信號與系統(tǒng)分析（第2版）課件第四章 復(fù)頻域分析

4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)4.4利用拉普拉斯變換求解線性微分方程4.5利用拉普拉斯變換分析線性電路第4章復(fù)頻域分析4.1拉普拉斯變換4.2逆拉普拉斯變換電子教案目錄4.7系統(tǒng)函數(shù)的穩(wěn)定性4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)4.6系統(tǒng)函數(shù)4.9反饋系統(tǒng)簡介4.10模擬濾波器簡介1引言一、信號變換域分析的必要性

對系統(tǒng)的分析可改在變換域進行，變換域分析的一個好處是能從一種新的角度認識信號與系統(tǒng)，信號與系統(tǒng)的某些特征在變換域分析會更加方便和明顯.

二、信號可以有多種不同的表示

從數(shù)學(xué)角度看，通過在函數(shù)的完備集中展開信號可以實現(xiàn)信號的無數(shù)種表示.取哪種表示來用，是要看用哪種表示可以更好的表示信號的特征，可以組成分析一般問題的基本信號單元，這樣的基本單元應(yīng)該滿足以下要求：1、利用這種基本信號單元能夠組成相當廣泛的一類信號2、LTI系統(tǒng)對基本信號單元的響應(yīng)應(yīng)該容易求得，且響應(yīng)具有盡可能簡單的形式.2三、本書用到的信號的變換域連續(xù)信號離散信號自變量基本信號單元變換名稱復(fù)頻域頻域拉氏變換傅氏變換復(fù)頻域頻域z變換傅里葉變換3

四、拉氏變換在系統(tǒng)分析中的優(yōu)勢

1、將系統(tǒng)在時域內(nèi)微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域的代數(shù)方程，降低求解難度.2、將系統(tǒng)在時域內(nèi)的卷積計算轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域的乘法計算，減少計算量.3、在拉氏變換的基礎(chǔ)上建立的運算法，為線性時不變電路的分析計算提供了很大方便.4、利用在復(fù)頻域中引出的系統(tǒng)函數(shù)，可以方便地分析系統(tǒng)的各種特性.44.1拉普拉斯變換1.拉普拉斯變換的定義2.極零點3.存在性與收斂域51.拉普拉斯變換的定義1.拉普拉斯變換的定義4.1

拉普拉斯變換傅里葉變換：傅里葉反變換：映射：傅里葉變換與傅里葉反變換是一對一的變換對。條件：信號必須滿足絕對可積條件可以分解為的線性組合.回顧3.3節(jié)傅里葉變換6令復(fù)頻率雙邊拉氏變換拉氏反變換拉普拉斯變換的定義1.拉普拉斯變換的定義4.1

拉普拉斯變換7拉氏變換對：說明：原函數(shù),實際存在,實函數(shù),可以感覺和測量.①象函數(shù),自然界中不存在,復(fù)函數(shù),無法直接測量；②關(guān)鍵在于衰減因子的引入，適合于更多信號.表示振蕩幅度的增長速率或衰減速率.只能描述振蕩頻率，而不僅能給出重復(fù)頻率，還可以域的目的：③把變到方便計算——微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程，卷積積分變成相乘.1.拉普拉斯變換的定義4.1

拉普拉斯變換8單邊拉氏變換②

信號的單邊拉氏變換結(jié)論：的單邊拉氏變換即為（因果信號）的雙邊拉氏變換，單邊拉氏變換的反變換應(yīng)是因果信號，即.①

因果信號雙邊拉氏變換1.拉普拉斯變換的定義4.1

拉普拉斯變換9③

單邊拉氏變換的工程背景

因為本書僅研究線性時不變且為因果系統(tǒng)，故僅討論單邊拉氏變換.即：拉氏正變換拉氏反變換在系統(tǒng)分析中，一般認為信號在0時刻加入，對于因果系統(tǒng)其響應(yīng)在才出現(xiàn)，實際響應(yīng)一定也是因果信號.實際信號都有起始時刻，一般認為起始時刻為0時刻，故把實際信號看成因果信號是符合實際的.④

積分下限取.考慮到信號在時可能出現(xiàn)沖激，故采用1.拉普拉斯變換的定義4.1

拉普拉斯變換10典型信號的拉氏變換解：例4.1.1：求的拉普拉斯變換.說明：1、利用系統(tǒng)，可以計及信號在時發(fā)生的沖激。2、全域內(nèi)均存在拉氏變換.例4.1.2：求的拉普拉斯變換。解：當s

的實部時，，故記作注意：階躍信號只在的區(qū)域內(nèi)存在拉氏變換，

是區(qū)域邊界.是的極點實部.1.拉普拉斯變換的定義4.1

拉普拉斯變換11解：

例4.1.3：求的拉普拉斯變換，為任一實數(shù)或復(fù)數(shù).時，有注意：指數(shù)信號只在的區(qū)域內(nèi)存在拉氏變換，

是區(qū)域邊界.1.拉普拉斯變換的定義4.1

拉普拉斯變換12例如：的根稱為的極點，用表示的根稱為的零點，用表示2.極零點2.極零點4.1

拉普拉斯變換133.存在性與收斂域ROCROC是拉氏變換最右邊極點的右邊。把上式成立的的范圍稱為拉氏變換的收斂域。①

ROC的概念②因果信號的拉氏變換ROC當時，的拉氏變換存在。3.存在性與收斂域ROC4.1

拉普拉斯變換144.2逆拉普拉斯變換1.基本思想2.部分分式展開法15根據(jù)線性性質(zhì)，采取部分分式展開法求取逆拉氏變換

直接求取相當困難！1.基本思想1.基本思想4.2

逆拉普拉斯變換16

單極點，互不相等2.部分分式展開方法2.部分分式展開法4.2

逆拉普拉斯變換17復(fù)數(shù)極點復(fù)數(shù)極點必以共軛形式出現(xiàn)，A1和A2也呈共軛關(guān)系假定

重極點，X(s)含有j重極點p1令2.部分分式展開法4.2

逆拉普拉斯變換184.3拉普拉斯變換的性質(zhì)1.微分2.積分3.移位4.初值定理5.終值定理6.卷積19①t域微分性質(zhì)：例4.3.1：應(yīng)用微分性質(zhì)求的變換.解：

1.微分1.微分4.3

拉普拉斯變換的性質(zhì)20②

頻域微分性質(zhì)：例4.3.2：

試求的拉普拉斯變換，其中n為正整數(shù).解：由于，則即

類似得1.微分4.3

拉普拉斯變換的性質(zhì)21①時域積分性質(zhì)：

例4.3.3：利用積分性質(zhì)求單位斜變函數(shù)的變換.解：

式中對于因果信號則2.積分4.3

拉普拉斯變換的性質(zhì)2.積分②復(fù)頻域積分性質(zhì)：

22①時移性質(zhì)：例4.3.4：求的拉氏變換.解：3.時移3.時移4.3

拉普拉斯變換的性質(zhì)23②復(fù)頻域移位性質(zhì)：例4.3.5：

求衰減正弦的拉普拉斯變換.頻移特性解：

正弦函數(shù)的變換為余弦函數(shù)的變換為頻移特性3.時移4.3

拉普拉斯變換的性質(zhì)24初值定理：若x(t)

?X(s)，x(t)在t=0處不含沖激，則x(t)的初始值為例4.3.6：已知x(t)拉氏的變換，求解：

顯然，由已知X(s)，在不需要取逆變換的情況下可直接求出x(t)的初始值。4.初值定理4.3

拉普拉斯變換的性質(zhì)4.初值定理25終值定理：若x(t)

?X(s)，且sX(s)的全部極點均位于左半s平面，則有例4.3.7：已知x(t)拉氏的變換，求解：

顯然，由已知X(s)，在不需要取逆變換的情況下可直接求出x(t)的終值。5.終值定理4.3

拉普拉斯變換的性質(zhì)5.終值定理26①時域卷積性質(zhì)：

例4.3.8：利用卷積性質(zhì)求的拉氏變換.解：

6.卷積4.3

拉普拉斯變換的性質(zhì)6.卷積②復(fù)頻域卷積性質(zhì)：

274.4利用拉普拉斯變換求解線性微分方程（4）對其取逆變換得到時域解.（1）假設(shè)電路或系統(tǒng)的輸入輸出微分方程已知；（2）對微分方程應(yīng)用單邊拉普拉斯變換；（3）利用時域微分性質(zhì)求出

域輸出；步驟：28例4.4.1：已知系統(tǒng)的微分方程為輸入，初始條件,用拉普拉斯變換求響應(yīng)

解：

4.4利用拉普拉斯變換求解線性微分方程294.5利用拉普拉斯變換分析線性電路1.電路的復(fù)頻域模型2.利用拉普拉斯變換分析電路30

域基爾霍夫定律

域電路元件的約束關(guān)系

對收斂域中的所有，對任一結(jié)點的KCL為

相似地，域?qū)θ我换芈返腒VL為

獨立電源的域模型

1.電路的復(fù)頻域模型

1.電路的復(fù)頻域模型4.5利用拉普拉斯變換分析線性電路31電阻

電感

電容

1.電路的復(fù)頻域模型4.5利用拉普拉斯變換分析線性電路32電阻

電感電容

1.電路的復(fù)頻域模型4.5利用拉普拉斯變換分析線性電路33耦合電感的s域模型1.電路的復(fù)頻域模型4.5利用拉普拉斯變換分析線性電路34電阻電感

電容在零初始條件下，無源元件的s域關(guān)系式為（s域）阻抗電阻電感電容（s域）導(dǎo)納電阻

電感電容1.電路的復(fù)頻域模型4.5利用拉普拉斯變換分析線性電路352.利用拉普拉斯變換分析電路畫出

域電路模型；在

域列寫電路方程，并求解輸出量的拉普拉斯變換；求輸出量的逆拉普拉斯變換，給出輸出量的時域表達式.在

域列寫電路方程，并求解輸出量的拉普拉斯變換；2.利用拉普拉斯變換分析電路4.5利用拉普拉斯變換分析線性電路36例4.5.1：下圖所示RLC串聯(lián)電路，已知斯變換分析開關(guān)閉合后的電容電壓.應(yīng)用拉普拉解：2.利用拉普拉斯變換分析電路4.5利用拉普拉斯變換分析線性電路372.利用拉普拉斯變換分析電路4.5利用拉普拉斯變換分析線性電路384.6系統(tǒng)函數(shù)1.系統(tǒng)的特征2.系統(tǒng)函數(shù)的定義39（1）系統(tǒng)的時域特征1.系統(tǒng)的特征1.系統(tǒng)的特征4.6系統(tǒng)函數(shù)以單位沖激信號作為激勵時，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，記作.任意時域信號激勵時系統(tǒng)的響應(yīng)40（2）系統(tǒng)的復(fù)頻域特征—系統(tǒng)函數(shù)

1.系統(tǒng)的特征4.6系統(tǒng)函數(shù)41

系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比叫系統(tǒng)函數(shù)或網(wǎng)絡(luò)函數(shù).2.系統(tǒng)函數(shù)的定義

在域中，輸出與輸入是代數(shù)關(guān)系，在零初始狀態(tài)下是比例函數(shù)關(guān)系.2.系統(tǒng)函數(shù)的定義4.6系統(tǒng)函數(shù)42由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程(零狀態(tài))產(chǎn)生（1）系統(tǒng)函數(shù)的來源：由s域電路模型產(chǎn)生（初始條件為0）由時域卷積產(chǎn)生由系統(tǒng)沖激響應(yīng)產(chǎn)生2.系統(tǒng)函數(shù)的定義4.6系統(tǒng)函數(shù)43（2）描述LTI系統(tǒng)的三種數(shù)學(xué)形式這三種形式可以互相轉(zhuǎn)換，根據(jù)實際需要選用.時域輸入輸出關(guān)系微分方程——經(jīng)典法時域的沖激響應(yīng)——卷積法域的系統(tǒng)函數(shù)——拉氏變換2.系統(tǒng)函數(shù)的定義4.6系統(tǒng)函數(shù)44（3）電路理論中系統(tǒng)函數(shù)的4種形式

電壓傳遞函數(shù)：

電流傳遞函數(shù)：

傳遞阻抗：

傳遞導(dǎo)納：

注意：網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是在零狀態(tài)條件下定義的，無論電路的初始條件是否為零，求解網(wǎng)絡(luò)函數(shù)時要把初始條件按零值對待，即

域電路模型中不應(yīng)包含附加電源.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與電路拓撲和元件值有關(guān)，而與激勵無關(guān).2.系統(tǒng)函數(shù)的定義4.6系統(tǒng)函數(shù)45例4.6.1：圖中所示電路含有理想運算放大器，求電壓傳遞函數(shù)解：反饋通路的阻抗為則電壓傳遞函數(shù)

電路的輸入阻抗為2.系統(tǒng)函數(shù)的定義4.6系統(tǒng)函數(shù)46例4.6.2：

電路如圖所示，求輸入導(dǎo)納和電壓傳遞函數(shù)解：應(yīng)用回路法，有回路1：回路2：2.系統(tǒng)函數(shù)的定義4.6系統(tǒng)函數(shù)474.7系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定性判據(jù)2.勞斯穩(wěn)定性判據(jù)3.正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)48

一般來說，一個實際系統(tǒng)，如果在引起任何微小擾動的情況下（激勵或初始狀態(tài)），只在系統(tǒng)的行為（響應(yīng)）中產(chǎn)生微小的擾動，就稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于線性系統(tǒng)，一個等價的說法是在零狀態(tài)條件下有界輸入產(chǎn)生有界輸出，稱為系統(tǒng)有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定性定義。若一系統(tǒng)對所有時間t，輸入其輸出滿足對所有t，則系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。4.7

系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定性判據(jù)1.穩(wěn)定性判據(jù)49對所有時間t若輸入信號有界，設(shè)當輸出也有界時則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由卷積公式，有因此，當（1）時域判定成立時，則輸出必是有界，系統(tǒng)則是穩(wěn)定的.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：4.7

系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定性判據(jù)50（2）s域判定對單邊拉普拉斯變換，由于的所有極點一定位于收斂域的左方，因而系統(tǒng)穩(wěn)定時的所有極點必須位于左半s平面。的極點不落在右半平面的必要條件：的分母多項式各項系數(shù)均為非零正實數(shù)，或均為非零負實數(shù)。（3）系統(tǒng)函數(shù)的零極點與時域響應(yīng)的關(guān)系

單極點二重極點4.7

系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定性判據(jù)51結(jié)論：若，則在復(fù)頻域中，的極點中只要有一個位于s平面的右半開平面，則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的；若出現(xiàn)的極點在虛軸上且是重階的，則系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的.若，則必然的極點全部位于s平面的左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。若有限值，則除左半開平面上有極點外，只要在軸上至少有一對單階的共軛極點，或在坐標原點有一個單極點，則該系統(tǒng)就是臨界穩(wěn)定的。4.7

系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定性判據(jù)52例4.7.1：判斷以下兩個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(1)(2)解：（1）系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）由于它是無界的，故該系統(tǒng)不是BIBO穩(wěn)定的.4.7

系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定性判據(jù)53例4.7.2：

有源RC濾波器電路，輸出為電壓v4(t)，分析電路穩(wěn)定時電壓放大器增益K的取值范圍。解：

首先求解系統(tǒng)函數(shù)。電路的結(jié)點電壓方程為結(jié)點2：結(jié)點3：電壓控制電壓源：4.7

系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定性判據(jù)54從以上方程中消去V4(s)，有當系統(tǒng)穩(wěn)定時，系統(tǒng)函數(shù)的極點必須位于左半s平面，上式分母多項式的各個系數(shù)必須大于零。因此，只有當K<3時電路才是穩(wěn)定的。4.7

系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定性判據(jù)55例4.7.3：下圖所示反饋系統(tǒng)，已知前饋通路和反饋通路的傳遞函數(shù)分別為欲使整個系統(tǒng)穩(wěn)定，試確定K的取值范圍。則系統(tǒng)函數(shù)解：系統(tǒng)穩(wěn)定時，1+K>0,即K>-1.4.7

系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定性判據(jù)56

(a)為使系統(tǒng)穩(wěn)定，實系數(shù)k應(yīng)取什么值？

(b)若系統(tǒng)為零界穩(wěn)定，求k及單位沖激響應(yīng)h(t)。例4.7.4：某反饋系統(tǒng)如下圖，已知子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為試確定：解：則(a)為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必滿足5-k>0,即k<5.(b)為使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，必滿足5-k＝0,即k＝5

。臨界穩(wěn)定下，系統(tǒng)函數(shù)為：此時，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：4.7

系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定性判據(jù)572.勞斯穩(wěn)定性判據(jù)

勞斯判據(jù)是一種不需要計算出系統(tǒng)函數(shù)的極點就能判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。設(shè)系統(tǒng)的特征多項式為其特征根與系數(shù)的關(guān)系因此，系統(tǒng)穩(wěn)定性條件為（１）特征多項式所有系數(shù)的正負號相同（２）特征多項式中所有系數(shù)都不為零4.7

系統(tǒng)的穩(wěn)定性2.勞斯穩(wěn)定判據(jù)58勞斯陣列其中勞斯判據(jù)：假若勞斯陣列中第一列系數(shù)不為零且具有相同的符號，則特征方程所有的根均位于ｓ平面的左半平面。從而，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。假若第一列系數(shù)有負數(shù)，則第一列系數(shù)符號的改變次數(shù)等于在右半平面上根的個數(shù)。4.7

系統(tǒng)的穩(wěn)定性2.勞斯穩(wěn)定判據(jù)593.正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)其中是振幅相量。(1)對一穩(wěn)定系統(tǒng)，當輸入是虛指數(shù)信號時，輸出也為同頻率的虛指數(shù)信號。(2)實際存在的是實信號，是虛指數(shù)信號的實部或虛部，即正弦信號。則正弦響應(yīng)為：其中：4.7

系統(tǒng)的穩(wěn)定性3.正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)60例4.7.5：解：已知一個電路的系統(tǒng)函數(shù)，激勵信號，求正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)若系統(tǒng)輸入為x(t)=1的恒定信號，令w0=1，有4.7

系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定性判據(jù)614.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1.特征函數(shù)2.頻率響應(yīng)3.用MATLAB進行復(fù)頻域分析621.特征函數(shù)特征函數(shù)定義：若系統(tǒng)對某信號的響應(yīng)僅是一個常數(shù)(可能是復(fù)常數(shù))乘以此信號，則稱該信號為系統(tǒng)的特征函數(shù)，該常數(shù)稱為系統(tǒng)的特征值。證明：

是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)若(在時域內(nèi)，s0為定值)對LTI系統(tǒng)，輸出若沖激響應(yīng)滿足絕對可積條件，s0應(yīng)在H(s)的ROC范圍內(nèi)。1.特征函數(shù)4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)63

例如：若，則，收斂域為當輸入時，，s0位于H(s)收斂域內(nèi)，故有則有此式要求的收斂域包含虛軸，即系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。由于輸入信號的計時起點選為負無限大，按上式求出的輸出應(yīng)該為有始輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。輸出仍然為角頻率為的指數(shù)信號。輸出相量為若輸入信號，其中是復(fù)常數(shù)，稱為的相量1.特征函數(shù)4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)642.頻率響應(yīng)（1）頻率響應(yīng)定義：系統(tǒng)在正弦信號激勵之下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨信號頻率的變化情況。包括幅度隨頻率的響應(yīng)以及相位隨頻率的響應(yīng)兩個方面。當正弦信號角頻率變化時，由系統(tǒng)函數(shù)可得：表明了系統(tǒng)對正弦信號作用的效果。2.頻率響應(yīng)4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)65幅頻特性反映了系統(tǒng)輸出幅度與輸入幅度的比值，稱為幅度函數(shù)，它隨角頻率ω

的變化關(guān)系稱為系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。相頻特性為輸出與輸入的相位差，稱為相位函數(shù)，它隨ω

變化的關(guān)系稱為相頻響應(yīng)。正弦信號加在不同的系統(tǒng)（H(jω)不同），其響應(yīng)也不同；不同頻率的正弦信號加在相同的系統(tǒng)其響應(yīng)也不同。關(guān)鍵在于H(jω)隨ω的變化規(guī)律，即頻率響應(yīng)特性。2.頻率響應(yīng)4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)66（2）繪制頻率響應(yīng)的幅頻和相頻特性的圖解法（已知系統(tǒng)函數(shù)）頻率響應(yīng)特性系統(tǒng)函數(shù)幅頻特性相頻特性2.頻率響應(yīng)4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)67例4.8.1：試定性繪制下圖所示一階電路的幅頻特性.有損積分器解：電路具有反相比例器結(jié)構(gòu)，反饋支路的阻抗其中，.2.頻率響應(yīng)4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)68例4.8.2：試定性繪制下圖所示一階電路的幅頻特性解：

有損微分器其中，2.頻率響應(yīng)4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)69例4.8.3：

RLC串聯(lián)電路如下圖所示，若以為輸出電壓，解：其中令，求，并分析其幅頻特性.2.頻率響應(yīng)4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)70復(fù)數(shù)極點分布幅頻響應(yīng)實極點分布幅頻響應(yīng)時，

的兩個極點為負實數(shù)時，的兩個極點為共軛復(fù)數(shù)2.頻率響應(yīng)4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)712.頻率響應(yīng)4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)72例4.8.4：下圖所示電路為一放大電路的模型，已知試定性分析電路的頻率特性。解：

根據(jù)已知條件，，故靠近原點，而距離原點較遠。2.頻率響應(yīng)4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)73ω較高時，可近似認為|A2|=|B|,傳遞函數(shù)近似為ω位于中間頻率范圍，|A1|幾乎不隨頻率變化,|A2|≈|B|,傳遞函數(shù)近似為在低頻范圍，零點z1和極點p2起主要作用，傳遞函數(shù)近似為:2.頻率響應(yīng)4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)74波特圖例如二階低通傳遞函數(shù)右圖分別為Q為10、時，幅頻特性和相頻特性。幅度用其分貝值(dB)表示；相位坐標仍采用度或弧度表示。頻率坐標采用對數(shù)刻度；2.頻率響應(yīng)4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)753.用MATLAB進行復(fù)頻域分析（1）求解信號的拉氏變換

解M文件如下：symsta;%指定t和a為符號變量x1t=sin(2*t);x2t=exp(-a*t);x1s=laplace(x1t)%計算x1(t)的拉氏變換x2s=laplace(x2t)%計算x2(t)的拉氏變換輸出結(jié)果：x1s=2/(s^2+4)x2s=1/(s+a)例4.8.5

求和的拉氏變換。3.用MATLAB進行復(fù)頻域分析4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)76（2）求解信號的拉氏逆變換①

用符號工具直接計算法例4.8.6

求拉氏逆變換。解M文件如下：symss;x1s=atan(1/s);%atan為反正切函數(shù)x2s=s^2/(s^2+3*s+2);x1t=ilaplace(x1s)%計算X1(s)的拉氏逆變換x2t=ilaplace(x2s)%計算X2(s)的拉氏逆變換輸出結(jié)果為x1t=sin(t)/t，x2t=Dirac(t)－4*exp(-2*t)+exp(-t)即3.用MATLAB進行復(fù)頻域分析4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)77②用部分分式法計算拉氏逆變換在MATLAB中對應(yīng)的部分分式展開的指令為[r,p,k]=residue(b,a)例4.8.7

求的逆拉普拉斯變換。解

使用residue函數(shù)求解，M文件如下：b=[-2,7,19];a=[1,5,17,13];[r,p,k]=residue(b,a)輸出結(jié)果為：r=p=k=[]-1.5000-2.0000i-2.0000+3.0000i-1.5000+2.0000i-2.0000-3.0000i1.0000-1.0000輸入形式輸出形式即3.用MATLAB進行復(fù)頻域分析4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)78例4.8.8：已知系統(tǒng)函數(shù)為，試繪出系統(tǒng)函數(shù)曲面圖、系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線和相頻響應(yīng)曲線.解:頻率響應(yīng)為幅頻特性相頻特性系統(tǒng)函數(shù)為（3）由系統(tǒng)函數(shù)計算系統(tǒng)頻率特性

調(diào)用指令為h=freqs(b,a,w)3.用MATLAB進行復(fù)頻域分析4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)79程序：xx=0:0.1:2;w=80:0.2:120;％確定s平面的范圍[x,y]=meshgrid(xx,w);s=x+i*y;％計算系統(tǒng)函數(shù)坐標點X=2*s./((s+1).^2+100^2);％計算系統(tǒng)函數(shù)值subplot(1,3,1);mesh(x,y,abs(X));title('系統(tǒng)函數(shù)幅度')

％繪三維陰影圖b=[1,0];a=[1,2,10001];h=freqs(b,a,w);％計算頻率特性subplot(1,3,2),plot(w,abs(h));title(‘幅頻特性’);

％繪幅頻特性圖subplot(1,3,3);plot(w,angle(h));title('相頻特性')

％繪相頻特性圖3.用MATLAB進行復(fù)頻域分析4.8系統(tǒng)的頻率響應(yīng)804.9反饋系統(tǒng)簡介1.系統(tǒng)的互聯(lián)2.反饋連接的優(yōu)點81復(fù)雜系統(tǒng)一般是用簡單系統(tǒng)的相互聯(lián)接設(shè)計而成的，這樣可以利用簡單系統(tǒng)的成功設(shè)計經(jīng)驗.

基本聯(lián)接方式有：級聯(lián)、并聯(lián)、反饋.1.系統(tǒng)的互聯(lián)級聯(lián)

并聯(lián)反饋聯(lián)接

1.系統(tǒng)的互聯(lián)4.9反饋系統(tǒng)簡介82解：

（1）直接形式例4.9.1：已知某系統(tǒng)的.

試畫出直接形式、級聯(lián)形式和并聯(lián)形式.1.系統(tǒng)的互聯(lián)4.9反饋系統(tǒng)簡介83（2）級聯(lián)形式（3）并聯(lián)形式1.系統(tǒng)的互聯(lián)4.9反饋系統(tǒng)簡介84例4.9.2：下圖所示電路為反相比例器電路，設(shè)運算放大器的系統(tǒng)函數(shù)為A(s)，試用框圖表示該電路，并求系統(tǒng)函數(shù).解：顯然，當時，1.系統(tǒng)的互聯(lián)4.9反饋系統(tǒng)簡介854.10模擬濾波器簡介1.濾波器的頻率響應(yīng)2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法3.二階有源濾波器861.濾波器的頻率響應(yīng)（1）理想濾波器的頻率響應(yīng)特點(1)只有通帶和阻帶;(2)通帶不衰減，相位線性變化,阻帶恒為零(3)物理不可實現(xiàn)（非因果）1.濾波器的頻率響應(yīng)4.10模擬濾波器簡介87（2）實際濾波器的頻率響應(yīng)

有理函數(shù)，其中和

是

的多項式。1.濾波器的頻率響應(yīng)4.10模擬濾波器簡介88

特點：可以視具體情況有所側(cè)重：聲音信號對幅頻特性要求較高，視頻信號對相頻特性要求較高。（3）分貝表示法（1）有過渡帶，通帶幅頻允許有衰減，阻帶幅頻允許非零。帶通濾波器的幅頻特性呈幾何對稱時，定義中心頻率（2）不能同時滿足幅頻和相頻要求，因為系統(tǒng)函數(shù)的實部和虛部具有依從關(guān)系。1.濾波器的頻率響應(yīng)4.10模擬濾波器簡介892.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法（一）逼近原則滿足性能指標要求（夠用即可，不必追求理想）。

滿足因果性，物理可實現(xiàn)，既要求H(s)是有理多項式。滿足穩(wěn)定性，既要求H(s)的極點均在s平面左半部。按照給定的頻率特性指標尋求一種可實現(xiàn)的有理函數(shù)。2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介90（二）逼近方法(幅頻特性)（1）按照性能指標設(shè)計頻率特性模平方a.原因:由于為復(fù)數(shù)，即：則有因此：必為的實系數(shù)有理函數(shù)，避免了直接求時遇到開根號問題。b.給定、、、，設(shè)計出最好的逼近函數(shù)（注意：逼近理想）。2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介91①巴特沃思（Butterworth）逼近該逼近函數(shù)在通帶和阻帶內(nèi)具有單調(diào)衰減的幅頻特性。c.典型的歸一化低通逼近函數(shù)（、Ap=3db，不同逼近函數(shù)會有不同的和）。②切比雪夫（Chebyshev）逼近其幅頻特性在通帶內(nèi)等波紋變化，在阻帶內(nèi)單調(diào)衰減。在相同階數(shù)條件下，切比雪夫濾波器比巴特沃思濾波器有更好的衰減特性。2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介92③反切比雪夫逼近其幅頻特性在通帶內(nèi)單調(diào)衰減，在阻帶內(nèi)等波紋變化。⑤貝塞爾（Bessel）逼近

它是用泰勒級數(shù)逼近s=0附近的線性相位特性。

④橢圓逼近（也稱考爾（Cauer）逼近或雙切比雪夫逼近）其幅頻特性在通帶和阻帶內(nèi)均按等波紋變化。2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介93（2）根據(jù)頻率特性模平方求a.令，，則

顯然，虛軸上的極點（或零點）必是二重的。2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介94b.位于左半平面的極點應(yīng)屬于,而右半平面的極點屬于。

c.零點的分配

①相延遲時間和群延遲時間輸出信號相位

輸入信號相位

系統(tǒng)函數(shù)相位

相延遲時間如果與頻率的成線性關(guān)系，則與

相等，且為常數(shù)。

對線性時不變系統(tǒng)，群延遲時間總是的有理函數(shù)。群延遲時間2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介95②最小相移函數(shù)

最小相移

非最小相移

極點和零點均在左半平面的系統(tǒng)函數(shù)為最小相移函數(shù)。

極點均位于左半平面且具有相同幅頻特性的兩個系統(tǒng)函數(shù)，對任一大于零的，全部零點位于左半平面的系統(tǒng)函數(shù)的相移總小于在右半平面有零點的系統(tǒng)函數(shù)的相移。③取全部位于左半平面零點作為

的零點：最小相移函數(shù)。2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介96舉例1.巴特沃思逼近

（一）巴特沃思低通濾波器幅度函數(shù)的平方

式中，通帶頻率取為1rad/s，N是系統(tǒng)函數(shù)的階數(shù)。

時，；

rad/s時，，即在通帶頻率處衰減約3dB，故有時稱巴特沃思濾波器3dB通帶頻率為1rad/s；時，。由上式可計算出：2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介97（二）

幅頻特性具有以下特點：1.為單調(diào)減函數(shù)，N愈大，愈接近理想低通濾波特性。當rad/s時，頻率每增加十倍，特性曲線下降，即以的速率下降。2.可以證明，，這表明在通帶內(nèi)具有最大平直特性。2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介98（三）設(shè)計方法

1.階數(shù)N的選擇（1）頻率歸一化將原始3dB通帶頻率折算為1rad/s，相應(yīng)地將原始阻帶角頻率折算為。

（2）計算N設(shè)阻帶衰減的dB值為

可求得

2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介99Na1a2a3a4a521.414214

32.0000002.000000

42.6131263.4142142.613126

53.2360685.2360685.2360683.236068

63.8637037.4641029.1416207.4641023.8637032.根據(jù)階數(shù)N，查表可得到歸一化系統(tǒng)函數(shù)巴特沃思低通濾波器分母多項式的系數(shù)2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介1003.去歸一化利用式

，用

替代

中的s，即可得到滿足技術(shù)指標要求的系統(tǒng)函數(shù)。

2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介101

例4.10.1

已知低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)采用巴特沃思逼近，3dB通帶角頻率krad/s，阻帶角頻率krad/s，阻帶衰減不小于15dB，求。解：

（1）確定階數(shù)Nrad/s取N＝3（2）求系統(tǒng)函數(shù)

查表，N＝3時

（3）去歸一化2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介102利用MATLAB進行歸一化設(shè)計歸一化幅頻特性曲線

H(s)的設(shè)計結(jié)果：階數(shù)N＝3分子多項式系數(shù)b=0001.0000分母多項式系數(shù)a=1.00002.00002.00001.0000MATLAB程序：[n]=buttord(10*pi*2,20*pi*2,3,15,'s');%計算階數(shù)N[z,p,k]=buttap(n);%計算巴特沃思低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零極點表示[b,a]=zp2tf(z,p,k);%把零極點表示轉(zhuǎn)換為多項式表示[h1,w1]=freqs(b,a);%計算系統(tǒng)函數(shù)的頻率特性subplot(1,2,1),semilogx(w1,abs(h1)),grid%繪制幅頻特性曲線2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介103舉例2.切比雪夫逼近（一）切比雪夫低通濾波器幅度函數(shù)的平方

是N階切比雪夫多項式，是決定通帶波紋的參數(shù)。1.切比雪夫多項式定義為

遞推形式

2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介104利用遞推公式可遞推出2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介105在rad/s處，，

設(shè)通帶波紋的dB值為則3.階數(shù)N

則2.通帶波紋參數(shù)根據(jù)阻帶衰減（用dB形式表示，＞0）確定。

2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介106設(shè)

的N個極點，其中

4.求出的極點式中則式中：由確定；

b0取決于通帶最大幅度，若取最大幅度為1，對奇次階，；對偶次階，則。2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介107

例4.10.2

導(dǎo)出三階切比雪夫低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，已知通帶頻率rad/s，通帶波紋dB。

解

參數(shù)為則的分母多項式為由于N＝3為奇次階，，故系統(tǒng)函數(shù)為求3個極點，有2.確定系統(tǒng)函數(shù)的一般方法4.10模擬濾波器簡介1083.有源濾波器（1）有源濾波器①模擬濾波器的實現(xiàn)電路無源濾波器:無源元件R、L、M、C有源濾波器：R、C、有源器件(運算放大器等）②基本模塊電路