2022-2023學(xué)年蘇教版必修第一冊(cè)函數(shù)與數(shù)學(xué)模型復(fù)習(xí)講義

專題8.2函數(shù)與數(shù)學(xué)模型

一、考情分析

一次或二次函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)

幾種不同類型的函數(shù)增長(zhǎng)

指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)

用數(shù)模型幕函數(shù)類型增長(zhǎng)

①二次函數(shù)模型的應(yīng)用

函數(shù)模型應(yīng)用舉例②選擇函數(shù)擬合問題

③指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型

二、考點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一一次函數(shù)與二次函數(shù)模型

1、(1).一次函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用

一次函數(shù)模型應(yīng)用時(shí)，本著“問什么，設(shè)什么，列什么‘‘這一原則.

(2).一次函數(shù)的最值求解

一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式數(shù)+處0(或W0),解答時(shí)，注意系數(shù)”的正負(fù)，也

可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值.

2、二次函數(shù)模型的解析式為ga)=or2+fcv+c(a/)).在函數(shù)建模中，它占有重要的地位.在根

據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來

求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的最值問題.二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象

來解答.

3、(1).分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.

(2).分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.

(3).分段函數(shù)的值域求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論

知識(shí)點(diǎn)二指數(shù)增長(zhǎng)模型與對(duì)數(shù)增長(zhǎng)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型fix)=ax+b(a>人為常數(shù)，〃/))

1

二次函數(shù)模型j(x)=ax+bx+c(a9b,c為常數(shù)，存0)

與指數(shù)函數(shù)相關(guān)模型j(x)=ba'+c(a,b,c為常數(shù)，a>0且內(nèi)1,屏0)

與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)模型Hx)=blogd+c(mb,c為常數(shù)，。>0且存1,好0)

與幕函數(shù)相關(guān)模型./U)=O^+雙a,b,n為常數(shù),40)

【特別提醒】

1.“直線上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；“指數(shù)增長(zhǎng)''先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增加,

常用“指數(shù)爆炸'’來形容；"對(duì)數(shù)增長(zhǎng)''先快后慢，其增長(zhǎng)速度緩慢.

2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)

實(shí)際問題的合理性.

三、題型突破

重難點(diǎn)題型突破1一次函數(shù)、二次函數(shù)模型

例1.（1）、（2021?福建福州?高一期中）若某商店將進(jìn)貨單價(jià)為元的商品按每件10元出售.

則每天可銷售100件.現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)、減少進(jìn)貨量的方法來增加利潤(rùn).己知這種商品的

售價(jià)每提高元，銷售量就要減少10件，那么要保證該商品每天的利潤(rùn)在450元以上，售價(jià)應(yīng)

定為（）

A.11元B.11元到15元之間C.15元D.10元到14元之間

【答案】B

【分析】

由題意列出關(guān)系式，并解不等式.

【詳解】

設(shè)售價(jià)為X，利潤(rùn)為九

則y=（x_6）［100T0（x_I0）］,

由題意y=（x-6）［100-10（x-10）］>450,

即d-26x+165<0,

解得ll<x<15,

即售價(jià)應(yīng)定為11元到15元之間，

故選：B.

（2）、（2021?浙江浙江?高一期末）已知某炮彈飛行高度h（單位：m）與時(shí)間x（單位：s）

之間的函數(shù)關(guān)系式為/z=130-5/，則炮彈飛行高度高于240m的時(shí)間長(zhǎng)為（）

A.22sB.23sC.24sD.25s

【答案】A

【分析】

令130f-5/>240解不等式可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意可得130-5戶>240,解得2<f<24,

則炮彈飛行高度高于240m的時(shí)間長(zhǎng)為24-2=22（s）.

故選：A.

【變式訓(xùn)練1-1】.（2021?黑龍江?大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考）依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù).

根據(jù)《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》，自2019年1月1日起，個(gè)人綜合所得稅根據(jù)全年應(yīng)

納稅所得額和稅率來確定，計(jì)算公式為：個(gè)人綜合所得稅=全年應(yīng)納稅所得額x稅率；全年應(yīng)

納稅所得額的計(jì)算公式為：全年應(yīng)納稅所得額=全年綜合所得收入額-基本減除費(fèi)用（六萬元卜

專項(xiàng)扣除-專項(xiàng)附加扣除-依法確定的其他扣除；

稅率（見下表）：

級(jí)數(shù)全年應(yīng)納稅所得額稅率（%）

1不超過36000元的3

2超過36000元至144000元的部分10

3超過144000元至300000元的部分20

4超過300000元至420000元的部分25

5超過420000元至660000元的部分30

6超過660000元至960000元的部分35

7超過960000元的部分45

若小陳全年繳納的個(gè)人綜合所得稅為1380元,其中專項(xiàng)扣除占全年綜合所得收入額的20%,

專項(xiàng)附加扣除和依法確定的其他扣除總計(jì)為50000元，則小陳全年綜合所得收入額為

.（單位：元）

【答案】186250

【分析】

根據(jù)給定信息探求出小陳全年應(yīng)納稅所得額在36000元到144000之間，設(shè)小陳全年綜合所

得收入額為x元，列出方程求解即得.

【詳解】

若小陳全年應(yīng)納稅所得額恰好為36000元，則應(yīng)繳納個(gè)稅為36000x3%=1080,

若小陳全年應(yīng)納稅所得額恰好為144000元，則應(yīng)繳納個(gè)稅為

1080+（144000-36000）xl0%=11880,

因1080<1380<11880,則小陳全年應(yīng)納稅所得額在36000元到144000元之間，

設(shè)小陳全年綜合所得收入額為x元，則

36000/3%+（x-36000-60000-50000-20%x）xl0%=1380,

即0.8x-146CXX）=3000,解得x=186250,

所以小陳全年綜合所得收入額為186250元.

故答案為：186250

【變式訓(xùn)練1-2】.（2021?遼寧?大連八中高一期中）（多選題）某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起

步價(jià)為8元，起步里程為3km（不超過3km按起步價(jià)付費(fèi)）；超過3km但不超過8km時(shí)，

超過部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過8km時(shí)，超過部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐

需付燃油附加費(fèi)1元.下列結(jié)論正確的是（）

A.出租車行駛2km,乘客需付費(fèi)8元

B.出租車行駛10km,乘客需付費(fèi)25.45元

C.某人乘出租車行駛5km兩次的費(fèi)用超過他乘出租車行駛10km一次的費(fèi)用

D.某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了9km

【答案】BCD

【分析】

根據(jù)題意依次計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)的車費(fèi)或行駛距離得到答案.

【詳解】

出租車行駛2km,乘客需付費(fèi)8+1=9元，A錯(cuò)誤；

出租車行駛10km,乘客需付費(fèi)8+5x2.15+2x2.85+1=25.45元,B正確;

某人乘出租車行駛5km兩次的費(fèi)用為（8+2x2.15+1）x2=26.6元，乘出租車行駛10km一次

的費(fèi)用為25.45元，C正確;

當(dāng)行駛8公里時(shí),費(fèi)用為8+5x2.15+1=19.75,22.6-19.75=2.85,2.85+2.85=1,8+1=9,

D正確.

故選：BCD.

重難點(diǎn)題型突破6指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與模函數(shù)模型

例2.（1）、（2021?北京市第一六一中學(xué)高一期中）某食品的保鮮時(shí)間t（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)

f64%<0

藏溫度X（單位：°C）滿足函數(shù)關(guān)系r=；>0且該食品在4c的保鮮時(shí)間是16小時(shí).已

知甲在某日上午10時(shí)購(gòu)買了該食品，并將其放在室外，且此日的室外溫度隨時(shí)間變化如圖

所示.給出以下四個(gè)結(jié)論：

①該食品在6℃的保鮮時(shí)間是8小時(shí)；

②當(dāng)xe-6,6］時(shí)，該食品的保鮮時(shí)間t隨著x增大而逐漸減少；

③到了此日13時(shí)，甲所購(gòu)買的食品還在保鮮時(shí)間內(nèi)；

④到了此日14時(shí)，甲所購(gòu)買的食品已然過了保鮮時(shí)間.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

D.①③④

【答案】B

【分析】

根據(jù)x=4℃時(shí)，保鮮時(shí)間是16小時(shí)，求出&=-0.5,根據(jù)解析式計(jì)算可知①正確；

根據(jù)當(dāng)X0-6,0］時(shí)，保鮮時(shí)間恒為64小時(shí)，可知②錯(cuò)誤；計(jì)算出在某日上午10時(shí)購(gòu)買

了該食品的保鮮時(shí)間可知③④不正確.

【詳解】

由題意可得，當(dāng)x=4℃時(shí)，保鮮時(shí)間是16小時(shí)，即2〃+6=16,解得％=-0.5,

64,x<0

t='—x+6,

22,x>。

所以當(dāng)x=6時(shí)，t=8,

故①該食品在6°C的保鮮時(shí)間是8小時(shí)，正確；

②當(dāng)xW［-6,0］時(shí),保鮮時(shí)間恒為64小時(shí)，當(dāng)xW（0,6］時(shí)，該食品的保鮮時(shí)間t隨看x

增大而逐漸減少，故錯(cuò)誤；

③到了此日11時(shí)，溫度超過10度，此時(shí)保鮮時(shí)間不超過2小時(shí)，故到13時(shí)，甲所購(gòu)買的

食品不在保鮮時(shí)間內(nèi)，故錯(cuò)誤；

④到了此日14時(shí)，甲所購(gòu)買的食品已然過了保鮮時(shí)間，故正確，

故正確的結(jié)論的序號(hào)為：①④，

故選：B

（2）、（2022?浙江?高三專題練習(xí)）一種藥在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低

于500mg病人就有危險(xiǎn).現(xiàn)給某病人注射了這種藥25（）0mg,如果藥在血液中以每小時(shí)20%

的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（）小時(shí)向病人的血液

補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.（附：lg2=0.301,lg3=0.4771,答案采取四舍五入精確到0.五）

A.2.3小時(shí)B.3.5小時(shí)C.5.6小時(shí)D.8.8小時(shí)

【答案】A

【分析】

藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，根據(jù)指數(shù)函數(shù)模型列方程或不等式求解.

【詳解】

設(shè)從現(xiàn)在起經(jīng)過x小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.

則2500x0.8*=1500,0.8'=0.6,1g0.8v=1g0.6,xlg0.8=lg0.6,

,g

_lg0.6_gio_lg2+lg3-l_0.301+0.4771-1

lg0.81oA31g2-l3x0.301-1

010

故選：A.

例3.（2021?天津?高一期末）某工廠準(zhǔn)備引進(jìn)一種新型儀器的生產(chǎn)流水線，已知投資該生產(chǎn)

流水線需要固定成本1000萬元，每生產(chǎn)x百臺(tái)這種儀器，需另投入成本/（X）萬元，

5x2+50尤+500,0cx<40,100xwN,

/(X)=2500、/八sc浦假設(shè)生產(chǎn)的儀器能全部銷售完，且售價(jià)為每臺(tái)3

301x4-----------3000,x>40,100xGN.

x

萬元.

(l)求利潤(rùn)g(x)(萬元)關(guān)于產(chǎn)量X(百臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，該工廠所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

-5x2+250JV-1500,0cx<40,100xeN、

【答案】(1)g(x)=2500;(2)產(chǎn)量為5000臺(tái)時(shí)，該工

2000一(x+x>40,100xeN.

x

廠獲得利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為1900萬元.

【分析】

(1)依題意求出各段的函數(shù)解析式，再寫成分段函數(shù)即可;

(2)根據(jù)解析式求出各段函數(shù)的最大值，再取最大的即可;

【詳解】

解：(1)由題意可知，當(dāng)0<x<40,lOOxe/Vff't,g(x)=300x-5x2-50x-500-1000=-5x2+250x-1500；

當(dāng)瘡40,lOOxe/V時(shí)，^(x)=300%-30lx---------+3000-1000=2000-1x+2500

X

-5x2+250x-1500,0cx<40/OOx￡N,

綜上，g(x)=

2000-(x+x240,100xeN.

X

(2)當(dāng)0<x<40,lOOxWN時(shí)，g(x)=-5x2+250x-1500=-5(x-25)2+1625,且當(dāng)x=25時(shí)，g(x)

取得最大值1625；當(dāng)x“0,lOOxW/V時(shí)，^(x)=2000-(x+^)<1900,當(dāng)且僅當(dāng)x=50時(shí),

x

g(x)取得最大值1900.綜上，當(dāng)x=50,即產(chǎn)量為5000臺(tái)時(shí)，該工廠獲得利潤(rùn)最大，且最大

利潤(rùn)為1900萬元.

【點(diǎn)睛】

⑴很多實(shí)際問題中，變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式給出，這時(shí)就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型.

⑵求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法.在求分段函數(shù)的最值

時(shí)，應(yīng)先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值.

例4.(2021?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三月考)中國(guó)茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉的類

型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85°C的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用,

可以產(chǎn)生最佳口感.經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，設(shè)茶水溫度從85°(:開始，經(jīng)過*分鐘后的溫度為)‘°C,

且滿足y=ka'+25(%eR,0<?<l,x>0)

(1)求常數(shù)k的值;

（2）經(jīng)過測(cè)試知。=0.9227,求在25°（:室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能

達(dá)到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到1分鐘）.

【答案】

（1）60；

（2）7分鐘.

【分析】

⑴根據(jù)給定條件，將x=0代入即可計(jì)算得解.

⑵由⑴的結(jié)論，將a=0.9227代入并借助對(duì)數(shù)計(jì)算即可得解.

（1）

依題意，當(dāng)x=0時(shí)，y=85,于是得85=h4°+25,解得％=60,

所以常數(shù)%的值是60.

（2）

由(1)知，當(dāng)a=0.9227時(shí)，y=60x0.9227*+25,

7

當(dāng)。=60時(shí),60x0.9227、+25=60,BP0.9227"=—,兩邊取對(duì)數(shù)得xlg0.9227=lg77gl2,

Ig7-lgl2^0.8451-1.0792

X—xX6.7077,因此，x=7（分鐘）

lg0.9227-0.0349

所以剛泡好的茶水大約需要放置7分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感.

例5.（2022?上海?高三專題練習(xí)）在不考慮空氣阻力的情況下火箭的最大速度（單位：〃〃s）

和燃料的質(zhì)量〃（單位：kg）,火箭（除燃料外）的質(zhì)量〃？（單位：版）滿足d'=（l+彳J

（為自然對(duì)數(shù)的底）.

（1）當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭（除燃料外）質(zhì)量機(jī)的兩倍時(shí)，求火箭的最大速度（單位：m/s）

結(jié)果精確到0.1）;

（2）當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭（除燃料外）質(zhì)量旭的多少倍時(shí)，火箭的最大速度可以達(dá)到

8000m/s（結(jié)果精確到0.1）.

M

【答案】（1）v=2191.2m/s；（2）—=53.6.

m

【分析】

（1）將d'=jl+絲］化為：v=lnfl+—=20001/1+名］,然后將M=2〃z代入

\m）\m）\m）

/M\2000

戶=l+\中求解即可；

(2)將v=8000代入得ln(l+=4,然后進(jìn)行指對(duì)互化求解”的值.

'mJm

【詳解】

解：因?yàn)椤睆V，所以v=W+”『=2000山+5，

Vm)mJmJ

當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭(除燃料外)質(zhì)量，”的兩倍時(shí)，將例=2m代入得：

v=20001n3?2197,2m/5；

(2)令v=8000,即8000=2000In(1+得ln(l+絲］=4,解得"=e，_g53.6.

\mJ<mJm

例6.(2021?江蘇?常州市第一中學(xué)高一期中)某小微企業(yè)去年某產(chǎn)品的年銷售量為1萬只，

每只銷售價(jià)為10元，成本為8元，今年計(jì)劃投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)進(jìn)行促銷，預(yù)計(jì)年銷售亙p

(萬只)與投入廣告費(fèi)x(萬元)之問的函數(shù)關(guān)系為p="(x20),且當(dāng)投入廣告費(fèi)為4

萬元時(shí)，銷售量3.4萬只現(xiàn)每只產(chǎn)品的銷售價(jià)為“原銷售價(jià)"與"年平均每只產(chǎn)品所占廣告費(fèi)的

之和.

m

(1)當(dāng)投入廣告費(fèi)為1萬元時(shí)，要使得該產(chǎn)品年利潤(rùn)不少于4.25萬元，則m的最大值是

多少？

(2)若加=3,則當(dāng)投入多少萬元廣告費(fèi)時(shí)，該產(chǎn)品可