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文檔簡(jiǎn)介
行列式按行列展開(kāi)第一頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一n階行列式的計(jì)算主要方法:
1【定義法】—
利用n階行列式的定義計(jì)算;
2【三角形法】—利用性質(zhì)1-5化為三角形計(jì)算;
3【展開(kāi)法】—利用行列式按行(列)展開(kāi)性質(zhì)
6,對(duì)行列式進(jìn)行降階計(jì)算;
4【綜合法】—利用性質(zhì)1-5先使D的某行(列)有盡可能多的零,再用性質(zhì)6對(duì)行列式進(jìn)行降階計(jì)算.5【遞推公式法】;
6【歸納法】。
本節(jié)主要介紹展開(kāi)法—利用行列式按行(列)展開(kāi)性質(zhì)6,對(duì)行列式進(jìn)行降階計(jì)算;第二頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一一、簡(jiǎn)介一般說(shuō)來(lái),要解出行列式的值,低階行列式的計(jì)算比高階行列式的計(jì)算要簡(jiǎn)便.
通常的方法是:把一個(gè)行列式轉(zhuǎn)化為一些階數(shù)比較低的行列式來(lái)計(jì)算.
那么,如何將高階的行列式轉(zhuǎn)化為低階的呢?
第三頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一二、余子式與代數(shù)余子式在階行列式中,把元素所在的第行和第列劃去后,留下來(lái)的階行列式叫做元素的余子式,記作1、【余子式】例如的元素a23余子式與代數(shù)余子式余子式為
:
第四頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一叫做元素的代數(shù)余子式.2、【代數(shù)余子式】在余子式前面加上相應(yīng)的符號(hào),即構(gòu)成代數(shù)余子式。例如的元素a23代數(shù)余子式【代數(shù)余子式】第五頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一第六頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一三、按一行(列)展開(kāi)行列式特例1:某行中只有一個(gè)元不為零。故展開(kāi)后較簡(jiǎn)單。
【引理】一個(gè)n階行列式,如果其中第i行所有元素除元外都為零,那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積,即:
第七頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一證明見(jiàn)P16
先證明的情形,此時(shí):
此行列式值為:又:從而:
第八頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一2、【特例2】:行列式D中第i行除元外,該行其他元全為零。即:這時(shí),將行列式第i行調(diào)換到的一行,要換(i-1)次換到的第一行,則有:想把該行列式變換為,第一行中第一元素為,該行其他元全為零的情形:辦法如下:第九頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一
第一步:把D的第i行依次與第i-1行,第i-2行、…..、第1行對(duì)調(diào),這樣數(shù)就調(diào)成元,調(diào)換的次數(shù)為i-1;得
第十頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一第二步:把第j列依次與第j-1列,j-2列,…,第1列對(duì)調(diào),這樣數(shù)就調(diào)成(1,1)元,對(duì)調(diào)次數(shù)為j-1總之,經(jīng)i+j-2次調(diào)換,把數(shù)調(diào)成(1,1)元。所得的行列式為:第十一頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一第十二頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一中的余子式第十三頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一
故得利用前面的結(jié)果有第十四頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一3.推廣到一般情形:定理3.
行列式按行(列)展開(kāi)法則(定理)n階行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即:【注意】:在具體計(jì)算行列式的值時(shí),到底按哪一行(列)來(lái)展開(kāi),看實(shí)際情況確定,哪行簡(jiǎn)單(零元素較多),就按哪行展開(kāi).第十五頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一證明:
則可以得到:
類似地,若按列來(lái)證明有:第十六頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一第十七頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一
例題分析解:把第3行其余元素變?yōu)?,然后按第3行展開(kāi):
第十八頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一例12證明范德蒙德(Vandermonde)行列式其中記號(hào)是連乘號(hào),表示全體同類因子的乘積。第十九頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一第二十頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一定理3推論.
n階行列式的任一行的各元與另一行對(duì)應(yīng)元的代表余子式乘積之和為零,即:同理
n階行列式的任一列的各元與另一列對(duì)應(yīng)元的代表余子式乘積之和為零,即:第二十一頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一
行列式展開(kāi)定理
行列式等于它的任一行(列)各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和即
推論行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零即
綜合結(jié)論
總結(jié)第二十二頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43其中a13=3
a23=1
a33=-1
a43=0
例題分析例1
計(jì)算行列式
將D按第三列展開(kāi)解
所以=-24D=319+1(-63)+(-1)18+0(-10)應(yīng)有第二十三頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期一例2計(jì)算行列式常用方法:先化零,再展開(kāi).解
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