2023屆江蘇省百校聯(lián)考高三下學(xué)期數(shù)學(xué)4月第三次考試試卷及答案

高三下學(xué)期數(shù)學(xué)4月第三次考試試卷一、單項(xiàng)選擇題1.“虛數(shù)〞這個(gè)詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家?哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制的，當(dāng)時(shí)的觀(guān)念認(rèn)為這是不存在的數(shù).人們發(fā)現(xiàn)，最簡(jiǎn)單的二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有解.復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，那么〔

〕A.

4

B.

2

C.

D.

12.集合，，假設(shè)，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

3.?數(shù)術(shù)記遺?是東漢時(shí)期徐岳編撰的一本數(shù)學(xué)專(zhuān)著，內(nèi)有中國(guó)特色的十四種算法它最早記錄中國(guó)古代關(guān)于大數(shù)的記法：“黃帝為法，數(shù)有十等.及其用也，乃有三焉.十等者，億?兆?京?垓?秭?壤?溝?澗?正?載.三等者，謂上?中?下也，其下數(shù)者，十十變之，假設(shè)言十萬(wàn)曰億，十億曰兆，十兆曰京也.中數(shù)者，萬(wàn)萬(wàn)變之，假設(shè)言萬(wàn)萬(wàn)曰億，萬(wàn)萬(wàn)億曰兆，萬(wàn)萬(wàn)兆曰京.上數(shù)者，數(shù)窮那么變，假設(shè)言萬(wàn)萬(wàn)曰億，億億曰兆，兆兆曰京也.從億至載，終于大衍.下數(shù)淺短，計(jì)事那么不盡，上數(shù)宏闊，世不可用.故其傳業(yè)，唯以中數(shù)耳.〞我們現(xiàn)在用的是中數(shù)之法：萬(wàn)萬(wàn)為億，萬(wàn)億為兆，萬(wàn)兆為京，……，即萬(wàn)，億，兆，京，……，地球的質(zhì)量大約是5.965秭千克，5.965秭的位數(shù)是〔

〕A.

21

B.

20

C.

25

D.

244.由正整數(shù)組成的無(wú)窮等差數(shù)列中有三項(xiàng)是13?25?41，以下各數(shù)一定是該數(shù)列的項(xiàng)的是〔

〕A.

2021

B.

2021

C.

2021

D.

20225.，是不共面向量，設(shè)，，，，假設(shè)的面積為3，那么的面積為〔

〕A.

4

B.

5

C.

6

D.

86.正實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，，，那么實(shí)數(shù)，，之間的大小關(guān)系為〔

〕A.

B.

C.

D.

7.四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在以為直徑的球面上，且，假設(shè)四面體的體積是，那么這個(gè)球面的面積是〔

〕A.

B.

C.

D.

8.函數(shù)，，假設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，那么的取值范圍是〔

〕A.

B.

C.

D.

二、多項(xiàng)選擇題9.在平面直角坐標(biāo)中，圓過(guò)點(diǎn)，、、且，那么〔

〕A.

直線(xiàn)的斜率為

B.

C.

的面積

D.

點(diǎn)、在同一象限內(nèi)10.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)曲線(xiàn)的方程是，以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔

〕A.

曲線(xiàn)上的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的最小值是

B.

曲線(xiàn)上的點(diǎn)和定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)：的距離的比是

C.

曲線(xiàn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得曲線(xiàn)方程是

D.

曲線(xiàn)的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是411.設(shè)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔

〕A.

B.

C.

D.

12.以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔

〕A.

存在這樣的四面體，四個(gè)面都是直角三角形

B.

存在這樣的四面體，

C.

存在不共面的四點(diǎn)???，使

D.

存在不共面的四點(diǎn)???，使三、填空題13.是奇函數(shù)，假設(shè)，，那么的最小值是________.14.集合A中有4個(gè)等差數(shù)列，集合B中有5個(gè)等比數(shù)列，的元素個(gè)數(shù)是1，在中任取兩個(gè)數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列中既有等差數(shù)列又有等比數(shù)列的概率是________.15.設(shè)數(shù)列，，，各項(xiàng)互不相同，且.假設(shè)以下四個(gè)關(guān)系①；②；③；④中恰有一個(gè)正確，那么的最大值是________.16.設(shè)拋物線(xiàn)：和：在它們的一個(gè)交點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直，那么過(guò)定點(diǎn)________.四、解答題17.

〔1〕寫(xiě)出一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，使?jié)M足①，②是等差數(shù)列，其中是的前項(xiàng)和.(寫(xiě)出一個(gè)就可以，不必證明)〔2〕對(duì)于〔1〕中的，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.如圖，在平面四邊形中，，.〔1〕當(dāng)A、B、C、D共圓時(shí)，求的值；〔2〕假設(shè)，求的值.19.某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯本錢(qián)4元，售價(jià)6元.如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的奶茶只能倒掉.奶茶店記錄了60天這款新品奶茶的日需求量，整理得下表：日需求量杯數(shù)20253035404550天數(shù)55101510105以60天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.〔1〕從這60天中任取2天，求這2天的日需求量至少有一天為35的概率；〔2〕①假設(shè)奶茶店一天準(zhǔn)備了35杯這款新品奶茶，用表示當(dāng)天銷(xiāo)售這款新品奶茶的利潤(rùn)(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②假設(shè)奶茶店每天準(zhǔn)備的這款新品奶茶倍數(shù)都是5的倍數(shù)，有顧客建議店主每天準(zhǔn)備40杯這款新品奶茶，你認(rèn)為店主應(yīng)該接受這個(gè)建議嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.20.如圖，矩形所在平面與所在平面垂直，，.〔1〕證明：平面；〔2〕假設(shè)平面與平面所成銳二面角的余弦值是，且直線(xiàn)與平面所成角的正弦值是，求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.21.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率是，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離是3.〔1〕求，的值；〔2〕?是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，在軸的上方，，連接?并分別延長(zhǎng)交橢圓于?兩點(diǎn)，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).22.設(shè).〔1〕證明：；〔2〕假設(shè)，求的取值范圍.

答案解析局部一、單項(xiàng)選擇題1.【解析】【解答】解：因?yàn)?，所以，故，所以．故答案為：B．

【分析】利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.2.【解析】【解答】因?yàn)榧希?，且，所?是方程的根，即，解得，所以集合，所以，故答案為：B

【分析】求出集合B和，由3是方程的根，得到t的值，然后求出集合A,得到。3.【解析】【解答】由題意相鄰記數(shù)單位后面的比前面的多4位．1兆＝，13位數(shù)，因此1京是17位?1垓是21位?1秭是25位，5.965秭也是25位數(shù)．故答案為：C．

【分析】由材料中得到1兆＝，據(jù)此計(jì)算.4.【解析】【解答】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，設(shè)13?25?41分別為該數(shù)列中的，且不妨設(shè).那么，，所以，將兩式相除可得，設(shè)，，那么將分別代入，，可得那么，其中所以，不管取何正整數(shù)，要使一定為該數(shù)列中的某一項(xiàng)，由為正整數(shù)，那么當(dāng)不管取何正整數(shù)時(shí)，為整數(shù).A.,即不滿(mǎn)足不管取何正整數(shù)時(shí)，為整數(shù)，顯然不一定是該數(shù)列中的項(xiàng).B.,即不滿(mǎn)足不管取何正整數(shù)時(shí)，為整數(shù)，顯然不一定是該數(shù)列中的項(xiàng).C.,即滿(mǎn)足不管取何正整數(shù)時(shí)，為整數(shù)，顯然一定是該數(shù)列中的項(xiàng).D.,即不滿(mǎn)足不管取何正整數(shù)時(shí)，為整數(shù)，顯然不一定是該數(shù)列中的項(xiàng).故答案為：C

【分析】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，設(shè)13?25?41分別為該數(shù)列中的，且不妨設(shè)

，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，逐項(xiàng)進(jìn)行判定，即可得出答案。5.【解析】【解答】∵，，，，∴，，∴，∴且，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，如下列圖，過(guò)作，垂足為，交于，那么，那么，，∴，∴，，三點(diǎn)共線(xiàn)，且，∴，，∴，∴的面積為8。故答案為：D.【分析】因?yàn)椋?，，再利用三角形法那么結(jié)合向量共線(xiàn)定理，所以且，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，交于，那么，再利用平面向量根本定理結(jié)合向量共線(xiàn)定理，所以，，三點(diǎn)共線(xiàn)且，再利用兩三角形相似，所以，再利用三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，所以，再利用三角形面積公式，從而求出三角形的面積。6.【解析】【解答】由，得，因?yàn)樗?，可得設(shè)函數(shù)在是增函數(shù)，且所以由，即，所以函數(shù)在是增函數(shù)，且由，即，所以所以故答案為：A【分析】由，

得，由為增函數(shù)，得，由為增函數(shù)，得。7.【解析】【解答】如以下列圖所示，取的中點(diǎn)，設(shè)的外心，連接、，由題意可知，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，那么，解得，由球的幾何性質(zhì)可得平面，平面，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，那么，由正弦定理可得，所以，那么，故答案為：A.

【分析】利用幾何體的體積求解球心到的距離，然后求解外接球的半徑，即可求解外接球的外表積.8.【解析】【解答】作出的圖象，如下列圖，當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，那么有，解得，所以相切時(shí)的斜率；將函數(shù)的圖象順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，與有1個(gè)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，與有0個(gè)或1個(gè)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意.故答案為：D.

【分析】作出的圖象，函數(shù)

有兩個(gè)零點(diǎn)，即與圖象有兩個(gè)交點(diǎn).即可求解k的取值范圍.二、多項(xiàng)選擇題9.【解析】【解答】如以下列圖所示：對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，因?yàn)椋敲?，所以，直線(xiàn)的斜率為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，那么，所以，為等邊三角形，因?yàn)?，所以，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，那么且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，那么，，所以，，.①假設(shè)點(diǎn)在第二象限，那么，，由平面向量加法的平行四邊形法那么可得，那么，此時(shí)，點(diǎn)、在同一象限；②假設(shè)點(diǎn)在第四象限，可得點(diǎn)、，此時(shí)，點(diǎn)、在同一象限綜上所述，點(diǎn)、在同一象限.故答案為：BD.

【分析】求出OA所在直線(xiàn)的斜率判斷A；證明四邊形為菱形，結(jié)合可得；直接求出三角形ABC的面積判斷C；求出BC所在直線(xiàn)方程，根據(jù)直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距判斷D.10.【解析】【解答】設(shè)是曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，，顯然的最小值在時(shí)取得，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．A符合題意；由上面分析得曲線(xiàn)上的點(diǎn)和定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)：的距離的比是：，B符合題意；由A，B兩選項(xiàng)分析得曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)，離心率是，一個(gè)焦點(diǎn)是，它順時(shí)針旋轉(zhuǎn)變成，為其對(duì)稱(chēng)軸，因此，，，那么，新方程是，即，C符合題意；曲線(xiàn)變?yōu)?，，設(shè)，那么時(shí)，，切線(xiàn)方程為，令得，令得，所以切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，D不符合題意．故答案為：ABC．

【分析】設(shè)是曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，然后計(jì)算距離求解可判斷AB，根據(jù)曲線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)求得新方程判斷C，求切線(xiàn)的三角形面積判斷D。11.【解析】【解答】二項(xiàng)式定理展開(kāi)式定理的應(yīng)用對(duì)于A(yíng)，由，A符合題意；對(duì)于B，可令，可得，令，得，所以，B不符合題意；對(duì)于C，令，得，那么，C符合題意；對(duì)于D，對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù)得，可令，可得，D符合題意；故答案為：ACD.

【分析】由題意，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，即可求得展開(kāi)式的系數(shù)和，從而得出結(jié)論.12.【解析】【解答】A.在長(zhǎng)方體中，如圖四面體的四個(gè)面都是直角三角形，A符合題意.B，三個(gè)直角以為頂點(diǎn)，設(shè)那么，由余弦定理可得，所以為銳角同理為銳角，所以為銳角三角形，B不符合題意；C.如圖在長(zhǎng)方體中，滿(mǎn)足，C符合題意.D.如圖在長(zhǎng)方體中，，為直角三角形.,那么在過(guò)點(diǎn)且與垂直的平面內(nèi)，,那么在過(guò)點(diǎn)且與垂直的平面內(nèi)，如圖，當(dāng)點(diǎn)與不重合時(shí)，所以此時(shí)為銳角.當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，為直角.即時(shí)，此時(shí)，，，四點(diǎn)共面，D不符合題意故答案為：AC.

【分析】借助長(zhǎng)方體模型，在長(zhǎng)方體內(nèi)取四面體，根據(jù)四面體的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)每一選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析判斷，可得答案。三、填空題13.【解析】【解答】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故，故，而，故，，時(shí)，，故，故的最小值為.故答案為：.

【分析】先把化為最簡(jiǎn)形式，再由函數(shù)為奇函數(shù)和的范圍求出，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出最值.14.【解析】【解答】由的元素個(gè)數(shù)是1可知，所以中共有8個(gè)數(shù)列，其中有一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，有3個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列而不是等比數(shù)列，有4個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列而不是等差數(shù)列.那么從中任取2個(gè)數(shù)列有種不同的取法.從中取出的兩個(gè)數(shù)列中，全為等差數(shù)列有種不同的取法，全為等比數(shù)列有種不同的取法.所以這兩個(gè)數(shù)列中既有等差數(shù)列又有等比數(shù)列有種不同的取法.所以這兩個(gè)數(shù)列中既有等差數(shù)列又有等比數(shù)列的概率為故答案為：

【分析】中有8個(gè)數(shù)列，在中任取兩個(gè)數(shù)列，根本領(lǐng)件總數(shù)，這兩個(gè)數(shù)列中既有等差數(shù)列又有等比數(shù)列包含的根本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，由此能求出這兩個(gè)數(shù)列中既有等差數(shù)列又有等比數(shù)列的概率.15.【解析】【解答】解：假設(shè)①正確，那么②也正確，那么不符合題意；假設(shè)②正確，此時(shí)，，，，的最大值為18；假設(shè)③正確，此時(shí)，，，的最大值為7；假設(shè)④正確，此時(shí)，，，，的最大值為9；綜上，的最大值為18.故答案為：18

【分析】根據(jù)題意，四個(gè)關(guān)系中恰有一個(gè)正確，因此可以逐個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證判斷，得出最終結(jié)果.16.【解析】【解答】解：，，∵，∴，設(shè)交點(diǎn)為，，∵它們?cè)谝粋€(gè)交點(diǎn)處切線(xiàn)互相垂直，∴，即，①由交點(diǎn)分別代入二次函數(shù)式，整理得，，即，②由①②整理得，即，所以，令，可得，那么過(guò)定點(diǎn)，故答案為：，

【分析】先對(duì)兩個(gè)二次函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)它們?cè)谝粋€(gè)交點(diǎn)處的切線(xiàn)相互垂直可得到，可得曲線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).四、解答題17.【解析】【分析】

〔1〕由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合為完全平方式，可得結(jié)論；