第一講空間幾何體 高考測(cè)試題

第一講空間幾何體1．(2013·浙江省名校聯(lián)考)一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的主視圖、俯視圖如圖所示，則其左視圖不可能為()A．正方形 B．圓C．等腰三角形 D．直角梯形2．一水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出了它的直觀圖，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，則原平面圖形的面積為()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C．4eq\r(3) D．8eq\r(2)3．(2013·高考遼寧卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)4．(2013·高考湖北卷)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體，則有()A．V1＜V2＜V4＜V3 B.V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V45．如圖，啤酒瓶的高為h，瓶?jī)?nèi)酒面高度為a，若將瓶蓋蓋好倒置，酒面高度為a′(a′＋b＝h)，則酒瓶容積與瓶?jī)?nèi)酒的體積之比為()A．1＋eq\f(b,a)且a＋b>h B．1＋eq\f(b,a)且a＋b<hC．1＋eq\f(a,b)且a＋b>h D．1＋eq\f(a,b)且a＋b<h6．已知三棱錐S-ABC的三視圖如圖所示，在原三棱錐中給出下列命題：①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中命題正確的是________(填序號(hào))．7．(2012·高考上海卷)若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的體積為_(kāi)_________．8．已知一個(gè)圓柱的正視圖是周長(zhǎng)為12的矩形，則該圓柱的側(cè)面積的最大值等于________．9.如圖，已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)a.求它的外接球的體積．10．如下的三個(gè)圖中，分別是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖以及它的主視圖和左視圖(單位：cm)(1)按照畫(huà)三視圖的要求畫(huà)出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積；(3)在所給直觀圖中連結(jié)BC′，證明：BC′∥面EFG.11．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示．(1)證明：AD⊥平面PBC；(2)求三棱錐D-ABC的體積；(3)在∠ACB的平分線上確定一點(diǎn)Q，使得PQ∥平面ABD，并求此時(shí)PQ的長(zhǎng)．

答案：1．【解析】選D.當(dāng)幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體，其中一個(gè)側(cè)面為正方形時(shí)，A可能；當(dāng)幾何體是橫放的一個(gè)圓柱時(shí)，B可能；當(dāng)幾何體是橫放的三棱柱時(shí)，C可能．于是只有D不可能．故選D.2.【解析】選D.本題考查斜二測(cè)畫(huà)法的應(yīng)用．由斜二測(cè)畫(huà)法可知，原圖形是一個(gè)平行四邊形，且平行四邊形的一組對(duì)邊長(zhǎng)為2，在斜二測(cè)圖形中O′B′＝2eq\r(2)且∠B′O′A′＝45°，那么在原圖形中，∠BOA＝90°且OB＝4eq\r(2).因此，原平面圖形的面積為2×4eq\r(2)＝8eq\r(2)，故正確答案為D.3．【解析】選C.因?yàn)橹比庵蠥B＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過(guò)底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點(diǎn)D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對(duì)角線長(zhǎng)即為球的直徑，所以2R＝eq\r(122＋52)＝13，即R＝eq\f(13,2).4．【解析】選C.由三視圖可知，四個(gè)幾何體自上而下依次是：圓臺(tái)、圓柱、正方體、棱臺(tái)，其體積分別為V1＝eq\f(1,3)×1×(π＋2π＋4π)＝eq\f(7,3)π，V2＝π×12×2＝2π，V3＝23＝8，V4＝eq\f(1,3)×1×(4＋8＋16)＝eq\f(28,3)，于是有V2<V1<V3<V4.5．【解析】選B.設(shè)啤酒瓶的底面積為S，啤酒瓶的容積為V瓶，瓶?jī)?nèi)酒的體積為V酒，則V酒＝Sa，V瓶－V酒＝Sb，即得V瓶＝V酒＋Sb＝S(a＋b)，∴eq\f(V瓶,V酒)＝eq\f(S（a＋b）,Sa)＝1＋eq\f(b,a).又∵Sa′>Sa，即a′>a.∴h＝a′＋b>a＋b，∴eq\f(V瓶,V酒)＝1＋eq\f(b,a)且a＋b<h.6.【解析】由三視圖知，在三棱錐S-ABC中，底面ABC為直角三角形且∠ACB＝90°.即BC⊥AC，又SA⊥底面ABC，∴BC⊥SA，由于SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC.所以命題①正確．由已知推不出②③命題正確．【答案】①7．【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(πl(wèi)＝2πr，,\f(1,2)πl(wèi)2＝2π，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(l＝2，,r＝1，))∴h＝eq\r(3).∴V圓錐＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.【答案】eq\f(\r(3),3)π8．【解析】圓柱的正視圖是一個(gè)矩形，若設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則依題意有4r＋2h＝12，即h＝6－2r，且0<r<3.故其側(cè)面積S＝2πrh＝2πr(6－2r)＝4πr(3－r)≤4π·(eq\f(3,2))2＝9π，此時(shí)r＝eq\f(3,2)，所以該圓柱的側(cè)面積的最大值等于9π.【答案】9π9．【解】設(shè)外接球的半徑為R，球心為O，則OA＝OC＝OS，連接AC(圖略)，所以O(shè)為△SAC的外心，即△SAC的外接圓半徑就是球的半徑．因?yàn)锳B＝BC＝a，所以AC＝eq\r(2)a.所以△SAC為正三角形．由正弦定理得，2R＝eq\f(AC,sin∠ASC)＝eq\f(\r(2)a,sin60°)＝eq\f(2\r(6),3)a，因此R＝eq\f(\r(6),3)a，則V外接球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(6),27)πa3.10．【解】(1)如圖(2)所求多面體體積V＝V長(zhǎng)方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3)(cm2)．(3)證明：在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，連結(jié)AD′，則AD′∥BC′.因?yàn)镋，G分別為AA′，A′D′的中點(diǎn)，所以AD′∥EG，從而EG∥BC′.又BC′?平面EFG，所以BC′∥面EFG.11．【解】(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD.由三視圖可得，在△PAC中，PA＝AC＝4，D為PC的中點(diǎn)，所以AD⊥PC，又BC∩PC＝C，所以AD⊥平面PBC，(2)由三視圖可得BC＝4，由(1)知∠ADC＝90°，BC⊥平面PAC.又三棱錐D-ABC的體積即為三棱錐B-ADC的體積，所以，所求三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×4＝eq\f(16,3).(3)取AB的中點(diǎn)O，連接CO并延長(zhǎng)至Q，使得