數(shù)學建模 層次分析法競賽圖

數(shù)學建模層次分析法競賽圖第一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三離散模型離散模型：差分方程（第7章）、整數(shù)規(guī)劃（第4章）、圖論、對策論、網(wǎng)絡(luò)流、……分析社會經(jīng)濟系統(tǒng)的有力工具只用到代數(shù)、集合及圖論（少許）的知識第二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三8.1層次分析模型背景日常工作、生活中的決策問題涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素作比較判斷時人的主觀選擇起相當大的作用，各因素的重要性難以量化Saaty于1970年代提出層次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法第三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.第四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三“選擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個層次：目標層O，準則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。通過相互比較確定各準則對目標的權(quán)重，及各方案對每一準則的權(quán)重。將上述兩組權(quán)重進行綜合，確定各方案對目標的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。第五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三層次分析法的基本步驟成對比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度設(shè)要比較各準則C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地第六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對比較陣和權(quán)向量第七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應(yīng)于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)成對比較陣和權(quán)向量第八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三2468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強強明顯強絕對強aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對比較陣和權(quán)向量第九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n階正互反陣最大特征根

n,且

=n時為一致陣定義一致性指標:CI越大，不一致越嚴重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標RI——隨機模擬得到aij,形成A，計算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI當CR<0.1時，通過一致性檢驗Saaty的結(jié)果如下第十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三“選擇旅游地”中準則層對目標的權(quán)向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗第十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三組合權(quán)向量記第2層（準則）對第1層（目標）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準則)的權(quán)向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三第3層對第2層的計算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對目標的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T第十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三組合權(quán)向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第1層的權(quán)向量第3層對第2層各元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層對第1層的組合權(quán)向量第s層對第1層的組合權(quán)向量其中W(p)是由第p層對第p-1層權(quán)向量組成的矩陣第十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標—準則或指標—方案或?qū)ο螅蠈邮芟聦佑绊?，而層?nèi)各因素基本上相對獨立。2）構(gòu)造成對比較陣用成對比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。3）計算權(quán)向量并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權(quán)向量。4）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。第十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三二.層次分析法的廣泛應(yīng)用應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。處理問題類型：決策、評價、分析、預(yù)測等。建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗豐富、判斷力強的專家給出。第十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻收入發(fā)展聲譽關(guān)系位置供選擇的崗位例1國家實力分析例2工作選擇第十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三過河的效益A經(jīng)濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時間C1收入C2岸間商業(yè)C3當?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)例3橫渡江河、海峽方案的抉擇第十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三過河的代價A經(jīng)濟代價B1環(huán)境代價B3社會代價B2投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價層次結(jié)構(gòu)例3橫渡江河、海峽方案的抉擇第十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三待評價的科技成果直接經(jīng)濟效益C11間接經(jīng)濟效益C12社會效益C13學識水平C21學術(shù)創(chuàng)新C22技術(shù)水平C23技術(shù)創(chuàng)新C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價第二十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三三.層次分析法的若干問題正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標能否反映正互反陣接近一致陣的程度？怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？為什么用特征向量作為權(quán)向量？當層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？第二十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三1.正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理1正矩陣A的最大特征根是正單根，對應(yīng)正特征向量w，且定理2n階正互反陣A的最大特征根

n,=n是A為一致陣的充要條件。正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。一致性指標定義合理第二十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三2.正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算精確計算的復(fù)雜和不必要簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法——取列向量的算術(shù)平均列向量歸一化算術(shù)平均精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010第二十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三根法——取列向量的幾何平均冪法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，設(shè)置精度2)計算3）歸一化5)計算簡化計算4）若，停止；否則，k:=k+1,轉(zhuǎn)2第二十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三3.特征向量作為權(quán)向量——成對比較的多步累積效應(yīng)問題一致陣A,權(quán)向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,應(yīng)選權(quán)向量w使wi/wj與

aij相差盡量小（對所有i,j)。用擬合方法確定w非線性最小二乘線性化——對數(shù)最小二乘結(jié)果與根法相同第二十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三按不同準則確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點。成對比較Ci:Cj(直接比較）aij~1步強度aisasj~Ci通過Cs與Cj的比較aij(2)

~2步強度更能反映Ci對Cj的強度多步累積效應(yīng)體現(xiàn)多步累積效應(yīng)定理1特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng)當k足夠大,Ak第i行元素反映Ci的權(quán)重求Ak的行和第二十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計算完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)設(shè)第2層對第1層權(quán)向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3層對第2層權(quán)向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得討論由w(2),W(3)=(w1(3),

w2(3))計算第3層對第1層權(quán)向量w(3）的方法貢獻O教學C1科研C2P2P1P3P4例:評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學,P4只作科研,P3兼作教學、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等第二十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三不考慮支配元素數(shù)目不等的影響仍用計算支配元素越多權(quán)重越大用支配元素數(shù)目n1,n2對w(2)加權(quán)修正若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,

P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的評價應(yīng)為：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1再用計算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T支配元素越多權(quán)重越小教學、科研任務(wù)由上級安排教學、科研靠個人積極性考察一個特例：第二十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三5.殘缺成對比較陣的處理mi~A第i行中的個數(shù)為殘缺元素輔助矩陣第二十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三6.更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)遞階層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素獨立，無相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán)。

更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán)。制動底盤車輪方向盤發(fā)動機減震裝置剎車轉(zhuǎn)向運行加速性能汽車行駛性能汽車1汽車2汽車n……例第三十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三層次分析法的優(yōu)點

系統(tǒng)性——將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策——系統(tǒng)分析（與機理分析、測試分析并列）；

實用性——定性與定量相結(jié)合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題；

簡潔性——計算簡便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握。層次分析法的局限

囿舊——只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)生新方案；

粗略——定性化為定量，結(jié)果粗糙；主觀——主觀因素作用大，結(jié)果可能難以服人。第三十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三層次分析法中新元素導入的保序條件當決策環(huán)境發(fā)生變化時，層次分析法中的遞階層次結(jié)構(gòu)中的元素有可能增加或減少。問題：假定原有元素的兩兩比較判斷不變，由于新元素的導入或原有元素的減少，單一準則下原有元素的排序權(quán)值的比例是否改變？它們的排序是否改變？在何種條件下可保持排序不變？強保序性：排序權(quán)值的比例關(guān)系不變?nèi)醣Ｐ蛐裕ūＰ颍号判虮３植蛔兊谌?，共五十六頁，編輯?023年，星期三例：設(shè)有3個方案，它們的判斷矩陣和排序權(quán)向量為增加新的方案，得到新的判斷矩陣及排序權(quán)向量新方案的引入，使得方案的順序發(fā)生了逆轉(zhuǎn)。第三十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三若將判斷矩陣A改為此時方案的排序是原來相同。第三十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三結(jié)論：第三十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三8.2循環(huán)比賽的名次

n支球隊循環(huán)賽，每場比賽只計勝負，沒有平局。根據(jù)比賽結(jié)果排出各隊名次方法1：尋找按箭頭方向通過全部頂點的路徑。123456312456146325方法2：計算得分：1隊勝4場，2,3隊各勝3場，4,5隊各勝2場，6隊勝1場。無法排名2,3隊，4,5隊無法排名6支球隊比賽結(jié)果……第三十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三3隊打敗了得分較高的球隊（即強隊）?？紤]二級得分向量，即計算被它們打敗球隊的的得分之和。例：3隊打敗了1，2，4隊，期得分總和為：4+3+2=9表明：3隊是冠軍，1隊是亞軍，。。。。，繼續(xù)這個想法考慮三級得分向量第三十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三以此類推有各隊的名次排列有所波動。第三十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三

當競賽圖是雙向連通并且至少有四個頂點時，上述向量會收斂于一個固定的向量，這就給出了競賽中排列名次的一種方法。競賽圖：有向圖中每對頂點之間都有一條邊相連。雙向連通：對于每一對頂點，存在兩條有向路徑（每條路徑由一條或幾條邊組成），使兩頂點可以相互連通，這種有向圖稱為雙向連通的。第三十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三雙向連通競賽圖G=(V,E)的名次排序鄰接矩陣得分向量第四十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三對于n(>3)個頂點的雙向連通競賽圖，存在正整數(shù)r，使鄰接矩陣A滿足Ar>0，A稱素陣素陣A的最大特征根為正單根，對應(yīng)正特征向量S，且用S排名第四十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三1234566支球隊比賽結(jié)果排名次序為{1，3，2，5，4，6}第四十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三一般排名問題的算法：（1）構(gòu)造有向競賽圖G=(V,E)：將每個參賽者作為G的一個頂點，即（2）將G的所有雙向連通分圖排序為第四十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三（3）對G的至少有四個頂點的每一個雙向連通分圖，求其鄰接矩陣的最大特征值所對應(yīng)的特征向量。按照特征向量分量的大小，依次定出該分圖對應(yīng)參賽者的名次。對G的僅有三個頂點的雙向連通分圖，其對應(yīng)參賽者的名次并列。第四十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三例：V1V3V5V2V4連通子圖：V4V1,V2,V3,V5第四十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三用競賽圖解決足球隊排名問題：排名問題是根據(jù)各隊相互比賽的成績排出一個盡可能反映各隊真正實力的一個順序。為此，我們提出如下的一些基本原則：（1）一隊排在另一隊之前，不能只考慮這兩隊的戰(zhàn)績，而應(yīng)充分考慮這兩隊所有比賽場次的成績。（2）要充分考慮對手的強弱因素。（3）如果兩隊之間由于種種原因，沒有比賽或者雙方打成平局，就由這兩隊與其他隊比賽的戰(zhàn)績來確定它們的強弱。第四十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三根據(jù)上述原則，據(jù)比賽成績表，構(gòu)造競賽圖如下：第四十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三根據(jù)建邊情況，可建立矩陣第四十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三第四十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三第五十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三(4)參照上述方法得到的鄰接陣，得到競賽圖G.按照上述算法，經(jīng)步驟（1）得到（5）針對競賽圖G，按照前述的排名方法進行排序。第五十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期三T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12T1