第一講空間幾何體 高考測試題

第一講空間幾何體1．(2013·浙江省名校聯(lián)考)一個簡單幾何體的主視圖、俯視圖如圖所示，則其左視圖不可能為()A．正方形 B．圓C．等腰三角形 D．直角梯形2．一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C．4eq\r(3) D．8eq\r(2)3．(2013·高考遼寧卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)4．(2013·高考湖北卷)一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，則有()A．V1＜V2＜V4＜V3 B.V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V45．如圖，啤酒瓶的高為h，瓶內(nèi)酒面高度為a，若將瓶蓋蓋好倒置，酒面高度為a′(a′＋b＝h)，則酒瓶容積與瓶內(nèi)酒的體積之比為()A．1＋eq\f(b,a)且a＋b>h B．1＋eq\f(b,a)且a＋b<hC．1＋eq\f(a,b)且a＋b>h D．1＋eq\f(a,b)且a＋b<h6．已知三棱錐S-ABC的三視圖如圖所示，在原三棱錐中給出下列命題：①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中命題正確的是________(填序號)．7．(2012·高考上海卷)若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的體積為__________．8．已知一個圓柱的正視圖是周長為12的矩形，則該圓柱的側(cè)面積的最大值等于________．9.如圖，已知正四棱錐的底面邊長為a，側(cè)棱長為eq\r(2)a.求它的外接球的體積．10．如下的三個圖中，分別是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖以及它的主視圖和左視圖(單位：cm)(1)按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積；(3)在所給直觀圖中連結(jié)BC′，證明：BC′∥面EFG.11．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側(cè)棱PC上一點，它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示．(1)證明：AD⊥平面PBC；(2)求三棱錐D-ABC的體積；(3)在∠ACB的平分線上確定一點Q，使得PQ∥平面ABD，并求此時PQ的長．

答案：1．【解析】選D.當(dāng)幾何體是一個長方體，其中一個側(cè)面為正方形時，A可能；當(dāng)幾何體是橫放的一個圓柱時，B可能；當(dāng)幾何體是橫放的三棱柱時，C可能．于是只有D不可能．故選D.2.【解析】選D.本題考查斜二測畫法的應(yīng)用．由斜二測畫法可知，原圖形是一個平行四邊形，且平行四邊形的一組對邊長為2，在斜二測圖形中O′B′＝2eq\r(2)且∠B′O′A′＝45°，那么在原圖形中，∠BOA＝90°且OB＝4eq\r(2).因此，原平面圖形的面積為2×4eq\r(2)＝8eq\r(2)，故正確答案為D.3．【解析】選C.因為直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長即為球的直徑，所以2R＝eq\r(122＋52)＝13，即R＝eq\f(13,2).4．【解析】選C.由三視圖可知，四個幾何體自上而下依次是：圓臺、圓柱、正方體、棱臺，其體積分別為V1＝eq\f(1,3)×1×(π＋2π＋4π)＝eq\f(7,3)π，V2＝π×12×2＝2π，V3＝23＝8，V4＝eq\f(1,3)×1×(4＋8＋16)＝eq\f(28,3)，于是有V2<V1<V3<V4.5．【解析】選B.設(shè)啤酒瓶的底面積為S，啤酒瓶的容積為V瓶，瓶內(nèi)酒的體積為V酒，則V酒＝Sa，V瓶－V酒＝Sb，即得V瓶＝V酒＋Sb＝S(a＋b)，∴eq\f(V瓶,V酒)＝eq\f(S（a＋b）,Sa)＝1＋eq\f(b,a).又∵Sa′>Sa，即a′>a.∴h＝a′＋b>a＋b，∴eq\f(V瓶,V酒)＝1＋eq\f(b,a)且a＋b<h.6.【解析】由三視圖知，在三棱錐S-ABC中，底面ABC為直角三角形且∠ACB＝90°.即BC⊥AC，又SA⊥底面ABC，∴BC⊥SA，由于SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC.所以命題①正確．由已知推不出②③命題正確．【答案】①7．【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，高為h，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(πl(wèi)＝2πr，,\f(1,2)πl(wèi)2＝2π，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(l＝2，,r＝1，))∴h＝eq\r(3).∴V圓錐＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.【答案】eq\f(\r(3),3)π8．【解析】圓柱的正視圖是一個矩形，若設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則依題意有4r＋2h＝12，即h＝6－2r，且0<r<3.故其側(cè)面積S＝2πrh＝2πr(6－2r)＝4πr(3－r)≤4π·(eq\f(3,2))2＝9π，此時r＝eq\f(3,2)，所以該圓柱的側(cè)面積的最大值等于9π.【答案】9π9．【解】設(shè)外接球的半徑為R，球心為O，則OA＝OC＝OS，連接AC(圖略)，所以O(shè)為△SAC的外心，即△SAC的外接圓半徑就是球的半徑．因為AB＝BC＝a，所以AC＝eq\r(2)a.所以△SAC為正三角形．由正弦定理得，2R＝eq\f(AC,sin∠ASC)＝eq\f(\r(2)a,sin60°)＝eq\f(2\r(6),3)a，因此R＝eq\f(\r(6),3)a，則V外接球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(6),27)πa3.10．【解】(1)如圖(2)所求多面體體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3)(cm2)．(3)證明：在長方體ABCD-A′B′C′D′中，連結(jié)AD′，則AD′∥BC′.因為E，G分別為AA′，A′D′的中點，所以AD′∥EG，從而EG∥BC′.又BC′?平面EFG，所以BC′∥面EFG.11．【解】(1)證明：因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD.由三視圖可得，在△PAC中，PA＝AC＝4，D為PC的中點，所以AD⊥PC，又BC∩PC＝C，所以AD⊥平面PBC，(2)由三視圖可得BC＝4，由(1)知∠ADC＝90°，BC⊥平面PAC.又三棱錐D-ABC的體積即為三棱錐B-ADC的體積，所以，所求三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×4＝eq\f(16,3).(3)取AB的中點O，連接CO并延長至Q，使得