太原理工微積分與數(shù)學(xué)模型10年修改版線代第五章4節(jié)

二次型的概念x

21

2

n

11

1

22

2

nn

nx

2

+

a x

2

+

+

af

(x

,

x

,

,

x

)=

a定義1

含有n個變量

x1

,

x2

,,

xn的二次齊次函數(shù)+

2a12

x1

x2

+

2a13

x1

x3

+

+

2an

-1,

n

xn

-1

xn稱為二次型.當(dāng)aij是復(fù)數(shù)時,f稱為復(fù)二次型;當(dāng)aij是實數(shù)時,f稱為實二次型.x

21

2

n

11

1

22

2

nn

nx

2

+

a x

2

+

+

af

(x

,

x

,,

x

)=

a1．用和號表示對二次型+

2a12

x1

x2

+

2a13

x1

x3

+

+

2an-1,n

xn-1

xn取a

ji

=aij

,則2aij

xi

x

j

=aij

xi

x

j

+a

ji

x

j

xi

,于是1n

1

n11

1

12

1

2f

=

a x

2

+

a

x

x+

+

a

x

xn=

aij

xi

x

j

.i

,

j=1x

x2

n

2

n22

221

2

1+

a

x

x+

a x

2

+

+

ann

nn

2

n

2n1

n

1x

2x

x

+

a

x

x+

+

a+

+

a二次型的表示方法2．用矩陣表示1n

1

n12

1

211

1f

=

a x

2

+

ax

x

+

+

a

x

xx

x2

n

2

n22

221

2

1+

a+

a

x

xx

2

+

+

ann

nn1

n

1

n

2

n

2x

2+

+

a

x

x+

a

x

x

+

+

a+

+

xn

(an1

x1

+

an

2

x2

+

+

ann

xn

)=

x1

(a11

x1

+

a12

x2

+

+

a1n

xn

)+

x2

(a21

x1

+

a22

x2

+

+

a2

n

xn

)n

nnn

aa

xxx

x+

a

x

+

+

a

xx

+

a

x

+

+

a

xn

2

2n1

12

n n

22

221

1

a11

x1

+

a12

x2

+

+

a1n

xn

1

2=

(

,

,,

)則二次型可記作

f

=

xT

Ax,

其中A為對稱矩陣.

n

nn

n1

n2

x

x1

x

=

x2

,a2n

,a1n

a11

a12a22A

=

a21

a

a

a記()

n

nn

na

a

a

a

xn2n1a2n

x2

a1n

x1

a11

a12

21

a22

1

2=

x

,

x

,,

x二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系．對稱矩陣A叫做二次型f

的矩陣;f

叫做對稱矩陣A的二次型;對稱矩陣A的秩叫做二次型f

的秩.解a11

=

1,

a22

=

2,

a33

=

-3,a13a12a23=

a21

=

2,

=

a31

=

0,=

a32

=

-3.

0-

3

1

2

0

\

A

=

2

2

-

3.-

3寫出二次型f

=

x2

+

2

x2

-

3

x2

+

4

x

x

-

6

x

x1

2

3

1

2

2

3的矩陣.例１二次型的標(biāo)準(zhǔn)形概念(

)2

21

1122

2

n

n2

nf=

k

x

+

k

x

+

+

k

xx

,

x

,

,

x稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.若二次型f只含變量x1

,x2

,

,xn的平方項，即ji

jxk

=

yk=

y

+

y

x

xi

=

yi

-

y

jk

=1,2,,n且k

?i,j)用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟1.

若二次型含有xi

的平方項，則先把含有

xi的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進行，直到都配成平方項為止，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;?

02.

若二次型中不含有平方項，但是aij(i

?j),則先作變換化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方法配方.解1

2

3

1

2

1

3

2

3f

=

x2

+

2

x2

+

5

x2

+

2

x

x

+

2

x

x

+

6

x

x例2

化二次型f

=

x

2

+

2

x

2

+

5

x

2

+

2

x

x

+

2

x

x

+

6

x

x1

2

3

1

2

1

3

2

3為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的變換矩陣.1

31

212

3

2

3+

2

x

x

+

2

x

2

+

5

x

2

+

6

x

x=

x

2

+

2

x

x含有x1的項配方含有平方項=21

2

3(x

+

x

+

x

)2

3

2

3+2x2

+5x2

+6x

x3

2

32-

x2

-

x2

-

2x

x去掉配方后多出來的項()23

2

322231

2+

x

+4x

+4x

x+

x

+

x=

x.23221

2

3+(x

+2x

)=(x

+

x

+

x

)2

2

3

y3

=

x3=

x

+

2

x

y

y1

=

x1

+

x2

+

x3令3

3=

y

x

x2

=

y2

-

2

y3

x1

=

y1

-

y2

+

y3\

f

=

x2

+

2

x2

+

5

x2

+

2

x

x

+

2

x

x

+

6

x

x1

2

3

1

2

1

3

2

3=

y2

+

y2

.1

2x

1

,

x

2

,

,

x

n定義 設(shè)變量能用變量y1

,y

2

,,y

n

線性地表示為2 21

1 22

2

2n

n

x

=

c

y

+c

y

++c y

,x1

=

c11y1

+c12

y2

++c1n

yn

,y1,

y2,,

ynx1,

x2

,,

xn

xn

=

cn1y1

+cn2

y2

++cnn

yn

,其中

cij(i,

j

=1,2,,n)

為常數(shù)，則稱（1）為從到的線性變換.（1）線性變換的概念（1）也可寫成矩陣形式x

=

Cy（2）其中.1

11

121nnn21n

n

n

n1cc21

c22

y2x

y

x2

x

y

x=

,

y

=

,

C,

=c

c

c2n

c

c

c

y1

,

y

2

,

,

ynx1,

x2

,,

xn給定一個從

到的線性變換，就可以唯一地確定一個系數(shù)矩陣CC由（2）式亦可以唯一地確定一個線性變換.因此

在這一意義下，線性變換和它的系數(shù)矩陣之間是一一對應(yīng)的.C

稱為線性變換（1）的系數(shù)矩陣，或簡稱線性變換（1）的矩陣.特別地，當(dāng)C為單位矩陣時,(2)稱為恒等變換，即x

=

y當(dāng)

C

為可逆矩陣時，（2）稱為可逆的

線性變換；當(dāng)

C

為正交矩陣時，（2）稱為正交變換.由正交矩陣的可逆性得，正交變換必是可逆變換，正交變換保持向量的長度不變，它是一種重要的線性變換.1

0(C

=

1

?

0).

1

-

1

1

C

=

0

1

-

2,0例2中線性變換的矩陣

x3

=

y3

x

x1

=

y1

+

y2令解代入

f

=

2

x1

x2

+

2

x1

x3

-

6

x2

x3

,得

f

=

2

y

2

-

2

y

2

-

4

y

y

+

8

y

y

.1

2

1

3

2

3例3

化二次型f

=

2

x1

x2

+

2

x1

x3

-

6

x2

x3成標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的變換矩陣.由于所給二次型中無平方項，所以=

y

-

y

,

x3

y2

3

x1

1

y

00

y1

1

=

1

-

1

00

12

1

2

即

x2

再配方，得(

)(

)2323221

3+

6

y

.-

2

y-

y

-

2

yf

=

2

y32

2

z3

=

y3=

y

-

2

yz

z1

=

y1

-

y3令3

3

y

=

z

y2

=

z2

+

2z3

,f

=

2z

2

-

2z

2

+

6z

2

.1

2

3得

y1

=

z1

+

z3

y

3

3

y1

1

z

02

z2

1

z1

1

0即

y2

=

0

10所用變換矩陣為1

1

0

0

1

1

0

1

0 1

C

=

1

-

1

0

0

1

20

01

0

1

1

3

=

1

-

1

-

1.0C

=

-2

?

0).

x1

=

c11

y1

+

c12

y2

+

+

c1n

yn

,

x

=

c

y

+

c

y

+

+

c

y

,2

21

1

22

2

2n

n設(shè)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．

xn

=

cn1

y1

+

cn2

y2

+

+

cnn

yn記C

=(cij

),則上述可逆線性變換可記作x

=

Cy證明A為對稱矩陣,即有A

=AT

,于是BTCT

AC

y.將其代入

f

=

xT

Ax,

有f

=

xT

Ax

=

(Cy)T

A(Cy)

=

yT定理1

任給可逆矩陣

C

,令B

=

CTAC

,如果A為對稱矩陣,則B也為對稱矩陣

,且R(B

)=

R(A).=

(C

T

AC

)T

=

CT

AT

C

=

CT

AC

=

B,\

R

B)￡

R AC

)￡

R

A),又￡

R(B).

A

=

(CT

)-1

BC

-1

,\

R(A)￡

R

BC

-1\

R

A)=

R

B).即B為對稱矩陣.

B

=

CT

AC

,說明21

21nny

2y

2

y

2yT

CT

ACy

=

k+

k

+

+

kx

=Cy

變成標(biāo)準(zhǔn)形,

y2

,

y1

k

yk

2

k

1n

n1

2

n

=

(

y

,

y

,

,

y

)也就是要使CT

AC

成為對角矩陣.的矩陣由

A變?yōu)?/p>

B

=

C

T

AC

;2

.要使二次型f經(jīng)可逆變換就是要使1

.

二次型經(jīng)可逆變換

x

=

Cy

后,

其秩不變

,

但

fji由于對任意的實對稱矩陣A,總有正交矩陣P,使P-1

AP

=L

,即PT

AP

=L

.把此結(jié)論應(yīng)用于二次型,有nij

i

j

ija

x

x

(a

=a

),總有定理

2

任給二次型

f

=i

,

j

=1正交變換x

=Py

,使f

化為標(biāo)準(zhǔn)形f

=

l

y2

+

l

y2

+

+

l

y2

,1

1

2

2

n

n的特征值.其中l(wèi)1

,l2

,,ln是f

的矩陣A

=aij用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟將二次型表成矩陣形式

f

=

xT

Ax

,求出A;求出A的所有特征值l1

,l2

,,ln

;求出對應(yīng)于特征值的特征向量x1

,x2

,,xn

;將特征向量x1

,x2

,

,xn正交化,單位化,得h1

,h

2

,

,hn

,

記C

=

(h1

,h

2

,

,hn

);作正交變換

x

=

Cy

,則得

f的標(biāo)準(zhǔn)形 f

=

l

y

2

+

+

l

y

2

.1

1

n

n

17

-

2

-

2

A

=

-

2

14

-

4

-

2

-

4 14

14

-

l17

-

l

-

2

-

2

A

-

lE

= -

2 14

-

l-

2

-

4(

)

(

)2-

18

l

-

9-

4

=

l例4

將二次型f

=

17

x2

+

14

x2

+

14

x2

-

4

x

x

-

4

x

x

-

8

x

x1

2

3

1

2

1

3

2

3通過正交變換x

=Py,化成標(biāo)準(zhǔn)形.解 1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值從而得特征值l1

=

9,

l2

=

l3

=

18.2．求特征向量將l1

=9代入A

-lE

)x

=0,得基礎(chǔ)解系2

3x

=

(-2,1,0)T

,

x

=

(-2,0,1)T

.3．將特征向量正交化1取1將l2

=

l3

=

18代入

A

-

lE

)x

=

0,得基礎(chǔ)解系x

=

(1

2,1,1)T

.2

2a

1

=

x

,

a2

2[a

,a

]a

,x

]=

x

,

a

3

=

x3

-

2

3

a

2

,3=

(-2

5,-4

5,1)T

.2=

(-2,1,0)T

,a1得正交向量組=

(1

2,1,1)T

,aa,

(i

=

1,2,3),iia=

a

i令

h得0

-

2 5

2

3

1

3

h1

=

2

3,

h2

=

145

5

-

2 45

5

,

h3

=

-

4 45

.

1

3

-

2

5

-

2

45

P

=

2

3

1

5

-

4

45

.

2

3

0

5

45

所以4．將正交向量組單位化，得正交矩陣P于是所求正交變換為

3

1

3-

2

5

-

2

3

1

5

-

4 45

y2

,

2

3

0

5

45

y

45

y1

x

x2

=

2

3

x1

且有

f

=

9

y

2

+

18

y

2

+

18

y

2

.1

2

3例5f

=

2

x1

x

2

+

2

x1

x

3

-

2

x1

x

4

-

2

x

2

x

3+

2

x

2

x

4

+

2

x

3

x

4化為標(biāo)準(zhǔn)形.解求一個正交變換

x

=

Py

,

把二次型二次型的矩陣為01

1

0

1

1

-

10

-

1

1

,

-

1

0-

1

1

1A

=

1它的特征多項式為.-

l11-

11-

l-

111-

1-

l1-

111-

lA

-

lE

=計算特征多項式:把二,三,四列都加到第一列上,有,111-

11-

l-

111-

1-

l1111-

lA

-

lE

=

(-l

+

1)把二,三,四行分別減去第一行,有111-

10-

l

-

1-

220-

2-

l

-

12000-

l

+

1A

-

lE

=

(-l

+

1)-

2-

2

-

l

-

1=

(-l

+1)2

-

l

-

1=

(-l

+1)2

(l2

+

2l

-

3)

=

(l

+

3)(l

-1)3

.于是A的特征值為l1

=-3,l2

=l3

=l4

=1.當(dāng)l1

=-3時,解方程(A

+3E

)x

=0,1

1

1

-

11

1

1

2

-

1得基礎(chǔ)解系x

=

-

1,

單位化即得

p

=

1

-

1.3

22

-

1

1

0

0

1

1

x

=

1,x

=

0,x

=

-

1,當(dāng)l2

=l3

=l4

=1時,解方程(A

-E

)x

=0,可得正交的基礎(chǔ)解系

1

0

1

-

1

2

1

2

1

2

1

21 2

001 2

43200

,

p

=

-

1

22

,

p

=

單位化即得

p

=

1于是正交變換為

y

x

4

4

x3

-

1

21

21

2

y3

-

1

2

0

1

20

1

2-

1

2

y2

1

2

y1

x1

1

2120

x2

=

-

1

2120f

=

-3

y2

+

y2

+

y2

+

y2

.1

2

3

4且有||

x

||=

1例6證明二次型f

=xT

Ax

在時的最大值是方陣A的最大特征值.f

=

x

T

Ax2

2

21

1f

=

l

y

+

l2

y2

++

ln

ynx

=Py

下，證明 設(shè)在正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.由于

l1

,l2

,,ln

都是實數(shù)，記l

=

max{

l1

,

l2

,,

ln

}即l

為A的最大特征值.y

=

P

-1

x||

y

||=

1f

=

xT

Ax=

l

y2

+l

y2

++l

y21

1

2

2

n

n￡

l(

y

2

+

y

2

+

+

y

2

)

=

l

||

y

||2

=

l.1

2

n因正交變換

x

=

Py

的逆變換也是正交變換，又由正交矩陣的性質(zhì)知，||

x

||=1

當(dāng)且僅當(dāng)于是ly

i

(

i

?

1

)y

i

=

1||

y

||=

1f

=

xT

Ax

=

l當(dāng)以最大特征值 為系數(shù)的變量而其余變量為0時，從而||

x

||=1

這時.x

=

1l故當(dāng)時，

f

=

xT

Ax的最大值為.慣性定理一個實二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的

秩．下面我們限定所用的變換為實變換，來研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)．使及1

1

2

2

r

r

ii(l

?

0),f

=

l

z

2

+

l

z

2

+

+

l

z

2(k

?

0),f

=

k y

2

+

k y

2

+

+

k y

21

1

2

2

r

r定理1(慣性定理)

設(shè)有實二次型f

=

xT

Ax,它的秩為r,有兩個實的可逆變換x

=

Cy

及

x

=

Pz則k1

,,kr中正數(shù)的個數(shù)與l1

,,lr中正數(shù)的個數(shù)相等.標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個稱數(shù)為二次型的正慣性數(shù)指，負(fù)系數(shù)的個數(shù)稱為二型次的負(fù)慣性指.數(shù)f

=x

2

+4

y

2

+16z

2

為正定二次型f

=

-

x2

-

3

x21

2為負(fù)定二次型正(負(fù))定二次型的概念定義1

設(shè)有實二次型

f

(

x)

=

xT

Ax

,如果對任何x

?0,都有f

(x

)>0(顯然f

(0)=0),則稱f為正定二次型,并稱對稱矩陣A是正定的;如果對任何x

?0都有f

(x)<0,則稱f為負(fù)定二次型,并稱對稱矩陣

A是負(fù)定的.例如(

)

(

)2nk

y

.

i

ii

=1設(shè)可逆變換x

=Cy

使f

x

=

f

Cy

=充分性任給x

?0,故2設(shè)k

i

>0

(i

=1,,n).則y

=C-1

x

?0,ni

=1i

ik

y

>

0.f

(x)=正(負(fù))定二次型的判別件是:它的標(biāo)準(zhǔn)形的n個系數(shù)全為正.證明定理2

實二次型f

=

xT

Ax為正定的充分必要條必要性假設(shè)有

ks

￡

0,

則當(dāng)y

=

es

(單位坐標(biāo)向量

)

時,f Ces

)=

ks

￡

0.顯然

Ces

?

0,

這與

f

為正定相矛盾.故的特征值全為正．ki

>

0

i

=

1,,

n).推論 對稱矩陣

A

為正定的充分必要條件是：Aa11

>

0,>

0,a21

a22a11

a12,111n

>

0;

annan1a

aa11

a1r