高中數(shù)學(xué)-平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

《平面向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示》目標(biāo)分析知識與技能理解平面向量的基底的意義與作用，學(xué)會選擇恰當(dāng)?shù)幕?，將簡單圖形中的任一向量表示為一組基底的線性組合；了解平面向量的基本定理，初步利用定理解決問題（如相交線交成線段比的問題等）。過程與方法通過平面向量基本定理，認(rèn)識平面向量的“二維”性，并由此進(jìn)一步體會“某一方向上的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數(shù)”的基本觀念；通過對平面向量基本定理的探究過程，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生、形成過程，體驗(yàn)定理所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想。情感態(tài)度價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探求知識、合作交流的意識，感受數(shù)學(xué)思維的全過程；與物理學(xué)科之間的滲透，改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！镀矫嫦蛄炕径ɡ?、正交分解及坐標(biāo)表示》教材分析平面向量基本定理是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景．其教育價(jià)值主要體現(xiàn)在有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，體驗(yàn)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性和普遍聯(lián)系性，有助于學(xué)生發(fā)展智力，提高運(yùn)算、推理能力（1）應(yīng)了解的內(nèi)容：共線向量的概念，平面向量的基本定理，用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題。應(yīng)理解的內(nèi)容：向量的概念，兩個(gè)向量共線的充要條件，平面向量坐標(biāo)的概念。應(yīng)掌握的內(nèi)容：向量的幾何表示，向量的加法與減法，實(shí)數(shù)與向量的積，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積及幾何意義，向量垂直的條件，。（2）注意處理好新舊思維矛盾學(xué)習(xí)向量運(yùn)算與學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算有類似之處：從學(xué)習(xí)順序上看，都是先定義運(yùn)算，再研究運(yùn)算性質(zhì)；從學(xué)習(xí)內(nèi)容來看，向量運(yùn)算具有與數(shù)的運(yùn)算類似的良好性質(zhì)。當(dāng)引入向量后，運(yùn)算對象擴(kuò)充了，不僅僅是數(shù)的運(yùn)算了，向量運(yùn)算是建立在新的運(yùn)算法則上，向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算不盡相同，向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍內(nèi)不都適用，它有一套自己的運(yùn)算法則。但很多學(xué)生往往完全照搬數(shù)的運(yùn)算法則，而不注意向量運(yùn)算法則的特點(diǎn)，因此常常出錯(cuò)。在教學(xué)中要注意新舊知識之間的矛盾沖突，及時(shí)讓學(xué)生加以辨別、總結(jié)，利于正確理解向量的實(shí)質(zhì)。例如向量的加法與向量模的加法的區(qū)別，向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)積的區(qū)別，在坐標(biāo)表示中兩個(gè)向量共線與垂直的充要條件的區(qū)別等等。(3)注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透在這一章中，從引言開始，就注意結(jié)合具體內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)思想方法。例如，從帆船在大海中航行時(shí)的位移，滲透數(shù)學(xué)建模的思想。通過介紹相等向量及有關(guān)作圖的訓(xùn)練，滲透平移變換的思想。由于向量具有兩個(gè)明顯特點(diǎn)——“形”的特點(diǎn)和“數(shù)”的特點(diǎn)，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁，向量的坐標(biāo)實(shí)際是把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系了起來，進(jìn)而可把曲線與方程聯(lián)系起來，這樣就可用代數(shù)方程研究幾何問題。總之，本節(jié)教材內(nèi)容具有以下幾個(gè)方面的特點(diǎn)：向量在數(shù)學(xué)中的地位向量是近代數(shù)學(xué)中重要的概念，它不僅是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，還是解決許多實(shí)際問題的重要工具，因此具有很高的教育價(jià)值。本節(jié)在教學(xué)中的地位平面向量基本定理是向量進(jìn)行坐標(biāo)表示，并由此進(jìn)一步將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算的重要基礎(chǔ)；該“定理”以二維向量空間為依托，可以推廣到n維向量空間，是今后引出空間向量用三維坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)。因此本節(jié)知識在本章中起承上啟下的作用。本節(jié)在教學(xué)思維方面的培養(yǎng)價(jià)值平面向量基本定理蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表達(dá)事物（向量空間、具有某種性質(zhì)的對象的集合），并把對事物的研究轉(zhuǎn)化為對事物基本要素研究的典型范例，這是人們認(rèn)識事物的一種重要方法?！镀矫嫦蛄炕径ɡ怼⒄环纸饧白鴺?biāo)表示》學(xué)情分析有利因素學(xué)生在前面已經(jīng)掌握了向量的基本概念和基本運(yùn)算（特別是向量加法平行四邊形法則和向量共線的充要條件）都為學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提供了知識準(zhǔn)備；學(xué)生在物理學(xué)科的學(xué)習(xí)中已經(jīng)清楚了力的合成和力的分解，同時(shí)作圖習(xí)慣已經(jīng)養(yǎng)成，這為我們學(xué)習(xí)向量分解提供了認(rèn)知準(zhǔn)備。不利因素學(xué)生對向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算的意義與作用認(rèn)識不夠，可能增加向量用基底表示時(shí)的難度；對于向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算停留在幾何直觀的理解上，缺乏從代數(shù)運(yùn)算的角度理解向量運(yùn)算特征的感受，容易將平面向量基本定理的作用僅僅理解為形式上的變換。如果不加啟發(fā)與引導(dǎo)，學(xué)生是不會從“基底”、“元”、“維數(shù)”這些角度去理解平面向量基本定理的深刻內(nèi)涵，也難以認(rèn)識這個(gè)定理在今后用向量方法解決問題中的重要作用。2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示【教學(xué)目標(biāo)】知識與技能：(1)理解平面向量的基底的意義與作用，學(xué)會選擇恰當(dāng)?shù)幕?，將簡單圖形中的任一向量表示為一組基底的線性組合；(2)了解平面向量的基本定理，初步利用定理解決問題（如相交線交成線段比的問題等）。過程與方法：(1)通過平面向量基本定理，認(rèn)識平面向量的“二維”性，并由此進(jìn)一步體會“某一方向上的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數(shù)”的基本觀念；(2)通過對平面向量基本定理的探究過程，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生、形成過程，體驗(yàn)定理所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想。情感態(tài)度、價(jià)值觀：(1)培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探求知識、合作交流的意識，感受數(shù)學(xué)思維的全過程；(2)與物理學(xué)科之間的滲透，改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。【教學(xué)重點(diǎn)】平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、平面向量的正交分解、平面向量的坐標(biāo)表示.【教學(xué)難點(diǎn)】平面向量基本定理的理解及運(yùn)用.【教學(xué)過程】（一）復(fù)習(xí)引入1.向量加法與減法有哪幾種幾何運(yùn)算法則？平行四邊形法則、三角形法則2.怎樣理解向量的數(shù)乘運(yùn)算？（1）模：|；（2）方向：時(shí)，與方向相同；時(shí)，與方向相反；時(shí)，.3.平面向量共線定理是什么？非零向量與向量共線等價(jià)于存在唯一實(shí)數(shù)λ，使.4．在物理中，力是一個(gè)向量，力的合成就是向量的加法運(yùn)算.力也可以分解，任何一個(gè)大小不為零的力，都可以分解成兩個(gè)不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來，就會形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)理論.（二）學(xué)習(xí)新知知識點(diǎn)Ⅰ：平面向量基本定理探究1：給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量，如何求作向量和？探究2：在下列兩圖中，向量不共線，能否在直線上分別找一點(diǎn)，使？探究3：在上圖中，設(shè)，，，則向量、分別與，的關(guān)系如何？從而向量與，的關(guān)系如何？探究4：若上述向量，，都為定向量，且，不共線，則實(shí)數(shù)是否存在？是否唯一？探究5：根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向量都可以由這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，表示出來，從而可形成一個(gè)定理.你能完整地描述這個(gè)定理的內(nèi)容嗎？若，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使.探究6：上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.那么：

①作為基底的這兩個(gè)向量是什么位置關(guān)系？②同一平面內(nèi)可以作基底的向量有多少組？③當(dāng)基底確定后向量的表示是否唯一？練一練：下面三種說法:①一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面的基底;②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底;③零向量不可以作為基底中的向量,其中正確的說法是()A.①②B.②③C.①③D.①②③解:平面內(nèi)向量的基底是不唯一的.在同一平面內(nèi)任何一組不共線的向量都可作為平面內(nèi)所有向量的一組基底;而零向量可看成與任何向量平行,故零向量不可作為基底中的向量.綜上所述：②③正確.選B.知識點(diǎn)Ⅱ：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示探究1：不共線的向量有不同的方向，對于兩個(gè)非零向量和，作，，如圖.為了反映這兩個(gè)向量的位置關(guān)系，稱為向量與的夾角.你認(rèn)為向量的夾角的取值范圍應(yīng)如何約定為宜？探究2：如果向量與的夾角是，則稱向量與垂直，記作.互相垂直的兩個(gè)向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.探究3：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)，使得.我們把有序數(shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作.其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量的坐標(biāo)表示.那么的幾何意義如何？探究4：相等向量的坐標(biāo)必然相等，作向量，則，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？aaiOj練一練：如圖，已知向量是兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量與的夾角是30°，且，以向量為基底，如何表示向量？思考：如果以圖中的O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量的方向分別為平面直角坐標(biāo)系的軸、軸的正方向，那么向量的坐標(biāo)是什么？（三）應(yīng)用舉例例1：已知向量(如圖5),求作向量作法:(1)如圖,任取一點(diǎn)O,作,.(2)作OACB.故就是求作的向量.思考：還有其它解法嗎？（因?yàn)樗岳孟蛄繙p法運(yùn)算的三角形法則也可得到）例2：如圖，寫出向量，，，的坐標(biāo).解:由圖可知,=+=,.同理,;;.本題小結(jié):本例要求用基底、表示、、、,其關(guān)鍵是把、、、表示為基底i、j的線性組合.一種方法是把正交分解,看在軸、軸上的分向量的大小.把向量用、表示出來,進(jìn)而得到向量的坐標(biāo).另一種方法是把向量移到坐標(biāo)原點(diǎn),則向量終點(diǎn)的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo).同樣的方法,可以得到向量、、的坐標(biāo).例3：如圖，在平行四邊形中，，，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，以為基底分別表示向量和ABABEDCFM處理方法:教師引導(dǎo)學(xué)生利用平面向量基本定理進(jìn)行分解,讓學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦.然后讓學(xué)生到黑板上板書步驟,并對書寫認(rèn)真且正確的同學(xué)提出表揚(yáng),對不能寫出完整解題過程的同學(xué)給予提示和鼓勵(lì).解:由所在位置,有=.一題多解：向量還有其它解法嗎？本題小結(jié)：用已知向量表示未知向量：本質(zhì)：利用向量的加法和減法對有關(guān)向量進(jìn)行分解。方法：結(jié)合圖像，從以下角度入手：（1）要用基向量意識，把有關(guān)向量盡量統(tǒng)一到基向量上來；（2）把要表示的向量標(biāo)在封閉的圖形中，表示為其它向量的和或差的形式，進(jìn)而尋找這些向量與基向量的關(guān)系；（3）用基向量表示一個(gè)向量時(shí)，如果此向量的起點(diǎn)是從基底的公共點(diǎn)出發(fā)的，一般考慮用加法，否則用減法，如果此向量與一個(gè)易求向量共線，可用數(shù)乘。拓展延伸：在上題中若改為設(shè)，，試以為基底分別表示向量和解：由例題的分析可知:，在本變式中由，得：，解得（四）鞏固練習(xí)1.已知向量，，其中、不共線，則與的關(guān)系（）A.不共線B.共線C.相等D.無法確定2.已知向量、不共線，實(shí)數(shù)、滿足，則的值等于()A.B.C.D.3.已知為的重心,設(shè),,試用、表示向量.4.是兩個(gè)不共線的向量,已知,,,若三點(diǎn)共線,試求實(shí)數(shù)的值.（五）本課小結(jié)（Ⅰ）知識點(diǎn)：平面向量的基本定理；向量的夾角與垂直的定義；平面向量的正交分解；平面向量的坐標(biāo)表示.（Ⅱ）數(shù)學(xué)思想與方法：待定系數(shù)法、歸納與類比、數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想、方程的思想（六）課后作業(yè)1.必做題：課本102頁第3題2.選做題：課本102頁第4題3.課后探究作業(yè)：請同學(xué)們課下小組合作探究下列命題正確與否：對比今天所做的必做題：與是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,若存在實(shí)數(shù),使得,則.試證明下面的問題：與是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,若存在實(shí)數(shù),使得，則.（七）板書設(shè)計(jì)：課題平面向量基本定理2、向量的夾角3、正交分解4、向量的坐標(biāo)多媒體課件展示影區(qū)例題3：（1）（2）《平面向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示》評測練習(xí)1.已知向量，，其中、不共線，則與的關(guān)系（）A.不共線B.共線C.相等D.無法確定2.已知向量、不共線，實(shí)數(shù)、滿足，則的值等于()A.B.C.D.3.已知為的重心,設(shè),,試用、表示向量.4.是兩個(gè)不共線的向量,已知,,,若三點(diǎn)共線,試求實(shí)數(shù)的值.5.證明下列兩個(gè)結(jié)論：（1）與是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,若存在實(shí)數(shù),使得,則.（2）與是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,若存在實(shí)數(shù),使得，則.《平面向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示》效果分析1.本節(jié)課內(nèi)容是為了研究向量方便而引入的一個(gè)新定理——平面向量基本定理.教科書首先通過“思考”:讓學(xué)生思考對于平面內(nèi)給定的任意兩個(gè)向量進(jìn)行加減的線性運(yùn)算時(shí)所表示的新向量有什么特點(diǎn),反過來,對平面內(nèi)的任意向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示.2.教師應(yīng)該多提出問題,多讓學(xué)生自己動(dòng)手作圖來發(fā)現(xiàn)規(guī)律,通過解題來總結(jié)方法,引導(dǎo)學(xué)生理解“化歸”思想對解題的幫助,也要讓學(xué)生善于用“數(shù)形結(jié)合”的思想來解決這部分的題.3.如果條件允許,借助多媒體進(jìn)行教學(xué)會有意想不到的效果.整節(jié)課的教學(xué)主線應(yīng)以學(xué)生練習(xí)為主,教師給與引導(dǎo)和提示.充分讓學(xué)生經(jīng)歷分析、探究并解決實(shí)際問題的過程,這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),領(lǐng)悟思想方法的最好載體.學(xué)生這種經(jīng)歷的實(shí)踐活動(dòng)越多,解決實(shí)際問題的方法就越恰當(dāng)而簡捷.《平面向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示》觀評記錄吳老師點(diǎn)評：賈老師的教學(xué)特點(diǎn)如下：

1、教學(xué)設(shè)計(jì)好，教學(xué)流程清楚，環(huán)節(jié)緊湊、流暢，由易到難，層次分明，知識梳理清晰，既有對集體備課形成的教學(xué)案的使用吸收，又有個(gè)人的創(chuàng)新、獨(dú)到之處，注重了基本數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng)與基本數(shù)學(xué)思想的滲透，讓學(xué)生從整體、系統(tǒng)的角度領(lǐng)悟復(fù)習(xí)要求，從整體上處理教材內(nèi)容，從系統(tǒng)上把握要求，整個(gè)設(shè)計(jì)把教學(xué)過程變成學(xué)生對知識的理解應(yīng)用過程，變成了學(xué)生自己探索提升的過程，讓學(xué)生的能力得到了提高。2、教學(xué)定位非常準(zhǔn)。上課能與學(xué)生的有效溝通，雖說上這節(jié)講評課時(shí)間緊，內(nèi)容和知識點(diǎn)多，上課舍得把時(shí)間給學(xué)生去交流思考思路、去講解解決問題過程；不僅自己板書示范，還讓學(xué)生板書解題過程，老師充分放手讓學(xué)生自己動(dòng)手，動(dòng)口，老師只引導(dǎo)點(diǎn)撥，使學(xué)生主動(dòng)獲取知識，在潛移默化中領(lǐng)悟知識，使學(xué)生完全成為課堂主人，達(dá)到知識學(xué)習(xí)與能力培養(yǎng)的統(tǒng)一，說明她善于啟發(fā)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，有較強(qiáng)的駕馭課堂的能力。建議：本節(jié)課是概念定理講授課，是否可以把橫向綜合性比較強(qiáng)、能力要求比較抽象的題目放在下節(jié)課，再在本節(jié)定理理解上再深入點(diǎn)、多花點(diǎn)時(shí)間呢。付老師：賈老師的課：（1）注重了學(xué)生動(dòng)手操作能力的培養(yǎng)，如動(dòng)手畫一畫環(huán)節(jié)讓學(xué)生畫向量的和得結(jié)論。（2）注重及時(shí)總結(jié)梳理知識。（3）注重學(xué)生推理能力的培養(yǎng)。（4）注重分層指導(dǎo)和分層作業(yè)。（5）注意學(xué)生的板演糾正。劉老師：賈老師的課：（1）注重學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)。（2）注重好習(xí)慣的培養(yǎng)，如做筆記的習(xí)慣，回答問題過程嚴(yán)謹(jǐn)敘述的習(xí)慣，一題多解的習(xí)慣。（3）抓住難點(diǎn)和疑點(diǎn)仔細(xì)剖析。（4）課堂氣氛輕松愉快，得益于教師語言風(fēng)趣幽默，體現(xiàn)出老師駕馭課堂的能力很強(qiáng)。（5）所選例題習(xí)題有梯度。但應(yīng)注意照顧大多數(shù)學(xué)生，特別是中下游學(xué)生，練習(xí)題的解答中出現(xiàn)的問題。邵老師：本節(jié)課的教學(xué)有以下閃光點(diǎn)：教學(xué)設(shè)計(jì)合理，教學(xué)方法以一中模式為載體，變教為探，環(huán)環(huán)相扣，突出數(shù)形結(jié)合思想。教師教學(xué)基本功扎實(shí)，教態(tài)自然，板書合理，靈活使用多媒體。當(dāng)然，“金無足赤、人無完人”，本節(jié)課依然存在一些不足：個(gè)別問題提的不明確。由于電腦原因，幾何畫板用的不夠自然。《平面向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示》課后反思本堂課屬于概念課，作為數(shù)學(xué)的概念課是非常難講的課題，一來你得讓學(xué)生在第一時(shí)間能清晰的對概念的內(nèi)涵和外延有深的認(rèn)識，爭取打成思維上的認(rèn)同，避免