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文檔簡介

章系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)模型的基本概念1、數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式,它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型:靜態(tài)條件(變量各階導(dǎo)數(shù)為零)下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。動態(tài)數(shù)學(xué)模型:描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。12、建立數(shù)學(xué)模型的方法

解析法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式,建立模型。人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號,記錄其輸出響應(yīng),并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征,同時應(yīng)對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。

實驗法23、數(shù)學(xué)模型的形式

時間域:微分方程(一階微分方程組) 差分方程、狀態(tài)方程

復(fù)數(shù)域:傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖

頻率域:頻率特性二、系統(tǒng)的微分方程1、定義:時域中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。2、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟

分析系統(tǒng)工作原理和信號傳遞變換的過程,確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量;

3

從輸入端開始,按照信號傳遞變換過程,依據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律,依次列寫出各元件、部件的動態(tài)微分方程;

消去中間變量,得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程;

標準化:右端輸入,左端輸出,導(dǎo)數(shù)降冪排列3、控制系統(tǒng)微分方程的列寫

機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象,都可簡化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個要素:4質(zhì)量mfm(t)參考點x

(t)v

(t)彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)5阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)6機械平移系統(tǒng)mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型fC(t)靜止(平衡)工作點作為零點,以消除重力的影響7式中,m、C、K通常均為常數(shù),故機械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。顯然,微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù),而階次等于系統(tǒng)中獨立儲能元件(慣性質(zhì)量、彈簧)的數(shù)量。

8彈簧-阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)KC彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運動方程為一階常系數(shù)微分方程。

9機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液體齒輪JJ—旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動慣量;K—扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù);C—粘性阻尼系數(shù)柔性軸1011基爾霍夫電流定律若電路有分支,它就有節(jié)點,則匯聚到某節(jié)點的所有電流的代數(shù)和應(yīng)等于零?;鶢柣舴螂妷憾呻娋W(wǎng)絡(luò)的閉合回路中電勢的代數(shù)和等于沿回路的電壓降的代數(shù)和。12

電氣系統(tǒng)電阻電氣系統(tǒng)三個基本元件:電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)電容Ci(t)u(t)13電感Li(t)u(t)

R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)14一般R、L、C均為常數(shù),上式為二階常系數(shù)微分方程。

若L=0,則系統(tǒng)簡化為:15有源電網(wǎng)絡(luò)+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即:16例:列寫下圖所示機械系統(tǒng)的微分方程解:1)明確系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為f(t),輸出為x(t)2)列寫微分方程,受力分析3)整理可得:17例:列寫下圖所示電網(wǎng)絡(luò)的微分方程解:1)系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為u1,輸出為u22)列寫原始微分方程3)消除中間變量,并整理:18

小結(jié)

物理本質(zhì)不同的系統(tǒng),可以有相同的數(shù)學(xué)模型,從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性,用同一方法進行具有普遍意義的分析研究(信息方法)。

從動態(tài)性能看,在相同形式的輸入作用下,數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進行實驗?zāi)M的基礎(chǔ);

通常情況下,元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨立儲能元(慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等)的個數(shù);因為系統(tǒng)每增加一個獨立儲能元,其內(nèi)部就多一層能量(信息)的交換。19

系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性,僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。

線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù),則為線性定常系統(tǒng);如果方程的系數(shù)是時間t的函數(shù),則為線性時變系統(tǒng);線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理,即:可加性:齊次性:或:20疊加

液體系統(tǒng)節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)設(shè)液體不可壓縮,通過節(jié)流閥的液流是湍流。

A:箱體截面積;21上式為非線性微分方程,即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。

:由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù),通流面積不變時,為常數(shù)。

線性系統(tǒng)微分方程的一般形式

22式中,a1,a2,…,an和b0,b1,…,bm為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實常數(shù),m≤n。

三、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化1、線性化問題的提出

線性化:在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍,將非線性微分方程近似為線性微分方程進行處理。

非線性現(xiàn)象:機械系統(tǒng)中的高速阻尼器,阻尼力與速度的平方成反比;齒輪嚙合系統(tǒng)由于間隙的存在導(dǎo)致的非線性傳輸特性;具有鐵芯的電感,電流與電壓的非線性關(guān)系等。

23

線性化的提出

線性系統(tǒng)是有條件存在的,只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性;

非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的;

對于實際系統(tǒng)而言,在一定條件下,采用線性化模型近似代替非線性模型進行處理,能夠滿足實際需要。2、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

泰勒級數(shù)展開法

函數(shù)y=f(x)在其平衡點(x0,y0)附近的泰勒級數(shù)展開式為:

24略去含有高于一次的增量x=x-x0的項,則:或:y-y0=y=Kx,其中:上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型,稱為增量方程。y0=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程;25增量方程的數(shù)學(xué)含義就是將參考坐標的原點移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點上,對于實際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運動的起始點,這時,系統(tǒng)所有的初始條件均為零。

對多變量系統(tǒng),如:y=f(x1,x2),同樣可采用泰勒級數(shù)展開獲得線性化的增量方程。

增量方程:靜態(tài)方程:其中:26

滑動線性化——切線法0xy=f(x)y0x0xy’y非線性關(guān)系線性化A線性化增量增量方程為:y

y'=xtg切線法是泰勒級數(shù)法的特例。3、系統(tǒng)線性化微分方程的建立步驟27

確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點;

列出各組成元件在工作點附近的增量方程;

消除中間變量,得到以增量表示的線性化微分方程;實例:液位系統(tǒng)的線性化節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)解:穩(wěn)態(tài)時:非線性項的泰勒展開為:28則:由于:注意到:所以:29實際使用中,常略去增量符號而寫成:此時,上式中H(t)和qi(t)均為平衡工作點的增量。4、線性化處理的注意事項

線性化方程的系數(shù)與平衡工作點的選擇有關(guān);

線性化是有條件的,必須注意線性化方程適用的工作范圍;30

某些典型的本質(zhì)非線性,如繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦等,由于存在不連續(xù)點,不能通過泰勒展開進行線性化,只有當(dāng)它們對

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