非線性系統(tǒng)分析謝克明

非線性系統(tǒng)分析謝克明第一頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二知識(shí)要點(diǎn)非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)，非線性系統(tǒng)的相平面法分析---相軌跡、奇點(diǎn)、奇線、極限環(huán)。非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)法---描述函數(shù)的定義、非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)、自持振蕩的條件，非線性系統(tǒng)的校正。第二頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二7.1非線性系統(tǒng)概述控制系統(tǒng)包含一個(gè)或一個(gè)以上具有非線性特性的元件或環(huán)節(jié)時(shí)，此系統(tǒng)則為非線性系統(tǒng)。7.1.1非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)1．非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述2.系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)3.系統(tǒng)的穩(wěn)定性

4.系統(tǒng)的自持振蕩（自激振蕩）5.多值響應(yīng)和跳躍諧振

第三頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二7.1.2非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法非線性系統(tǒng)采用非線性微分方程描述，至今尚沒有統(tǒng)一的求解方法，其理論也還不完善。由于非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)，線性系統(tǒng)的分析方法均不能采用。分析非線性系統(tǒng)工程上常采用的方法有：1．線性化近似法對(duì)于某些非線性特性不嚴(yán)重的系統(tǒng)，或系統(tǒng)僅僅只研究平衡點(diǎn)附近特性時(shí)，可以用小偏差線性化方法，將非線性系統(tǒng)近似線性化。第四頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二2．分段線性近似法將非線性系統(tǒng)近似為幾個(gè)線性區(qū)域，每個(gè)區(qū)域有對(duì)應(yīng)的線性化微分方程描述。3．相平面法相平面法是非線性系統(tǒng)的圖解分析法，采用在相平面上繪制相軌跡曲線，確定非線性系統(tǒng)在不同初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式。該方法只適用最高為二階的系統(tǒng)。4．描述函數(shù)法描述函數(shù)法是線性系統(tǒng)頻率特性法的推廣，采用諧波線性化將非線性特性近似表示為復(fù)變?cè)鲆姝h(huán)節(jié)，應(yīng)用頻率法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩。該方法適用于非線性系統(tǒng)中線性部分具有良好的低通濾波特性的系統(tǒng)。第五頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二5．李雅普諾夫法李雅普諾夫法是根據(jù)廣義能量函數(shù)概念分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性。原則上適用所以非線性系統(tǒng)，但對(duì)大多數(shù)非線性系統(tǒng)，尋找李雅普諾夫函數(shù)相當(dāng)困難，關(guān)于李雅普諾夫法在現(xiàn)代控制理論中作祥解。6．計(jì)算機(jī)輔助分析利用計(jì)算機(jī)模擬非線性系統(tǒng)，特別上采用MATLAB軟件工具中的Simulink來模擬非線性系統(tǒng)方便且直觀，為非線性系統(tǒng)的分析提供了有效工具。第六頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二7.2典型非線性特性按非線性環(huán)節(jié)特性的形狀可以將非線性環(huán)節(jié)劃分為死區(qū)特性、飽和特性、繼電特性、間隙特性等。死區(qū)特性（不靈敏區(qū)）死區(qū)特性的的數(shù)學(xué)描述為：

死區(qū)特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響：（1）由于死去的存在，增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了系統(tǒng)的控制精度；（2）若干擾信號(hào)落在死區(qū)段，可大大提高系統(tǒng)的抗干擾能力。第七頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二2．飽和特性飽和特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響：（1）將使系統(tǒng)的開環(huán)增益有所降低，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有利；（2）使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度下降。有時(shí)從系統(tǒng)安全性的考慮，常常加入各種限幅裝置，其特性也屬飽和特性。

第八頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二3．間隙特性（回環(huán)特性）間隙特性對(duì)系統(tǒng)的影響：一般來說，間隙使系統(tǒng)輸出相位滯后，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量，控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性變壞，甚至使系統(tǒng)振蕩；間隙的存在使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差擴(kuò)大，穩(wěn)態(tài)特性變差。第九頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二4．繼電器特性第十頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二（1）理想繼電器特性（2）死區(qū)繼電器特性第十一頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二（3）回環(huán)繼電器特性

（4）死區(qū)加回環(huán)繼電器特性第十二頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二7.3相平面分析法相平面法是龐加萊（Poincare）提出的，它是一種求解二階非線性微分方程組的圖解法，它比較直觀、準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)的特性、不同初始狀態(tài)和輸入信號(hào)下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式。雖然相平面法適用一階、二階非線性控制系統(tǒng)的分析，但它形成特定的相平面法，它對(duì)弄清高階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、極限環(huán)等特殊現(xiàn)象，也起到了直觀形象的作用。第十三頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二7.3.1相平面的基本概念設(shè)二階非線性系統(tǒng)的微分方程為：若令則二階系統(tǒng)可寫成兩個(gè)一階微分方程，即第十四頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二1.相平面，相點(diǎn)和相軌跡

以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)的平面稱為相平面，相應(yīng)的分析法稱為相平面法；相平面上的點(diǎn)稱為相點(diǎn)；由某一初始條件出發(fā)在相平面上繪出的曲線稱為相平面軌跡，簡(jiǎn)稱相軌跡；不同初始條件下構(gòu)成的相軌跡，稱為相軌跡族，由相軌跡族構(gòu)成的圖稱為相平面圖，簡(jiǎn)稱相圖。第十五頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二2.相軌跡方程和平衡點(diǎn)考察二階非線性時(shí)不變微分方程:引入相平面的概念，將二階微分方程改寫成二元一階微分方程組:第十六頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二一般形式為消去時(shí)間變量t，得到相軌跡的斜率方程求解可得相軌跡方程，即表示相平面上的一條曲線，即相軌跡。第十七頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二相軌跡的性質(zhì)：1.一般情況下，相軌跡不相交。相點(diǎn)處的斜率由唯一確定，不同條件下的相軌跡是不會(huì)相交。2.當(dāng)某一相點(diǎn)滿足第十八頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二

此時(shí)兩個(gè)狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的變化率都為零，系統(tǒng)的狀態(tài)不再發(fā)生變化，即系統(tǒng)到達(dá)了平衡狀態(tài)，相應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)（相點(diǎn)）稱為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。平衡點(diǎn)處有的斜率第十九頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二則上式不能唯一確定其斜率，相軌跡上斜率不確定的點(diǎn)在數(shù)學(xué)上也稱為奇點(diǎn)，故平衡點(diǎn)即為奇點(diǎn)。

奇點(diǎn)處，由于相軌跡的斜率dx2／dx1為不定值，可理解為有多條相軌跡在此交匯或由此出發(fā)，即相軌跡可以在奇點(diǎn)處相交。第二十頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二7.3.2線性系統(tǒng)的相軌跡

線性二階系統(tǒng)微分方程為:相軌跡的斜率方程為:第二十一頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二系統(tǒng)的奇點(diǎn)(平衡點(diǎn))滿足解得為系統(tǒng)的奇點(diǎn)。系統(tǒng)的特征根為對(duì)于不同的阻尼比二階系統(tǒng)的特征根不同，系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)由特征根決定，而時(shí)域響應(yīng)和響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)決定系統(tǒng)的相軌跡。

第二十二頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二1、無阻尼運(yùn)動(dòng)（=0）此時(shí)系統(tǒng)特征根為一對(duì)共軛虛根，相軌跡方程變?yōu)?/p>

對(duì)上式分離變量并積分，得式中，A為由初始條件決定的積分常數(shù)。第二十三頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二初始條件不同時(shí),上式表示的系統(tǒng)相軌跡是一族同心橢圓，每一個(gè)橢圓對(duì)應(yīng)一個(gè)等幅振動(dòng)。在原點(diǎn)處有一個(gè)平衡點(diǎn)(奇點(diǎn))，該奇點(diǎn)附近的相軌跡是一族封閉橢圓曲線，這類奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。無阻尼二階線性系統(tǒng)的相軌跡第二十四頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二2、欠阻尼運(yùn)動(dòng)（01）

系統(tǒng)特征方程的根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根,系統(tǒng)的零輸入解為

式中,A、B、為由初始條件確定的常數(shù)。時(shí)域響應(yīng)過程是衰減振蕩的。

第二十五頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二可求出系統(tǒng)有一個(gè)位于相平面原點(diǎn)的平衡點(diǎn)（奇點(diǎn)），不同初始條件出發(fā)的相軌跡呈對(duì)數(shù)螺旋線收斂于該平衡點(diǎn)，這樣的奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定焦點(diǎn)。欠阻尼二階線性系統(tǒng)的響應(yīng)和相軌跡第二十六頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二3、過阻尼運(yùn)動(dòng)（＞1）系統(tǒng)特征根為兩負(fù)實(shí)根,已知系統(tǒng)零輸入解的表達(dá)式為

式中,A1,A2——初始條件決定的常數(shù)；1,2——特征根第二十七頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二不同初始條件下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖所示。相軌跡是一族匯聚到原點(diǎn)的拋物線，單調(diào)地趨于平衡點(diǎn)(奇點(diǎn))—坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示。這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。

過阻尼二階線性系統(tǒng)的響應(yīng)和相軌跡第二十八頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二4、負(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)(<0)（系統(tǒng)不穩(wěn)定，根據(jù)極點(diǎn)位置分三種情況分別討論）

(l)-1＜＜0時(shí),特征根為S右半平面的共軛復(fù)根,響應(yīng)為振蕩發(fā)散,相軌跡是一族從原點(diǎn)向外卷的對(duì)數(shù)螺旋線,如圖所示。奇點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。

-1＜＜0時(shí)的相軌跡第二十九頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二(2)

＜-1時(shí)，特征根是兩個(gè)正實(shí)根，響應(yīng)為單調(diào)發(fā)散，相軌跡是一族從原點(diǎn)出發(fā)向外單調(diào)發(fā)散的拋物線，如圖所示。奇點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。

＜-1時(shí)的相軌跡第三十頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二(3)對(duì)圖所示的正反饋二階系統(tǒng)

方框圖其特征方程式為特征根為第三十一頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二特殊情況：兩邊積分得：雙曲線方程特征根為一正，一負(fù)第三十二頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二特征根為一對(duì)符號(hào)相反的實(shí)根，響應(yīng)依然單調(diào)發(fā)散的，相軌跡是一族雙曲線，如圖所示。這時(shí)的奇點(diǎn)也是坐標(biāo)原點(diǎn)，稱為鞍點(diǎn)。相軌跡第三十三頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二以上分析表明，二階線性系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上位置不同時(shí)，時(shí)域響應(yīng)的形式不同，相軌跡的形狀也完全不同?？梢娤嘬壽E的形狀與系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的位置密切相關(guān)，與奇點(diǎn)類型也密切相關(guān)。第三十四頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二根與相軌跡j0j0j0節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)λ1j0λ2j0λ2λ1j0λ1λ235第三十五頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二第三十六頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二第三十七頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二7.3.3二階非線性系統(tǒng)的線性化對(duì)于非線性系統(tǒng)，描述二階非線性系統(tǒng)的微分方程為表示非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)（奇點(diǎn)），它往往不止一個(gè)。第三十八頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二對(duì)于非線性系統(tǒng)，奇點(diǎn)類型與相軌跡的類型僅適用于奇點(diǎn)附近的區(qū)域。整個(gè)系統(tǒng)的相圖就可能由幾個(gè)不同類型的相軌跡組成。對(duì)于非線性系統(tǒng)奇點(diǎn)性質(zhì)分析，采用小范圍線性化的方法。假設(shè)奇點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，將在奇點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)，并取一次近似，第三十九頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二假若平衡點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)得：第四十頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二令：方程組可改寫為特征方程線性化方程組第四十一頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二在一般情況下，線性化方程在平衡點(diǎn)附近的相軌跡與非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的相軌跡具有同樣的形狀特征。但是，若線性化方程求解至少有一個(gè)根為零，根據(jù)李雅普諾夫小偏差理論，不能根據(jù)一階線性化方程確定非線性系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的特性，此時(shí)，平衡點(diǎn)附近的相軌跡要考慮高階項(xiàng)。第四十二頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二例：確定非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)及附近的相軌跡。解：令求得奇點(diǎn)（0，0），（-2，0）。第四十三頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二（1）奇點(diǎn)（0，0）線性化方程為特征根（0,0)奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，其附近的相軌跡為收斂的對(duì)數(shù)螺旋線。（2）奇點(diǎn)（-2，0）奇點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)，令，則原方程變?yōu)榈谒氖捻摚惨话俣豁?，編輯?023年，星期二線性化方程：特征根S1=-1.69，S2=1.19（-2，0）奇點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)，相軌跡為雙曲線。第四十五頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二系統(tǒng)的相平面圖第四十六頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二對(duì)于非線性系統(tǒng)還有一種與線性系統(tǒng)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)---自持振蕩，它在相平面圖上表現(xiàn)為一條孤立封閉曲線，稱之為極限環(huán)或奇線。極限環(huán)附近的相軌跡都卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。因此，極限環(huán)將相平面分成內(nèi)部平面和外部平面，極限環(huán)內(nèi)部（外部）的相軌跡，不能穿過極限環(huán)進(jìn)入它的外部（內(nèi)部）。2.極限環(huán)（奇線）第四十七頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二分析極限環(huán)鄰近相軌跡的特點(diǎn)，可將極限環(huán)分成：（1）穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡均收斂于該極限環(huán)，穩(wěn)定極限環(huán)對(duì)應(yīng)穩(wěn)定的自持振蕩。（2）不穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡均從該極限環(huán)發(fā)散出去，不穩(wěn)定極限環(huán)對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定的自持振蕩。第四十八頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二（3）半穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡有一側(cè)收斂于該極限環(huán)，而另一側(cè)的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散出去，半穩(wěn)定極限環(huán)。穩(wěn)定的極限環(huán)可通過實(shí)驗(yàn)觀察到。第四十九頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二7.3.4相軌跡圖的繪制繪制相軌跡圖可采用解析法、圖解法、實(shí)驗(yàn)法和計(jì)算機(jī)輔助法。1．解析法解析法一般用于系統(tǒng)的微分方程比較簡(jiǎn)單或可以用分段線性化的方程。例7-3試?yán)L制圖7-15所示系統(tǒng)在三種情況下的

第五十頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二分別對(duì)應(yīng)平面上為開口向右，向左頂點(diǎn)在c軸上的兩條拋物線。位置與初始條件或另一個(gè)區(qū)域的相軌跡與開關(guān)線的交點(diǎn)有關(guān)。開關(guān)線是過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，斜率與值有關(guān)。第五十一頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二1。當(dāng)時(shí)，開關(guān)線為軸，相軌跡由兩個(gè)拋物線封閉組成，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)，如圖所示。第五十二頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二2。當(dāng)時(shí)，開關(guān)線向右傾斜，位于1，3象限，相軌跡仍由兩個(gè)拋物線組成，但每次切換時(shí)，均增大，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)是振蕩發(fā)散運(yùn)動(dòng)，如圖所示。第五十三頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二3。當(dāng)時(shí)，開關(guān)線向左傾斜，位于2，4象限，相軌跡仍由兩個(gè)拋物線組成，但每次切換時(shí)，均減小，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)是振蕩收斂運(yùn)動(dòng)，如圖所示。第五十四頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二1、等傾線法當(dāng)系統(tǒng)相軌跡方程不易用解析法求解時(shí),可使用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。將上式表示為：對(duì)非線性系統(tǒng)：第五十五頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二其中，是相軌跡的斜率，令，為一常數(shù)，則有，上式稱為等傾線方程，各相軌跡與該曲線交點(diǎn)的斜率相等，且等于。第五十六頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二繪制思路：對(duì)于給定斜率，求解等傾線方程，得到一條等傾曲線。給定不同的值，可在相平面上繪制不同的等傾曲線。由給定的初始條件出發(fā)，沿各條等傾曲線所決定相軌跡的切線方向，依次畫出系統(tǒng)相軌跡。

第五十七頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二解：系統(tǒng)的微分方程可以化或令得等傾線方程取不同的值，分別繪制等傾線，等傾線為直線【例】線性二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為試用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。第五十八頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二圖中作出了取不同值時(shí)的等傾線及等傾線上表示斜率值的小線段。若給定的初始條件為A點(diǎn),從A點(diǎn)出發(fā)順時(shí)針將各小線段光滑地聯(lián)接起來,就得到了從A點(diǎn)出發(fā)的一條相軌跡。繪制非線性系統(tǒng)相軌跡的圖解方法還有法等。系統(tǒng)相軌跡圖第五十九頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二7.3.5由相軌跡圖求時(shí)間相軌跡圖是系統(tǒng)的輸出響應(yīng)或誤差響應(yīng)在相平面上的映象，它雖然可以反映系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的主要特征，但不能直接顯示時(shí)間信息。如需要求出系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，就必須確定相軌跡上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間，可以采用以下兩種方法近似求取。1．根據(jù)相軌跡的平均斜率求時(shí)間t設(shè)系統(tǒng)的相軌跡如圖所示，設(shè)相軌跡由A點(diǎn)轉(zhuǎn)移到B點(diǎn)所需的時(shí)間為第六十頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二故在此期間的平均值為：據(jù)此可求得相軌跡由A點(diǎn)轉(zhuǎn)移到B點(diǎn)所需的時(shí)間為第六十一頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二用同樣的方法可求出相軌跡由B點(diǎn)轉(zhuǎn)移到C點(diǎn)的時(shí)間，以次類推可得的曲線。

2．面積法求時(shí)間設(shè)系統(tǒng)的相軌跡如圖所示

第六十二頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二例：設(shè)恒溫箱動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，若要求溫度保持200度，恒溫箱由常溫20度啟動(dòng)，試在相平面上作出溫度控制的相軌跡，并計(jì)算升溫時(shí)間。第六十三頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二第六十四頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二相應(yīng)的相軌跡為直線，相軌跡在開關(guān)線上跳至另一條相軌跡。第六十五頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二第六十六頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二7.3.6非線性系統(tǒng)的相平面分析[例]圖為帶死區(qū)的繼電器的非線性系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)在靜止?fàn)顟B(tài)下施加階躍信號(hào)r(t)=R·1(t)，試分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。第六十七頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二解：線性部分的微分方程為非線性部分的特性為第六十八頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二相平面取

，則有非線性方程轉(zhuǎn)化為三個(gè)線性微分方程，它們分別對(duì)應(yīng)于相平面上I，II，III區(qū)。I區(qū)：對(duì)相平面的區(qū)域

I區(qū)相軌跡的等傾線方程為第六十九頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二I區(qū)內(nèi)相軌跡的等傾線為一系列平行于軸的直線。II區(qū)：對(duì)相平面的區(qū)域II區(qū)相軌跡的等傾線方程為II區(qū)內(nèi)相軌跡是斜率的直線或者是的直線。III區(qū)：對(duì)相平面的區(qū)域III區(qū)相軌跡的等傾線方程為III區(qū)內(nèi)相軌跡的等傾線為一系列平行于軸的直線

第七十頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二假設(shè)T=1，K=5，a=0.2，M=0.2分別作出三個(gè)區(qū)域的等傾線如圖所示，由不同初始條出發(fā)作出系統(tǒng)的相軌跡如圖所示第七十一頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二7.4描述函數(shù)法7.4.1描述函數(shù)的定義設(shè)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。在此假定：①非線性環(huán)節(jié)不是時(shí)間的函數(shù)；②非線性環(huán)節(jié)特性是斜對(duì)稱的；③系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性能。第七十二頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性為

當(dāng)非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號(hào)

非線性環(huán)節(jié)的輸出一般不是正弦信號(hào)，但仍是一個(gè)周期信號(hào)，其傅立葉級(jí)數(shù)展開式為第七十三頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二非線性環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)y(t)中含有基波及各高次諧波。通常諧波的次數(shù)越高，其相應(yīng)的傅立葉系數(shù)越小，即相應(yīng)的諧波分量幅值就越小。如果系統(tǒng)線性部分G(s)具有良好的低通濾波特性，則高次諧波分量通過線性部分后將被衰減到忽略不計(jì)，可以近似認(rèn)為當(dāng)輸入為正弦信號(hào)x(t)時(shí)，只有y(t)的基波分量沿閉環(huán)反饋回路送至比較點(diǎn)，其高次諧波分量可忽略不計(jì)，即只考慮一次諧波，第七十四頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二非線性環(huán)節(jié)相當(dāng)于一個(gè)對(duì)正弦輸入信號(hào)的幅值及相位進(jìn)行變換的環(huán)節(jié)，可以仿照線性系統(tǒng)頻率特性的概念建立非線性環(huán)節(jié)的等效幅相特性。定義：正弦信號(hào)作用下非線性環(huán)節(jié)輸出量的基波分量與其輸入正弦量的復(fù)數(shù)比稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，記為N(A)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為第七十五頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二7.4.2典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)1.死區(qū)特性的描述函數(shù)輸出波形是單值奇對(duì)稱的，所以，并且第七十六頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二第七十七頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二2.理想繼電器特性的描述函數(shù)傅氏展開斜對(duì)稱、奇函數(shù)A0=An=0(偶次對(duì)稱性)第七十八頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二3.一般非線性

描述函數(shù)不僅適合于分段線性系統(tǒng)，也適合于一般非線性系統(tǒng)，只要能求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。我們舉一個(gè)例子:因?yàn)樗菃沃怠⑵鎸?duì)稱的，，先求出：

第七十九頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二所以

第八十頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二飽和特性死區(qū)特性死區(qū)飽和特性常見非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)第八十一頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二7.4.3非線性系統(tǒng)的的簡(jiǎn)化當(dāng)系統(tǒng)由多個(gè)非線性環(huán)節(jié)和多個(gè)線性環(huán)節(jié)組合時(shí)，可通過等效變換，使系統(tǒng)簡(jiǎn)化為典型的非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖所示1．非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)若兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，可采用作圖方法求得串聯(lián)后的等效非線性特性。如圖所示的兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，求得等效后的非線性特性。第八十二頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二由圖可知，等效后的非線性為死區(qū)飽和特性

第八十三頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二參數(shù)的求取：

第八十四頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二2．非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián)兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，則等效非線性特性為兩個(gè)非線性特性的疊加。如圖為死區(qū)非線性和死區(qū)繼電器非線性特性的并聯(lián)。第八十五頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二第八十六頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二7.4.4描述函數(shù)分析法

假設(shè)非線性系統(tǒng)的線性動(dòng)態(tài)部分具有良好的低通特性，那么非線性特性可以用描述函數(shù)

1.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率特性分析法，將頻率特性推廣到非線性系統(tǒng)，則其閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性為：

第八十七頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二系統(tǒng)的特征方程為：

假設(shè)G(s)是最小相位環(huán)節(jié)，與線性系統(tǒng)的Nyquist判據(jù)比較，非線性系統(tǒng)中的相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的臨界穩(wěn)定點(diǎn)（-1,j0)。

第八十八頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二(1)如果在復(fù)平面上，-1／N(A)曲線不被G(j)曲線所包圍，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

第八十九頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二(2)如果在復(fù)平面上，-1／N(A)曲線被G(j)曲線所包圍，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第九十頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二(3)如果在復(fù)平面上-1／N(A)曲線與G(j)曲線相交，非線性系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，則在非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生周期性振蕩（穩(wěn)定或不穩(wěn)定），穩(wěn)定自持振蕩的振幅由-1／N(A)曲線交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的A值決定，振蕩的頻率由G(j)曲線交點(diǎn)處的值決定。第九十一頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二2.自持振蕩非線性系統(tǒng)的自持振蕩是在沒有外界輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生的具有固定頻率和振幅的穩(wěn)定的等幅運(yùn)動(dòng)。若滿足即系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。如果不止一組參數(shù)滿足，則系統(tǒng)存在幾個(gè)等幅運(yùn)動(dòng)（穩(wěn)定或不穩(wěn)定的自持振蕩）。描述函數(shù)的負(fù)倒第九十二頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到c點(diǎn)時(shí)，

c點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)增大； 不返回到a。當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到d點(diǎn)，d點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)減??； 不返回到a。a點(diǎn)為不穩(wěn)定自持振蕩點(diǎn)。分析法第九十三頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到e點(diǎn)時(shí)，

e點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A減小； 返回到b。當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到f點(diǎn)，

f點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A增大； 返回到b。b點(diǎn)為穩(wěn)定自持振蕩點(diǎn)。第九十四頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二具有飽和特性的非線性系統(tǒng)A＝a時(shí)A∞時(shí)G1(j)軌跡不與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交

不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交b點(diǎn):穩(wěn)定自振交點(diǎn)bAb3.非線性系統(tǒng)描述函數(shù)分析第九十五頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)A＝a時(shí)A∞時(shí)G1(j)軌跡不與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交b點(diǎn):不穩(wěn)定自振交點(diǎn)第九十六頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)負(fù)倒描述函數(shù)軌跡為整個(gè)負(fù)實(shí)軸2）如有數(shù)個(gè)交點(diǎn)

必有穩(wěn)定的自振交點(diǎn)1）如只有一個(gè)交點(diǎn)

必為穩(wěn)定的自振交點(diǎn)第九十七頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二例如圖所示系統(tǒng)試求：①當(dāng)K＝10時(shí)，該系統(tǒng)是否存在自持振蕩，如果存在則求出自持振蕩的振幅和頻率；②當(dāng)K為何值時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界狀態(tài)。非線性飽和特性參數(shù)a=1、k=2第九十八頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二相交于穩(wěn)定自振交點(diǎn)mA＝a時(shí)A∞時(shí)負(fù)倒描述函數(shù)軌跡為實(shí)軸上（-0.5，-∞)。第九十九頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二a/A=0.24A=4.38A=4.38穩(wěn)定自振交點(diǎn)m:第一百頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二臨界狀態(tài)下，軌跡在負(fù)實(shí)軸上的交點(diǎn)nK=3第一百零一頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二例：非線性系統(tǒng)如圖所示，若T=0.25,試求系統(tǒng)自持振蕩時(shí)輸出振蕩的振幅和頻率。第一百零二頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二第一百零三頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二11.11.4122.32.5345610110-0.36-0.78-1.36-1.63-1.8-2.22-3.04-3.85-4.65-7.81-8.6第一百零四頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二1.51.72.02.22.32.534567101215-5.56-4.33-3.13-2.58-2.36-2-1.39-0.78-0.5-0.35-0.26-0.13-0.09-0.061.30.570-0.2-0.27-0.36-0.46-0.47-0.42-0.37-0.33-0.24-0.2-0.16第一百零五頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二由圖所示，兩條曲線交于A，B兩點(diǎn)，且B對(duì)應(yīng)穩(wěn)定自持振蕩，參數(shù)X/h=1.1,w=12,所以自持振蕩幅值X=1.1，頻率w=12第一百零六頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期二將振幅X折算到輸出端，考慮到第一百零七頁，共一百二十一頁，編輯于2023年，星期