2022-2023學(xué)年江西省贛州市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省贛州市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用不等式的性質(zhì)和充要條件的判定條件進(jìn)行判定即可.【詳解】因?yàn)?，，所以成立；又，，所以成立；所以?dāng)時(shí)，“”是“”的充分必要條件.故選：C.2．設(shè)為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為A． B．4 C． D．【答案】A【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后利用復(fù)數(shù)的虛部概念得答案．【詳解】解：，，復(fù)數(shù)的虛部為，故選：．3．下列命題正確的是（

）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．正六棱錐的側(cè)棱和底面邊長一定不相等D．棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形【答案】C【分析】對A，根據(jù)棱柱的定義可判斷；對B，舉出反例判斷即可；對C，根據(jù)正六棱錐底面正六邊形的性質(zhì)判斷即可；對D，根據(jù)棱柱的性質(zhì)判斷即可【詳解】對A，有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體，A錯(cuò)；對B，有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體如圖所示，B錯(cuò)；對C，正六棱錐的底面為正六邊形，其底面最長的對角線長度為底面邊長的兩倍，又該對角線和相交的兩條側(cè)棱要構(gòu)成三角形，故側(cè)棱一定大于底面邊長，C對對D，棱柱的側(cè)面不一定是全等的平行四邊形，D錯(cuò)；故選：C.4．的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由余弦定理求出關(guān)系，再結(jié)合可求得，再用三角形面積公式計(jì)算出面積．【詳解】由余弦定理得：，∴，又，所以，∴，∴，∴.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題．利用余弦定理求得的關(guān)系，并結(jié)合已知求得的值是關(guān)鍵，三角形的面積公式.5．下列說法中正確的是（

）A．若，則的長度相同，方向相同或相反B．若向量是向量相反向量，則C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得D．在四邊形中，一定有【答案】B【分析】由相反向量定義、向量模長定義、平面向量共線定理和向量線性運(yùn)算依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，若，則的長度相同，方向任意，A錯(cuò)誤；對于B，由相反向量定義知：與方向相反，模長相等，B正確；對于C，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)不存在唯一的實(shí)數(shù)使得，C錯(cuò)誤；對于D，若為中點(diǎn)，則，與不恒相等，不恒成立，D錯(cuò)誤.故選：B.6．莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中，以為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，然后由求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?故選：A7．銳角△中，角A、B、C所對邊分別為a、b、c，若，則范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意，結(jié)合余弦定理得到，利用正弦定理轉(zhuǎn)化求得，根據(jù)角的范圍，得到，根據(jù)三角形是銳角三角形，求得，結(jié)合條件，將式子化為，從而求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，由余弦定理得：，所以，所以，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椤魇卿J角三角形，所以，所以，即，所以，解得，則，因?yàn)椋?，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，涉及到的知識點(diǎn)有正弦定理、余弦定理解三角形，三角形中的三角恒等變換，正弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的值域，屬于中檔題目.8．十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)．在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)．已知分別是三個(gè)內(nèi)角的對邊，且，，若點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦定理和兩角和的余弦公式化簡，可得，，再根據(jù)等面積法即可求得，“費(fèi)馬點(diǎn)”定義可得該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角，從而求得答案.【詳解】,即,又,,即,,又.由三角形內(nèi)角和性質(zhì)知：△ABC內(nèi)角均小于120°，結(jié)合題設(shè)易知：P點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部，再由余弦定理知,,,,.由等號左右兩邊同時(shí)乘以可得：，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和差的余弦公式、余弦定理，平面向量的數(shù)量積以及等面積法的應(yīng)用；理解新概念靈活運(yùn)用，屬于較難題.二、多選題9．下列各命題中，是充要條件的有（

）A．，為二次函數(shù) B．，，C．四邊形是正方形，四邊形對角線互相平分 D．或，【答案】AD【分析】根據(jù)充要條件依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A，若，為二次函數(shù)，滿足充分性，若為二次函數(shù)，則，滿足必要性，故A選項(xiàng)為充要條件.對選項(xiàng)B，若，時(shí)，則，滿足充分性，若時(shí)，則，或，，不滿足必要性，故B不符合充要條件.對選項(xiàng)C，若四邊形是正方形，則四邊形對角線互相平分，滿足充分性，若四邊形對角線互相平分，則四邊形為平行四邊形，不一定是正方形，不滿足必要性，故C不符合充要條件.對選項(xiàng)D，若或，則，滿足充分性，若，則，解得或，滿足必要性，故D選項(xiàng)為充要條件.故選：AD10．設(shè)是復(fù)數(shù)，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于A：若，則，所以，故A正確；對于B：若，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得，故B正確；對于C：∵，若，即，可得，故C正確；對于D：例如，顯然成立，但，即，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11．將邊長為2的正三角形繞著它的一條高線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，下列敘述正確的是（

）A．圓錐的體積為 B．圓錐的側(cè)面積為C．圓錐側(cè)面展開圖扇形圓心角為 D．過圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值為【答案】BCD【分析】由題中等邊三角形就是圓錐軸截面，得出圓錐母線長，底面半徑，高，然后計(jì)算體積、側(cè)面積，圓錐側(cè)面展開圖扇形圓心角，過圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值判斷各選項(xiàng)．【詳解】由題意圓錐的母線長為，底面半徑為，高為，，A錯(cuò)；側(cè)，B正確；圓錐側(cè)面展開圖扇形圓心角為，C正確；由題意圓錐軸截面是等邊三角形，任意兩條母線夾角的最大值為軸截面頂角，因此過圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值，D正確．故選：BCD．12．正方形ABCD的邊長為4，E是BC中點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P是以AB為直徑的半圓上任意點(diǎn)，，則（

）A．最大值為1 B．·最大值是8C．最大值為 D．最大值是【答案】AD【分析】建系，設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)的有界性逐項(xiàng)分析運(yùn)算.【詳解】如圖，以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可得，則，由題意可得，解得.對于A：∵，且，可得當(dāng)，取到最大值1，∴最大值為1，故A正確；對于B：·，∵，可得當(dāng)時(shí)，取到最大值1，∴·最大值是，故B錯(cuò)誤；對于C：∵，其中，由，則，令，解得；令，解得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；∴最大值是1，故C錯(cuò)誤；對于D：，∵，則，則當(dāng)，即時(shí)，取到最大值1，∴最大值是，故D正確；故選：AD.【點(diǎn)睛】方法定睛：1．平面向量的線性運(yùn)算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)．2．正確理解并掌握向量的概念及運(yùn)算，強(qiáng)化“坐標(biāo)化”的解題意識，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．三、填空題13．已知空間向量，，若，則__________．【答案】3【詳解】，得．14．中,，，，平分交于,則線段的長為______.【答案】【分析】由是角平分線，可知，設(shè)，和中，分別列出余弦定理，再求的長度.【詳解】平分交于,中，，中，，，，設(shè)，中，，中，，兩式相除可得，，解得：.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理解三角形，意在考查轉(zhuǎn)化與化簡和計(jì)算能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是根據(jù)正弦定理判斷出，問題迎刃而解.15．2020年夏天，國內(nèi)多地出現(xiàn)洪澇災(zāi)情，某地一處長的堤壩需要用土方進(jìn)行填筑加固，計(jì)劃將背水坡的坡度由原來的改為（如圖所示），其中背水坡長為，則加固這段堤壩需要使用的土方量為__.【答案】.【解析】計(jì)算三棱柱的體積得出答案.【詳解】解：在中，，，由正弦定理可得：，故，于是三棱柱的體積為，故答案為：.16．在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，a＝4，，點(diǎn)D在線段BC上，，過點(diǎn)D作，，垂足分別是E，F(xiàn)，則面積的最大值是______.【答案】/【分析】先由結(jié)合正弦定理求得，，再由余弦定理可得，結(jié)合不等式證得，又由得，從而求得，，由此得面積的關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而求得其最大值．【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，則，因?yàn)?，所以，所以，則，由余弦定理可得，即，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，連結(jié)，因?yàn)?，所以，所以，則，，則．故答案為：..四、解答題17．已知．（1）化簡；（2）若，且α為第三象限角，求【答案】（1）；（2）.【分析】（1）應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)式即可.（2）由題意求，再根據(jù)兩角和正弦公式求，可得，即知.【詳解】（1）.（2）∵α為第三象限角，則，∴，而，∴，則.18．已知為虛數(shù)，為實(shí)數(shù)．（1）若為純虛數(shù)，求虛數(shù)；（2）求的取值范圍．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由于為虛數(shù)，可設(shè)，，，根據(jù)為純虛數(shù)，求得的值，再由為實(shí)數(shù)求出的值，即得虛數(shù)；（2）由為實(shí)數(shù)且，可得，根據(jù)，求得的范圍，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義，化簡為，進(jìn)而求出的范圍，即可得出的取值范圍．【詳解】解：由于為虛數(shù)，可設(shè)，，，（1）則，由為純虛數(shù)，得，，又因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，則，得，，所以或.（2），因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，，，，，則，解得：，，由于，則，所以，即，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法以及復(fù)數(shù)求模，考查運(yùn)算求解能力．19．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求c的值；（2）若，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，利用正弦定理余弦定理，角化邊即可求解.（2）利用正弦定理得到，則，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值，然后代入三角形面積公式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得；?）因?yàn)樗杂烧叶ɡ淼茫啵?，，?dāng)即時(shí)，取最大值為3．∴，所以面積的最大值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵是結(jié)合（1）和，利用正弦定理得到，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解，20．如圖，AB是圓柱的一條母線，BC過底面圓心O，D是圓O上一點(diǎn)．已知，(1)求該圓柱的表面積；(2)將四面體ABCD繞母線AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，求的三邊在旋轉(zhuǎn)過程中所圍成的幾何體的體積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意求出柱的底面圓的半徑即可求解；（2）繞AB旋轉(zhuǎn)一周而成的封閉幾何體的體積為兩個(gè)圓錐的體積之差，結(jié)合圓錐體積公式求解即可【詳解】（1）由題意知AB是圓柱的一條母線，BC過底面圓心O，且，可得圓柱的底面圓的半徑為，則圓柱的底面積為，圓柱的側(cè)面積為所以圓柱的表面積為．（2）由線段AC繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以BC為底面半徑，以AB為高的圓錐，線段AD繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為BD為底面半徑，以AB為高的圓錐，所以以繞AB旋轉(zhuǎn)一周而成的封閉幾何體的體積為：．21．已知向量,,設(shè)函數(shù),(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,求m的取值范圍;(3)若函數(shù),對任意的,存在,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換可得,由,即可求得答案;(2)將方程有兩個(gè)不等的實(shí)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合,求得答案;(3)將對于任意的,存在,使得,轉(zhuǎn)化為成立,求出函數(shù)的范圍,分類討論,求得的取值范圍;【詳解】（1）由題意可知:,由,,解得:,,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）令,當(dāng)時(shí),令,則,且在上遞增,在上遞減,當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,則需函數(shù)的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn),即,與有兩個(gè)交點(diǎn),如圖所示:,則,則.（3）由題意,若對于任意的,存在,使得,即,當(dāng)時(shí),,則.當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),不成立;當(dāng)時(shí),,解得;當(dāng)時(shí),,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.22．將二次函數(shù)的圖象在坐標(biāo)系內(nèi)自由平移，且始終過定點(diǎn)，則圖象頂點(diǎn)也隨之移動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)所滿足的表達(dá)式為二次函數(shù).例如，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.(1)當(dāng)，圖象平移到某一位置時(shí)，且與不重合，有，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的坐標(biāo)；(2)記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的表達(dá)式；(3)對于常數(shù)（），若無論圖象如何平移，當(dāng)，不重合時(shí)，總能在圖象上找到兩點(diǎn)，，使得，且直線與無交點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)點(diǎn)，，通過坐標(biāo)表示向量，并通過建立等式關(guān)系求出的值，進(jìn)而求得結(jié)果