伴關(guān)系的集合有共7個(gè).故答案為：4．（2021·上海市七寶中學(xué)高一期中）在整數(shù)集Z中，被整數(shù)t除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，如，則有下列結(jié)論：①；②；③整數(shù)、滿足且的充要條件是；④．則其中正確的為___________.【答案】①④##④①【分析】根據(jù)集合相等的定義判斷①，舉反例判斷②③，根據(jù)集合的交集的定義判斷④．【詳解】解：對(duì)于①，若，則，，若，則，故，若，則，故，是的子集，若，則或，若，則，若，則，，故是的子集，，故①正確；對(duì)于②，，而且，，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，，而，，整數(shù)、滿足且不是的必要條件，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若，則，，且，，1故④正確．故答案為：①④5．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高一期中）設(shè)是實(shí)數(shù)，集合，若，則的取值集合是_______.【答案】【分析】先求解集合中的一元二次方程可得，由，分，，三種情況討論，即得解【詳解】由題意，集合若，且集合中至多有一個(gè)元素則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，滿足題意；綜上，的取值集合是故答案為：6．（2021·上海交大附中高一開學(xué)考試）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值構(gòu)成的集合為___________.【答案】【分析】先化簡(jiǎn)集合M，然后再根據(jù)N?M，求出m的值，即可求解．【詳解】∵集合，∴集合，∵，，∴，或，或三種情況，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴；當(dāng)，，∴；∴實(shí)數(shù)m的取值構(gòu)成的集合為，故答案為：7．（2021·上海市行知中學(xué)高一階段練習(xí)）以集合的子集中選出兩個(gè)不同的子集，需同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：（1）、都至少屬于其中一個(gè)集合；（2）對(duì)選出的兩個(gè)子集，其中一個(gè)集合為另一個(gè)的子集，那么共有_________種不同的選法.【答案】32【分析】根據(jù)題意，集合A,B可以互換，不妨設(shè)元素少的為A，多的為B，則B必包含{a,b}，A為B的真子集，從而解得答案.【詳解】由題意，不妨設(shè)元素少的為A，多的為B，則B必含有a,b，A為B的真子集，若，A為B的真子集，則有種，若，A為B的真子集，則有種，若，A為B的真子集，則有種，若，A為B的真子集，則有種，共有3+7+7+15=32種.故答案為：32.8．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高一階段練習(xí)）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|mx+1＝0}，若B?A，則實(shí)數(shù)m組成的集合為________．【答案】【分析】解方程求得集合；分別在和兩種情況下，根據(jù)包含關(guān)系構(gòu)造方程，從而求得結(jié)果.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，滿足B?A當(dāng)時(shí)，

或，解得：或?qū)崝?shù)組成的集合為故答案為：9．（2021·上海市大同中學(xué)高一階段練習(xí)）已知一個(gè)有四個(gè)數(shù)字元素的集合，的所有子集的元素和（空集的元素和認(rèn)為是零）的總和等于16192，則的元素之和等于______.【答案】2024【分析】利用集合的非空子集個(gè)數(shù)先求出含每個(gè)元素的集合個(gè)數(shù)，在進(jìn)行求和即可．【詳解】解：設(shè)集合，由一個(gè)集合中有n個(gè)元素，則它有個(gè)子集，非空子集有（?1）個(gè)可得：含有元素的集合有個(gè)，含有元素的集合有個(gè)，含有元素的集合有個(gè)，含有元素的集合有個(gè)，若集合的所有非空子集的元素之和是16192，則集合的所有元素和為，則；故答案為：2024．10．（2021·上海師大附中高一階段練習(xí)）設(shè)集合是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于任意，若且，則稱為集合的一個(gè)“孤立元”.給定集合，則由中的3個(gè)元素組成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有___________個(gè)，分別為___________【答案】

4

、、、【分析】根據(jù)集合的新定義，可得集合不含“孤立元”，則集合中的三個(gè)數(shù)必須連在一起，利用列舉法，即可求解.【詳解】由集合的新定義知，沒有與之相鄰的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，則集合中的三個(gè)數(shù)必須連在一起，所以符合題意的集合是，，，，共4個(gè)．故答案為：4，、、、11．（2021·上海師大附中高一階段練習(xí)）已知集合，集合，若，則___________.【答案】【分析】由，結(jié)合可得，即或，分別代入驗(yàn)證，即得解【詳解】由題意，又，即解得：或當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，，不滿足集合中元素的互異性，不成立；因此.故答案為：三、解答題12．（2020·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）已知集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】或【分析】分析得出，求得，對(duì)方程，計(jì)算得出，分、、三種情況討論，在、的前題下，驗(yàn)證成立，在時(shí)，可得出，可求得實(shí)數(shù)的值，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋瑢?duì)于方程，.當(dāng)時(shí)，，則，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，合乎題意；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則，所以，，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.13．（2021·上海市奉賢中學(xué)高一期中）定義：若任意（m，n可以相等），都有，則集合稱為集合A的生成集；(1)求集合的生成集B；(2)若集合，A的生成集為B，B的子集個(gè)數(shù)為4個(gè)，求實(shí)數(shù)a的值；(3)若集合，A的生成集為B，求證.【答案】(1)(2)或(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)新定義算出的值即可求出；（2）B的子集個(gè)數(shù)為4個(gè)，轉(zhuǎn)化為B中有2個(gè)元素，然后列出等式即可求出的值；（3）求出的范圍即可證明出結(jié)論(1)由題可知，(1)當(dāng)時(shí)，，(2)當(dāng)時(shí)，，（3）當(dāng)或時(shí)，所以(2)（1）當(dāng)時(shí)，，（2）當(dāng)時(shí)，（3）當(dāng)或時(shí)，B的子集個(gè)數(shù)為4個(gè)，則中有2個(gè)元素，所以或或，解得或（舍去）,所以或.(3)證明：，，，，即，又，所以，所以14．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)