高考數(shù)學(xué)同步導(dǎo)學(xué)-(33)課件

專題突破三例析頻率分布直方圖中的統(tǒng)計(jì)問題第二章統(tǒng)計(jì)一、求樣本中限制條件下的個(gè)體所占頻率思維切入求對(duì)應(yīng)區(qū)間上的小矩形的面積.例1

觀察新生兒的體重，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生兒體重在[2700,3000)的頻率為A.0.001 B.0.1C.0.2 D.0.3√解析

由直方圖的意義可知，在區(qū)間[2700,3000)內(nèi)取值的頻率為(3000－2700)×0.001＝0.3.點(diǎn)評(píng)頻率為直方圖中相應(yīng)小長(zhǎng)方形的面積，即頻率＝縱坐標(biāo)×橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值.跟蹤訓(xùn)練1某中學(xué)舉辦電腦知識(shí)競(jìng)賽，滿分為100分，80分以上為優(yōu)秀(含80分)，現(xiàn)將高一兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成5組，繪制成頻率分布直方圖如下圖所示.已知圖中從左到右的第一、三、四、五小組的頻率分別為0.30,0.15,0.10,0.05，而第二小組的頻數(shù)是40，則參賽的人數(shù)是________，成績(jī)優(yōu)秀的頻率是________.1000.15解析設(shè)參賽的人數(shù)為n，第二小組的頻率為1－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.4，∴n＝100，優(yōu)秀的頻率是0.10＋0.05＝0.15.二、求樣本中限制條件下的個(gè)體的頻數(shù)思維切入對(duì)應(yīng)區(qū)間上的頻數(shù)即為對(duì)應(yīng)區(qū)間的頻率×樣本總體.例2

某市高三數(shù)學(xué)抽樣考試中，對(duì)90分以上的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布如圖所示.若130～140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為90，則90～100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為________.810解析由于90分以上的考試人數(shù)是樣本總體，則圖中5個(gè)分?jǐn)?shù)段的頻率之和等于1，設(shè)130～140分?jǐn)?shù)段的頻率為p，則0.45＋0.25＋0.15＋0.10＋p＝1，即0.95＋p＝1，則p＝0.05，設(shè)該樣本總體共有n個(gè)學(xué)生的分?jǐn)?shù)，且設(shè)90～100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為x，則由頻率概念得

解得

故90～100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為810.點(diǎn)評(píng)本題是頻率分布條形圖.由于各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)與頻率成正比，則可由

，求出x；題設(shè)條形圖的縱坐標(biāo)是“頻率”這是有別于常規(guī)的，在審題時(shí)不能混淆.跟蹤訓(xùn)練2為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，…，第五組，如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為________.12所以第三組人數(shù)為50×0.36×1＝18，所以有療效的人數(shù)為18－6＝12.三、求頻率分布直方圖中的參數(shù)問題思維切入根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)列方程求解.例3為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力，得到頻率分布直方圖，如圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為b，則a，b的值分別為A.0.27,78 B.0.27,83

C.2.7,78 D.2.7,83√前4組的公比為3，最大頻率a＝0.1×33×0.1＝0.27，設(shè)后6組公差為d，解得d＝－0.05，即后6組頻率的公差為－0.05，所以，視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為(0.27＋0.22＋0.17＋0.12)×100＝78，故選A.點(diǎn)評(píng)解答本題關(guān)鍵是要利用頻率分布直方圖中殘缺不全的數(shù)據(jù)，分析它們之間存在的內(nèi)在關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練3

某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)所需時(shí)間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)，其中上學(xué)所需時(shí)間的范圍是[0,100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].(1)求頻率分布直方圖中x的值；解由頻率分布直方圖可得20×x＋0.025×20＋0.0065×20＋0.003×2×20＝1，所以x＝0.0125.(2)如果上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，請(qǐng)估計(jì)學(xué)校600名新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿.解由頻率分布直方圖可知，新生上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為0.003×2×20＝0.12.因?yàn)?00×0.12＝72，所以估計(jì)600名新生中有72名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿.四、頻率分布直方圖中的數(shù)字特征例4從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：cm)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖).(1)由圖中數(shù)據(jù)求a的值；解因?yàn)橹狈綀D中的各個(gè)矩形的面積之和為1，所以10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.(2)若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在[140,150]的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為多少？解由直方圖知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組的學(xué)生總數(shù)為100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]的學(xué)生人數(shù)為10，所以從身高在[140,150]內(nèi)選取的學(xué)生人數(shù)為

×10＝3.(3)估計(jì)這所小學(xué)的小學(xué)生身高的眾數(shù)、中位數(shù)(保留兩位小數(shù))及平均數(shù).思維切入眾數(shù)即為出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以它的頻率最大，在最高的小矩形中.中位數(shù)即為從小到大中間的數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù)).解根據(jù)頻率分布直方圖知，身高在[110,120)的小矩形最高，又0.005×10＋0.035×10＝0.4＜0.5，0.4＋0.030×10＝0.7＞0.5，所以中位數(shù)在[120,130)內(nèi)，可設(shè)為x，則(x－120)×0.030＋0.4＝0.5，解得x≈123.33，所以中位數(shù)為123.33cm.根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算平均數(shù)為105×0.05＋115×0.35＋125×0.3＋135×0.2＋145×0.1＝124.5(cm).點(diǎn)評(píng)用頻率分布直方圖求得的眾數(shù)、中位數(shù)不一定是樣本中的具體數(shù).跟蹤訓(xùn)練4

某工廠對(duì)一批新產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位：mm)進(jìn)行檢測(cè)，如圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)為A.20 B.25C.22.5 D.22.75√解析

產(chǎn)品的中位數(shù)出現(xiàn)在頻率是0.5的地方.自左至右各小矩形的面積依次為0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，設(shè)中位數(shù)是x，則由0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故選C.123451.統(tǒng)計(jì)某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)水平測(cè)試成績(jī)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.若滿分為100分，規(guī)定不低于60分為及格，則及格率是A.20%B.25%C.60%D.80%√6達(dá)標(biāo)檢測(cè)DABIAOJIANCE1234562.在中秋的促銷活動(dòng)中，某商場(chǎng)對(duì)9月14日9時(shí)到14時(shí)的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示，已知12時(shí)到14時(shí)的銷售額為7萬元，則10時(shí)到11時(shí)的銷售額為A.1萬元

B.2萬元C.3萬元

D.4萬元√1234563.如圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是[20.5,26.5]，樣本數(shù)據(jù)的分組為[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知樣本中平均氣溫低于22.5℃的城市個(gè)數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5℃的城市個(gè)數(shù)為___.91234564.一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖(如圖).為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在[2500,3000)(元)月收入段應(yīng)抽出________人.解析由頻率分布直方圖可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500＝2500(人)，251234565.我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查.通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù).解由(0.08＋0.16＋a＋0.42＋0.50＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.設(shè)中位數(shù)為x噸.因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.1234561234566.某市居民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià).每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi).從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/方立米，w至少定為多少？解由用水量的頻率分布直方圖知，該市居民該月用水量在區(qū)間[0.5,1)，[1,1.5)，[1.5,2)，[2,2.5)，[2.5,3)內(nèi)的頻率依次為0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%，用水量不超過2立方米的居民占45%.依題意，w至少定為3.123456123456(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替.當(dāng)w＝3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).解由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用