概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)14課件

問(wèn)題的提出：

1)10個(gè)人摸彩，有3張中彩.

問(wèn)：第1個(gè)人中彩的概率為多少？第2個(gè)人中彩的概率為多少？

2)10個(gè)人摸彩，有3張中彩.

問(wèn)：已知第l個(gè)人沒摸中，第2個(gè)人中彩的概率為多少？§1.4

條件概率

定義1.4.1

對(duì)于事件A、B，若P(B)>0，則稱P(A|B)=P(AB)/P(B)

為在B

出現(xiàn)的條件下，A

出現(xiàn)的條件概率.1.4.1

條件概率的定義

1)

縮減樣本空間：

將縮減為B=B.

2)

用定義：

P(A|B)=P(AB)/P(B).條件概率P(A|B)的計(jì)算

10個(gè)產(chǎn)品中有7個(gè)正品、3個(gè)次品，從中不放回地抽取兩個(gè)，已知第一個(gè)取到次品，求第二個(gè)又取到次品的概率.

P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9解：設(shè)A={第一個(gè)取到次品}，

B={第二個(gè)取到次品}，例1.4.1條件概率P(A|B)滿足概率的三條公理.由此得：

P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)；

若A

與B

互不相容，則P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)；

P(|B)=1

P(A|B).條件概率是概率P(|B)=1;P(B|)1;P(A|)=P(A);P(A|A)=1.注意點(diǎn)(1)

設(shè)P(B)＞0，且AB，則下列必然成立的是()①P(A)<P(A|B)②P(A)≤P(A|B)③P(A)>P(A|B)④P(A)≥P(A|B)(2)

P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B|A)=0.4,

則P(B)=().課堂練習(xí)乘法公式;全概率公式；貝葉斯公式.條件概率的三大公式性質(zhì)1.4.2

(1)

若

P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B)；

若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若

P(A1A2······An1)>0，則

P(A1A2······An)=P(A1)P(A2|A1)······P(An|A1A2······An1)1.4.2

乘法公式乘法公式主要用于求幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率.一批零件共有100個(gè)，其中10個(gè)不合格品。從中一個(gè)一個(gè)不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：記Ai=“第i次取出的是不合格品”

Bi=“第i次取出的是合格品”,

目的求P(B1B2A3)

用乘法公式

P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=乘法公式的應(yīng)用性質(zhì)1.4.3

若事件B1,B2,

······,Bn是樣本空間的一組分割，且

P(Bi)>0，則1.4.3

全概率公式全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率.使用全概率公式關(guān)鍵在于尋找另一組事件來(lái)“分割”樣本空間.全概率公式最簡(jiǎn)單的形式：注意點(diǎn)(1)若事件B1,B2,

······,Bn是互不相容的，且

P(Bi)>0，注意點(diǎn)(2)

則由可得

設(shè)10件產(chǎn)品中有3件不合格品，從中不放回地取兩次，每次一件，求取出的第二件為不合格品的概率。解：設(shè)A=“第一次取得不合格品”，

B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：=(3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)

=3/10例1.4.2

n

張彩票中有一張中獎(jiǎng)，從中不返回地摸取，記Ai為“第

i次摸到中獎(jiǎng)券”，則

(1)P(A1)=1/n.

(2)

可用全概率公式計(jì)算得P(A2)=1/n.

(3)

可用歸納法計(jì)算得

P(Ai)=1/n,i=1,2,……,n.摸彩模型n張彩票中有k張中獎(jiǎng)，從中不返回地摸取，記Ai

為“第

i次摸到獎(jiǎng)券”，則

P(Ai)=k/n,i=1,2,……,n結(jié)論：不論先后，中彩機(jī)會(huì)是一樣的.摸彩模型(續(xù))口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情況下，求第k次取出的是白球的概率：

(1)

從中一只一只返回取球；

(2)

從中一只一只不返回取球；

(3)

從中一只一只返回取球，且返回的同時(shí)再加入一只同色球.思考題罐中有b

個(gè)黑球、r個(gè)紅球，每次從中任取一個(gè)，取出后將球放回，再加入c

個(gè)同色球和d

個(gè)異色球.(1)當(dāng)c=1,d=0

時(shí)，為不返回抽樣.(2)當(dāng)c=0,d=0

時(shí)，為返回抽樣.(3)當(dāng)c>0,d=0

時(shí)，為傳染病模型.(4)當(dāng)c=

0,d>0

時(shí)，為安全模型.波利亞罐子模型記

pk(b,r)

為“口袋中有b個(gè)黑球、r個(gè)紅球時(shí)，第k次取出黑球”的概率，k=1,2,……

(1)

當(dāng)c=1,d=0

時(shí)為不返回抽樣，所以由摸彩模型得：pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(2)

當(dāng)c=0,d=0

時(shí)為返回抽樣，所以

pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……

(3)

當(dāng)c>0,d=0

時(shí)，為傳染病模型。此時(shí)pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……

波利亞罐子模型(續(xù))甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、

m只黑球.從甲口袋任取一球放入乙口袋，然后從乙口袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是白球的概率.概率為：全概率公式的例題Question1:甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑球.從甲口袋任取兩球放入乙口袋，然后從乙口袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是白球的概率.Question2:以上是甲、乙兩口袋的球數(shù)不同，如果兩口袋裝的黑、白球個(gè)數(shù)都相同，則情況又如何？思考題要調(diào)查“敏感性”問(wèn)題中某種比例p

；兩個(gè)問(wèn)題：A：生日是否在7月1日前？

B：是否考試作弊？拋硬幣回答A或B.答題紙上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”問(wèn)題.敏感性問(wèn)題的調(diào)查乘法公式是求“幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”的概率；全概率公式是求“最后結(jié)果”的概率；貝葉斯公式是已知“最后結(jié)果”，求“原因”的概率.1.4.4

貝葉斯公式

Question:某人從甲地到乙地，乘飛機(jī)、火車、汽車遲到的概率分別為0.1、0.2、0.3，他等可能地選擇這三種交通工具。若已知他最后遲到了，求他分別是乘飛機(jī)、火車、汽車的概率.（1/6，2/6，3/6）已知“結(jié)果”，求“原因”若事件B1,B2,

······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(A)>0,P(Bi)>0，則貝葉斯（Bayes）公式

1)B1,B2,...,Bn可以看作是導(dǎo)致A發(fā)生的原因;

2)

P(Bj|A)是在事件A發(fā)生的條件下,

某個(gè)原因Bj

發(fā)生的概率,

稱為“后驗(yàn)概率”;

3)Bayes公式又稱為“后驗(yàn)概率公式”或“逆概公式”;4)稱P(Bj)

為“先驗(yàn)概率”.注意點(diǎn)例1.4.3

某商品由三個(gè)廠家供應(yīng)，其供應(yīng)量為：甲廠家是乙廠家的2倍；乙、丙兩廠相等。各廠產(chǎn)品的次品率為2%,2%,4%.若從市場(chǎng)上隨機(jī)抽取一件此種商品，發(fā)現(xiàn)是次品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率?

解：用1、2、3分別記甲、乙、丙廠，設(shè)

Ai

=“取到第i

個(gè)工廠的產(chǎn)品”，B=“取到次品