2022-2023學年吉林省長春市高三年級上冊學期第一次調研測試數(shù)學試題及答案

2023屆高三年級第一次調研測試數(shù)學試卷

一、單選題

1.若集合知={劃一2<x*4}N={X|4<X<6},則

)

A.M=NB.MN={4}

C.M^ND.M_N={x|—2<x<6}

3x2-x,0<x<1

2.設是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當X￡[0,2)時，/(%)=,

2-x,1<x<2

則/(-|)=()

1

A.-1B.1C.yD.

4

兀3

3.若cos(---a)――,則sin2<z=()

45

2477

A.—B.---C.-D.

252525

4.玉雕壁畫是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝，加工生產(chǎn)成的玉雕工藝畫.某扇形玉雕壁畫尺寸

(單位：cm)如圖所示，則該玉雕壁畫的扇面面積約為()

IbO

A.1600cm2B.3200cm2C.3350cm2D.

4800cm2

5.用有機溶劑萃取水溶液中溶質是化學中進行物質分離與提純的一種重要方法.根據(jù)能斯

特分配定律，一次萃取后，溶質在有機溶劑和水中的物質的量濃度(單位：mol/L)之比為常

數(shù)K，并稱K為該溶質在水和有機溶劑中的分配常數(shù).現(xiàn)用一定體積的有機溶劑進行〃次萃

取，每次萃取后溶質在水溶液中的殘留量為原物質的量的倍，溶質在水溶液中原始

10+K

的物質的量濃度為1。mol/L,該溶質在水和有機溶劑中的分配常數(shù)為2(),則至少經(jīng)過幾次

萃取，溶質在水溶液中的物質的量濃度低于L0XK)Tmol/L?()(假設萃取過程中水溶

液的體積不變.參考數(shù)據(jù)：In3^1.099,In10^2.303.）

A9次B.10次C.11次D.12次

6.若a,尸elo,5),且(l+cos2a)(l+sin/7)=sin2acos/?,則下列結論正確的是()

八兀￡兀

A.a+￡=—B.a+—=—

222

jr7T

C.2a-y?=—D.<2—/?=—

7.設函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x+2)是奇函數(shù)，/(2x+l)是偶函數(shù)，則一定有()

A./(4)=oB./(-l)=oC.43)=0D.

/⑸=。

8.已知函數(shù)/(x)=log3(9'+9)—x,設a=b=fl-e[，c=/[n需),

則a,8,c的大小關系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.

c<a<b

二、多選題

9.下列命題是真命題的有()

AIg2-lgl+31g5=3

4

B.命題“Vx>0,2*>1”的否定為“3x40,2“41”

C.“a=￡”是“sina=sin尸”成立的充分不必要條件

D.若暴函數(shù);?（》）=/（。€/?）經(jīng)過點（1,2）,則。=一3

10.（多選）已知。＜人〈0,則下列不等式正確是（)

A.a2>abB.In(1-a)>ln(1-6)

C.2

D.a+cosb>b+cosa

a+b<ab

九37r4/o'

11.已知一<a<%,7t<p<—,sin2a=—,cos(a+￡)=----，則()

42510

A.cos…典

B.sin(z-cosa=—

105

34D.cosacosp=-￡

C./3—cc

T

—x—6x-6x<]

12.已知函數(shù)〃%)=《''—，若關于x的方程“x)=m恰有三個不同實數(shù)解

lnx+l,x>1

玉</<七，則關于及的方程5'"=土|上(4+69+5)(X3-1)的正整數(shù)解取值可能是

()

A.1B.2C.3D.4

三、填空題

13.已知tan6=2,則—————=________

2cos。-3sin0

14.已知/[耳1_1)=2冗+3,/(機)=8,則加=.

15.若直線/：丁=履+8是曲線y=e'的切線，切點為也是曲線y=(x+l)?的切

線，切點為N(X2，%)，則2%一工2=

16.若函數(shù)/(x)=2x-sinx—a在(一方,")上存在唯一的零點X],函數(shù)

gabf+cosx-奴+a在(一乃,乃)上存在唯一的零點且％<%2，則實數(shù)”的取值

范圍為.

四、解答題

17.已知函數(shù)f(x)=2sinxcos(x——)—.

(1)化函數(shù)為/(x)=Asin(<yx+°)+b的形式；

(2)設ae(0,馬，且/《+?)=\求tan(a+馬.

22854

「、鼠1

18,已知公差d不為0的等差數(shù)列｛凡｝的前”項和為S“，4=6，-^=-.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若數(shù)列bn=2冊，c“=a?+bn,求數(shù)列｛c,｝的前〃項和Tn.

19.己知函數(shù)/(力二"?、》一法2一。在％=1處取得極值3—c,其中。、b、。為常數(shù).

(1)試確定“、。的值；

(2)若存在x＞0,不等式/(x)之2c2有解，求。的取值范圍.

20.甲、乙兩名運動員進行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往比賽勝負情況知道，每一局甲勝的

21

概率為:，乙勝的概率為:.比賽采用“三局兩勝”制，先勝二局者獲勝.商定每局比賽(決

33

勝局第三局除外)勝者得3分，敗者得1分；決勝局勝者得2分，敗者得0分.已知各局比

賽相互獨立.

(1)求比賽結束，甲得6分的概率；

(2)設比賽結束，乙得X分，求隨機變量X的概率分布列與數(shù)學期望.

21.已知橢圓C:=+與=l(a＞匕＞())的離心率為中，且C的左、右焦點與短軸的兩個

a-b-2

端點構成的四邊形的面積為8班.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/：x—沖—1=0與x軸交于點M,與橢圓C交于P,Q兩點，過點尸與x軸垂

直的直線與橢圓C的另一個交點為N,求△MNQ面積的最大值.

22.已知/(x)=(a-l)lnx+x+@

(1)若4<0,討論函數(shù)/(X)的單調性;

(2)g(x)=/(x)+lnx-0有兩個不同的零點/，X2(°＜玉＜%2)，若

《鈣〉。恒成立,

求；I的范圍.

2023屆高三年級第一次調研測試數(shù)學試卷

一、單選題

]若集合M={x-2<xW4},N={x|4WxW6},則()

A.M=NB.MN={4}

C.M衛(wèi)ND.M_N={x|-2cx<6}

【答案】B

【解析】

【分析】利用集合的交并運算求McN、MDN,注意M,N是否存在包含關系，即可

得答案.

【詳解】因為"={x|-2<xW4},2V={x|4<x<6},

所以MN={4},MN={x|-2<xW6},相互沒有包含關系

故選：B

“x°C、"/、[3x2—x,0<x<l

2.設/(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當xe[0,2)時，/(x)=,

2-x,1<x<2

則八-|)=()

11

A.-1B.1C.gD.-

24

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，化簡得到/(-|)=/(-9+3)=/(；),代入即可求解.

【詳解】因為“X)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當xe[0,2)時，

./、[3x2-x,0<x<1

'72-x,l<x<2

貝U/(-|)=/(一^+3)=/(；)=3x(1)2—g=；.

故選：D.

3

3.若cos(---a)=一，則sin2a=()

45

24724

A.—B.——C.---D

252525-s

【答案】B

【解析】

【分析】結合已知條件，利用sina+cosa與2sinacosa的關系即可求值.

【詳解】cos--a=—=>—J=（costz+sin?）=—=>cosdf+sincr

14J5逝''55

,?c18?c7

1+sin2a=—sin2a=----.

2525

故選：B.

4.玉雕壁畫是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝，加工生產(chǎn)成的玉雕工藝畫.某扇形玉雕壁畫尺寸

（單位：cm）如圖所示，則該玉雕壁畫的扇面面積約為（）

IM)

A.1600cm2B.3200cm2C.3350cm2D.

4800cm2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)弧長公式由條件求出扇形的圓心角和半徑，再由面積公式求出扇面面積.

【詳解】如圖，設NAO3=（z,OB-rem.

ar=80,[a-2,

由題圖及弧長公式可得《（，/八解得《研

a（r+40）=160,[r=40.

設扇形COZ）、扇形4OB的面積分別為S,邑，則該玉雕壁畫的扇面面積

2

S=S,-S2=1xl60x（40+40）-^x80x40=4800（cm）.

故選：D.

cD

A\、/,B

、、/?

、、/，

V

o

5.用有機溶劑萃取水溶液中的溶質是化學中進行物質分離與提純的一種重要方法.根據(jù)能斯

特分配定律，一次萃取后，溶質在有機溶劑和水中的物質的量濃度(單位：mol/L)之比為常

數(shù)K,并稱K為該溶質在水和有機溶劑中的分配常數(shù).現(xiàn)用一定體積的有機溶劑進行〃次萃

取，每次萃取后溶質在水溶液中的殘留量為原物質的量的二邑倍，溶質在水溶液中原始

的物質的量濃度為1。mol/L,該溶質在水和有機溶劑中的分配常數(shù)為2(),則至少經(jīng)過幾次

萃取，溶質在水溶液中的物質的量濃度低于l.OxKT5moi/L?()(假設萃取過程中水溶

液的體積不變.參考數(shù)據(jù)：ln35.099,In10^2.303.)

A.9次B.10次C.11次D.12次

【答案】C

【解析】

【分析】審題確定常數(shù)，分配常數(shù)K=20,根據(jù)每次萃取后溶質在水溶液中的殘留量為原

物質的量的7旦倍，建立函數(shù)模型與不等關系，利用參考數(shù)據(jù)求解即可.

10+K

【詳解】由題意知，K=20,則』一=’,

10+K3

設經(jīng)過n次萃取，溶質在水溶液中的物質的量濃度低于l.Ox105mol/L，

則(-)"(IO，'，解得"10§>10-5.

Ini。-51nl05x2.303

由換底公式得bgJO-X-?1v.HA-QO

ln31.099

3ln-

3

則至少經(jīng)過11次萃取，溶質在水溶液中的物質的量濃度低于LOxKT'mol/L.

故選：C.

【點睛】解決實際應用問題的一般步驟：

(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；

(2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立

相應的數(shù)學模型；

(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；

(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義.

6.若a,尸且(l+cos2a)(l+sin尸)=sin2acos4，則下列結論正確的是()

c兀。兀

A.a+8=—B.a+—=—

222

C兀

C.2a—J3D.6Z-/?=—

【答案】C

【解析】

【分析】由a及二倍角的余弦公式可得cosa(l+sinp)=sinacos尸，根據(jù)兩角

差的正弦公式可得cosa=sin(a—尸)，由誘導公式及圓，的范圍，結合正弦函數(shù)的單調

性即可求解.

【詳解】解：：跖Acosa^O.

由(1+cos2a)(l4-sin/?)=sin2acos0,可得2cos?a(l+sin(3)=2sinacosacos(3,

即coscr(l+sin尸)=sinacos/3.

/.cosa=sinacosp-cosasin/3=sin(cif-/7),sin(a-/)=

71c71r八7171

,：a,々4og..——<a-B<—,且0<——a<—.

2222

JTrr

由于函數(shù)丫=$皿*在xe上單調遞增,a-J3=——a,即2a-'=/.

故選:C.

7.設函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x+2)是奇函數(shù)，/(2x+l)是偶函數(shù)，則一定有()

A./(4)=oB./(-1)=0C.43)=0D.

〃5)=。

【答案】A

【解析】

【分析】推導出函數(shù)/(X)的圖象關于直線x=l對稱，也關于點(2,0)對稱，進一步可推導

出函數(shù)/(力為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，逐項判斷可得出合適的選項.

【詳解】因為函數(shù)/(2x+l)為偶函數(shù)，則/(I—2x)=/(l+2x),

令f=2x,則/(1T)=/(1+。，即/(I-x)=/(l+x),則〃x)=/(2r),

因為函數(shù)/(x+2)為奇函數(shù)，則/(2—x)=—/(2+x),

所以，函數(shù)“X)的圖象關于直線x=l對稱，也關于點(2,0)對稱，

則〃2)=-〃2),可得"2)=0,

所以，/(x)=-〃2+x)=/(x+4),故函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，且周期為4，

對于A選項，/(4)=/(0)=/(2)=0,A對；

對于BCD選項，/(-1)=/(3)=-/(1)>/(5)=/⑴，但/⑴的值無法確定，BCD

均錯.

故選：A.

8.已知函數(shù)/(x)=log3(9'+9)_x,設b=于1-ec=/(ln需)，

則a,b,c的大小關系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.

c<a<h

【答案】D

【解析】

【分析】令尸(x)=〃x+l)=log3(3、+3T)+l,可得*x)為偶函數(shù)，且在(0,+。)上單

調遞增，由題可得。=/e10,c=Ffln構造函數(shù)g(x)=e*-x-l

及r(x)=lru:-x+l(x>0),利用導函數(shù)判斷a,4c的大小可得答案.

【詳解】?.?/(x)=log3(9'+9)-x,

-

.,./(X+1)=log3(9再+9)—(X+1)=log3(9'+l)-x+l=log3(3*+3')+1

v-J;

令b(x)=/(x+l)=log3(3+3)+l,xeR,

v

.?.F(-x)=log3(3-+3')+l=F(x),F(x)為偶函數(shù),

令丁=3'+3-3設玉>々>0,

則％=3』-3*+產(chǎn)-3』=（33-3應，

因為X1一工2〉0，%+工2〉°，3皆+*2>1，所以（3小-3*）\什“>0>

所以%>為，所以,=3工+3-、在（0,+8）是增函數(shù)，又y=log3》為增函數(shù),

所以R（x）=log,（3'+3-,）+1在（（）,+8）上為增函數(shù)，

由g(x)=e'-x-l,得g'(x)=e*-l,

當x>0時g'(x)>0；當x<0時g'(x)<0,

所以g(x)2g(O)=O,當且僅當x=0時取等號,

所以e*>x+l(x/0),

_2_—

故ei°

1010

11_y

令，(x)=lnx_x+l(x>0),f(x)=——1=----(x>0),

當x>l時，（工）<0；當Ovxvl時/（無）>0,

所以r(x)〈r(l)=O,當且僅當x=l時取等號,

lnx<x—1(X^1),

,1111,1

/.In—<---1=—，

101010

:.a>c.

綜上b>a>c.

故選：D

【點睛】本題考查了比較大小的問題，比較大小的方法有:

(1)根據(jù)單調性比較大小；

(2)作差法比較大小;

(3)作商法比較大??；

(4)中間量法比較大小.

二、多選題

9.下列命題是真命題的有()

A.Ig2-lg；+31g5=3

B.命題“Wx>0,V>1”的否定為"3x<0,2X<1"

C.“。=萬”是“sina=sin力”成立的充分不必要條件

D.若幕函數(shù)/(x)=xa(aeR)經(jīng)過點則a=—3

【答案】AC

【解析】

【分析】A選項利用對數(shù)的四則運算即可求出；B項根據(jù)全稱命題的否定直接判斷；C項根

據(jù)充分不必要條件的概念進行判斷；根據(jù)基函數(shù)求參數(shù).

Ig2一層+33也儲+Ig5-g2+R卜叫0=3,故

【詳解】對A：

A正確;

對B：命題“7)>0,2、>1”的否定為“市>0,2匕1”,故B錯誤;

對C：a=A=sine=sin/7,但是sina=sin￡=例如：sin—=sin——=-,

662

jr5乃

但二工^，所以“二=4”是“sina=sin〃”成立的充分不必要條件，故C正確；

66

對D：因為幕函數(shù)/(x)=x?aeR)經(jīng)過點(g,2；所以=2,即2―34=2,所以

a―――—3,故D錯誤.

3

故選：AC.

10.(多選)己知。<人<0,則下列不等式正確的是()

A.a1>abB.In(1-。)>ln(1-/?)

C.工>；

D.a+cosh>b-^-cosa

a+b>Jab

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用不等式的性質判斷A,利用對數(shù)函數(shù)的單調性判斷B,利用基本不等式判斷C,

利用構造函數(shù)判斷D.

【詳解】A:；a</?<0,.,.出>浦，；.A正確，

B:Va<Z?<0,1-a>\-b,Ain(1-a)>ln(1-b),，B正確，

—a—bf—r21

C:a<h<0,；.------>>Jab,---------T==,；.C正確，

2a+byJab

D:設/(x)—x-cosx,則(X)=1+siruK),,\f(x)在R上為增函數(shù)，

\'a<b<0,.".a-cosa<h-cosh,a+cosh<h+cosa,；.D錯誤.

故選：ABC.

43兀4

11.己知一兀W。4—,sin2a=—,cos(a+/?)=----，則()

42510

A.…一四

B.sin?-cos?=—

105

34D.cosacos，=—9

C.(3—a

【答案】BC

【解析】

【分析】

4

先根據(jù)sin2e=《，判斷角a的范圍，再根據(jù)cos2a求cosa；

根據(jù)平方關系，判斷sina-cosa的值；利用公式cos(4—a)=cos[(a+/?)-2a]求值,

并根據(jù)角的范圍判斷角尸一。的值；利用公式cos(4+。)和cos(p-e),聯(lián)合求

cosacos(3.

TTJT

【詳解】①因為一Ka4萬，所以一42。工27，

42

47t7T7T

又sin2a=—>0,故有一K2a4萬，—<a<—,

5242

解出cos2a=--=2cos2a_1ncos2a=—=>cosa=^-，故A錯誤；

555

?、2.?八1

②(sina-cosa)=l-sin2a=-f

兀JI

由①知：一《a?一,所以sina>cos。，

42

所以sina-cosa=，故B正確；

5

jrTT37r577

③由①知：-<?<-,而萬〈尸所以H-<a+/?K2乃，

4224

/o-5437

又cos(a+〃)=—■—<0,所以彳+一,

解得sin(a+尸)=J*，

所以cos(/7-a)=cos[(<z+(3)-la]--^-x(一3)(7⑥4V2

5；t10J52

S/r37r7t

又因為—Wa+〃W—，—7i4-2a<----,

422

jr37r

所以一萬，有0-a=—,故C正確;

44

0

④由cos(a+夕)=---=>cosacos夕一sinasin

由③知,cos(6-a)=cosacos/7+sinasinp----，

兩式聯(lián)立得：cosacos，=一嚕，故。錯誤.

故選：BC

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是三角函數(shù)恒等變形的靈活應用，尤其是確定角的范圍，

根據(jù)三角函數(shù)值sin2a=1，確定且cos(a+/7)=-冬<0，進一步確定

57r37r

—<?+/?<—,這些都是確定函數(shù)值的正負，以及角的大小的依據(jù).

42

—x~—6x-6x<]

12.已知函數(shù)〃x)=J]nx+]~，若關于x的方程J.(x)="恰有三個不同實數(shù)解

%<工2<七，則關于"的方程5"T=3苦■(￥+69+5)(七一1)的正整數(shù)解取值可能是

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】ABC

【解析】

【分析】在同一平面直角坐標系中作出y=/(x),y=m的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象有3個交點

確定出七,%2，占的關系，所以可將方程轉化為=(仙曰+2)(七一1),然后構造函數(shù)

g(x)=(Inx+2)(x—1)并分析g(x)的單調性確定出其值域，由此可求解出”的取值范圍，

則〃的值可確定.

【詳解】在同一平面直角坐標系中作出y=/(x),y=m的函數(shù)圖象如下圖所示:

當xWl時，J/=-(X+3)2+3<3,當X>1時，y=lnx+l>l,

所以由圖象可知：me(l,3)時關于x的方程/(x)=m恰有三個不同實數(shù)解，

又玉+X-,=2x(—3)=--6,*+6x,+5=-In玉2,

所以5"T=X："(W+6%,+5)(x3—1)=(In￡+2)5一1)，

又因me(l,3),所以lnx,+l€(l,3),所以，

設g(x)=(lnx+2)(x-l)(xe(l,e2)),所以g<x)=lnx」+3,

顯然g'(x)在(id)上單調遞增，所以g'(x)>g'(l)=2>0,

所以g(x)在(1看)上單調遞增，所以g(x)e(g(l),g(e2)),即g(x)e(0,4e2—4),

所以(0河-4),

所以〃可取1,2,3

故選：ABC.

三、填空題

13.已知tan6=2,則二~^—―=__________

2cos6-3sme

【答案】---##-0.5

2

【解析】

【分析】分子分母同除以cos。，弦化切，即可.

qinf）

【詳解】把式子----------的分子分母同除以cos。,

2cos6-3sin（9

sin。

sin?cos。_tan。

2cos。-3sin。2cos63sin62-3tan

cos0cos0

已知tanJ=2,所以

sin。_tan_2_1

2cos。-3sin。2-3tan62-3x22,

故答案為：-

2

14.已知/(：x_l]=2x+3,/(a)=8,則“2=____

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】利用換元法，令=求出函數(shù)解析式,再由/（租）=8可求出加的值.

【詳解】；/1；x-l[=2x+3,/（，"）=8,

，設工犬-1=/,解得x=2r+2,

2

???/（f）=4f+7,

f[m）-+7=8,

解得m=L

4

故答案為：一.

4

15.若直線/：y=丘+。是曲線y=e'的切線，切點為M（X|,y）,也是曲線y=（x+l）2的切

線，切點為N（入2,%），則2西一々=__________.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求得各個切線的斜率，求得直線方程，利用對應相等即可得

解.

【詳解】由直線/：y=履+匕是曲線y=e'的切線，切點為

則直線/的方程是y—e"=e*|（x—玉），即y=e$x+e*（1一玉）.

由直線/：y="+b是曲線yXx+l）。的切線,

切點為N（電,必），直線/的方程為y-（/+1）2=2（7+1）《_/）,

即_y=2（X2+l）x—尤;+1.

所以所以25+1）（1-3）=Y+1，，

因為e，"=2（々+1）＞0,

所以2（1_玉）=]一工2,2不一%=1.

故答案為：1

16.若函數(shù)/（工）=2》一5巾％-。在（-4,乃）上存在唯一的零點均，函數(shù)

gabf+cosx—or+a在（-肛乃）上存在唯一的零點4，且王＜龍2，則實數(shù)”的取值

范圍為.

【答案】（一2肛1—4]

【解析】

【分析】根據(jù)可求得了（x）單調遞增，得到/（一%）＜/（玉）=0＜/（萬），可解得

g（-乃）40

-2"<a<2乃；由g'（x）=/（x）可知g（x）單調性，結合％＜工2可確定＜由

g（萬）〉0

此解得aW1-%；取交集即可得到”的范圍.

【詳解】/'（x）=2—cosx＞0恒成立，\f（x）單調遞增,

又/（x）在（一萬,4）上存在唯一的零點七,.,.〃一4）＜/（與）=0＜/（乃）,

即一2萬一。v0＜2〃一a,解得：一2?＜。＜2萬；

g'（x）=2x-sinx-a=/（x）,又/（西）=0,

.,.當xe(一萬，玉)時，g'(x)<0；當*?百,?)時，g'(x)>0；

.??8(司在(一萬,司)上單調遞減，在(玉,〃)上單調遞增，

萬2W0

又(乃)即<

g(xJ=O,x,<%2,.-.g(-^-)<0,g>0,2八'

乃~一1一Q"+Q>0

解得：a<1-zr；

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為(一2萬,1一；r].

故答案為：(一2萬,1一萬].

【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據(jù)函數(shù)零點求解參數(shù)范圍的問題，解題關鍵是能夠結合零

點求得〃x),g(x)單調性，從而確定〃x),g(x)在區(qū)間端點處的符號，由此構造不等式

組求得參數(shù)范圍.

四、解答題

17.已知函數(shù)/。)=2$也》《?(*-5)-]'.

(1)化函數(shù)為/(x)=Asin(0x+w)+人的形式；

(2)設ae(0,g),且f《+g)==,求tan(a+工).

22854

JT

【答案】(1)/(x)=sin(2x——)；(2)7.

4

【解析】

【分析】

(1)先利用兩角差的余弦公式，化簡整理得到〃x)=&(sinxcosx+sin2x)-亞，再利用

二倍角公式和輔助角法求解.

(2)由/吟+?)=[根據(jù)(1)的結果，取得sina,cosa,再利用兩角和的正切公式求解.

285

【詳解】(1)/(x)=2sinx(cosxcos—+sinxsin—)--

442

=>/2(sinxcosx+sin2x)-^-，

2

=0dsin2x+J8s2x)_顯

222

_V2...、4、也

——(sin2x—cos2x+1)------，

22

=(sin2x-cos2x),

.冗

—sin(2x—)f

TT

???/(x)=sin(2x--).

4

/八、/，/a7c.rc/a7c7T..3

(2)/(—+—)=sinl2(—+—)——J=sina=-,

282845

,,小乃、43

由ae(0,一)口j知，cosa=—,tan6z=—,

254

7131

tana+tan——+1

/.tan(a+f)=----------------=-^r=7.

44i3

1-tantan—I——

44

【點睛】本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

18.已知公差d不為0的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，4=6,1="

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若數(shù)列勿=2冊，c?=an+bn,求數(shù)列｛%｝的前〃項和Tn.

【答案】(1)勺=2〃；

,八4,,+,4

(2)〃2“+〃+---------.

33

【解析】

【分析】(1)由S9=3SS，應用等差數(shù)列前〃項和、等差中項公式得的=10,結合已知求

基本量，進而寫出｛a,J的通項公式；

(2)由(1)得%=2〃+4",應用分組求和，結合等差等比前〃項和公式求T”.

【小問1詳解】

由題設Sg=3S5,則9(4+佝)=3x5(%+%),即3%=5%=30,

所以%=10，而。3=6，易得。=2,則q=2,

故a“=%+(〃-1)4=2〃.

【小問2詳解】

2nn

由（1）知：bn=2=4,則c,=2〃+4",

所以7；,=2（1+2+...+〃）+（4+4。+...+4"）=2x""；"）+%：-：'）=即+"+?-：.

19.已知函數(shù)/（x）=ax2inx-云2—c在％=1處取得極值3—c,其中。、b、。為常數(shù).

（1）試確定〃、。的值；

（2）若存在x>0,不等式/（X）22。2有解，求〃的取值范圍.

【答案】（1）。=-6,8=一3;

（2）--<c<l.

2

【解析】

*1)=0

【分析】（1）分析可得即可求得。、。的值，再利用導數(shù)分析函數(shù)/（X）的

"1)=3-C

單調性，結合極值的定義驗證即可;

（2）利用導數(shù)求出函數(shù)/（x）的最大值，根據(jù)題意可得出2c2</（力2，即可解得實數(shù)C

的取值范圍.

【小問1詳解】

解：函數(shù)/（x）的定義域為（0,+巧，f\x）=2ax\nx+ax-2bx,

/'(l)=a-2b=0a=-6

由題意可得<,解得《

/(1)=-/>-c=3-cb=-3

此時，，f(%)=-6%2lnx+3j?—c,則/'(x)=-12xlnx,

當0<x<l時，.盟x）>0,此時函數(shù)/（x）單調遞增,

當3>i時，r（x）<o,此時函數(shù)/（X）單調遞減，

此時，函數(shù)/（X）在X=1處取得極大值，合乎題意，

綜上所述，a=-6,b=—3.

【小問2詳解】

解：由（1）可知，函數(shù)/（x）在x=1處取得極大值，亦為最大值，即/（同四=/（l）=3-c,

因存在x>0,不等式〃x）N2c2有解，則2。2</（》）3=3-c,即2c2+C-3V0,

3

解得一一<c<l.

2

20.甲、乙兩名運動員進行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負情況知道，每一局甲勝的

概率為:，乙勝的概率為1.比賽采用“三局兩勝'’制，先勝二局者獲勝.商定每局比賽(決

勝局第三局除外)勝者得3分，敗者得1分；決勝局勝者得2分，敗者得0分.已知各局比

賽相互獨立.

(1)求比賽結束，甲得6分的概率；

(2)設比賽結束，乙得X分，求隨機變量X的概率分布列與數(shù)學期望.

20

【答案】(1)—

27

98

(2)分布列見解析，—

27

【解析】

【分析】(1)”比賽結束，甲得6分”等價于“乙以0:2敗給甲或乙以1:2敗給甲”，由此

即可求出其概率；

(2)由題意知：打2局，乙輸X=2；打3局，乙輸X=4,打2或3局，乙贏X=6,

分別求出其概率，則可寫出分布列，計算出數(shù)學期望.

【小問1詳解】

記事件A：“比賽結束，甲得6分”，

則事件A即為乙以0:2敗給甲或乙以1:2敗給甲，

山……(2丫1224820

所以尸(A)=|一|+C'x-x-x-=-+一=一.

⑶233392727

【小問2詳解】

由題意得，X可取2,4,6,

則P(X=2)=(|)=［，

1o?2

尸(X=4)=C；X_X±X—=￡,

即X的分布列為

X246

487

p（x）

92727

4Q7QR

X的數(shù)學期望為E（X）=2x；+4x9+6x9=S.

9272727

21.已知橢圓C：，+5?=1（4＞人＞0）的離心率為乎，且C的左、右焦點與短軸的兩個

端點構成的四邊形的面積為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線/：x-〃9-1=0與x軸交于點M,與橢圓C交于尸，Q兩點，過點P與x軸垂

直的直線與橢圓C的另一個交點為N,求△MNQ面積的最大值.

22

【答案】⑴—+^-=1

164

4

【解析】

【分析】（1）利用〃=。2+。2、e=￡與4x，譏'=86,求得后,/，代入橢圓方程即可.

a2

（2）聯(lián)立直線/與橢圓C方程得到y(tǒng)%=一：三，再利用切割法得到

S.MNQ=SAPQN-SAPMN，化簡得到進而利用基本不等式求得

△MN。面積的最大值.

【小問1詳解】

設橢圓c的焦距為2c,則6=￡=］叵，即

a2a~?-4

b23

所以1——=士，即。=處，

a24

又C的左，右焦點與短軸的兩個端點構成的四邊形的面積為8百，

所以4乂萬兒=8\/^,即Ac=4V^，

綜上解得=16,b2=4,

22

所以橢圓c的方程為工+2-=1.

164

【小問2詳解】

易得M（1,O）,設尸（刃,乂）,0（.%），則N（x“-y）,聯(lián)立直線/與橢圓C的方程

x=my+\

x2y2,得（〃/+4）V+2團>一15=0,

1164

2m15

則X+%=一^—7^^2=——^-7

7/1+4m+4

又S&PQN——